第二章 研究方法
第二節 現有方法的介紹與評估
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第二節 現有方法的介紹與評估
壹、 現有的方法
以下將介紹透過雷登轉換的兩種退化模型的估計方法，包括消除雜訊以 及參數估計的步驟。
第一個方法由Tiwar 等人 (2013)所提出的【傳統法】，該方法的處理步驟 如下 :
1. 將彩色影像轉換成灰階影像。
2. 將 Hann 窗函數與模糊影像矩陣相乘。
3. 將 2.的結果進行傅立葉轉換得到能量譜。
4. 計算能量譜的雷登轉換 𝑅(𝜃, 𝑥)值，並找出最大值，其相對應𝜃̂為 估計角度。
5. 考慮固定角度在 𝜃̂下的雷登轉換，偵測所有相對極小值，令 d 為 這些相對極小值間的平均距離，則大小尺寸 𝑀 × 𝑀的影像，模 糊長度的估計值為 ∆̂= M/d。
我們考慮的第二個方法由Dobes̆等人(2010)所提出。該方法採用計算影像 的梯度 (gradient)。假設一影像為函數 𝑓(𝑥, 𝑦)，則梯度為該函數 𝑓(𝑥, 𝑦)對 x 方向或 y 方向的偏微分 (Partial Derivatives)。由於影像資料為矩陣形式，所以 𝑥、𝑦值屬於離散的情況，所以以中心微分 (Central Differences)近似梯度，即
(∇𝑓)𝑥(𝑥, 𝑦) ≈ 𝑓𝑑𝑥(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑥 + 1, 𝑦) − 𝑓(𝑥 − 1, 𝑦)，
(∇𝑓)𝑦(𝑥, 𝑦) ≈ 𝑓𝑑𝑦(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑥, 𝑦 + 1) − 𝑓(𝑥, 𝑦 − 1)。
以上兩式分別表示水平和垂直方向的梯度。Dobes̆等人(2010)認為計算梯度有 助於提升模糊參數估計的準確度，此方法將被稱為【梯度法】，以下為該法之
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4. 使用 Butterworth 帶通濾波器 (Butterworth Band Pass Filter)。
5. 利用雷登轉換找尋最大的 𝑅(𝜃, 𝑥′)值以找出估計角度 𝜃̂。
【傳統法】Tiwar 等人(2013) 【梯度法】Dobe𝐬̆等人(2010) 1. 轉成灰階影像
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貳、 消除雜訊
在影像的能量譜上經常出現垂直和水平線，見圖 6(f)-(j)。此些線的來源 稱為邊緣失真 (Boundary Artifact)。由於數位影像定義在有限離散空間域 ({0,1,…,M-1}X{0,1,…,N-1})上，其相對的離散傅立葉轉換可延伸為一週期為 MXN 的連續傅立葉轉換，但在此模型下，影像的頭與尾邊界以及左右邊界將 假設為相連的函數，此稱為邊界條件 (Boundary Condition)。但實務上這些邊 界的亮度呈現不連續的情形，此造成邊緣失真。有些學者提出將原始影像乘 上截斷函數(又稱窗函數)將邊界的訊號降為接近零，以降低邊緣失真。Tiwar 等人(2013)建議使用 Hann 窗函數。1-D Hann 窗函數(One Dimension Hann Window Function)以下式表示:
W(x) =12[1 − cos2𝜋𝑥𝑁 ] (2.12)
圖 7 展示二維度 Hann 窗函數圖，其中 X 軸和 Y 軸的範圍對應到影像尺寸，Z 軸為介於 0 到 1 之間的Hann 窗函數值。透過此函數與影像資料相乘，以降低 影像邊界訊號的權重。
圖 7 二維度 Hann 窗函數圖
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實務上，能量譜除了邊緣失真外，還存在其他雜訊。為了能更有效辨識 能量譜上的平行線，必須適當篩選能量譜上的資訊，消除遮罩住點擴散特徵 的雜訊和不需要的頻率部分。一般在消除雜訊上，常常利用濾波器 (Filter)進 行頻率的篩選。濾波器分為很多種，例如篩掉高頻部分、僅保留低頻部分的 低通濾波器 (Low Pass Filter)；或篩掉低頻部分、僅保留高頻部分的高通濾波 器(High Pass Filter)。另一方面，Dobes̆等人 (2010)則考慮僅讓中間頻率通過 的帶通濾波器 (Band Pass Filter)。令 𝐻(𝑢, 𝑣)表示頻率域下的濾波器，其與模 糊影像 𝐺(𝑢, 𝑣)相乘使能量譜的頻率進行篩選。以下為一個常見的帶通濾波器 函數，
𝐻(𝑢, 𝑣) = {0, 𝐷(𝑢, 𝑣) ≤ 𝐷0−𝑊
2 𝑜𝑟 𝐷(𝑢, 𝑣) > 𝐷0+𝑊 2 1, 𝐷0 −𝑊
