線性動態模糊影像之研究 - 政大學術集成

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(1)國立政治大學統計學系研究所碩士學位論文. 線性動態模糊影像之研究. 治 blurred image A study of linear 政 motion 大. 立. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. v. 指導教授 : 薛慧敏博士研究生 : 吳諭忠撰. 中華民國一百零五年七月.

(2) 摘要生活中在使用相機時，由於機器晃動或物體移動所造成的模糊影像時常可見。當影像模糊的成因是影像曝光時間內相機與拍攝物體相對線性移動時，則我們稱為線性動態模糊。理論上，模糊影像可以表示成原始影像與點擴散函數的旋積，本文的研究重點為點擴散函數中模糊參數的估計，雷登轉換將被運用在此問題上。我們首先介紹兩個現有方法，我們將探討這些方法中用來消除雜訊的步驟之適用性及必要性。另一方面，在模糊參數的估計過程中，我們在雷登轉換加入圓限制. 政治大計結果以及更好的模糊影像還原效果。立. 以及採用移動平均法。我們透過實驗證實，本篇提出的方法可以獲得更準確的估. ‧ 國. 學. 關鍵字:線性動態模糊、影像還原、點擴散函數、旋積、傅立葉轉換、雷登轉換. ‧. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. I. i n U. v.

(3) Abstract Nowadays, collecting a digital image becomes convenient and low-cost due to rapid progress in digital camera technology.. Blurred images frequently appear because. of camera shake or moving objects. There are several different types of blur. When the blur is caused by the linear motion between the object and the camera during the light exposure, it’s called a linear motion blur. Mathematically, a blurred image is expressed as a convolution of a point spread function and the original image. Our. 政治大 improve the existing methods, 立 a circle restriction and the moving average method. study considers Radon transform for the estimation of the point spread function. To. ‧ 國. 學. are applied in the estimating procedure. Through intensive experiments, the proposed method is found enable to produce more accurate estimation and better. ‧. performance in image restoration.. Nat. n. al. Ch. engchi. II. er. io. Convolution, Fourier Transform, Radon Transform.. sit. y. Keywords: Linear Motion Blur, Image Restoration, Point Spread Function,. i n U. v.

(4) 目次摘要. ………………………………………………………………………. I. 英文摘要 …………………………………………………………………… II 目次、表次和圖次………………………………………………………III-VI 第一章緒論. ………………………………………………………………. 第二章研究方法. …………………………………………………………. 1 4. 第一節退化模型. ……………………………………………………. 4. 壹數位影像. ……………………………………………………. 4. 政治大. 貳傅立葉轉換. …………………………………………………. 立. 參退化模型與點擴散函數. 5. …………………………………… 10. 壹現有的方法. ‧. 貳消除雜訊. ………………………………………………… 14 …………………………………………………… 16. Nat. ……………………………………………… 20. sit. 參模糊參數估計. y. ‧ 國. 學. 第二節現有方法的介紹與評估……………………………………… 14. er. io. 肆現有方法的評估……………………………………………… 23. n. a……………………………………………………… 27 iv l C n hengchi U 第四節影像還原 …………………………………………………… 32 第三節平滑法. 第三章模擬實驗. ………………………………………………………… 34. 第一節不同角度下參數估計結果. ………………………………… 36. 第二節不同長度下參數估計的結果. ……………………………… 40. 第三節平滑區間對長度估計的影響. ……………………………… 43. 第四節影像還原第四章結論. …………………………………………………… 45. ……………………………………………………………… 55. 參考文獻 ………………………………………………………………… III. 56.

