軟化桁架結構組成律、崩塌面與安全載重空間之探討

(1)

國立臺灣大學工學院土木工程學系碩士論文

Department of Civil Engineering College of Engineering National Taiwan University

Master Thesis

軟化桁架結構組成律、崩塌面及安全載重空間之探討

林冠宇 Kuan-Yu Lin

指導教授：洪宏基教授 Advisor: Prof. Hong-Ki Hong

中華民國 103 年 7 月 July 2014

Study of Constitutive Law, Collapse Surfaces

and Safe Load Domain for Trusses with Softening

(2)

(3)

誌謝

順利完成本篇論文首先要感謝我的指導教授洪宏基老師_,在我兩年的研究生生涯給了我相當大的自主學習空間_, 讓我可以從各個不一樣的角度觀點_, 用不一樣的方法_, 去發現各種不同的問題_, 並培養我獨立思考_,勇於創新的研究態度。即便在兩年的研究過程中_,學習和研究上會碰到瓶頸和困頓_, 但是在老師的循循善誘_,還是一一克服困難走了過來。回首過來_, 每週三下午的研究討論_, 此過程讓我學習到老師嚴謹的做學問態度並讓我培養了研究生所需具備的獨立思考能力以及探索未知學理所需具備的專業素養。口試期間_,感謝張國鎮教授、呂學育教授以及江達雲教授所提出的問題與建議_, 讓我更能仔細的去檢視我的研究成果並能夠找到其他研究方向的展望_, 幫助我了解需要改進與檢討的地方。

感謝研究室的博士後研究生劉力偉大學長_,在我兩年的研究生求學生涯_,不時給予不同的課題_,訓練我做研究的能力,然後在我研究出現困頓時_,適時的給予我一些建議與指教,然後指導我們做實驗以及其他實務能力的培養。另外感謝已經畢業的吳昱霆學長以及張睿成學長_, 雖然兩位學長畢業去當兵了_,但不時還要接受我這個小學弟的求教_, 感謝你們耐心的解答。感謝曾經為同學的林曾瑞_, 雖然你先離開了這個研究團隊_,但你到外面找到了自己的定位和努力方向_, 曾為同窗的半年真的深受你的照顧。

感謝曾跟我一起奮鬥半年的兩位小學弟章靖和范揚志_, 辛苦你們在我碩二繁重的研究過程, 幫我負擔了很多研究室的工作。感謝同學曾惠瑜在口試那天的紀錄和新的學弟蔡忠穎在口試當天的幫忙_, 讓口試得以順利進行。感謝結構組裡面很多的工作行政人員_, 其中包括常常我們的助教劉曉梅、結構組行政的周婉香小姐、以及土研所的黃茂樹技師_,在兩年裡面研究生的生活_,你們照顧、幫忙我在許許多多的是事物上_,感謝吳侑軒、譚皓祥以及施可葳學長_,沒有葳葳助教在碩一的課程時候拉我一把、沒有當年皓祥在碩一的程式課程的幫助、沒有侑軒在繪圖技巧上的一些指教_, 今天我沒辦法在這邊完成我的學業以及這篇論文_,感謝結構組的各位同學朋友_,在我兩年的研究生生涯_,所有給予我幫助和照顧的每一位_, 期待大家在未來的日子都闖出自己的一片天。

感謝我的家人_, 我的父母給予的我物質充裕的生活_, 讓我不需要為了經濟而去煩惱可以專心在我的課業上_,並感謝他們鼓勵我學習讓我可以在我的人生路上_,選擇自己喜歡的路去走_,感謝妹妹在我研究的生活中,利用她在機械領域的專業知識給予我幫助_,感謝時常支持給予我加油打氣和笑聲的舅舅、

阿姨一家人。另外有些人我想把你們一一列舉出來_, 謝謝你們在我繁重的的研究生生涯帶給我很多歡笑_, 謝謝幾個好哥們_, 龔逸祥、陳冠余、張博勝, 大家沒事出來的聊天談心講未來_; 謝謝過去大學的好朋友_, 林宇軒、李卿澄、李宗翰、曾淳凱偶爾的聚聚但總能夠從你們身上聊到不一樣的開心事_; 謝謝幾個好姊妹_, 陳嘉荃、王蓉瑄、陳玄立令, 我們一起擁有這段歡笑談心的日子_; 謝謝幾個國中死黨_, 吳少夫、張哲瑋、游舒涵_, 雖然大家已經長大不能常常玩在一塊_, 但是偶爾敘敘舊總能回味無窮_; 謝謝袁一丹、游采瑜、楊覲華、鄭雯心、唐詩豪在我碩二下半年的生活_,加入很多一起開心出遊、玩活動的回憶。

(4)

摘要

在塑性力學的領域中_, 極限分析是一個很重要的主題。塑性反應是路徑相關的, 但極限分析的最大好處是_, 對於塑性結構可以在不給定路徑的情況下_,直接快速地求得崩塌載重。在過去_, 最常見的作法即是結合數學規劃法,列出最佳化問題來求解彈塑性結構的崩塌載重。

而最近_, 有人透過片段線性多降伏面模型描述彈塑性材料的組成律_, 並且透過降伏式與崩塌平衡機構的關係, 發展了一套方法去求解結構物的崩塌面_, 並且建立出其在外力空間的安全載重區域。但是對於軟化材料_,如何正確地去描述組成律_,還有軟化結構物的安全載重空間分析_,有過於保守的問題需要改進和研究。

在本文裡面_, 我們使用元件的並聯描述軟化桿件的組成律_, 並且使其中一個並聯元件具有耗散非正的特性。然後我們將軟化桿件視為一個封閉系統仍然會遵守熱力學定律。透過這樣的觀念_, 我們可以透過不同的機械模型像是雙線性模型或是完全彈塑性模型來描述軟化桿件的組成律。

對於軟化結構物的安全載重空間分析, 我們認為使用軟化桿件的殘餘應力強度去計算崩塌面是過於保守的_, 而且透過結構設計_, 整體結構物會發生互制的行為。基於上面兩點的考量_, 本文加入了相對應的位移空間, 當無限制變形(塑流平台)發生, 對應到的即是載重空間的崩塌面去重新定義軟化結構物的崩塌載重。最後去找到正確的崩塌機構並且擴大了軟化結構物可使用的安全載重空間。

關鍵字: 極限分析,組成律, 熱力學定律,軟化,崩塌載重,安全載重空間

(5)

Abstract

In the field of theory of plasticity, limit analysis is an important topic. Plastic responses are known to be path-dependent. The greatest advantage of limit analysis is that we can obtain plastic collapse loads directly without prescribing loading paths. In the past, the most common approach is applying mathematical programming to calculating the collapse loads of elastoplastic structures.

Recently, some people use the piecewise linear model to describe the constitutive law of elastoplastic materials, and develop a method via the relationship of evolving yielding surface and collapse mechanism in equilibrium to calculate the collapse surfaces of structures and to construct the safe domain in load space. But for softening materials, the difficuties of how to describe the constitutive law correctly and the analysis of safe load domain being too conservative are two major problems which need to be improved and studied.

