第二章 研究方法
第三節 平滑法
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第三節 平滑法
此章前兩節介紹了兩種文獻上透過雷登轉換估計模糊參數的方法，並分 別討論各法在估計時的缺點。為了改善原方法的缺點並增進準確度，在這一 節中我們將提出一個新的方法，稱為【平滑法】。
首先在消除雜訊部分，經由前一節的討論，我們發現邊緣失真為嚴重的 問題，故模糊影像必須先與Hann 窗函數相乘以消除邊緣失真。接著將影像進 行二維離散傅立葉轉換並獲得其能量譜。我們認為此時無須考慮濾波器，除 了其消除能量譜雜訊的效果有限外，採用濾波器也將帶來類似邊緣失真的問 題。
下一步在角度估計方面，雷登轉換作用在能量譜上時，線積分範圍長度 不一致經常造成問題。因此我們引用Nguyen 等人 (2015)所提的方法，在能量 譜上增加一個圓限制式，使得各線積分有一致範圍長度。假設原始影像大小 為 𝑀 × 𝑀，則其限制圓函數 𝐻(𝑢, 𝑣)為:
𝐻(𝑢, 𝑣) = {0, 𝐷(𝑢, 𝑣) >𝑀 2 1, 𝐷(𝑢, 𝑣) ≤𝑀 2
其 中 𝐷(𝑢, 𝑣) 是 點 (u,v) 與 能 量 譜 中 心 點 的 距 離 ， 定 義 為 𝐷(𝑢, 𝑣) = √(𝑢 − 𝑀/2)2+ (𝑣 − 𝑀/2)2。將能量譜與 𝐻函數相乘則讓 𝐷(𝑢, 𝑣) 小於 M/2的頻率部分通過並濾掉外圍高頻的部分，如此在雷登轉換時不同角 度的線積分範圍長度將達到一致。後續計算能量譜的雷登轉換，並以最大的
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(Moving Average Method)對目標函數平滑再進行長度估計。假設目標函數上 𝑇(𝑛)表示第 n 個位置的值，則經過平滑後的 𝑇∗(𝑛)為:‧ 國
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圖 15 能量譜加入限制圓之效果 (a)為模糊影像能量譜，(b)是加入限制圓之能量譜，(c)為(b) 之雷登轉換結果。
圖 16 平滑法估計長度 (a)為平滑後的目標函數，(b)為(a)之局部放大圖，由圖可見函數平滑後 的趨勢平整。
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以下為平滑法之處理步驟，流程圖則請見圖18。
1. 將彩色影像轉換成灰階影像。
2. 對模糊影像乘上 Hann 窗函數。
3. 進行二維離散傅立葉轉換得到能量譜。
4. 在能量譜上加入一個限制圓保留圓內的頻率。
5. 進行雷登轉換找出最大 Radon 值所在之角度估計θ̂
6. 對目標函數 𝑇𝜃̂(𝑥)以移動平均法進行平滑。
7. 找出 𝑇𝜃̂(𝑥)由中央位置往左右兩側各四個相對最小點，計算其平均 距離 𝑑，則大小 M × M的影像，估計模糊長度為 ∆̂＝𝑀/𝑑。
圖 17 展示平滑法的估計結果，以 ∆=20、 𝜃=10 為例。圖 17(a)為加入圓 限制式的能量譜，圖 17(b)則顯示雷登轉換在各角度下的最大 Radon 值，在 𝜃 = 10度時最大，即加上了圓限制式，讓我們獲得了準確的角度估計。而圖 17(c)為平滑後的目標函數，設區間 𝑡為 7，則可得估計長度 ∆̂= 20。故在模 糊長度上，我們的方法也獲得了準確的估計。
圖 17 平滑法估計參數 (a)為加入圓限制式後的能量譜，其真實長度∆=20、真實角度𝜃=10。(b) 顯示各角度下最大的Radon 值，雷登轉換在𝜃=10 度時最大，則θ̂ = 10。(c)為平滑後的目標函數，
∆̂= 20。
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31 圖 18 平滑法流程圖
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驟。本文採用Lucy-Richardson 法進行影像還原，此法主要是透過貝氏定理反 覆迭代以還原模糊影像。實際上我們無法得知模糊影像真正的 PSF 參數，因 此透過估計出來的 PSF 參數和 Lucy-Richardson 演算法進行還原，請參考 Richardson (1972) 和 Dutta 等人 (2010)。可考慮波式分配 (Poisson distribution)。細節如下。
為了方便起見，以下以一維的符號來取代二維位置座標，將位置(𝛼, 𝛽)設 為 i ， 位 置(𝑥, 𝑦) 設 為 j ，則 𝑔𝑗 = 𝑔(𝑥, 𝑦),𝑓𝑖 = 𝑓(𝛼, 𝛽) ， 且 定 義 ℎ(𝑖, 𝑗) = ℎ(𝑥 − 𝛼, 𝑦 − 𝛽)。其中點擴散函數 ℎ(𝑖, 𝑗)可解釋為原始影像第 i 個位置的每一 個光點發散到退化影像第 𝑗點的機率，則退化模型可整理成為下列統計模型。
定義 𝑧(𝑖, 𝑗)為原始影像第 𝑖個位置像素值發散到模糊影像第 𝑗個位置的總光