(5) 表次表格 1 傳統法與梯度法簡要流程. ………………………………………… 15. 表格 2 ∆= 20各角度下參數估計結果 ……………………………………… 37 表格 3 ∆= 40各角度下參數估計結果 ……………………………………… 38 表格 4 各長度下估計 MSE ……………………………………………………41. 政治大. 表格 5 不同平滑區間下長度估計的 MSE ……………………………………44. 立. 表格 6 傳統法在不同參數下影像還原的表現. ……………………………50. ‧ 國. 學. 表格 7 梯度法 G𝑥 在不同參數下影像還原的表現…………………………… 51. ‧. 表格 8 梯度法 G𝑦 在不同參數下影像還原的表現…………………………… 52. y. Nat. n. al. er. io. sit. 表格 9 平滑法在不同參數下影像還原的表現 ………………………………53. Ch. engchi. IV. i n U. v.

(6) 圖次圖 1 不同類型的數位影像……………………………………………………5 圖 2 時域和頻域概念…………………………………………………………7 圖 3 能量譜與對數譜…………………………………………………………9. 圖 4 原圖與能量譜……………………………………………………………9 圖 5 原圖與加成性雜訊 ……………………………………………………11. 立. 政治大. 圖 6 模糊影像與其能量譜 …………………………………………………13. ‧ 國. 學. 圖 7 二維度 Hann 窗函數圖…………………………………………………16. ‧. 圖 8 理想型帶通濾波器 ……………………………………………………18. sit. y. Nat. io. n. al. ………………… 19. er. 圖 9 不同參數設定對 Butterworth 帶通濾波器之影響. i n U. v. 圖 10 雷登轉換估計參數……………………………………………………22. Ch. engchi. 圖 11 窗函數作用效果………………………………………………………24 圖 12 Butterworth 濾波器之缺點……………………………………………24 圖 13 傳統法估計角度缺點…………………………………………………26. V.

(7) 圖 14 兩方法長度估計的缺點………………………………………………26 圖 15 能量譜作用限制圓之效果……………………………………………29. 圖 16 平滑法估計長度………………………………………………………29 圖 17 平滑法估計參數………………………………………………………30. 立. 政治大. 圖 18 平滑法流程圖…………………………………………………………31. ‧ 國. 學. 圖 19 原圖 Lena 與模糊影像 ………………………………………………35. ‧. 圖 20 不同模糊角度估計結果………………………………………………39. sit. y. Nat. io. n. al. er. 圖 21 不同長度下角度與長度估計的 MSE ……………………………… 42. i n U. v. 圖 22 模糊長度對目標函數影響……………………………………………44. Ch. engchi. 圖 23 不同迭代次數還原效果………………………………………………47 圖 24 不同迭代次數的 MSE……………………………………………… 48 圖 25 線性動態模糊還原效果比較 ……………………………………… 49 圖 26 各估計方法還原影像的 MSE ……………………………………… 54. VI.

(8) 第一章緒論影像是用來記錄或展示有用的資訊，然而在獲取影像的過程中時常會因為干擾產生模糊影像。一般來說模糊影像起因於相機操作不當，可能是使用者在拍攝時相機晃動或是沒有對焦等等原因造成。因此模糊影像的出現，也就發展出影像還原的理論。影像還原在影像處理上時常是首先需要解決的問題，例如近年來人臉辨識應用在保障公共的安全，或者公司機構的出入管理，甚至可以透過人臉辨識預測年紀。這時候影像還原就顯得十分重要，取得清. 政治大 (2010)和 Nguyen 等人立(2015)。. 楚的影像才能做進一步處理。請參考 Lagendijk 等人 (1999)、Fiche 等人. ‧ 國. 學. 模糊影像的種類繁多，例如拍攝時物體與相機相對移動的動態模糊、對. ‧. 焦錯誤的失焦模糊以及受到干擾的雜訊模糊等等。而動態模糊又分為旋轉、. y. Nat. 線性和非線性模糊。理論上，我們可以將模糊影像表示成原始影像與點擴散. er. io. sit. 函數 (PSF，Point Spread Function)的旋積 (Convolution)，點擴散函數主導影像模糊的程度與種類。實務上，該函數是未知的，因此一般影像還原主要有. al. n. v i n 兩個步驟:第一是估計點擴散函數的參數，第二個步驟是搭配參數估計值進 Ch engchi U 行影像還原。請參考 Lagendijk 等人 (1999)。. 在空間域上，由於點擴散函數牽涉到與原始影像的旋積，直接對點擴散函數進行估計較為複雜。根據旋積理論(Convolution Theorem)，空間域下兩函數進行旋積運算，則其運算結果的傅立葉轉換(Fourier Transform)將等於兩函數的傅立葉轉換的乘積，請參考 Bracewell (2000)。因此我們可以透過二維離散傅立葉轉換(2-D Discrete Fourier Transform)將模糊影像轉換並獲得以頻率為基底的能量譜(Power spectrum)，再進行點擴散函數參數的估計。 1.