In this thesis, we use a parallel connection of components to describe the constitutive law of a softening member of truss. We make one of the components with the characterisation of negative dissipation, and regard the softening member as a closed system, which still follows the laws of thermodynamics. With this concept, we can formulate the constitutive law with various mechanical models such as bilinear model of ealstoplasticity or model of perfect elastoplasticity.

For the analysis of safe load domain for a softening structure, we deem using the residual strengthes of softening members to calculate the collapse surface to be too conservative, and there will exist structural interactions between structural members in states of stresses higher than residual strengthes. With these two viewpoints, we use the corresponding displacement space to redefine the collapse load of a softening structure when unrestricted deformation (plastic flow plateau) takes place, and we find correct collapse modes and thus expand the safe load domain for softening structures.

Keywords: limit analysis, constiturive law, laws of thermodynamics, softening, collapse load, safe load domain

(6)

表目錄

2.1 數值運算例一之一、₁ 號元件變率資料 . . . 54

2.2 數值運算例一之一、₁ 號元件資料. . . 54

2.3 數值運算例一之一、₂ 號元件變率資料 . . . 55

2.4 數值運算例一之一、₂ 號元件資料. . . 55

2.5 數值運算例一之二、₁ 號元件變率資料 . . . 56

2.6 數值運算例一之二、₁ 號元件資料. . . 56

2.7 數值運算例一之二、₂ 號元件變率資料 . . . 57

2.8 數值運算例一之二、₂ 號元件資料. . . 57

2.9 數值運算例一、軟化桿件變率資料 . . . 58

2.10 數值運算例一、軟化桿件資料 . . . 58

3.1 數值運算例二之一、二桿軟化桁架結構崩塌面、降伏面角點資料 . . . 59

3.2 數值運算例二之二、三桿軟化桁架結構崩塌面、降伏面角點資料 . . . 59

3.3 數值運算例二之三、橋型軟化桁架結構崩塌面、降伏面角點資料 . . . 59

3.4 數值運算例三之一、五桿軟化桁架結構崩塌面、降伏面角點資料 . . . 60

3.5 數值運算例三之一、五桿軟化桁架結構崩塌面對應之位移空間角點資料 . . . 60

3.6 數值運算例三之二、九桿軟化桁架結構崩塌面、降伏面角點資料 . . . 60

3.7 數值運算例三之二、九桿軟化桁架結構崩塌面對應之位移空間角點資料 . . . 60

(10)

圖目錄

2.1 片段線性降伏面機械模型. . . 61

2.2 片段線性降伏面組成模式. . . 61

2.3 剛塑性機械模型 . . . 62

2.4 剛塑性組成模式 . . . 62

2.5 完全彈塑性機械模型 . . . 63

2.6 完全彈塑性組成模式 . . . 63

2.7 雙線性元件模型並聯 . . . 64

2.8 軟化桿件勁度關係圖 . . . 65

2.9 軟化桿件系統之能量關係示意圖 . . . 65

2.10 數值運算例一、軟化桿件彈塑性模式 . . . 66

2.11 數值運算例一、軟化桿件應變控制路徑 . . . 66

2.12 數值運算例一之一、1 號元件和 2 號元件 . . . 67

2.13 數值運算例一之二、₁ 號元件和 ₂ 號元件 . . . 68

2.14 軟化桿件的歷時分析圖 . . . 69

2.15 桿件、結構層次關係圖 . . . 70

3.1 廣義應力、廣義應變塑流平台示意圖 . . . 71

3.2 負勁度完全彈塑性組成模式 . . . 71

3.3 完全彈塑性桿件、硬化桿件塑流平台對應到桿件最大內力 . . . 72

3.4 軟化桿件塑流平台對應到並非桿件最大內力 . . . 73

3.5 軟化桿件有無經歷過塑性, 其加載過程所經歷的桿件最大內力不一 . . . 73

3.6 軟化彈塑性組成模式 . . . 74

3.7 求取崩塌面時剔除在外圍超平面₍虛線),最內部之交集區域為安全載重空間 . . . 75

3.8 軟化桿件之安全載重區域可取降伏面₍虛線₎ 與崩塌面₍實線₎所圍出區域的聯集_{. . . .} ₇₅

(11)

3.9 數值運算例二之一、二桿桁架模型 . . . 76

3.10 數值運算例二之一、二桿桁架結構崩塌面 . . . 76

3.11 數值運算例二之二、三桿桁架模型 . . . 77

3.12 數值運算例二之二、三桿桁架結構崩塌面 . . . 77

3.13 數值運算例二之三、橋型桁架模型 . . . 78

3.14 數值運算例二之三、橋形桁架結構崩塌面 . . . 78

3.15 軟化結構崩塌發生互制行為時軟化桿件之並聯元件關係圖 . . . 79

3.16 結構物載重空間與相對應位移空間示意圖 . . . 80

3.17 載重空間崩塌面對應位移空間出現無限制變形 . . . 80

3.18 崩塌面與安全載重空間求解分析流程圖 . . . 81

3.19 數值運算例三之一、五桿桁架各軟化桿件組成律關係 . . . 82

3.20 數值運算例三之一、五桿桁架模型 . . . 83

3.21 數值運算例三之一、五桿桁架結構降伏面、崩塌面與安全載重空間 . . . 83

3.22 數值運算例三之一、五桿桁架結構崩塌面受力節點所對應的位移空間 . . . 84

3.23 數值運算例三之一、五桿桁架結構崩塌面與擴大的安全載重空間比較 . . . 84

3.24 數值運算例三之一、五桿桁架結構殘餘應力強度分析與考慮結構互制比較 . . . 85

3.25 數值運算例三之二、九桿桁架各軟化桿件組成律關係 . . . 86

3.26 數值運算例三之二、九桿桁架模型 . . . 87

3.27 數值運算例三之二、九桿桁架結構降伏面、崩塌面與安全載重空間 . . . 87

3.28 數值運算例三之二、九桿桁架結構崩塌面受力節點所對應的位移空間 . . . 88

3.29 數值運算例三之二、九桿桁架結構崩塌面與擴大的安全載重空間比較 . . . 88

3.30 數值運算例三之二、九桿桁架結構殘餘應力強度分析與考慮結構互制比較 . . . 89

(12)

第 ₁ 章導論

1.1 研究動機與目的

在結構物的設計分析階段_, 其求解結構物的極限承載力一直是工程師關心的重點_, 但是當進入塑性階段的分析設計, 求解就不再像彈性階段下的如此簡單, 而實務上通常會使用非線性靜力側推分析 (pushover anlaysis), 以固定的外力形式逐漸加載_,加載到所設計的結構物產生不穩定時停止_,加載過程可以得到塑鉸產生的先後次序以及結構物崩塌時的外力。

