第三章 實證分析
3.4 股價指數報酬對應於 Lévy 機率分布的實證
3.4.2 股價報酬機率密度函數的指數遞減
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3.4.2 股價報酬機率密度函數的指數遞減
根據文獻研究股價報酬機率分布厚尾部份的結果指出，若呈指數函數遞減，形 式為 𝛽𝑥；而美國市場的股價資料是冪次函數遞減，形式為 𝑘，大於零與小 於零的報酬機率分布，其 𝑘 值在對數圖形上大約為 3。
根據過去分析[3]，研究 Argentine (MERVAL), Brazil (BOVESPA), India (BSE 30)與 S&P500 四個指數，得到 𝑘 值的結果大約從 2.3~3.3，認為結果與市場的 活絡程度有關，S&P500屬於已開發國家的經濟體而其他指數屬於開發中國家的 經濟體。我們依據該文章的方法來檢驗在資料短時間(1個月)且高頻的情況下，
機率分布的厚尾部份是否也符合 > x ≈𝑥𝑘 的形式，其中 為標準化後的 報酬。定義標準化的報酬為
≡ ⟨ ⟩𝜏 𝜎
其中 𝜎 ≡ ⟨ 𝜏⟩ ⟨ ⟩𝜏，⟨ ⟩𝜏 表示在這一系列時間尺度 𝜏 的算術平均。
標準化後的圖形近似截尾 Lévy 分布，其累積機率密度分布後段斜率近似於 3。
圖 3.4.2 1996 年 1 月在各個不同時間尺度下，報酬標準化後的圖形。左圖為在 HF1MA 之下的圖形，近似截尾 Lévy 分布，右圖為其累積機率密度分布，後段 斜率近似於 3。
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3.4.3 Lévy 穩定分布中心附近 P(R=0)的
𝜶 值與圖形 fitting穩定分布常被用作金融數據的分析，例如本華·曼德博(Mandelbrot)發現棉花價 格的變化服從穩定分布( 1.7)。為了瞭解 S&P500 股價報酬是否為穩定機率 分布，我們利用 Lévy 穩定分布的尺度特徵來觀察 S&P500 的股市資料。
我們分析 S&P 其中345家公司在1996年~1999年當中每個月的股價指數，其指 數為每36秒計錄交易一次，對股價根據(3.2A)式的定義，作對數報酬的運算之後 再作機率密度函數，接著找出不同時間尺度下，股價報酬在零附近的機率密度函 數值，記為P(R=0)，並將其與對應的時間尺度作對數分布圖，若該圖呈現直線，
就表示機率密度函數和時間的關係符合(2.3D)式。
一般以整體市場的總指數在長時間之下來找出 α 對時間尺度的對數圖，這裡 與一般分析不同的地方是以 345 家公司的計算來類比整體市場行為，並在 HF1MA 與 noMA (即 raw data)的情況下，以上述二種方式觀察異同。
如在2.2節所述，獨立同分布 (i.i.d) 的隨機變量之和以及它們本身具有相同的 分布，我們利用(2.3D)式，並令隨機變數是不同時間尺度的股價報酬，(2.3D) 式的 n 可以用時間尺度 𝜏 代換 (因為 𝜏 = n × 36 秒， 36秒為最小時間單位)，
因此我們可以透過(2.1D)式，找出以下的時間尺度關係[8]：
lo 𝜏 𝑔 (Γ 1 ⁄
𝜋 𝛾 ⁄ ) 1 ⁄ 𝑔 𝜏
利用不同的 𝜏 對 𝜏 和 𝜏 分別取對數作圖，找出圖形裡的直線斜率即 1 ⁄ ，而斜率取倒數的負值即是(2.3C)式的 值。計算結果與圖形分別如下所 示，其中 𝜏 採 1.2 min, 2.4 min, 4.8 min, 9.6 min, 19.2 min, 38.4 min, 76.8 min, 153.6 min, 307.2 min, 九個時間點。