2 ≤ 𝐷(𝑢, 𝑣) ≤ 𝐷0+𝑊 2
其 中 𝐷(𝑢, 𝑣) 是 點 (𝑢, 𝑣) 與 能 量 譜 中 心 點 的 距 離 ， 定 義 為 𝐷(𝑢, 𝑣) = √(𝑢 − 𝑀/2)2+ (𝑣 − 𝑁/2)2； 𝐷0稱為截斷頻率 (Cutoff Frequency)，
𝑊稱為帶寬 (Band Width)。 𝐷0和 𝑊將決定濾波器中通過的頻率範圍。圖 8(a) 影像呈現 𝐷0 = 100 , W=20 的濾波器，白色部分為頻率通過範圍。圖 8(b)是 以 𝐷(𝑢, 𝑣)為橫軸， 𝐻(𝑢, 𝑣)的函數圖，則函數值為 1 的範圍便表示能夠通過 的區域。此種類型的濾波器被稱為【理想型帶通濾波器(Ideal Band Pass Filter)】
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圖 8 理想型帶通濾波器 (a)的白色部分顯示頻率域下帶通濾波器通過的部分，(b)為(a)之剖面 圖，經由調整𝐷0和 W 決定通過之頻率，w 越寬通過的頻率部分越多。
Dobes̆等人(2010) 所提出的梯度法中則考慮 Butterworth 帶通濾波器，其 相對應的函數為:
𝐻(𝑢, 𝑣) = 1 − 1
1+[ 𝐷(𝑢,𝑣)𝑊 𝐷2(𝑢,𝑣)−𝐷02]
2𝑛。 (2.13)
其中如前頁的定義， 𝐷(𝑢, 𝑣)是點(u,v)到能量譜上中心點的距離， 𝐷0稱為截 斷頻率， 𝑊稱為帶寬， 𝑛是階層 (Order)。不同於理想帶通濾波器對於頻率 的篩選只有完全濾掉(H=0)或完全保留(H=1)兩種結果， Butterworth 濾波器則 允許頻率有部分通過的選項，𝐷0, 𝑊, 𝑛將決定各頻率被保留的程度。參數 𝐷0 為此函數的最大點，當 𝐷(𝑢0, 𝑣0) = 𝐷0時，則 𝐻(𝑢0, 𝑣0) = 1，也就是該頻率 將通過濾波器、被完全保留，而距離 𝐷0越遠的頻率被保留的程度越少，見圖 9(a)所示，帶寬 𝑊 = 40和階層 𝑛 = 2固定，透過決定 𝐷0來保留主要通過的 頻率。帶寬 𝑊則決定通過濾波器的頻率大致範圍， 𝑊越小，則多數通過濾 波器的頻率範圍較窄，見圖 9(b)。圖 9(c)則展示不同階層 𝑛下， Butterworth 帶通濾波器的函數，階層越大 Butterworth 濾波器越趨向完全保留頻率或完全 濾掉兩種結果，也就是越趨向理想型帶通濾波器。
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19 圖 9 不同參數設定對 Butterworth 帶通濾波器之影響
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參、 模糊參數估計
由於動態模糊影像的能量譜上平行線與點擴散函數的模糊參數密切相關，
則模糊參數的估計問題將等價於直線的偵測問題。本論文主要考慮運用雷登 轉換 (Radon Transform，簡稱 RT)來偵測能量譜圖形上的直線，以進一步估 計出點擴散函數的模糊參數。假設 𝑓(𝑥, 𝑦)為一個定義在二維平面的函數，(x,y) 是原始座標，(𝑥′,𝑦′)是經由水平橫軸逆時鐘旋轉𝜃度後的新座標，則對新座標 y’的線積分 (Line Integral)稱為雷登轉換:
𝑅(𝑥′, 𝜃) = ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦′，其中 [𝑦𝑥′′] = [ cos 𝜃 sin 𝜃
− sin 𝜃 cos 𝜃] [𝑥𝑦]。 (2.14) 經由不同角度的轉軸並計算對應位置 x’的線積分值，其概念等同於計算影像 在該方向下橫軸為 x’位置上的投影。當影像上存在一特定方向 α的白色直線，
則此方向的投影將達到最大，也就是在 𝜃 = 𝛼 − 90度轉軸後的線積分值將達 到最大。所以一般便以最大的雷登轉換積分值的相對應角度來估計模糊角度。
即
𝜃̂ = 𝑎𝑟𝑔𝜃max𝑥′𝑅(𝑥′, 𝜃) 。 (2.15)
接著針對模糊長度的估計，定義估計角度 𝜃̂下的雷登轉換為目標函數:
𝑇𝜃̂(𝑥′) = 𝑅(𝑥′, 𝜃̂)。可觀察到目標函數為左右對稱的函數，最大值出現在中心 位置，往左右兩方，則發現在等距的地方出現相對極小點，令這些極點的間 距為 d。以一張大小 𝑀 × 𝑀的影像為例，給定𝑑，則估計模糊長度 ∆̂= 𝑀/𝑑。
如圖 10 以雷登轉換進行參數估計，圖 10(a)為真實角度𝜃＝75 度，真實長度
∆＝27像素的線性動態模糊能量譜。圖 10(b)顯示各角度下的雷登轉換值，橫 坐標為不同角度，而縱座標為新座標 𝑥′，線積分 R 值以亮度顯示，透過比較
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雷登轉換的線積分值找出最大值所在的角度(綠色虛線處)，得到估計角度 𝜃̂ = 75度。圖(c)是目標函數𝑇𝜃̂(𝑥)，偵測函數上的相對極小點位置𝑑，計算所 得∆̂=27。