非線性靜力側推分析是一種具有歷時、增量、一步接一步的塑性分析方法。在外力固定的形式下, 單調加載的增量分析 (incremental analysis) 手法_, 將載重組合施加在結構上_, 分析過程中的每個時間點可以獲得如外力、位移、桿件內力、桿件變形以及各個桿件進入塑性的先後次序。但是增量分析具有下列的缺點_, 需要輸入大量的準備資料_, 然後必須透過冗長的運算過程輸出大量的歷時資料。

因此為了解決增量法求解的問題_, 快速且精準的得到結構物的崩塌機構與崩塌載重_, 塑性力學中的極限分析 (limit analysis) 方法因應而生_, 使用數學規劃法 (mathematical programming) 理論_, 在固定外力形式下可以直接 ₍一步到位_), 的求解結構的極限承載強度。然後改進了「單目標最佳化」

為「多目標最佳化」_,打破單一比例載重的限制_,其求解對應的崩塌載重及多維載重空間的崩塌面。

而過去,我們的研究團隊建立了一套彈塑性組成律模式以及其演算的規則_,描述了材料的剛塑性、

完全彈塑性、硬軟化材料等的力學行為_, 然後將其材料桿件層次的問題_, 提升到結構層次設計一套方法能夠快速求解結構物極限承載力。

但是過去所建立的模型其對於軟化 (softening) 材料的分析還不是非常明確_, 所以本文嘗試去修正_, 使其滿足正交塑流規則以及熱力學定律_, 建立更正確的一套模式來描述軟化材料的彈塑組成律行

(13)

為。然後提升至桿件結構分析快速求解軟化材料的崩塌載重_, 但是由於軟化結構物其接續降伏面_, 會有發生降伏面內縮裡面的情形,所以對於其崩塌載重,在位移或是外力空間上,予與比較並重新定義軟化結構物安全載重空間求解的定義_, 建立一個更正確有效率使用材料、提供軟化結構物所能分析擴大的安全載重區域。

1.2 文獻回顧

傳統的極限分析_, 至今已經發展相當的完全了_, 而只要介紹到塑性力學的理論時_, 就一定會談到此理論_, 像是 Chen and Han[4], Jir´asek and Baˇzant[12]等塑性力學專書都有提到_; 極限分析與數學規劃法之間的相互關係也很早就有人發現_, 其後也編輯成論文集、評論文章、專著等_, 如_Maier[16, 17], Borkowski[2, 3], Sewell[28] 等類似文章也不斷地被提出來_,其主要專注在極限分析的非線性最佳化及有限元素法上的應用_,極限分析也可以描述不同的破壞情形_,除了初始崩塌(incipient collapse) 之外_, 也有對於交互塑性(alternating plasticity)、安定分析 (shakedown analysis) 的討論[22, 27]。 Maier[16, 17]在₆₀年代使用發展出的片段線性多降伏平面模式 (piecewise-linear model), 來描述彈塑性組成律關係_, 簡化原來比較複雜的形式_; 利用直線 ₍二維應力空間_), 平面₍三維應力空間₎或超平面 (多維應力空間₎ 去近似原來多次的降伏曲面經過這樣的簡化_, 雖然多了很多條降伏式, 但是每一條降伏式所對應的互補三元就只是一個線性互補問題 (linear complementarity problem), 其廣義應力應變關係也具有片段線性的形式_, 處理起來簡單很多。 Kaneko[13, 14, 15]提出與解出彈塑性問題_, 此片段線性多降伏平面模型必須滿足P 矩陣限制所提出的彈性組成律,並認為片段線性多降伏平面模式中的互補三元_,其應該是包括導數的參數化線性互補問題。其所指的就是含有變數的增量法_, 如此能夠彰顯塑性力學問題的重要精隨_”與路徑相關_”。另外對於結構的極限狀態_,Reinicke文獻_[26]提出結構在極限狀態會產生無限制的塑性變形(塑流),並找出滿足此條件的狀態。

在極限分析問題外力方面_, 通常的做法會給定比例載重的限制_, 而 _Hodge[11]提出多參數載重的的極限分析問題_, 處理多參數載重的極限分析問題_{, Nafday} 等人_{[24, 25],} 將多參數載重解釋成非比例載重, 將極限分析問題變成多目標規劃問題, 建立非劣解與崩塌面的概念, 並使用多目標單體法求解崩塌面。 _Chen 等人_{[5, 6]}提出多載重系統的雙目標最佳化模式_, 使用參考應力法建立二維的載重區

(14)

域_, 並且使用上限法與下限法比較載重區域的差異。 _Tin-Loi 與 _{Lo [34]}也有使用文獻_[25]的例子來求解崩塌面, 不過材料均限於剛塑性或完全彈塑性。

Cocchetti 與 _{Maier [7]}及Tangaramvong 與Tin-Loi [29, 30, 31]對於硬化、軟化材料均有不錯的研究成果_, 提出考慮純彎矩、軸力與彎矩互制的硬軟化塑鉸模式_, 以下限法描述剛架的極限分析問題,然而均給定單一比例載重的限制,以單目標最佳化的方式求得崩塌點;若想考慮不同載重組合的崩塌點_, 則必須再假設不同的比例載重做分析。

宋信璋 _[37]對於軟化桁架結構_, 使用最佳化的分析方法_, 嘗試打開單調加載的外力形式限制, 並提出一個簡易計算方法, 對桁架內功增量分段加以處理解開二套互補三元, 搭配增量分析的方法驗證, 求解軟化桁架結構崩塌載重以及處理區域不穩定的問題。郭建呈 _[38]對於彈塑性結構的分析_, 由於過去比例載重的限制_,形成單目標最佳化的問題_,將比例載重的限制去除_,定義極限分析的多目標最佳化問題_, 搭配加權方法配合交互式線性多目標流程求解安全載重區域。吳昱霆 _[39]對於整個硬軟化桁架結構_,提出極限分析中_,崩塌載重的問題不應該只是最佳化後的數值結果_,崩塌載重以崩塌面的形式存在_,透過載重空間降伏面與崩塌面關係,定義結構崩塌所對應的機構向量_,藉由搜尋崩塌機構的方式求解崩塌面_, 建立出結構物的安全載重空間。

1.3 研究內容與本文架構

本文延續過去研究團隊的成果_, 利用不同的模式描述不同的力學行為_, 如_: 線性彈性、剛塑性、完全彈塑性、硬軟化行為等_, 進而由桿件層次推廣到結構層次, 用來解決探討極限分析中的崩塌載重求解。而過去利用不同的桿件模式成功描述材料的硬化行為_, 並可以解釋材料的降伏面演化_, 以及求解最後的崩塌面。但是在軟化桿件上的力學行為描述並不完備。

本文提出了在描述軟化桿件的力學行為時, 除了可以使用一組正勁度和一組負勁度的完全彈塑性元件並聯來描述外_,也可透過不同的片段線性多降伏面模式的元件來並聯來描述表示結構的軟化桿件降伏面的演化行為; 另外本文更提出了觀念_, 描述軟化桿件時_, 其並聯其中一根元件具有耗散非正的特性, 但是在兩根以上元件並聯的軟化桿件其能量耗散率還是恆大於等於零, 符合熱力學的第二定律, 同時透過其中一根元件的耗散非正₍在本文表示其內變數增量恆小於等於零₎的特性_,使軟化桿件的塑