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圖 3.4.3A 上圖為利用方法 1(mtd1)計算所得到的圖形，上圖左為 1996 年 2 月經 過 HF1MA 後在 P(R=0)附近所 fitting 出來的 α 值，上圖右為 HI 值在 100~300 之間 α 值的分布，圖中可約略看出在 HI = 140~180 時 α 值分布的波動較小。
圖 3.4.3B 上圖為利用方法 2(mtd2)計算所得到的圖形，上圖左為 1996 年 2 月經 過 1hrMA(一小時的移動平均)後在 P(R=0) 附近所 fitting 出來的 α 值，上圖右 為 HI 值在 10~60 之間的分布，圖中可看出約略在 HI = 29~41 時 α 值分布的波 動較小。
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圖 3.4.3C 利用方法 1(mtd1)計算所得到的圖形，左圖為 1996 年 2 月 noMA (即 NO1MA) 在 P(R=0) 附近所 fitting 出來的 α 值，右圖為 HI 值在 800~1000 之間 的分布，圖中可約略看出在 HI=890~930 時 α 值分布的波動較小。
圖 3.4.3D 利用方法 2(mtd2)計算所得到的圖形，左圖為 1996 年 2 月 noMA (即 NO1MA) 在 P(R=0) 附近所 fitting 出來的 α 值，右圖為 HI 值在 80~550 之間的 分布，圖中可約略看出在 HI=125~250 時 α 值分布的波動較小。
有了 α 值我們可以對隨機變數做尺度上的調整，基於能 fitting 出 α 值的線 上所有點應皆可以重疊在一起。根據 2.3 節所描述之穩定機率分布的概念，由 Lévy 穩定分布的可加性得知，隨機變數加總所形成的新隨機變數，其機率分布 形式會和原來隨機變數的機率分布相似。並且經過這樣的調整之後，如果是穩定
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們利用下式，對隨機變數作尺度上的調整(rescale)[2][12][13]：
𝑆𝜏 𝑆
𝜏 ⁄ 3. .3 𝑆𝜏 𝜏𝑚𝑖 𝑆 𝜏
𝜏 ⁄ 3. .3
其中 S𝜏 是不同時間尺度的股價指數報酬，經過 3. .3 式重新尺度調整後得到 的新報酬，再以這個新報酬做機率密度函數如 3. .3 式，以下是利用上述兩式 所作的機率密度函數圖形。
圖 3.4.3E 1996 年 2 月在經由 HF1MA(或 1hrMA)與 noMA (即 NO1MA) 的方法 後所得到的 α 值計算後的 rescale 圖形，可知在方法 noMA 的情況下最近文獻 的結果。
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3.4.4 以 Lévy 穩定分布描述股價報酬在 P(R=0) 的特徵
由圖形可看出報酬的機率分布平均值非常趨近為零且左右近乎對稱，因此我們 可以假設決定 Lévy 分布的參數 𝑆 𝛽 𝛾 的 𝛽 與 均為 0 (不偏與均 值為零)。另外，由 .3D 式可以知道
𝑆 𝛤 1 ⁄ 𝜋 𝛾 ⁄
其中 𝑆 為實證資料的報酬在 0 附近的機率密度， n 代表有 n 組隨機變 數，在先前文獻[2][13]中所研究探討的 n 組股價報酬相加，n 可由時間尺度 t 替 代，並且其最小時間尺度為 1 min，所以當 t min 時代表 2 組隨機數相加，
此時 n t 。在這裡我們最小時間尺度 𝜏 為 36 秒，同理可推當 𝜏 7 時，
此時 n 𝜏/36 ，即當 𝜏 在公式時應視為組數較為恰當而非時間。
由上式求得尺度因子 𝛾，下面各個圖形是利用 與 𝛾 代入公式所得到的 Lévy 分布和實證資料在線性與半對數的圖形比較。
