第三章 研究方法
3.3 層級分析法
3.3.4 層級分析法之步驟
首先將目標問題做問題的描述,再從中找出可能的影響因素並建立起層 級關係,採用兩兩因素成對比較之方式比較兩因素之間的優劣程度,並依此 建立成對比較矩陣,利用矩陣之特徵值與特徵向量的計算,求得各屬性與方 案之權重值,最後再透過綜合評判的方式得到最終的方案排序,步驟如下:
一、問題描述
對於問題所處之系統應該儘量詳加瞭解分析,將可能影響問題之因 素均納入問題中,同時決定問題之主要目標。
二、建立層級架構
決定問題之目標以及總目標之各項指標,決定各指標之評估準則及 列入考慮之替代方案,其評估準則及方案之產生可應用腦力激盪法、
Delphi 法等。先形成問題、確立定義、確立要素和層級三個步驟。然後 將複雜的問題系統化,匯集專家學者及決策者的意見來進行評估並建構 層級架構,此層級為研究架構的骨架,用來探討各要素間對整體的影響,
而層級架構中,每一層級只受上一層級的影響且要素間互相獨立。
三、建立成對比較矩陣
此矩陣是以要素間相對的重要程度來建立。主要是以某一層級下各 要素,以上一層級要素為評估準則下,來進行成對比較。衡量尺度是採 用比率尺度(Ratio Scales)來表示,可劃分為五項:一樣重要、稍微重要、
頗重要、非常重要、絕對重要,再加上另外四個介於兩者間的強度,共 可分為九個尺度,並分別給序1~9 的比重。如表 3.1:
表3.1 AHP 評估尺度語意表
評估尺度 定 義 說 明 1 同等重要
(Equal Importance) 兩項計畫的貢獻程度具相同重要性
☉等強 (Equally) 3 稍微重要
(Weak Importance) 經驗與判斷稍微傾向喜好某一計畫
☉稍強 (Moderately) 5 頗為重要
(Essential Importance) 經驗與判斷稍微傾向喜好某一計畫
☉頗強 (Strongly) 7 極為重要
(Very Strong
Importance) 實際顯示非常強烈傾向某一喜好某一計畫 9 絕對重要
(Absolute Importance) 有足夠證據肯定絕對喜好某計畫
☉絕強 (Extremely) 2,4,6,8 相鄰尺度之中間值
(Intermediate Values) 需要折衷值時 資料來源:Saaty【37】
將兩兩因素間進行成對比較,即可得到一成對比較矩陣 A。若有 n 個因 素需要比較時,則需進行n(n−1) 2次成對比較,若因素 i 與因素 j 的比值為 a ,因成對比較有倒數性質(Reciprocal Property),則要素 j 與要素 i 的比值即ij
為原來比值的倒數即1a 。同理,成對比較矩陣 A 的下三角形部分,即為上ij 三角形部分的倒數。如下所示:
A= [a ] =ij
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
1 ...
/ 1 / 1
...
...
...
...
1 /
1
...
1
2 1
2 12
1 12
n n
n n
a a
a a
a a
.
.
.
.
.
.
.
.
.
若當因素的權重值已知時,亦可用下列方式來表示之:
A= [a ] =ij
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
1 ...
/ 1 / 1
...
...
...
...
1 /
1
...
1
2 1
2 12
1 12
n n
n n
a a
a a
a a
.
.
.
.
.
.
.
.
. =
...
...
...
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
1 1 1 2 1 n
2 1 2 2 2 n
n 1 n 2 n n
w w w w w w w w w w w w
. . .
. . .
. . .
w w w w w w
其中a =ij Wi Wj, a =1ji a ,ij W=
[
w w1, 2,...,wn]
T=1
2
. . .
