第三章 實證分析
3.4 股價指數報酬對應於 Lévy 機率分布的實證
3.4.1 標準普爾指數 (S&P500) 報酬分布的尺度特徵
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3.4.1 標準普爾指數 (S&P500) 報酬分布的尺度特徵
一般而言，在不同時間尺度下的交易，報酬的機率分布的情況會有所不同。
當股價交易的時間尺度越長，股價的變化會越大，因此股價指數報酬的機率密度 分布圖，也會隨著時間尺度越長越呈低擴的特徵：即圖形向兩側逐漸擴展，中央 部分越低的現象，在S&P500的股票指數，根據先前研究成果，例如R. N. Mantegna 和H. E. Stanley 在1995年發表於Nature[2]的文章談到相關研究，可以發現上述特 徵。其資料選取範圍是1984年~1989年間S&P500的股價指數，時間尺度的範圍大 約在1 min~1000 min之間，最大的資料總數是493545筆 (𝜏 1min) ，最小的資 料總數是562筆 (𝜏 1 min)。
長期來看，理論上可假設對稱分布 (β = 0) 以及平均值為0 (μ = 0) 的情況，然 而實際數據受限於資料長度，所以不一定平均值為0且對稱，所以會有誤差。一 般研究股價指數對數報酬的機率分布，皆取較長的時間長度，這裡我們把時間序 列長度限定在1個月，並探討股價報酬在HF1MA及noMA的情況下，在不同的時 間尺度其圖形分布的異同，以及在計算時X軸尺度大小(即間隔個數, 簡稱HI)如 何影響機率分布圖形，若HI值(間隔個數)越大表示X軸每一格的尺度越小。我們 採取上述二種方式來做分析與討論，計算結果與圖形分別如下所示，其中 𝜏 的 範圍選取：1.2 min, 2.4 min, 4.8 min, 9.6 min, 19.2 min, 38.4 min, 76.8 min, 153.6 min, 307.2 min, 這九個時間點來討論。當 𝜏 超過1天的尺度之後，即 𝜏 為1228.8 min, 2457.6 min, 4915.2min，圖形幾乎完全無規則可言。
方法 1(mtd1)：整體股價計算法
HF1MA：因為資料個數大大地擴展，每月的資料長度變成為 1430000~3555000
筆之間，因為有經過 HF1MA 的步驟，所以圖形會較為平滑。以 4.8 min, 9.6 min, 19.2 min, 38.4 min, 76.8 min 這 5 個時間點作圖，這裡選取的 HI 值(間隔個數)從 100 開始到 300 較佳，超過了 300 之後圖形的效果漸漸變差。‧ 國
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noMA：資料個數如 HF1MA 的個數，在 HI 值(間隔個數)為 500 之前，機率密度
的最高點不一定都在報酬等於 0 的位置，此處我們以 4.8 min, 9.6 min, 19.2 min, 38.4 min, 76.8 min 這 5 個時間點作圖。因資料個數大大地擴展，統計性較好，所 以圖形如 HF1MA 的平滑，且曲線彼此非常地靠近，但仍可以看出圖形隨時間尺 度的增加而遞減的情況。這裡選取的 HI 值(間隔個數)從 800 開始到 1000 以內較 佳。圖 3.4.1A 1996 年 2 月利用方法 1(mtd1)在不同時間尺度下的股價指數報酬機率 密度分布，左圖為 1MA 下的分布，右圖為 NO1MA (即 noMA) 下的分布。由上 圖可以得到的訊息是，時間尺度 𝜏 越小越狹長，尺度越大越低擴。
方法 2(mtd2)：市場價格平均法
HF1MA：總時間長度為 1 個月(每月大約落在 11700~13000 筆之間)，因為資料
的時間長度短，所以 1 天的移動平均(1dayMA)波動較大，只可能大略看出與時 間尺度的關係，效果不好。所以此處我們把移動平均的時間尺度縮小為 1 小時 (1hrMA)，可以得到較好的效果，HI 值(間隔個數)選擇 10~60 之間的圖形效果較 好。為了可以充份在圖形上顯示中心的分布形狀，僅畫出部份時間尺度並選取較 好的分布做代表。noMA：每月的資料長度落在 11700~13000 筆之間，這裡選取的 HI 值(間隔個數)
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示中心的分布形狀，僅畫出部分時間尺度並選取較好的分布做代表。
圖 3.4.1B 1996 年 2 月利用方法 2(mtd2)在不同時間尺度下的股價指數報酬機率 密度分布，左圖為 1hrMA(一小時的移動平均)下的分布，右圖為 NO1MA(即 noMA) 下的分布。由上圖可以得到的訊息是，統計性質的優劣受到時間序列長短所影 響。
在這裡我們做一個簡單的小結：
(1) 在短 𝜏 的部份如 1.2min ~ 9.6min，經過 HF1MA(1 天的移動平均)或 1hrMA(1 小時的移動平均)的圖形較狹長、X 軸寬度較窄且最高點的值比較大；
在長 𝜏 的部份如 36.4min 與 76.8min，經過 1dayMA 或 1hrMA 的圖形、X 軸寬 度及最高點的值比較一致。
(2) 對於有無移動平均的情況，兩者在 𝜏 越短時圖形越狹長，在 𝜏 越長時圖 形越低擴。
(3) 交易的時間尺度越長，其統計性質越差，例如 𝜏 在超過一天的尺度時，
圖形無幾乎沒有規則可言。
以上計算結果符合先前的研究[3]，接下來我們接續驗證圖形中心部份是否可 用 Lévy 穩定分布來描述。