崩塌載重

3.1.1 傳統極限分析定義的崩塌載重

過去使用極限分析求解崩塌載重與彈塑性分析的觀念是不同的,彈塑性分析需要給定一定的加載 路徑或是條件_;而極限分析是排除歷時過程的繁瑣計算_,直接鎖定在桿件的極限狀態條件下_,而在這邊 的極限狀態_, 也就是彈塑性模型廣義應力與廣義應變組成關係中所必須存在的塑流平台如圖 _3.1, 存 在塑流平台才能夠找到崩塌載重 (collapse load), 也就是說極限分析可以視為漸進 (asymptotic) 型 式的彈塑性分析_, 可以一步到位的求取崩塌載重。

使用傳統的極限分析_, 可以根據給予不同的條件使用上限法與下限法_, 上限法是假設機構產生型 式,令其滿足協調方程式_,使外力所做的功率會相等於內力的耗散功率_,此時所求得的外力必定會大於 或等於崩塌載重_;而下限法是不論贅餘力如何去假設_,外力與內力必須滿足平衡方程式_,然後定義構件 內力達到降伏條件_, 此時所求得的外力必定小於等於崩塌載重。 當上限法與下限法的假設合適_, 其可 以得到精確的崩塌載重。 但是如何精確上限法、 下限法的假設正確_, 得到相同解而沒有缺口問題。₍此 處的缺口是指上下限法假設錯誤時並不互為對偶命題描述同一問題。₎

3.1.2 崩塌載重的定義探討

為改進傳統的極限分析方式_, 重新正確的定義結構的極限狀態_, 利用片段線性多降伏平面模式推 導出彈塑性結構極限分析的控制方程式。 片段線性多降伏平面模式無論在桿件或是結構層次均存在塑 流平台_,所謂的塑流平台就是泛指結構或是桿件_,發生無限制塑流_,塑性變形可以沒有限制的發展的極

限狀態。 而在極限分析的文獻定義的崩塌載重_, 是使結構產生過多的塑性變形的外力_, 並不是真實狀 況中結構已經崩塌。 本文在這邊則是認為結構的崩塌載重應該要從以下的兩種觀點去討論分析:

1. 崩塌機構₍進入塑流平台) 產生_:

在加載的過程中_,結構體裡面會有部分不同的桿件進入塑流平台_,但是整體的結構還是會滿足變 形協調 ₍諧和) 律, 使得已經進入塑流平台的桿件得以被約束_, 讓其還不發生無限制的變形; 而 當入塑流平台的桿件數_, 使得整體或局部結構產生無限制的變形或是位移時_, 發生結構不穩定_, 也就是崩塌機構的產生_,此時的受力情形極為崩塌載重。

2. 結構的內力無法與外力平衡:

在外力空間裡的加載過程中_,會有部分桿件的內力達到降伏強度_,因此彼此間所承受的力量會重 新分配_,內力除了必須滿足桿件本身的降伏條件之外_, 也要與整體結構受到的外力維持平衡_; 而 當各個桿件所提供的內力_,再也無法與結構受到的外力平衡時_,此時所受的外力情形即為崩塌載 重。

對於一個結構物裡只有完全彈塑性桿件_, 此結構體在本文稱之為完全彈塑性結構_; 一個結構物裡 包含完全彈塑性桿件以及硬化桿件_, 則稱之為硬化結構。 對於完全彈塑性桿件或是硬化桿件來說_, 其 所受的加載情形不論是單調比例加載還是循環加卸載_, 當這些桿件達到極限狀態時_, 其塑流平台所對 應的即是桿件所能夠提供的最大內力如圖 _3.3。 這樣的性質的好處是在分析的過程中_, 各地進入塑流 平台的桿件剛好對應到的就是結構體所能承受的最大外力。

換句話說_, 對於上述的完全彈塑性結構、 硬化結構_, 在外力控制下_, 其進行加載達到結構的內力外 力無法平衡_, 或是位移控制_, 當結構體因部分桿件進入平台而在位移空間發生無限制的變形或是位移_, 其所對應在外力空間的崩塌載重是一致的。 塑流平台上的每一點, 均對應到同樣的崩塌載重, 此為極 限分析上的重要性質_, 因為塑流平台上的每一點均代表桿件已進入塑性_, 而在桿件裡面的內時 _λ 對應 到不一樣的值_,但是均對應到同樣的崩塌載重_, 意即塑流平台所對應的崩塌載重與歷時、 初始狀態、 加 載路徑是無關是唯一的。

