2.2.1 桿件模式的熱力學定律
片段線性多降伏平面模式的式 (2.16) 其所表示的意思是耗散非負, 而內變數 (內時)λ可視為等 價廣義塑性應變式(2.13), 而正常的λ ≥ 0,˙ 描述材料的功率耗散一定是要非負的
1. 彈性時耗散為零 λ = 0,˙
2. 塑性時耗散為正 λ > 0,˙
使我們的材料模式滿足熱力學的第二定律(任何自然界的力熱系統一定是朝系統的熵值增加或不變的 方向改變), 而這邊等價於我們的材料模型耗散功率是非負的。
為了讓軟化桿件滿足正交塑流規則, 也為了更明確定義描述軟化桿件的組成律規則, 建立一個正 確的能量模型, 滿足熱力學的第一、 第二定律。 本文提出將軟化桿件視為一個由兩件元件所構成系統, 而其中一件元件模型的組成模型裡面的耗散非負, 改成耗散非正。
−→ λ˙1 ≥ 0, ˙λ2 ≤ 0
提出耗散非正的情形是跟熱力學第二定律相違背的, 所以我們必須重新檢視這樣的修正調整, 是 否還能滿足熱力學第二定律。 在軟化桿件整個封閉系統內, 雖然底下有一件元件模型我們將其修正成 耗散非正, 但是其構成系統內還有一件元件的耗散非負, 只要我們能確保耗散非負的元件在力學行為
中, 一定會先進塑入塑性; 而且當系統內的兩件元件都進塑性時, 耗散非負的桿件其耗散功率大於耗 散非正的耗散功率,這樣整根軟化桿件的封閉系統,就一定能夠熱力學第二定律的耗散非負規則。
2.2.2 耗散非負的規則
Λ˙在本文為耗散功率, 而式子定義的規則如下:
Λ = Q˙ aq˙p = YTλ,˙
而根據上面的軟化段規則, |ky1
e1| < |ky2
e2|表示一號元件 (耗散非負) 一定會先進入塑性段, 而二號元件 (耗散非正) 則會後進入塑性段。 因此當桿件還是在彈性段時, 系統下兩件元件都沒有進入塑性, 其耗 散功率為零
Λ = 0,˙
而在桿件進入軟化段時,其耗散功率為
Λ = ˙˙ Λ1 = YT1λ˙1 > 0,
最後在材料進入平台後,只要滿足耗散非負的耗散功率的大於耗散非正的耗散功率即可,
Y1Tλ˙1 = |YT1λ˙1| > |YT2λ˙2| = −Y2Tλ˙2,
而其耗散公式如下:
λ˙1 ≥ 0, Λ˙1 = YT1λ˙1 ≥ 0, (2.27)
λ˙2 ≤ 0, Λ˙2 = YT2λ˙2 ≤ 0, (2.28)
Λ = ˙˙ Λ1+ ˙Λ2 = YT1λ˙1+ Y2Tλ˙2 > 0, (2.29)
重新檢視一次軟化桿件的能量模型, 我們將其外界對於軟化桿件所做的的功定義表示如下, 式子的推 導詳細推導請參照附錄 B:
W = Q ˙˙ q
= Q1q + Q˙ 2q˙
= ˙W1+ ˙W2
將其所作的功, 分別作用在1號元件與2號元件, 然後根據熱力學第一定律, 能量守恆 W = ˙˙ U + ˙Λ
然後分別建立系統下面的兩組軸力元件能量模型。
2.2.3 建立軟化桿件的能量模型
1 號元件模型:
W˙1 = ˙U1+ ˙Λ1, W˙1 = Q1q˙1,
U˙1 = Q1bq˙1p+ Q1q˙e1, U1 = 1
2kp1(qp)2 +1
2ke1(qe)2, Λ˙1 = Q1aq˙p1 ≥ 0,
(2.30)
2 號元件模型:
W˙2 = ˙U2+ ˙Λ2, W˙2 = Q2q˙2,
U˙2 = Q2bq˙2p+ Q2q˙e2, U2 = 1
2kp2(qp)2 +1
2ke2(qe)2, Λ˙2 = Q2aq˙p2 ≥ 0,
(2.31)
最後其軟化桿件這個系統的總耗散功率為正
Λ = ˙˙ Λ1+ ˙Λ2 ≥ 0
故從熱力學的觀點來看, 當我們將軟化桿件視為一個封閉系統如圖 2.9, 此封閉系統業必遵守熱力學 第一第二定律。 而我們也可將原本的模型修改成以下, 原本的內時λ ≥ 0˙ 改成並聯以後的 Λ ≥ 0˙ 。
q = qe+ qp, q, qe, qp, Q ∈ R1×1 (2.32)
Q = keqe, f , λ, NT, Y ∈ R2×1 (2.33)
˙
qp = N ˙λ, (˙) = d()/dt (2.34)
fTλ = 0,˙ (2.35)
f = NTQ − Hλ − Y ≤, 0, (2.36)
Λ ≥ 0,˙ (2.37)