第二章 理論背景與方法
2.1 布朗運動 & 擴散運動 & 朗之萬方程式
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第二章 理論背景與方法
本章節將介紹一些統計理論，包括穩定分布，TLF，自相關函數，以及簡短介 紹物理上的理論包括布朗運動與朗之萬方程。
2.1 布朗運動 & 擴散運動 & 朗之萬方程式
這一小節我們簡單的介紹在 20 世紀初文獻上對於布朗運動的理解與分析方式。
random walk 與朗之萬運動方式的概念應用在許多科學的領域，包含：物理、化 學、生物、經濟、大氣、材料等學門，其影響十分深遠。
2.1.1 隨機行走 (random walk) 與布朗運動
物理學的理論應用於財務分析，最早可追溯至 1900 年法國物理學家 Louis Bachelier。他提出一個劃時代的主張，股票、債券的價格波動以及它們的基本因 素結構都是隨機變化，類似物理學中的布朗運動。因此，Bachelier 將物理學概念 發展成經濟模型應用於股市分析，利用布朗運動的數學性質與算式來描述價格波 動的隨機變化，同時建構出隨機漫步理論，利用隨機漫步去描述價格走勢。此一 想法，在財務學界延用至今，對經濟學有很大的貢獻。
Bachelier 的隨機漫步理論引伸到價格波動的變化可以鐘型曲線作描述[5]。鐘 型曲線亦被稱為「高斯曲線」，在「高斯曲線」之下，各情況出現的機率呈現稱 之為常態分布(normal distribution)，物件都傾向整體中的典型靠攏，比較異常的 情況偶而出現，但一定是佔少數，而且終會走向均衡。採用隨機漫步理論的還有 現代投資組合理論 Modern Portfolio Theory、Black-Scholes 選擇權定價模型以及 Long-Term Capital Management (LTCM)。
在 1827 年，英國的植物學家 Robert Brown 在顯微鏡下觀察到懸浮在水中的花 粉粒子，會不停地進行不規則的運動，並從花粉與無機膠體粒子的實驗證實了小
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的運動特徵引發科學家們研究微小粒子的運動行為[6]。經過許多的實驗與探討，
科學家發現這現象應該是微小粒子受到周圍液體分子從各處的連續撞擊，而產生 連續且不規則地隨機行走。這種移動我們稱之為布朗運動(Brownian motion) ， 是室溫下微小的膠體粒子在溶液中的共同現象。在這之後人們才真正開始從物理 的角度來研究布朗運動[7]。
布朗運動具有下列的特性：(1)粒子的運動永不停止；(2)溫度的改變會影響粒 子的運動；(3)粒子的運動沒有固定的軌跡，其運動軌跡呈鋸齒狀；(4)粒子的大 小影響粒子的運動速度；(5)粒子的成份或密度不會影響粒子的運動[8]。
2.1.2 布朗運動：簡單的一維隨機行走 (random walk) 問題
首先我們考慮一個簡單的問題，在經過一段長時間之後，布朗粒子離開起始位 置後的平均位置 (位移期望值) 與均方位移 (Mean Square Displacement)。假設布 朗粒子有以下的特徵：
(1) 粒子忽左忽右，猶如一個醉漢走路之前前後後、飄忽不定，此特性正好可以 用一維的隨機行走 (random walk) 來描述與討論。
(2) 布朗粒子向左與向右移動的機率 p 與 q 是相等的，即 p = q = 1/2。
(3) 設布朗粒子從 x = 0 處出發，共走了 N 步，其中向右(沿正 x 軸正向)走了 n 步的機率可由二項分配的公式給出機率分布。
在此先簡單介紹二項分配，二項分配的定義如下：
{( ) 1
.1.
1 1
上式為間斷型隨機變數 n 的機率密度，表示布朗粒子其中一次隨機行走試驗結 果的機率，二項分配有如下的性質：
(1) 此試驗由 N 次獨立且完全相同之試驗所組成。
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可知當 時，布朗粒子會沿著某一個方向漸行漸遠；當在隨機行走的實驗 中， 時，可得 〈 〉 。又由於步數 N 正比於試驗所用的總時間 t，有 的關係，表示布朗粒子的運動顯然不是均速漂移，且 與 成 正比是随機過程的典型结果。此外，可以進一步求得
〈 〉 〈 〉 [ 1] [ ]
即布朗粒子 步隨機行走之後位置的標準差 √ ，此為其可到達之最遠可 能距離。
2.1.3 布朗運動 : 愛因斯坦以機率與擴散的觀點
西元1906年，愛因斯坦在發表狹義相對論後，為了要解釋布朗粒子運動的方式，
也發表了他以『機率』的觀念探討布朗運動的定量結果，提出了 random walk 的 模型去描述此種形式的運動，為其運動形式提出了物理的解釋：布朗粒子的不規 則運動是由於環境水分子不間斷地隨機的碰撞所造成。當存在大量的布朗粒子，
其密度分布不均勻時，可觀察到布朗粒子的擴散。根據愛因斯坦的研究分析，粒 子的運動雖然不規則，但是布朗運動在長時間下的平均移動行為會呈現常態分布，
可視為布朗粒子的擴散行為。擴散實際上是粒子作布朗運動而產生位移，現在以 擴散的觀點研究粒子的布朗運動。
在一維中以 ϕ x t 表布朗顆粒的密度，以 J x t 表布朗顆粒的流量(單位時 間內通過單位截面的顆粒數)。菲克定律[附錄五]可導出 diffusion equation
J D∇ϕ D 是擴散係數，連續方程式是
𝜕𝜙
𝜕 D J 兩式聯立，得
𝜕𝜙
𝜕 ∇ 𝜙
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2.1.4 擴散方程式的解(solution of diffusion equation)
愛因斯坦是第一位以定量理論詮釋布朗運動，稍後史摩勒丘司基也發表以機率
將上式帶入擴散方程式，可得(the Fourier transform method) ̃ 𝑘
𝜕 D𝑘 ̃ 𝑘 其解為
̃ 𝑘 ̃ 𝑘 D𝑘2𝑡 利用 inverse Fourier transform，可得一般解:
1
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上式亦可稱為 Einstein – Smoluchowski Equation。接著我們可以求出平均位移與 標準差：
平均位移(The mean displacement)
〈 〉𝑡 ∫ 𝑑 標準差(The standard deviation)
𝜎𝑡 √〈 〉𝑡 〈 〉 𝑡 √ ， 𝑥 𝑡2，其中 𝜎 √ 𝑡𝑡 √
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件下，布朗粒子遠離原點的快慢則代表布朗擴散係數 D。