(9) 本篇論文著重在探討線性動態模糊影像的估計，其模糊的生成起因於影像曝光時間內相機與拍攝物體相對線性移動。線性動態模糊的點擴散函數屬於二維度的均勻分佈。此類型模糊經由傅立葉轉換後的能量譜上會顯現出特定的平行線，這些平行線的特徵與模糊函數密切相關。若能偵測出這些平行線，則我們也就能夠估計點擴散函數的參數。所以點擴散函數的估計問題，便成為平行線的偵測問題。. 常見的偵測直線的方法有兩種: 洪轉換法 (Hough Transform Method) 與雷登轉換法 (Radon Transform Method)。Lokhande 等人 (2006)與 Tiwari. 政治大. 等人 (2013)皆曾介紹藉由洪轉換法以偵測能量譜上平行線。另一方面，. 立. Tiwari 等人 (2013)與 Dobes̆ 等人 (2010)則考慮透過雷登轉換法 (Radon. ‧ 國. 學. Transform Method)來估計線性動態模糊參數。在 Tiwari 等人(2013)提出的方法中，除了雷登轉換外，他們主張運 Hann 窗函數以消除能量譜上的邊緣失. ‧. 真。學者 Dobes̆等人 (2010)則主張應採用模糊影像的梯度 (gradient)來估計. y. Nat. al. er. io. sit. 模糊參數，此外他們也提出使用 Butterworth 帶通濾波器消除雜訊。. v. n. 然而我們發現 Dobes̆等人 (2010) 與 Tiwari 等人 (2013)的方法在某些. Ch. engchi. i n U. 情況下估計結果產生嚴重偏誤，顯示在影像處理過程中各存在一些缺點。在本文中，我們將探討兩種方法中用來消除雜訊的各步驟之適用性及必要性，並在參數估計時增加圓限制式以及移動平均進行平滑的步驟，以獲得更準確的估計方法。. 當得到模糊參數估計後，則我們可以利用估計結果來進行影像還原。影像還原主要運用反旋積 (Deconvolution)運算，常見的方法包括牽涉迭代運算的 Lucy-Richardson 和非迭代類型的 Wiener 兩種方法，請參考 Richardson 2.

(10) (1972)、 Lagendijk 等人 (1999)和 Dutta 等人 (2010)。在本文的實驗中，我們將運用 Lucy-Richardson 法進行影像還原，以驗證所提得估計方法的表現。. 本篇論文第二章為研究方法，我們將先說明有關影像資料的傅立葉轉換。接著介紹 Dobes̆等人 (2010) 和 Tiwari 等人 (2013)所提方法的詳細步驟，我們將詳細探討這些步驟的優點與限制。最後介紹我們提出的平滑法。第三章為模擬實驗，我們將比較三種方法在不同線性動態模糊參數設定下的估計結果，也將呈現運用這三種方法的估計結果在影像還原的效果。第四章的結. 政治大. 論將包括未來的研究方向與建議。. 立. ‧. ‧ 國. 學. io. sit. y. Nat. n. al. er. 。. Ch. engchi. 3. i n U. v.