Tiwar 等人(2013)的傳統法主張考慮以目標函數上所有相對極小點 (Local Minima Point)來計算 d；而 Dobes̆等人(2010)的梯度法則認為目標函數中心位 置的資訊較為清楚、重要，故僅考慮目標函數最靠近中心位置的一對相對極 小點，則d 為這兩個極點間的半間距。
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圖 10 雷登轉換估計參數 (a) 𝜃＝75 度，∆＝27 的能量譜。(b)為(a)之雷登轉換。 (c)目標函數𝑇(75)
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肆、 現有方法的評估
以下我們將探討前兩個小節消除雜訊和參數估計各步驟的優缺點。消除 雜訊部分，包括傳統法的 Hann 窗函數和梯度法的Butterworth 帶通濾波器。而 角度估計和長度估計的處理上也存在缺點，以下逐一做討論。
當我們對能量譜取雷登轉換時，經常發現在 0、45、90、135 與 180 度上 有較高的積分值。其中出現在 0、90、180 度的高積分值，是由於邊緣失真所 產生的十字線所導致的。只要對模糊影像乘上Hann 窗函數，便可有效地降低 邊緣失真在雷登轉換估計角度時的干擾，也就是降低了 0、90 度和 180 度 R 值偏高造成的誤判。如圖11 展示窗函數效果，其中圖 11(a)是原影像的能量譜，
可以清楚看見垂直的邊緣失真(紅框)，而圖 11(b)則是經過 Hann 窗函數乘積 後的影像的能量譜，其垂直線消失。
而 Dobes̆等人 (2010) 希望在能量譜上運用 Butterworth 帶通濾波器，以 降低雜訊對平行線偵測的干擾。但是我們發現雖然該濾波器能過濾雜訊，但 卻容易導致能量譜上邊緣失真的十字線更為明顯，造成角度估計的嚴重偏差。
圖 12 展示使用 Butterworth 帶通濾波器過濾前與過濾後的差異，使用濾器後 能量譜上出現了邊緣失真的垂直與水平線。
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圖 11 窗函數作用效果 (a)為原始能量譜。(b)為作用窗函數後之能量譜。
圖 12 Butterworth 濾波器之缺點 (a)為作用 Butterworth 帶通濾波器前的能量譜，(b)使用濾 波器篩過的能量譜，類似邊緣失真效果出現(紅框)。
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角度估計方面，有時候我們發現雖然能量譜上在 45 度和 135 度方向並沒 有出現明顯的斜線，但其雷登轉換卻出現較高的 R 值，甚至有時造成模糊角 度的估計與真值間產生嚴重差異。由於本文考慮的方法都是先估計模糊角度，
後估計模糊長度。故一旦模糊角度的估計出現嚴重偏誤，則也將產生不準確 的長度估計。如圖 13 為真實長度∆=20、真實角度𝜃=10 度的線性動態模糊的 雷登轉換結果。橫軸為角度𝜃，縱軸為各角度下最大的 R 值，我們發現圖中有 三個明顯的相對極大點，包括 10、45 和 135 度，其中整體極大點 45 度為估 計的模糊角度，與真實角度10 度偏差極大。我們推測這樣的偏誤是來自於雷 登轉換在各角度下的線積分範圍長度不一致所造成。在一個方形上，兩個對 角線為長度最長的直線，積分範圍最大使得積分值偏高。為了降低此偏誤，
應將積分範圍做適當調整，我們將在下一節說明調整方式。
另外在長度估計上，傳統法考慮所有相對極小點，而梯度法則僅考慮最 靠近中心位置的一對極小點，兩個方法皆為極端方法。考慮所有的極小點，
可能受到極端值的影響；而僅考慮一對極小點，則更是風險高的作法。我們 發現受到雜訊影響，目標函數將包含許多不規則的波動，此將使得這兩種方 法在長度估計上出現偏差。圖 14 為真實角度 𝜃=67 度、估計角度 𝜃̂=65 度估 計所得的目標函數，其理想是偵測圖14(a)上的相對極小值位置，但放大觀察 如圖14(b)，其實存在很多干擾造成的相對極小值，將這些相對極小值一併納 入計算，將造成長度估計的失準。為了去除這部分的雜訊，我們考慮將目標 函數平滑化，細節請見下節。
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圖 13 傳統法估計角度缺點 圖 13 顯示各角度雷登轉換的最大 R 值。
圖 14 兩方法長度估計的缺點 (a)為目標函數，(b)為(a)上紅框處的放大圖，函數上有許多干 擾造成的起伏。
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