第三章 實證分析
3.1 高頻一天移動平均線的定義(definition of High Frequency One-day
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第三章 實證分析
基於上述理論與統計性質，我們選取的研究對象為 S&P 500 股價指數當中，在 1996 年至 1999 年之間交易較為頻繁的 345 家公司[10]的股票價格，每筆價格為 每隔 36 秒記錄一次交易，我們將其對不同的時間尺度下作對數報酬(價格取對 數之後再相減)的計算，再以所得到的時間序列做分析與探討。
股市每天交易時間為 AM9:00 PM4:30，共 6.5 個小時(23400s) ，一年交易的 時間有 240 天(5156000s)。股票交易視為連續，這裡只考慮股市交易的時候，移 除晚上，週末或假日…等股市沒有交易的情形。也就是說，當次收盤與下一次開 盤視為連續。
本章前兩節先定義移動平均和對數報酬，以及如何在資料上選取時間尺度，其 餘小節則介紹所作的研究及成果，在 3.3 節由股價對數報酬計算 MSLR 來實證朗 之萬理論的描述；在 3.4 節詳細探討如何應用 Lévy 機率分布的理論在股價報酬 的分析；在 3.5 節則引用新的自相關函數討論有無移動平均的影響。
3.1 高頻一天移動平均線的定義 (definition of High frequency One-day moving average, HF1MA)
所謂高頻是指記錄一次交易的時間為 36 秒，在此我們利用股票技術分析上的
「移動平均」(MA)的概念，本研究採用算數移動平均 (Arithmetic Moving Average, AMA)，指的是某序列之前 n 個數值的未作加權算術平均。例如，成交量 (Volume) 的 5 日簡單移動平均是指之前 5 日成交量的算術平均數，性質為圖形上的一點。
假設 n 天的成交量為 𝑣 至 𝑣 ，則 n 日簡單移動平均方程式為：
AMA 𝑣 𝑣 ⋯ 𝑣
所謂線是指由無數個點所構成，然而在實際股票數據上並不可能無限地分割，
所以線的稠密性將視所選取資料的時間尺度有關。例如，在一段固定的時間裡，
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續地計算出 AMA 的數值，並將其連接起來即可得到所謂的「移動平均線」，簡 稱均線。其計算方法為，從一開始的 AMA 算起，標記為AMA ，之後每隔一個 相同的時間區間 T (time interval) 就有一個新的數值加入，同時最舊的那個數 值剔除，由此得到新的移動平均，標記為AMA ：
AMA 𝑣 𝑣 ⋯ 𝑣 AMA 𝑣 𝑣3 ⋯ 𝑣 +
𝑣 𝑣 ⋯ 𝑣 𝑣 𝑣 +
AMA 𝑣 + 𝑣
AMA𝑖 AMA ∑𝑖𝑘 𝑣 +𝑘 ∑𝑖𝑘 𝑣𝑘
再將AMA 視為初始值，重覆以上式計算後可得各個時間尺度之下的 AMA。
利用上述方法，我們選取 S&P 500 的每個月的價格為總資料長度，由於資料的 時間序列屬於高頻的特性，先對資料做 1 天 (即 650 個資料點) 的移動平均 (1MA 或 HF1MA)，經過 1MA 方式調整過後的資料較為平滑，資料點較原始資 料點少 649 個，並且曲線可視為連續的路徑。
圖 3.1 1996 年 1 月 APPLE 公司的股價變動趨勢圖(藍線)以及經過 1 天的移動平 均(紅線)，橫軸為記錄交易的時間間隔 t (36 秒/格)，縱軸為股價(USD)。
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3.2 (對數)報酬 log–return R(t)的定義與不同的交易時間尺度 time scale 𝝉
我們定義對數報酬 t (或稱價格變化率)，其形式如下：
t ≡ t 𝜏 t ≅ t 𝜏 t t ≈
3.
其中， 為該時間點的價格指數，𝜏 為交易的時間尺度， 𝑝𝑝 為報酬率的百分 比。設 𝜏 36s，最初開盤的指數為 ， | s t 1 ，則 36s 後的指數為 ， | 36s t 36s 1 1。則取對數 (natural log) 後， ≅ 6.9 7755 ; ≅ 6.9 8754， . 999。
接著選取不同的交易時間尺度 𝜏，相當於隨機漫步中的步數，例如選取 𝜏 3
min (6 × 3 ÷ 36 5 個資料點)，代表依序每 3 分鐘 (5 步之後) 把取對數後的
收盤價減去 3 分鐘前取對數後的開盤價，而得到一組對數報酬(log–return)。另外，log – return 的計算皆採取 overlapping 的方式，如下圖所示：
𝐭 𝐭 𝝉
0 3 min 6 min 9 min 12 min
𝐭 𝐭 𝝉
0 1 2 3 4 5 6 7 8
圖 3.2 資料選取的方式：Overlapping & non-overlapping則考慮在不同交易時間尺度 (time scale 𝜏) 之下的對數報酬，(3.2A)式可改寫 為如下形式，其中 為該時間點的價格：
𝜏 t ≡ 𝜏 t 3.
Non-overlapping
overlapping
𝝉𝝉