(11) 第二章研究方法第一節退化模型壹、數位影像數位影像是將影像資料以數位的方式保存。此種保存方式讓影像的儲存、傳遞與處理變得更有效率。大部分的影像是以點陣圖形式儲存，影像資料以矩陣的形式被呈現以及儲存。每一張影像被切割成許多面積相同的小細格，. 治政這些組成影像的最小單位被稱為像素 (Pixel)，每一個單位中光的強度以數據大立表現並且以矩陣方式排列儲存。當我們放大檢視點陣圖影像時，將發現其細 ‧ 國. 學. 節呈現鋸齒狀。當影像的像素數量越多時，則保存的細節更完整。故一般影. ‧. 像的大小以像素的數量表示，假設一影像之寬為 M 個像素，長有 N 個像素，則此影像大小為 𝑀 × 𝑁像素。一般以解析度表示影像的細緻程度，解析度越. y. Nat. al. v i n Ch 𝑀 × 𝑁像素的點陣圖，令 𝑦)為影像在 e n g𝑓(𝑥, chi U n. 考慮一. er. io. Inch，簡稱為 PPI)。. sit. 高，呈現出的品質越好。常見的解析度度量單位為每英吋像素素值 (Pixel Per. (𝑥, 𝑦)位置的光強度，. 𝑥 = 1, … , 𝑀；𝑦 = 1, … , 𝑁。影像一般分為黑白、灰階與彩色影像三種類型。圖 1 中列出同一張影像以三種類型儲存影像結果。不同種類的影像，其 𝑓(𝑥, 𝑦)影像值的範圍也將不同，其細節如下: 1.. 只包括黑色與白色的二元影像 (Binary image)。以 𝑓(𝑥, 𝑦) = 0表示黑色，𝑓(𝑥, 𝑦) = 1表示白色。. 2.. 由黑到白遞增的灰階影像(Grayscale)，則 𝑓(𝑥, 𝑦)的數值範圍為 0-255，其中 0 表示黑色，255 表示白色。. 3.. RGB 彩色影像由紅、綠、藍三色之像素矩陣加總組成，在個別矩陣中， 𝑓(𝑥, 𝑦)的數值範圍為 0~255，0 是黑色，255 是白色。 4.

(12) 圖 1 不同類型的數位影像此圖展示三種不同類型的影像，其中: (a)是二元影像。(b) 為灰階影像。(c)是 RGB 彩色影像。. 貳、傅立葉轉換. 立. 政治大. ‧ 國. 學. 傅立葉轉換 (Fourier transform) 被用來將訊號 (Signal) 在空間域 (Spatial domain)或時域 (Time domain)和頻率域 (Frequency domain)之間做. ‧. 轉換。我們通常觀察與研究一訊號其波形如何隨著時間(空間)的變化而變動，. sit. y. Nat. 此時該訊號在時域上被表示為時間(空間)的函數。經由傅立葉級數或著傅立. io. er. 葉轉換，我們可獲得該訊號其頻率的特性，則此時該訊號為頻率的函數。. al. v i n C h (Convolution)運算。此為傅立葉轉換在影像計算將得以被簡化，例如旋積 engchi U n. 某些訊號的運算在時間(空間)域下牽涉複雜的計算，但當轉至頻率域下，則. 處理上受重用的原因之一。以下我們將提供傅立葉級數以及傅立葉轉換基本介紹。. 1.. 傅立葉級數首先我們說明傅立葉級數 (Fourier series)。傅立葉級數將周期性的函數. 𝑓(𝑥)表示成不同頻率的正弦 (Sine)和餘弦 (Cosine)函數的線性組合。考慮一個單維的週期性函數 𝑓(𝑥)，其中 x 表示時間變數。則此函數之傅立葉級數為 5.