(15)

流方向向量與降伏面的法向量相同_,滿足正交塑流的特性。

利用前述所改進的力學模式,本文再將其層次提升至解決結構問題, 帶入正確的平衡、協調式,利用求出的降伏演化式_, 探討其崩塌載重問題。在這邊_, 本文提出因利用不同定義的崩塌平衡機構定義_, 以及透過力量控制或是位移控制的不同加載路徑分析_, 其所求出的崩塌面式不一致的_, 需重新定義或是正確描述其崩塌平衡機構行為。另外在這邊, 本文利用了上述的軟化結構模型, 求解軟化結構模型只利用殘餘應力強度分析過於保守的特性之崩塌面_, 找出因結構互制行為而比前者分析擴大之安全載重空間。

本文的內容架構一共分成四個章節,以下將分別說明:

第一章為導論_, 說明本文的研究動機與目的_, 並在文獻回顧中討論前人對於彈塑性力學、極限分析等研究發展成果_,並撰寫出本文的大綱以及研究架構。

第二章是軟化彈塑性性組成律模式_, 本文嘗試使用不同片段線性多降伏面模式_, 並利用元件並聯的概念_, 進而描述軟化模型的彈塑組成律_, 此外本文在此提出一個軟化桿件_, 其底下構成之並聯元件中_,應有一元件其耗散行為改為耗散為負的條件_,然後逐一探討每個元件的作功、儲存能量、耗散能量情形_, 最後將整根並聯過後的軟化桿件視為一封閉系統_, 在整個封閉系統下的彈塑性力學模式依然符合熱力學的第一、第二定律。然後透過一個數值例子_, 對於軟化桿件利用元件並聯其底下能量儲存耗散的機制, 應證本章節提出的理論。

第三章為軟化桁架的崩塌面與安全載重空間_, 前半段對於軟化材料之極限狀態予與定義_, 透過一定的演算規則和分析_,求解軟化桿件所構成結構之崩塌載重_,然後透過數值的例子_,針對一些簡單的桁架結構模型如: 三桿桁架、橋型桁架等簡單結構進行求解運算。然後第三章後半段針對軟化結構物結構互制的情形_, 加入對應的位移空間去探討並重新定義結構物的安全載重範圍_, 希望能更正確找出崩塌面並擴大可分析的載重空間。這部分也設計出一個數值例子_, 來驗證這部分所提出的觀點。

第四章為結論與未來展望,針對本文的研究成果,給予一個總結,也討論本文不週全、不完備之處_, 並針對其他可能衍生或延伸問題和未來研究方向給予適當的建議和方向。

(16)

1.4 符號說明與假設

1.4.1 符號說明

a ≤ b a_i ≤ b_i, a_i, b_i為向量 _{a, b}的分量 q, q 廣義應變向量,

q^e, q^e 廣義彈性應變向量_, q^p, q^p 廣義塑性應變向量_, Q, Q 廣義應力向量, Q_a, Q_a 廣義主動應力向量_, Q_b, Q_b 廣義回應力向量_, Y, y 廣義降伏應力向量_,

λ, λ 內時 ₍廣義等價塑性應變_), K_e, k_e 彈性勁度陣_,

Kp, kp 走動模數陣_, H 降伏演化陣_, N^T 降伏面法向量陣, M 塑流方向陣_, u 結構節點位移向量_, F 結構節點外力向量, A 桿件變形的協調常數陣_, x 崩塌模態向量_,

X 崩塌模態陣,

(17)

f,f 降伏函數向量_{, f ≤ 0}表示廣義應力允許區域 f_col 崩塌函數向量_{, f}_col _{< 0}表示安全載重空間₍區域₎

U 儲存能函數_,

W˙ 外力作功功率_,

Λ˙ 耗散功率_,

( )_L 桿件層次的符號 ( )_G 結構層次的符號

(˙) = d()/dt 對時間的變率

1.4.2 假設

本文使用的假設如下_:

• 桁架桿件鉸接, 無任何摩擦, 不能承受彎矩及扭矩, 只承受軸力, 桿件變形前後剖面保持平面

• 考慮擬靜態的情況下施加位移控制或是載重控制_, 排除動態效應

• 桿件的塑性變形可以無限制的發展

• 彈塑性材料採取合適的片段線性多降伏平面模型, 並且滿足其相關聯的正交塑流規則

• 忽略桿件反應時_, 溫度所帶來的影響效應

• 忽略 _{P - 4} 效應_, 也就是說沒有考慮挫屈不穩定的問題

• 假設小變位、小變形

• 假設變值載重變化頻率不高,故沒有漸進崩塌(incremental collapse) 或交錯降伏(alternating yielding) 之破壞情形

(18)

第 ₂ 章軟化彈塑性性組成模式

2.1 彈塑性組成模式

2.1.1 片段線性多降伏平面模式

對於桁架結構的極限分析 (limit analysis) 問題_, 因為桿件只承受軸力_, 所以無論在桿件層次的組成模式或結構層次的組成模式_, 採用片段線性多降伏平面模型是極為自然的。片段線性多降伏平面模型即是將彈塑性組成律_, 從非線性的降伏式近似成多條線性降伏式及對應的彈塑性開關。強調在廣義應力空間上降伏面的片段線性化, 以片段線性的方法去描述材料在進入塑性時的行為_; 而使用此片段線性多降伏平面模型的優點為_, 在分析時我們可以將問題保持在線性等式與線性不等式的特性_, 所以_,在求解大型複雜結構時_, 可以較輕易地求解數量龐大的降伏條件_, 避免高次的運算_,擁有計算上的好處。

廣義的片段線性多降伏平面模式如下_, 一維機械模型示意如圖_2.1:

q = q^e+ q^p, (2.1)

Q = Q_a+ Q_b, (2.2)

Q = keq^e, (2.3)

˙q^p = M ˙λ, (2.4)

Q_b = k_pq^p, (2.5)

f^Tλ = 0,˙ (2.6)

f = N^TQ − M^TQ_b− Y ≤ 0, (2.7)

(19)

λ ≥ 0,˙ (2.8)

其中_{q, q}^e_{, q}^p_{, Q, Q}_a_{, Q}_b 分別為廣義應變、廣義彈性應變、廣義塑性應變、廣義應力、廣義主動應力、

廣義回應力_,均為維度為_{n × 1}的向量。所謂廣義應變可以為軸向變形、剪應變、曲率、扭率等等_, 而廣義應力可以為軸力、剪力、彎矩、扭矩等等_{, f ,λ,Y}則依序為降伏函數向量、內時₍等價廣義塑性應變向量₎、廣義降伏應力向量_, 均為維度為_{m × 1}的向量_{, k}_e_,k_p分別為彈性模數與塑性 ₍走動₎ 模數向量_,均為維度為n × n的方陣。N = [N₁, N₂, . . . , N_m]是維度為n × m的矩陣,一個行向量代表每一個降伏平面在廣義應力空間的單位法向量。_{M = [M}₁_{, M}₂, . . . , Mm]是維度為_{n × m}的矩陣_, 一個行向量代表每一個降伏平面的塑流方向向量。上標_T表示矩陣的轉置_, 粗體表示向量或是矩陣_,非粗體表示純量。