但是對於包含軟化桿件的結構物_,欲描述其極限狀態就不像是硬化桿件或是完全彈塑性桿件單純_, 本文在此重新由前面討論的兩觀點的崩塌載重去檢視:

1. 崩塌機構(進入塑流平台) 產生:

對於軟化結構來說_, 如果使用一位移 ₍應變控制₎ 去加載_, 跟前面討論一樣的_, 結構體裡有不同 的桿件進入塑流平台_, 在滿足整體結構的變形協調的條件下_, 即便已經有桿件進入塑流平台_, 還 是會因為協調的約束條件_, 使得結構體不會發生無限制的變形_; 但是當軟化桿件經歷過軟化段_, 隨後再進入平台 ₍軟化桿件的殘餘應力強度_),如果從外力空間 ₍桿件內力₎ 觀察_,當桿件進入崩 塌機構時, 會出現降伏面內縮 ₍桿件內力下降) 的情形, 意即如果分析的崩塌機構包含了軟化桿 件無限制變形的極限狀態_, 並非對應在加載過程中的最大應力如圖_3.4。

2. 結構的內力無法與外力平衡_:

但是對於外力空間的加載過程中_,如果為一單調加載的形式_,則如果當加載過程中外力已無法和 內力平衡時_, 我們定義為崩塌載重_, 則回頭來看軟化桿件_, 其並沒有進入塑流平台_, 發生結構的 無限制變形, 故當我們在外力空間討論探討崩塌載重時_, 軟化桿件所對應到的無限制變形, 並不 會對應到單調加加載過程中的桿件最大內力。 此外軟化桿件有無經歷過塑性_, 其加載過程所經 歷的桿件最大內力也會不一_, 如圖_3.5。

由上述的兩點探討_, 由於塑流平台具有與歷程無關的優點_, 本文選擇考慮進入平台為軟化桿件的 極限狀態, 這樣的極限狀態即表示軟化桿件發生無限制變形, 其所對應的內力雖然不是對應到桿件的 最大內力_, 但會與完全彈塑性_,硬化彈塑性一樣保有與歷時無關的特性

由於進入塑流平台 ₍無限制變形₎ 具有與歷時無關的優點_, 所以本章節在接下來描述求解描述軟 化桿件進入塑性, 降伏面開始演化的彈塑性組成律, 在並聯元件的模型上會選用片段線性多降伏面模 型中的完全彈塑性模式_: 其中一個為會先進入降伏的正勁度完全彈塑性元件_, 另一個則是引入會後進 入降伏狀態的負勁度完全彈塑性元件如圖 _3.2, 這樣的選擇是希望不論是在問題的結構層次_, 或是往 下探去看桿件層次的組成關係, 都可以擁有塑流平台的特性, 這點會有助於後面求解、 了解達到崩塌 機構時_,各桿件進入平台的情形_, 以及在彈塑開關上可以更容易去找到要達成崩塌機構的條件。

3.1.3 軟化結構的崩塌載重

在本文裡_, 包含軟化桿件的結構物稱之為軟化結構。 對於軟化桿件來說, 在我們所定義的片段線 性多降伏面談塑性模式並聯所組成的塑流平台_, 並不是對應到軟化桿件的最大內力_, 考慮外力為一維 的情形下_, 軟化結構物在一為外力位移空間中其塑流平台所對應的外力大小_{F ,} 並不是結構體所能承 受的最大外力_Fmax, 這一點是有別於完全彈塑性桿件和硬化桿件的, 而根據前面一個章節所探討的, 本文決定要以產生無限制變形的塑流平台_, 來表示軟化結構的崩塌載重。

因為考慮軟化桿件在塑流平台為極限狀態_, 廣義應力應變狀態如圖_3.6, 反應在軟化結構裡_, 代表 我們選擇結構物達到塑流平台對應的外力為崩塌載重_, 則軟化結構物的崩塌載重也具有在任意歷時或 是任意加載路徑唯一的崩塌載重_, 軟化結構物的崩塌載重均會對應到同樣的外力大小_{F ,} 此時的軟化 結構物的崩塌載重求解會趨於保守_,但會具有任意路徑、 與歷時無關且結構絕對安全的特性。