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第四章 結論與建議
我們對以上所討論的幾個主題做簡單的結論與建議，分別討論如下：
一、 股價指數報酬對應於朗之萬理論的實證
我們把對粒子的分析分式用在股票群的系統，而做高頻的移動平均是一個關鍵 的手段，在計算上對數據做有系統的分析。利用 HF1MA 的原因是基於 noMA 之 下有遲滯運動的發生，接著 HF1MA 後可看出把遲滯項消去的結果。
1. noMA 的數據
在 noMA 在粒子遲滯運動的現象；我們可解讀為在此圖形中，公司在這段時 間彼此開始相互影響，可視為流體中粒子與粒子之間開始作用，並與其所在的環 境有關，這個環境因素相當於各個公司之間影響程度不一，所以在對數圖形中其 所對應的斜率值並不固定；在長時間之後關聯性越來越小，受限因素漸漸不存在 後復歸為擴散運動的範疇(在對數圖形下斜率等於 1 部份)，即正比於時間的 1 次 方。
2. HF1MA 的數據
粒子移動的軌跡是連續的，而原始數據是離散的形式，所以我們以沒有日移動 平均的報酬來計算，其所得到的圖形會與理論上有所差異，當價格經過 HF1MA 之後計算所得到的數據(MSLR)在圖形上符合朗之萬方程的描述，主要原因是經 過 HF1MA 之後使資料變平滑，也可以消除遲滯運動的現象，代表交互相關性的 記憶被抹掉(把記憶性消除)，所以吻合。另外，由溫度係數與擴散係數可以驗證 愛因斯坦關係，並且溫度係數 𝜃 可以反應 volatility，而與報酬(log-return)較無 關係，分別如下圖所示。
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圖 4A 溫度對擴散係數的關係圖。此圖採用圖 3.3.4D 的數據，由圖中可看出溫 度對擴散係數存在著線性關係，右邊三個點因為包含 5 月份的數據，波動較大。
圖 4B volatility 對溫度的關係圖(左)與 log-return 對溫度的關係圖(右)。由圖可 看出溫度係數 𝜃 可以反應 volatility，而與報酬(log-return)較無關係。右邊三個 點因為包含 5 月份的數據，波動較大。
3. 移動平均(MA)的時間長度對影響 MSLR 的影響
另一方面，移動平均(MA)的時間長度，也會影響 MSLR 在短時間之下在對數 圖形所對應的斜率，我們發現 1hrMA (1 小時的移動平均)與 1dayMA (一天的移 動平均)的斜率不一樣，前者的斜率較後者斜率小(後者斜率為 2)，且移動平均的 時間長度越長，其斜率越接近 2，我們也發現其在轉折之處(對數圖下的斜率從 2 轉折到 1 時) 與所選取的移動平均時間有關，若選取的 MA 時間為 1 天，則在 1 天附近開始出現轉折。
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4. 建議與未來研究方向
(1) 短時間交互相關性之記憶消除的可能解釋與如何驗證，對於在 HF1MA 的情 況下可以符合理論的描述，其另一個推論為：移動平均之後不見得是完全把干擾 抹去，有可能是把程度、大小、或影響的範圍都變一樣(標準化或歸一化)，我們 可由隨機行走模型上來瞭解交互相關性造成的遲滯運動。
(2) 計算出溫度 T 與擴散係數 D 之後，如何再進一步分析與應用，以瞭解市場上 的巨觀性質。
二、 股價指數報酬對應於 Lévy 機率分布的實證
在 HF1MA 與 noMA (即 NO1MA) 的條件之下，股價機率分布的結果顯示：
1. 技術分析方面
(1) 時間序列長短會影響統計性，時間越長統計性越好，在做機率分布圖時，X 軸的尺度大小也會影響統計性，HI 值(間隔個數)越大代表圖形 X 軸刻度越小，
容易造成越多的波動，所以計算的結果會侷限在一個範圍內。
(2) 另一方面，計算平均的方式也會影響結果，這裡我們採用兩種計算方式，分 別為方法 1 (mtd1)：整體股價計算法與方法 2(mtd2)：市場價格平均法。由於方 法 1 的資料數大大增加，所以 HI 值(間隔個數)變大，但在有 HF1MA 的情況下，
基於資料已經是”連續”的，所以 X 軸不見得可以分割越細；相反的，在 noMA 的情況下，HI 值(間隔個數)比 HF1MA 的情況下多，其與本身資料的不連續性有 關，因為其資料為 0 的個數較多。