式(2.1) 表示廣義應變彈塑分解, 式 (2.2) 表示廣義應力主回分解, 式 (2.3) 表示廣義虎克定律, 式_(2.4) 表示塑流規則_, 式_(2.5) 表示廣義回應力的演化規則_, 式_(2.7) 表示應力允許條件_, 在廣義應力空間唯一封閉的凸區域_, 其邊界則為降伏面式 _(2.8) 表示耗散非負_, 式 _(2.6) 表示彈塑二擇一條件_,

式 (2.7-2.6) 代表互補三元_, 可以描述彈塑性多組的切換開關。可以描述微元、構件、結構等不同層次

的彈塑性力學行為。在本文中_, 我們將針對此模式所表示的軸力桿件 ₍一維廣義應力_-應變關係示意如

圖_2.2), 進行更進一步的降伏面演化分析_, 以及崩塌面、安全載重空間之深入探討。而此模型的兩個特

例:

1. 剛塑性模式

在_k_e _{→ ∞}、 _k_p _{= 0}的情況下_, 為剛塑性。

一維機械模型表示成一個摩擦阻尼_, 示意如圖_2.3, 材料組成律如下_:

˙q = M ˙λ, f^Tλ = 0,˙

f = N^TQ − Y ≤ 0, λ ≥ 0,˙

(2.9)

對應的一維廣義應力-應變關係示意如圖2.4。

(20)

2. 完全彈塑性模式

在k_p = 0 的情況下, 表示回應力Q_b = 0,為完全彈塑性。

一維機械模型表示成一個彈簧與一個摩擦阻尼器的串聯_,示意如圖_2.5, 材料組成律如下_: q = q^e+ q^p,

Q = k_eq^e,

˙q^p = M ˙λ, f^Tλ = 0,˙

f = N^TQ − Y ≤ 0, λ ≥ 0,˙

(2.10)

對應的一維廣義應力_-應變關係示意如圖2.6。

2.1.2 元件並聯模式

欲描述硬軟化彈塑性材料可以使用多組的片段線性多降伏平面模型_, 同時機械元件間滿足機動律、平衡律_, 根據廣義應力、廣義應變組成律關係_,決定所需使用並聯模型的數量與其關係。以下討論兩組片段線性多降伏平面模型並聯的情形_,其一維機械模型示意如圖_2.7,考慮滿足正交塑流規則,M^T = N^T,以及方便推導_, 我們將式子 _(2.1-2.6) 合併改寫成如下_:

q = q^e+ q^p, (2.11)

Q = k_eq^e, (2.12)

˙q^p = N ˙λ, (2.13)

f^Tλ = 0,˙ (2.14)

f = N^TQ − Hλ − Y ≤ 0, (2.15)

λ ≥ 0,˙ (2.16)

其中_{H = N}^T_k_p_N。

(21)

考慮軸力桿件模式_, 其所對應的廣義應力空間為一維軸力空間_{m = 1,} 因為有拉降伏以及壓降伏降伏面個數為n = 2的情況下,然後使用兩組上述組成律模型去做並聯關係式的推導。

1 號元件如下 q₁ = q₁^e+ q₁^p, Q₁ = k_e1q₁^e,

˙

q^p₁ = N₁λ˙₁, f₁^Tλ˙₁ = 0

f1 = N^T₁Q1− H1λ1− Y1 ≤ 0, λ˙₁ ≥ 0,

2 號元件如下

q2 = q₂^e+ q₂^p, Q₂ = k_e2q₂^e,

˙

q^p₂ = N₂λ˙₂, f₂^Tλ˙₂ = 0,

f₂ = N^T₂Q₂− H₂λ₂− Y₂ ≤ 0,

λ˙₂ ≥ 0, (若為構成軟化桿件之元件則應改為_λ^˙₂ _{≤ 0)}

(2.18)

其中

N^T₁ =



 n1t

n_1c



, λ₁ =



 λ1t

λ_1c



, Y₁ =



 Y1

Y₁



, f₁ =



 f1t

f_1c





N^T₂ =



 n_2t n_2c



, λ₂ =



 λ_2t λ_2c



, Y₂ =



 Y₂ Y₂



, f₂ =



 f_2t f_2c



 配合機械元件的機動律與平衡律_:



 q₁ q₂



=



 1 1



q, (2.19)

(22)

Q =h 1 1

i



 Q₁ Q₂



, (2.20)

藉由兩組彈塑型模式組成律 (??) 與(2.18), 搭配元件的機動律 (2.19) 與平衡律 (2.20), 即可組合成一組片段線性多降伏面具有塑流平台的硬、軟化彈塑性模式_, 詳細推導請參照附錄 _A。

可推導出一維線性多降伏平面的硬、軟化彈塑性模型如下_:

q = q^e+ q^p, (2.21)

Q = k_eq^e, (2.22)

˙

q^p = N ˙λ, (2.23)

f^Tλ = 0,˙ (2.24)

f = N^TQ − Hλ − Y ≤ 0, (2.25)

λ ≥ 0,˙ (2.26)

其中

k_e = k_e1+ k_e2, N =h

ke1

ke1+ke2N₁ _k ^k^e2

e1+ke2N₂ i

, λ =



 λ₁ λ₂



,

Y =



 Y₁ Y₂



, H =





H₁+ N^T₁ _k^k^e1^k^e2

e1+ke2N₁ −N^T₁ _k^k^e1^k^e2

e1+ke2N₂

−N^T₂ _k^k^e1^k^e2

e1+ke2N₁ H₂+ N^T₂ _k^k^e1^k^e2

e1+ke2N₂



.

欲呈現硬軟化模型的行為, 可以藉由調整參數N, k_e, H(k_p), Y來加以控制, 而對應本文所提出的具有塑流平台的簡單軟化桿件模型一維廣義應力應變關係如圖 _2.8, 而上述兩組並聯模型的參數須滿足規則如下:

其並聯後的彈性段勁度大於零_:

k_e1+ k_e2 > 0,

發生軟化行為段表示其勁度為一負值_: y₁

|k_e1| < y₂

|k_e2|, k_e1k_p1

k_e1+ k_p1 + ke2 < 0

(23)

進入平台以後其勁度為零_: k_e1k_p1

ke1+ kp1

+ k_e2k_p2 ke2+ kp2

= 0.