圖 3.4.4A 1996 年 2 月在 HF1MA 的情況下利用方法 1 (mtd1)所得最小 𝜏 的報 酬分布與公式在線性與半對數的圖形，在 P(R=0)的附近符合穩定分布。
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圖 3.4.4B 1996 年 2 月在 1hrMA(一小時的移動平均)的情況下利用方法 2(mtd2) 所得最小 𝜏 的報酬分布與公式在線性與半對數的圖形，圖形零亂的原因可能在 於資料總時間長度，所以統計性較差。
圖 3.4.4C 1996 年一整年在 1hrMA 的情況下利用方法 2(mtd2)所得最小 𝜏 的報 酬分布與公式在線性與半對數的圖形，在提升資料總時間長度之後統計性較佳。
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圖 3.4.4D 1996 年 2 月 noMA 的情況下利用方法 2(mtd2)所得最小 𝜏 的報酬分 布與公式在線性與半對數的圖形，看出無論在半對數與線性尺度下的圖形在 P(R=0)的附近皆十分符合穩定分布的描述。
同時我們也分析市場當中 5 家較知名的公司，依序為蘋果(AAPL)、超微(AMD)、
奇異(GE)、英特爾(INTC)與微軟(MSFT)。在 HF1MA 的情況下 皆為 1 左右，
AAPL、AMD 及 MSFT 三家公司的圖形較符合穩定分布，在線性尺度下則 5 家 公司仍可看出較符合穩定分布的描述；而在 noMA(即 NO1MA)的情況下則 皆 大於 2，不符合穩定分布的性質。圖形分別如下所示：
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3.5 自相關函數
我們知道股價指數具有短期的記憶性，隨著時間越長其記憶性越差，最後趨近 於零，表示無相關性，而在 HF1MA 與 noMA 的情況下又會如何影響股價指數？
我們引入不同交易時間尺度之下的自相關函數公式，稱為 Time Scale Selected Autocorrelation (TSSA)，公式如下：
𝑘 𝜏
∑ 𝑘𝑡 𝑡 𝜏 ̅𝑡 𝜏 𝑡+𝑘 𝜏 ̅𝑡+𝑘 𝜏
∑ 𝑘𝑡 𝑡 𝜏 ̅𝑡 𝜏 3.5
其中 𝑡 為一組時間序列，n 為序列資料點個數，𝑘 表示資料的平移個數，當 𝑘 ， 1，完全自相關，k = 1 代表平移一格， k = 2 代表平移二格，其目 的是在不同的時間尺度 𝜏 之下，觀察自相關函數分布的變化。
以 1996 年的資料為例，在 HF1MA 以及 noMA 的作法下，計算 S&P 整體市場 的 log-return 的自相關函數，原始資料的交易時間間隔為 36 秒 1 次。
所謂不同的 𝜏 為 : 設原始交易時間為 36 秒的交易價格為 (假設取對數後) t = 0s t = 36s t = 72s t= 108s t = 144s t = 180s ……
log p 11 12 13 12 11 12 ……
則 𝜏 = 36s 的 log-return 序列為 36𝑠 = [ 1 , 1 , -1 , -1 , 1 , … ] 𝜏 = 72s 的 log-return 序列為 7 𝑠 = [ 2 , 0 , -2 , 0 , …]
𝜏 = 108s 的 log-return 序列為 8𝑠 = [ 1 , -1 , -1 , …]
𝜏 = 144s 的 log-return 序列為 44𝑠 = [ 0 , 0 , …]
再以這些資料當作新的時間序列去計算自相關函數。
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我們以兩種方式計算自相關函數：
方法 1(mtd1)：自相關平均法
先計算出 345 家公司的自相關函數之後再取平均。
方法 2(mtd2)：整體股價計算法 如 3.4 節所提到的方法 1(mtd1)。