(3) 我們觀察 5 家公司(AAPL, AMD, GE, INTC, MSFT)個別的股價指數機率分布 性質，在 HF1MA 的情況下， 值約為 1~1.2 之間，顯示在 P(R=0)的附近有 Lévy 穩定分布的性質；在 noMA 的情況下對數報酬或價格變化的機率分布波動很大，
其 值皆大於 2，沒有 Lévy 穩定分布的性質，可能的原因是個別公司受到外在 的因素干擾，造成序列的不穩定，在 1MA 就可以消除這層影響。
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HF1MA 的情況下其 P(R=0)的附近有 Lévy 分布特徵，所以我們假設此分布的特 徵是均值 u 為零，圖形不偏 (𝛽 ) 的穩定分布，在實際計算上會有些許誤差。
然而我們不能保證各個股票之間的對數報酬是獨立同分布 (具有相同的分布形 狀和相同的分布參數和機率密度函數)，所以就沒有 Lévy 分布的可加性，我們嘗 試的有些方法(文中未列出)所得到的結果不合，可能與此有關。
2. 不同的 X 軸尺度大小與
𝜶 值的變化我們將各家公司的股價指數在有無移動平均的統計分析下，計算在作機率密度 分布時不同的 X 軸尺度大小下 值的變化，結果發現在 HF1MA(一天得移動平 均)之下以方法 1(mtd1)及方法 2(mtd2)得到的 α 值接近 1，在 noMA(沒有移動平 均)之下以方法 2(mtd2)計算得到的 α 值則介於 1.5~1.6 之間，符合穩定分布 (stable distribution)的描述。
3. 移動平均的時間長短如何影響
𝜶 值移動平均的時間長短也會影響 值的大小，移動平均的時間長度越短則越接 近 noMA 的 值，例如：1hrMA(1 小時的移動平均)的 ≈ 1. ，1dayMA(1 天 的移動平均)的 ≈ 1。因此，我們可藉由這項特性了解 S&P500 股價指數的機 率分布。
4. 機率密度的厚尾分布特徵
我們已知報酬的機率密度有厚尾分布的特徵，那麼在 HF1MA 作用之下，我們也 可看出其斜率近似於 3，符合先前研究。
5. 建議與未來研究方向
(1) 探討在 HF1MA 情況下 ≈ 1 所代表的意義。
(2) 做移動平均的時間長度對 值的影響，從 ≈ 1.6 移動到 ≈ 1，以及確 認超過一天的移動平均之後 值是否保持近似為 1，或者超過 1 天的移動平均 之後 值會變動。例如，作 5 天的移動平均 值是否保持為 1。
(3) 在 HF1MA 下不做標準化之後的資料其厚尾分布的特性與資料做標準化之後
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三、 股價報酬的自我相關性與實證
在股價指數的動力性質方面，因為股票價格沒有速度的概念，於是我們利用價 格的變化來類比速度，而速度與時間有關，當我們計算不同交易時間尺度下的報 酬自相關，相當於類比不同時間之下的速度自相關，所以我們再加上一個時間項 𝜏 來表示在不同的時間尺度交易下的自相關函數(TSSA)。接著我們再加上移動平 均的條件，發現在 TSSA 的公式下所呈現的 HF1MA 與 noMA 函數分布圖有著一 些不同的特徵。由以上實證結果我們可以發現，在 HF1MA 與 noMA 的情況下，
不論方法 1(mtd1)的自相關平均法或方法 2(mtd2)的整體股價計算法，圖形都很相 似。另外在時間的記憶性方面，歸納如下：
1. 在 noMA 的情況下
(1) 以位移(即對數報酬)的時間相關 〈 〉 對應於粒子系統之速度的 時間相關 〈𝑣 𝑣 〉。圖形顯示離散軌跡的特徵，其最低點的時間即為所 選取的時間尺度 τ，接著回到 0 附近振盪，隨著時間越大慢慢收斂到零。
(2) noMA 的情況下在短 𝜏 時關聯性不強，與報酬 涵蓋的資料範圍有關。
𝜏 越大其 所涵蓋的資料範圍越大，可發現相關性越大。
(3) 我們可以發現在函數最大值與最小值之間的點數，基於相關性計算上的結果，
其間必有 (36𝜏) 1 個點。
2. 在 HF1MA 的情況下
(1) 同樣以〈 〉 類比 〈𝑣 𝑣 〉，我們看到此函數在移動平均 的時間長度(即 1 天)衰減到零，最後回到零值附近振盪，且在 1 天的時間長度內，