透過滿足上述的規則條件_, 我們發現可以透過各種不同片段多降伏面組成律模式 _,討論此兩組彈塑性的並聯模型_,希望同時滿足正交塑流規則_,以及熱力學的第一第二定律_,又能描述我們想要的軟化彈塑性模型, 本文提出針對互補三元的耗散非負這一條加以修正。進而達成本文的訴求_, 正確描述軟化桿件的力學行為以及清楚定義軟化桿件的能量儲存耗散模式。

2.2 軟化桿件能量儲存耗散的新解

2.2.1 桿件模式的熱力學定律

片段線性多降伏平面模式的式 _(2.16) 其所表示的意思是耗散非負_, 而內變數 (內時_)λ可視為等價廣義塑性應變式_(2.13), 而正常的_{λ ≥ 0,}^˙ 描述材料的功率耗散一定是要非負的

1. 彈性時耗散為零 _{λ = 0,}^˙

2. 塑性時耗散為正 _{λ > 0,}^˙

使我們的材料模式滿足熱力學的第二定律(任何自然界的力熱系統一定是朝系統的熵值增加或不變的方向改變_), 而這邊等價於我們的材料模型耗散功率是非負的。

為了讓軟化桿件滿足正交塑流規則_, 也為了更明確定義描述軟化桿件的組成律規則_, 建立一個正確的能量模型, 滿足熱力學的第一、第二定律。本文提出將軟化桿件視為一個由兩件元件所構成系統, 而其中一件元件模型的組成模型裡面的耗散非負_, 改成耗散非正。

−→ λ˙₁ ≥ 0, ˙λ₂ ≤ 0

提出耗散非正的情形是跟熱力學第二定律相違背的_, 所以我們必須重新檢視這樣的修正調整_, 是否還能滿足熱力學第二定律。在軟化桿件整個封閉系統內_, 雖然底下有一件元件模型我們將其修正成耗散非正_, 但是其構成系統內還有一件元件的耗散非負_, 只要我們能確保耗散非負的元件在力學行為

(24)

中_, 一定會先進塑入塑性_; 而且當系統內的兩件元件都進塑性時_, 耗散非負的桿件其耗散功率大於耗散非正的耗散功率,這樣整根軟化桿件的封閉系統,就一定能夠熱力學第二定律的耗散非負規則。

2.2.2 耗散非負的規則

Λ˙在本文為耗散功率_, 而式子定義的規則如下_:

Λ = Q˙ _aq˙_p = Y^Tλ,˙

而根據上面的軟化段規則, _|k^y¹

e1| < _|k^y²

e2|表示一號元件 (耗散非負) 一定會先進入塑性段, 而二號元件 (耗散非正₎ 則會後進入塑性段。因此當桿件還是在彈性段時_, 系統下兩件元件都沒有進入塑性_, 其耗散功率為零

Λ = 0,˙

而在桿件進入軟化段時_,其耗散功率為

Λ = ˙˙ Λ₁ = Y^T₁λ˙₁ > 0,

最後在材料進入平台後_,只要滿足耗散非負的耗散功率的大於耗散非正的耗散功率即可_,

Y₁^Tλ˙₁ = |Y^T₁λ˙₁| > |Y^T₂λ˙₂| = −Y₂^Tλ˙₂,

而其耗散公式如下_:

λ˙₁ ≥ 0, Λ˙₁ = Y^T₁λ˙₁ ≥ 0, (2.27)

λ˙₂ ≤ 0, Λ˙₂ = Y^T₂λ˙₂ ≤ 0, (2.28)

Λ = ˙˙ Λ₁+ ˙Λ₂ = Y^T₁λ˙₁+ Y₂^Tλ˙₂ > 0, (2.29)

(25)

重新檢視一次軟化桿件的能量模型_, 我們將其外界對於軟化桿件所做的的功定義表示如下_, 式子的推導詳細推導請參照附錄 B:

W = Q ˙˙ q

= Q₁q + Q˙ ₂q˙

= ˙W₁+ ˙W₂

將其所作的功_, 分別作用在₁號元件與₂號元件_, 然後根據熱力學第一定律_, 能量守恆 W = ˙˙ U + ˙Λ

然後分別建立系統下面的兩組軸力元件能量模型。

2.2.3 建立軟化桿件的能量模型

1 號元件模型_:

W˙₁ = ˙U₁+ ˙Λ₁, W˙₁ = Q₁q˙₁,

U˙₁ = Q_1bq˙₁^p+ Q₁q˙^e₁, U1 = 1

2kp1(q^p)² +1

2ke1(q^e)², Λ˙₁ = Q_1aq˙^p₁ ≥ 0,

(2.30)

2 號元件模型_:

W˙₂ = ˙U₂+ ˙Λ₂, W˙2 = Q2q˙2,

U˙₂ = Q_2bq˙₂^p+ Q₂q˙^e₂, U₂ = 1

2k_p2(q^p)² +1

2k_e2(q^e)², Λ˙₂ = Q_2aq˙^p₂ ≥ 0,

(2.31)

(26)

最後其軟化桿件這個系統的總耗散功率為正

Λ = ˙˙ Λ₁+ ˙Λ₂ ≥ 0

故從熱力學的觀點來看_, 當我們將軟化桿件視為一個封閉系統如圖 _2.9, 此封閉系統業必遵守熱力學第一第二定律。而我們也可將原本的模型修改成以下_, 原本的內時_{λ ≥ 0}^˙ 改成並聯以後的 _{Λ ≥ 0}^˙ 。

q = q^e+ q^p, q, q^e, q^p, Q ∈ R^1×1 (2.32)

Q = k_eq^e, f , λ, N^T, Y ∈ R^2×1 (2.33)

˙

q^p = N ˙λ, (˙) = d()/dt (2.34)

f^Tλ = 0,˙ (2.35)

f = N^TQ − Hλ − Y ≤, 0, (2.36)

Λ ≥ 0,˙ (2.37)

(27)

2.3 數值運算例一、軟化彈塑性模型組成律關係

本節利用前述發展的的理論以及計算流程_, 對軟化二力桿件的組成律關係進行模擬與分析_, 分別使用不同的元件並聯模式_,描述求解同一種軟化桿件組成律_,並針對其能量儲存與耗散的情形_,做熱力學定律的檢驗, 以確保本文所提出滿足正交塑流規則的組成律模式, 軟化桿件系統其構成應為耗散非負與耗散非正各一的元件並聯所組成的系統。

考慮一個片段三線性模式的軟化組成律模型_, 分成三段_, 包括彈性階段、軟化階段以及平台階段_, 給定一個應變控制過程,討論紀錄其能量儲存耗散, 說明本文改變2號元件內時耗散非負的限制, 正確描述軟化桿件。軟化桿件參數_: 彈性勁度 _k_e _{= 1.5 ,} 降伏強度 _{y = 6,} 進入軟化段時應力應變關係圖的斜率是_-1.5, 殘留應力強度是_3, 此軟化桿件彈塑性組成律模式如圖_2.10。

給定一應變路徑0 → 2 → 4 → 6 → 10 → 6 → 2 → 0 → −2 → −4 → 0

在此應變控制下軟化桿件應力應變關係如圖 _2.11, 而下面兩種不同元件的並聯模式_, 加入了耗散非正的內時情形, 除了可以滿足桿件的正交塑流規則, 也可以正確表示能量儲存耗散關係。