(13) ∞. 𝑓(𝑥) = 𝑎0 + ∑(𝑎𝑛 𝑐𝑜𝑠 𝑛𝑥 + 𝑏𝑛 𝑠𝑖𝑛 𝑛𝑥) 𝑛=1. 其中 𝑠𝑖𝑛 𝑛𝑥、 𝑐𝑜𝑠 𝑛𝑥是頻率為 (n/(2π))的正弦與餘弦函數，其相對應的係數 𝑎𝑛 , 𝑏𝑛 稱為振幅 (Amplitude)，其反映該正、餘弦函數在 𝑓(𝑥)中所佔的份量。我們以圖 2 做進一步說明: 考慮一段週期性訊號如圖 2 (a)中的紅色實線，此時橫軸 x 表示時間，這是我們一般觀察所得在時域下的訊號。假設經由傅立葉及數將此訊號分解成不同頻率的正弦和餘弦函數的組合，如圖 2(b)以及圖. 政治大可得頻率域下的訊號，此稱為頻率譜。請參考: 立. 2(c)中的藍色訊號。最後圖 2(d)以頻率為橫軸、相對應的振幅為縱軸作圖，則. ‧ 國. ‧. 一維傅立葉轉換. sit. y. Nat. 2.. 學. https://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform. n. al. er. io. 如上所述，傅立葉級數是針對連續週期性函數分解。然而實際的訊號或. i n U. v. 影像僅有少數是週期性函數，多數是非週期性的。我們可用傅立葉轉換 (1-D. Ch. engchi. Fourier transform)來分解非週期性函數。假設一段訊號在時域下為 𝑓(𝑥)，x表示時間。定義 𝐹(𝑢)是訊號 𝑓(𝑥)複數的傅立葉轉換，其中 u 為頻率。則 𝐹(𝑢) =. ∞ 1 ∫ 𝑓(𝑥)𝑒 −𝑖𝑢𝑥 √2𝜋 −∞. 𝑑𝑥。. (2.1). 則 F 之反傅立葉轉換(1-D Inverse Fourier transform) 則為: 𝑓(𝑥) =. ∞ 1 ∫ 𝐹(𝑢)𝑒 𝑖𝑢𝑥 √2𝜋 −∞. 6. 𝑑𝑥,. (2.2).

(14) 透過(2.1)和(2.2)式，訊號得以在時域和頻率域之間任意變換。複數傅立葉轉換的結果得表示為: 𝐹(𝑢) = 𝑅(𝑢) + 𝑖𝐼(𝑢). (2.3). 其中 𝑅(𝑢)為實部， 𝐼(𝑢)為虛部。 |𝐹(𝑢)|被稱為 𝑓(𝑥)的頻率譜 (Fourier spectrum)， |𝐹(𝑢)| = [𝑅 2 (𝑢) + 𝐼 2 (𝑢)]1/2. (2.4). 政治大. 立. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. v. 圖 2 時域和頻域概念 (a)時域下的訊號(紅線)。(b)(c)訊號(紅色線)被分解成不同頻率的正餘弦函數(藍色線)的線性組合。(d)頻率譜。. 7.