不同 𝜏 的曲線彼此不會相交，且由短 𝜏 到長 𝜏，函數的衰減由時間 ( 的 一次項的表現轉變為二次項的表現，此顯示平滑軌跡的特徵；相較於離散軌跡的 情況，在 1 天之內的曲線隨 𝜏 的變化相對鈍化。圖形顯示在剛開始是受本身資 料性質影響，圖形後端皆慢慢收斂趨於一致，顯示移動平均的作用。
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(2) 我們也驗證選取的移動平均時間長度與圖形轉折的位置的確有關，當移動平 均的時間長度為 2 天時，轉折的時間也變為在 2 天附近。
由於以上討論我們可以得到一個重要訊息，其顯示在 TSSA 公式下作 HF1MA 對動力性質有影響。而要更瞭解其中細節仍有待日後進一步地分析與探討。
4. 建議與未來研究方向
(1) 在自相關函數方面針對不同的移動時間長度作計算並畫圖，觀察其結果並作 更嚴謹的分析。例如以公式來表達在 HF1MA 與 noMA 的情況下，不同時間尺度 𝜏 的描述，在 noMA 的情況是以離散的觀點表達公式，由 noise 項主導；而 HF1MA 的情況是以連續的觀點來表達公式，可用泰勒展開式來討論。此結果可應用於各 種時間序列的分析。
(2) 以此項工作的分析為基礎，進一步對 noMA 的數據建立模型。
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附錄
附錄一. Lévy 分布的兩個基本性質
性質一：當 𝜶 𝟐 時，Lévy 分布不存在變異數。
在(2.3B)式中，當 ，| | 的 n 階動差函數 (n > ) | | 會發散，即所 有 的 Lévy 穩定過程 (Lévy stable process) 的變異數會發散。另外，在穩 定分布的特例中，所有高斯分布( )的動差函數都是有限值。由於 Lévy 分 布有厚尾的特徵，所以相應的機率密度函數沒有迅速衰減，所以積分不收斂，即 變異數發散或不存在。
性質二：穩定 Lévy 分布的可加性
若隨機變量 、 和 為獨立同分布(i.i.d)，對任意正數 和 ，存在正 數 b，使得 和 同分布，則稱隨機變量 具有穩定分布。設 𝜑 是 的特徵函數，依定義有𝜑 𝜑 𝜑 𝑏 ，且設隨機變數 遵守 Lévy 分布，𝜑 是 的特徵函數，則有
𝜑 [𝑖 𝑏 𝛾𝑏 | | (1 𝑖𝛽
| |tan (𝜋 ))]
𝜑 𝜑 [𝑖 𝛾 | | (1 𝑖𝛽
| |tan (𝜋 ))]
則條件 𝜑 𝜑 𝜑 𝑏 的成立等價於條件 𝑏 和 𝑏 的成立，即滿足條件 且 𝑏 。因此，若且唯 若當 時，Lévy 分布是穩定分布，即服從穩定 Lévy 分布的兩個隨機變量 之和也服從穩定 Lévy 分布。如果 𝑖 𝑆 𝛽 𝛾𝑖 相互獨立，那麼 ≡
∑𝑖 𝑖 𝑆 𝛽 ∑𝑖 𝛾𝑖 。即相互獨立並服從穩定 Lévy 分布的隨機變量之和 仍然服從穩定 Lévy 分布。
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附錄三. 另一種方式求解均方位移 <Einstein’s Derivation of the Diffusion
Equation>[15]
τ 為小時間區間，當粒子在 λ 與 λ dλ 移動時，其機率密度為 λ ，且 λ √𝜆 𝑥 𝜆 𝜆 𝑧，τ 夠小以使粒子的運動與 τ 獨立。如果 u 𝐫 t 代表濃 度(concentration, i.e. the number of particles per unit volume)，source function F 𝐫 在時間 t τ 所產生的濃度可表示為
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接著，使用摺積定理 (convolution theorem)，我們可以得到𝑓 𝛾
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上式假設 D 為常數，由此可得上述的菲克方程式。
附錄六. 時間序列資料之平穩性 (stationarity)
若 為一圍繞在零附近的一個隨機變數，變異數為固定，且具有本期的資料 與前期資料無關的特性，也就是 E s 𝑡≠𝑠 ，這樣的數列，我們一般將它 稱為白噪音(white noise)。
若 為一圍繞在零附近的一個隨機變數，變異數為固定，且具有本期的資料 與前期資料無關的特性，也就是 E s 𝑡≠𝑠 ，這樣的數列，我們一般將它 稱為白噪音(white noise)。