n
w w
w
⎡ ⎤⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
w :因素 i 的權重;i i =1,2,...,n
a :兩兩因素間的比值;ij i,j=1,2,...,n 四、計算特徴向量和最大特徴值
(一) 特徴向量的解法
特 徵 向 量(Eigenvector) 或 稱 優 勢 向 量 (Priority Vector) 或 權 重 (Weight), Saaty 提出四種近似法如下:
1. 行 向 量 平 均 值 常 態 化 , 又 稱 ANC 法 (Average of Normalized Columns)。首先將各行元素常態化,再將常態化後之各列元素加 總,最後再除以各列元素之個數,如公式3.3:
1 1
1 n ij
i n
j
ij i
W a
n = a
=
=
∑
∑
i,j =1,2,...,n (3.3) 2. 列向量平均值常態化,又稱 NRA 法(Normalization of the RowAverage)。將各列元素加總後,再進行常態化,如公式 3.4:
1
1 1
n ij j
i n n
ij
i j
a W
a
=
= =
=
∑
∑ ∑
i,j =1,2,...,n (3.4) 3. 列向量幾何平均值常態化,又稱 NGM 法(Normalization of theGeometric Mean of the Rows)。將各列元素相乘後取其幾何平均 數,再進行常態化求得,如公式3.5:
1
1
1
1 1
n n
ij j i
n
n n
ij
i j
a W
a
=
= =
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∏
∑ ∏
n j
i, =1,2,..., (3.5)
4. 行向量和倒數標準化。將各行元素予以加總,再求其倒數進行常態 化,如公式3.6:
1
1 1
1
1
n ij i i
n n j
ij i
a W
a
=
=
=
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
= ⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑
∑ ∑
i,j =1,2,...,n (3.6)
在實務上是採用前三種方法,其中又以第三種(NGM 法)最常被 使用。
(二) 最大特徴值(λmax)的計算
將成對比較矩陣 A 乘以所求出的特徵向量 W,可得到新的特徴 向量W ′,W ′的每一向量值分別除以對應原向量 W 之向量值,最後 將所求出的各數值求其算數平均數,即可求出λmax,如公式3.7:
A×W =λmax×W (3.7)
=
×W A
...
...
...
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
1 1 1 2 1 n
2 1 2 2 2 n
n 1 n 2 n n
w w w w w w w w w w w w
. . .
. . .
. . .
w w w w w w
×
1 2
. . .
n
W W
W
⎡ ⎤⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦ =
1 2
' ' . . .
'n W W
W
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
λmax= ⎟⎟
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ ′
+
′ +
′ +
n n
W W W
W W W
n ...
1
2 2 1 1
五、一致性檢定
為了要求客觀且較準確的評估,所以必須要求一致性的檢定。此檢 定是利用一致性指標(Consistency Index, C.I.)及一致性比率(Consistency Ratio, C.R.)來計算,而 Saaty【37】建議當 C.I.≤ 0.1 時,為最佳可接受之 誤差,若 C.I.≤ 0.2 時,亦為可接受之誤差。一致性指標定義,如公式 3.8:
C.I. = max 1
n n λ −
− (3.8) 其中 n:評估要素的個數
而每個成對比較矩陣可依階數 n 來對應隨機指標值(Random Index, R.I.)。AHP 一致性檢定之隨機指標表,如表 3.2:
表3.2 隨機指標表
n
1 2 3 4 5 6 7 8R.I. 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41
n
9 10 11 12 13 14 15R.I. 1.45 1.49 1.51 1.48 1.56 1.57 1.59 資料來源:Saaty【37】
一致性比率定義,如公式3.9:
C.R. = . . . . C I
R I (3.9) (若 C.R.≤ 0.1,表示矩陣的具有一致性,即為可接受之矩陣)以上所述 為單一層級的一致性計算,若層級數大於 1 時,則需求出整體層級的一 致性指標(C.I.H.)及一致性比率(C.R.H.) ,如公式 3.10:
C.R.H= . . . . C I H
R I H (3.10) 其中:C.I.H. = ∑ (每一層級的優先向量) × (每一層級 C.I.值)
R.I.H. = ∑ (每一層級的優先向量) × (每一層級 R.I.值) (若 C.R.H.≤ 0.1,表示整體層級矩陣具一致性,即為可接受之矩陣) 六、計算方案的優先順序
將每一層級特徵向量(eigenvector)對應上一層級之特徵向量相乘,求 得每一層級的整體權重值(綜合特徵向量),此為最底層各方案對目標的優 先值,讓決策者了解評估結果優先順序來下決策,如圖3.3:
圖3.3 AHP 法流程圖
資料來源:鄧振源,曾國雄【24、25、26】
否 否
是 是 問卷設計
規劃群體 問題描述
影響要素分析
建立層級結構
決策群體
建立成對比較矩陣
求取各層級C.I.綜合值
決策群體
求取一致性指標
替代方案加權平均 替代方案之選擇
問卷填寫
計算特徵值與特徵向量
求取C.R.H.值 C.R.≤ 0.1
C.R.H.≤ 0.1