2.3.1 數值運算例一之一、片段雙線性彈塑模式

考慮_2.1.2的桿件並聯模式_, 給定二根桿件的組成模式_, 其材料常數為_: 1 號元件_: 彈性勁度_k_e_{= 1 ,} 降伏強度_{y = 4,} 塑性模數_k_p _{= −}²

3, 2 號元件: 彈性勁度k_e= 0.5 , 降伏強度y = 3, 塑性模數k_p = −²₃,

給定一應變路徑0 → 2 → 4 → 6 → 10 → 6 → 2 → 0 → −2 → −4 → 0 1 號元件和₂號元件並聯後在此應變控制路徑的情形如圖 _2.12。

透過2.2.3小節能量儲存耗散的規則公式以及_2.1.1的彈塑性模式, 將_{Q, Q}_a_{, Q}_b_{, q, q}^e_{, q}^p, λ, W, U, Λ等求出。

1 號元件數據及其變率資料紀錄如表_2.1, 表 _2.2。 2 號元件數據及其變率資料紀錄如表2.3, 表 2.4。

(28)

2.3.2 數值運算例一之二、完全彈塑性模式

考慮2.1.2的桿件並聯模式, 但是使用完全彈塑性的模型_, 完全彈塑性在分析上具有塑流平台的特性_,

這在極限分析上一個很大的優勢 ₍在第₃章有提到_), 而使用完全彈塑性模式的並聯_, 其並聯元件的參數中塑性模數就會為零_,然後其中₂號元件為負勁度_, 給定兩件元件的組成模式_, 其材料常數為_: 1 號元件: 彈性勁度k_e= 3 , 降伏強度y = 12, 塑性模數k_p = 0,

2 號元件_: 彈性勁度_k_e_{= −1.5 ,} 降伏強度_{y = 9,} 塑性模數_k_p _{= 0,}

給定一應變路徑0 → 2 → 4 → 6 → 10 → 6 → 2 → 0 → −2 → −4 → 0 1 號元件和2號元件並聯後在此應變控制路徑的情形如圖 2.13

透過_2.2.3小節能量儲存耗散的規則公式以及_2.1.1的彈塑性模式_, 將_{Q, Q}_a_{, Q}_b_{, q, q}^e_{, q}^p, λ, W, U, Λ等求出。

1 號元件數據及其變率資料紀錄如表2.5, 表 2.6。 2 號元件數據及其變率資料紀錄如表_2.7, 表 _2.8。

由結果我們可以得知_, 上述兩種表示方法都可以表示同樣的軟化桿件的彈塑組成模式_, 滿足並聯時的平衡律和機動律, 在本文加入內時有負的增量觀念, 除了可以滿足滿足軟化桿件的正交塑流規則, 也可以得到軟化桿件相同的能量儲存耗散關係求解結果是一樣的_,如表_2.9, 表_2.10,而在此應變路徑下_,將表 _2.9和表 _2.10做成一歷時分析如圖_2.14 兩種並聯的組成元件_,都可以發現會有一件元件其內

時_{˙λ ≤ 0,} 而當此元件降伏以後_, 其能量耗散皆為非正的_, 但是因為組成桿件的其中一件元件_, 其耗散

功率維持非負且恆大於等於耗散非正元件的耗散功率_, 故整個看成一個軟化桿件系統其總耗散功率還是非負的。故認為加入軟化桿件其一並聯元件是耗散非正的概念是正確的。

2.4 軟化結構層次模型

經過前幾節的說明_, 具有塑流平台的軟化彈塑性桿件_, 確實可以用兩個以上的片段線性多降伏面彈塑性模式_, 透過並聯的模式來產生。接下來我們討論一個具有 _n 根桿件的桁架模型_, 將每根桿件的編號分別為1,. . . ,n,此第i 根桿件的軸力為 Q_i , 軸向變形為q_i , 彈性軸向變形為q_i^e , 塑性軸向變形

(29)

為 _q^p_i _, 軸向勁度為 k_i , 降伏式為 f_i , 等價塑性軸向變形的內時 _λ_i_, 降伏軸力為 Y_i , 單位法向量為 N^T_i , 塑流方向向量為 N_i,降伏演化陣為H_i,耗散功率為Λ^˙_i。然後我們將 n根桿件進一步改寫成以下的形式_:

q = q^e+ q^p, q, q^e, q^p, Q ∈ R^n×1 (2.38)

Q = K_Lq^e, f , λ, Y ∈ R^2n×1 (2.39)

˙q^p= NLλ,˙ NL∈ R^n×2n (2.40)

f^Tλ = 0,˙ K_L ∈ R^n×n (2.41)

f = N^T_LQ − H_Lλ − Y ≤ 0, H_L ∈ R^2n×2n (2.42)

Λ ≥ 0.˙ (˙) = d()/dt (2.43)

其中

q :=

h

q₁ · · · q_n iT

, q^e :=

h

q₁^e · · · q_n^e iT

, q^p :=

h

q₁^p · · · q^p_n iT

Q :=h

Q₁ · · · Q_n iT

, f :=h

f₁^T · · · f_n^T iT

, λ := h

λ^T₁ · · · λ^T_n iT

, Y :=h

y^T₁ · · · y_n^T iT

, K_L:= diagh

k₁ · · · k_n i

, H_L:= diagh

H₁ ... H_n i

, N^T_L := diagh

N^T₁ ... N_n i

, ˙Λ := ˙Λ₁+ ˙Λ₂+ . . . + ˙Λ_n.

式(2.38-2.43) 以 _{q, q}^e_{, q}^p_{, Q} 為變數_,再尚未加入結構的機動律和平衡律來考慮時_{, f}₁_{, ..., f}_n 則分別對應到_n個桿件的內力空間_, 下標 _L 是桿件層次符號_, 表示其模型還在桿件層次。由彈塑應變分解式 (2.38)、彈性組成律式 _(2.39)、塑流規則式 _{(2.40) ,} 在假設各個桿件在組合成結構時其初始狀態皆為零值, 則可推導桿件內力與變形關係用全量表示_:

Q = K_Lq − K_LN_Lλ, (2.44)

現在考慮此結構的自由度為 _m, 加入機動律跟平衡律_:

q = Au, (2.45)

F = A^TQ, (2.46)

(30)

其中 _{u ∈ R}^m×1為節點位移向量_{; F ∈ R}^m×1為節點外力向量_{; A ∈ R}^n×m為協調常數陣_, 機動律與平衡律的協調常數陣有轉置的關係。先將機動律 (2.45) 代入 (2.44)後, 再代入平衡律 (2.46):

Q = K_LAu − K_LN_Lλ F = A^TKLAu − A^TKLNLλ

= K_Gu − A^TK_LN_Lλ,

隨之將 _u 提出移至等號左邊可得

u = K⁻¹_G F + K⁻¹_G A^TK_LN_Lλ. (2.47)

最後再將 _(2.47) 代回機動律 _(2.45),再代入桿件內力與變形關係式 _(2.44) 得

Q = K_LAK⁻¹_G F + (K_LAK⁻¹_G A^T− I)K_LN_Lλ, (2.48)