上面兩種方式在有 HF1MA 與 noMA 的情況下分別對各月份作圖，茲舉 1996 年 2 月圖形為例：
圖 3.5A 1996 年 2 月經由 HF1MA 分別在方法 1(mtd1)與方法 2(mtd2)作不同時 間尺度下的圖形比較，小圖為 k=0~10 格的放大，圖形有平滑軌跡的特徵。由圖 形可看到時間尺度越長，有圓頭向外擴展，接著變成斜直線，在零附近振盪。
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圖 3.5B 1996 年 2 月在 noMA (即 NO1MA) 分別在方法 1(mtd1)與方法 2(mtd2) 作不同時間尺度下的圖形比較，小圖為 k=0~10 格的放大，由圖形可看到剛開始 皆下落，在時間尺度短的圖形迅速下落到負值再轉折到零附近震盪，時間尺度越 長則下落的速度越慢，最後在零附近後振盪。
由以上實證結果我們可以發現，不論方法 1 或方法 2 在 HF1MA 與 noMA 的情 況下，圖形都很相似。另外在時間的記憶性方面，歸納如下
(1) HF1MA 的情況下則完全由移動平均的時間長度所掌控，我們可以認為在 HF1MA 的情形下，小尺度的 𝜏 在剛開始時的交易前後仍較無關聯，基於移動 平均消除外在干擾，所以快速下降，而經過較長一段時間則開始有關聯，圖形下 降開始變緩。而在大尺度的 𝜏 在剛開始時前後係數關聯較大，所以較為平滑(圓 頭部份)並且下降也沒那麼快，等到時間夠長較無關聯之後，開始下降迅速，最 後無論時間尺度長短圖形皆趨近於一致在零附近震盪。
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負值的自相關係數，隨著尺度越大最低點越趨近於零。我們發現，在方法 1 時最 低相關係數值接不低於 -0.2，在方法 2 最低相關係數值則會超過 -0.2，另一方 面也發現平均的統計方式對資料的影響，下圖是 1996 年 5 月在 noMA 的情況下 利用兩種方法畫出來的圖形，可明顯看出有無平均的差別，並且方法本身的統計 性，方法 1 是單獨公司的 autocorrelation 再取平均，所受干擾較少；方法 2 是以 各家公司分別在不同的交易尺度下當作個別的粒子，由於粒子之間會相互作用，
相當於公司之間的彼此影響，所以圖形較為不規律。
圖 3.5C 1996 年 5 月在 noMA 下方法 1(mtd1)與方法 2(mtd2)的圖形比較，由圖 形可看出平均與計算方式不同對圖形的影響。
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第四章 結論與建議
我們對以上所討論的幾個主題做簡單的結論與建議，分別討論如下：
一、 股價指數報酬對應於朗之萬理論的實證
我們把對粒子的分析分式用在股票群的系統，而做高頻的移動平均是一個關鍵 的手段，在計算上對數據做有系統的分析。利用 HF1MA 的原因是基於 noMA 之 下有遲滯運動的發生，接著 HF1MA 後可看出把遲滯項消去的結果。
1. noMA 的數據
在 noMA 在粒子遲滯運動的現象；我們可解讀為在此圖形中，公司在這段時 間彼此開始相互影響，可視為流體中粒子與粒子之間開始作用，並與其所在的環 境有關，這個環境因素相當於各個公司之間影響程度不一，所以在對數圖形中其 所對應的斜率值並不固定；在長時間之後關聯性越來越小，受限因素漸漸不存在
在 noMA 在粒子遲滯運動的現象；我們可解讀為在此圖形中，公司在這段時 間彼此開始相互影響，可視為流體中粒子與粒子之間開始作用，並與其所在的環 境有關，這個環境因素相當於各個公司之間影響程度不一，所以在對數圖形中其 所對應的斜率值並不固定；在長時間之後關聯性越來越小，受限因素漸漸不存在