再將式 _(2.48)代入降伏面式 _(2.42),

f = N^T_LK_LAK⁻¹_G F + N^T_L(K_LAK⁻¹_G A^T− I)K_LN_Lλ − H_Lλ − Y

= N^T_GF − H_Gλ − Y ≤ 0. (2.49)

利用了上述全部的桿件模式_, 以及結構的機動律式及平衡律式_,推導出結構層次模式_:

u = u^e+ u^p, u, u^e, u^p, F ∈ R^m×1 (2.50)

F = K_Gu^e, f , λ, Y ∈ R^2n×1 (2.51)

˙

u^p = N_Gλ,˙ N_G ∈ R^m×2n (2.52)

f^Tλ = 0,˙ K_G ∈ R^m×m (2.53)

f = N^T_GF − H_Gλ − Y ≤ 0, H_G ∈ R^2n×2n (2.54)

Λ ≥ 0,˙ (˙) = d()/dt (2.55)

(31)

其中

u^e = K⁻¹_G F,

u^p = K⁻¹_G A^TK_LN_Lλ, K_G= A^TK_LA, N_G= K⁻¹_G A^TK_LN_L, N^T_G= N^T_LKLAK⁻¹_G ,

H_G= −N^T_L(K_LAK⁻¹_G A^T− I)K_LN_L+ H_L,

式(2.50-2.55)表示以_{u, F} 為變數的結構模式_,此時降伏面_f₁_{, ..., f}_n 對應在結構的載重空間 _F,所以 f 是為結構降伏面_, 而下標_G 表示為結構層次符號。

2.5 小結

本章修改了片段線性多降伏面模式的互補三元_, 由於希望使其滿足正交塑流規則_, 可以建立其能量儲存耗散的關係式_, 且整個軟化桿件系統滿足熱力學的第一第二定律_, 可以利用不同的片段線性多降伏平面模式, 透過並聯的機制, 得到想要的軟化桿件組成模式_,而例一的結果可以看出, 透過應變控制方式去測試不同桿件並聯模型描述軟化行為結果_, 結果發現軟化桿件其組成元件如果有一耗散非正的元件_, 是可以正確的描述出軟化桿件的力學行為以及定義其能量的儲存與耗散的情形_, 驗證本文探討分析的結果,最後利用多根的桿件模型_,加入了結構的機動律與平衡律去考慮_,可以如圖_2.15將桿件層次的分析_, 晉升到結構層次_,求解硬化、軟化結構的崩塌面或是分析其安全載重空間。

(32)

第 ₃ 章軟化桁架的崩塌面與安全載重空間

3.1 崩塌載重

3.1.1 傳統極限分析定義的崩塌載重

過去使用極限分析求解崩塌載重與彈塑性分析的觀念是不同的,彈塑性分析需要給定一定的加載路徑或是條件_;而極限分析是排除歷時過程的繁瑣計算_,直接鎖定在桿件的極限狀態條件下_,而在這邊的極限狀態_, 也就是彈塑性模型廣義應力與廣義應變組成關係中所必須存在的塑流平台如圖 _3.1, 存在塑流平台才能夠找到崩塌載重 (collapse load), 也就是說極限分析可以視為漸進 (asymptotic) 型式的彈塑性分析_, 可以一步到位的求取崩塌載重。

使用傳統的極限分析_, 可以根據給予不同的條件使用上限法與下限法_, 上限法是假設機構產生型式,令其滿足協調方程式_,使外力所做的功率會相等於內力的耗散功率_,此時所求得的外力必定會大於或等於崩塌載重_;而下限法是不論贅餘力如何去假設_,外力與內力必須滿足平衡方程式_,然後定義構件內力達到降伏條件_, 此時所求得的外力必定小於等於崩塌載重。當上限法與下限法的假設合適_, 其可以得到精確的崩塌載重。但是如何精確上限法、下限法的假設正確_, 得到相同解而沒有缺口問題。₍此處的缺口是指上下限法假設錯誤時並不互為對偶命題描述同一問題。₎

3.1.2 崩塌載重的定義探討

為改進傳統的極限分析方式_, 重新正確的定義結構的極限狀態_, 利用片段線性多降伏平面模式推導出彈塑性結構極限分析的控制方程式。片段線性多降伏平面模式無論在桿件或是結構層次均存在塑流平台_,所謂的塑流平台就是泛指結構或是桿件_,發生無限制塑流_,塑性變形可以沒有限制的發展的極

(33)

限狀態。而在極限分析的文獻定義的崩塌載重_, 是使結構產生過多的塑性變形的外力_, 並不是真實狀況中結構已經崩塌。本文在這邊則是認為結構的崩塌載重應該要從以下的兩種觀點去討論分析:

1. 崩塌機構₍進入塑流平台) 產生_:

在加載的過程中_,結構體裡面會有部分不同的桿件進入塑流平台_,但是整體的結構還是會滿足變形協調 ₍諧和) 律, 使得已經進入塑流平台的桿件得以被約束_, 讓其還不發生無限制的變形; 而當入塑流平台的桿件數_, 使得整體或局部結構產生無限制的變形或是位移時_, 發生結構不穩定_, 也就是崩塌機構的產生_,此時的受力情形極為崩塌載重。

2. 結構的內力無法與外力平衡:

在外力空間裡的加載過程中_,會有部分桿件的內力達到降伏強度_,因此彼此間所承受的力量會重新分配_,內力除了必須滿足桿件本身的降伏條件之外_, 也要與整體結構受到的外力維持平衡_; 而當各個桿件所提供的內力_,再也無法與結構受到的外力平衡時_,此時所受的外力情形即為崩塌載重。

對於一個結構物裡只有完全彈塑性桿件_, 此結構體在本文稱之為完全彈塑性結構_; 一個結構物裡包含完全彈塑性桿件以及硬化桿件_, 則稱之為硬化結構。對於完全彈塑性桿件或是硬化桿件來說_, 其所受的加載情形不論是單調比例加載還是循環加卸載_, 當這些桿件達到極限狀態時_, 其塑流平台所對應的即是桿件所能夠提供的最大內力如圖 _3.3。這樣的性質的好處是在分析的過程中_, 各地進入塑流平台的桿件剛好對應到的就是結構體所能承受的最大外力。

換句話說_, 對於上述的完全彈塑性結構、硬化結構_, 在外力控制下_, 其進行加載達到結構的內力外力無法平衡_, 或是位移控制_, 當結構體因部分桿件進入平台而在位移空間發生無限制的變形或是位移_, 其所對應在外力空間的崩塌載重是一致的。塑流平台上的每一點, 均對應到同樣的崩塌載重, 此為極限分析上的重要性質_, 因為塑流平台上的每一點均代表桿件已進入塑性_, 而在桿件裡面的內時 _λ 對應到不一樣的值_,但是均對應到同樣的崩塌載重_, 意即塑流平台所對應的崩塌載重與歷時、初始狀態、加載路徑是無關是唯一的。