(15) 3.. 二維傅立葉轉換如前述，點陣圖將影像以矩陣的方式儲存，令 f(x, y)表示在 (𝑥, 𝑦)位置的. 像素，ｘ = 1, … , 𝑀, 𝑦 = 1, … , 𝑁。故影像函數為定義在二維空間域 (Spatial domain)的離散型函數。以下我們將擴充一維傅立葉轉換至二維函數的分解上，則透過此二維離散傅立葉轉換. (Two Dimension-Discrete Fourier. Transformation，2D-DFT)，訊號得以在空間域與頻率域之間轉換。令 𝐹(𝑢, 𝑣)是. 政治大. 𝑓(𝑥, 𝑦)函數的傅立葉轉換，則. 𝑀−1 𝑁−1. 𝑢𝑥 𝑣𝑦 1 𝐹(𝑢, 𝑣) = ∑ ∑ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑒 −𝑖2𝜋( 𝑀 + 𝑁 ) , 𝑀𝑁. 學. 𝑥=0 𝑦=0. 𝑢 = 1,2, … , 𝑀, 𝑣 = 1,2, … , 𝑁. ‧. ‧ 國. 立. (2.5). sit. y. Nat. 且二維離散反傅立葉轉換(Two Dimension-Discrete Inverse Fourier. io. n. al. 𝑀−1 𝑁−1. er. Transformation，2D-IDFT) 為. i n U. v. 𝑢𝑥 𝑣𝑦 1 𝑓(𝑥, 𝑦) = ∑ ∑ 𝐹(𝑢, 𝑣)𝑒 𝑖2𝜋( 𝑀 + 𝑁 ) , 𝑀𝑁. Ch. e𝑥=0 n g𝑦=0c h i. 𝑢 = 0,1,2, … , 𝑀 − 1 , 𝑣 = 0,1,2, … , 𝑁 − 1. (2.6). 其中頻率 u 和頻率 v 分別對應到 x 和 y 方向。此時，頻率譜的平方被稱為能量譜 (Power spectrum) 𝑃(𝑢, 𝑣)， 𝑃(𝑢, 𝑣) = |𝐹(𝑢, 𝑣)|2 = 𝑅 2 (𝑢, 𝑣) + 𝐼 2 (𝑢, 𝑣). (2.7). 在頻率域中，便多以能量譜作為影像處理的基底，而且能量譜皆經過中心化，能量譜的正中間放置低頻部分，越往四周則頻率越高。圖 3(a)是原始 Lena 影 8.

(16) 像，圖 3(b)為圖 3(a)之能量譜。通常影像之能量譜上，低頻部分的資訊比高頻的部分多了千萬倍，或高頻的部分為低頻的千萬分之一，過大的差距使我們難以在原始的能量譜上辨別資訊，如圖 3(b)整張偏黑，低頻部分的資訊被高頻部分所掩蓋住，同樣的高頻部分也難以看出差異。因此為了凸顯資訊，我們將能量譜取對數，log〖 (F(u,v))〗，藉此壓縮能量譜的範圍。圖 3(c)為取對數後的能量譜，其高低頻分布較為清楚。故以下所謂的能量譜指的是經過對數轉換的能量譜。圖 4 則顯示 4 種不同的影像與其對應的對數轉換後能量譜。. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. Nat. n. al. er. io. sit. y. 圖 3 能量譜與對數譜 (a)為 Lena 原圖，(b)為(a)之能量譜，(c)為(b)取對數後的能量譜。. Ch. engchi. i n U. v. 圖 4 原圖與能量譜，顯示四種原始影像(上排)與其取對數後的能量譜(下排)。 9.

(17) 參、退化模型與點擴散函數影像模糊又稱為影像退化 (Image Degradation)。模糊的種類有很多種，例如手晃造成的線性動態模糊 (Linear Motion Blurred)、失焦模糊 (Out Of Focus Blurred)、影像儲存過程受到干擾的雜訊 (Noise)模糊以及影像解析度由高轉低後的解析度失真。在空間域下，假設一原始影像為函數 𝑓(𝑥, 𝑦)，而其模糊影像為函數 𝑔(𝑥, 𝑦)，則原始影像與模糊退化影像之間的關係稱為退化模型，一般常見的模型如下式：. 立. 政治大. ‧ 國. 學. 𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑥, 𝑦) ∗ ℎ(𝑥, 𝑦) + 𝑛(𝑥, 𝑦)，. (2.8). 其中 ℎ(𝑥, 𝑦)稱為點擴散函數 (Point Spread Function, PSF)，而 𝑛(𝑥, 𝑦)則為加. ‧. 成性雜訊(Additive noise)。上式中“*”符號表示旋積運算 (Convolution) ，其. er. io. sit. y. Nat. 定義如下：. 𝑓(𝑥, 𝑦) ∗ ℎ(𝑥, 𝑦) = ∑𝛼 ∑𝛽 𝑓(𝛼, 𝛽)ℎ(𝑥 − 𝛼, 𝑦 − 𝛽),. n. al. Ch. n U engchi. iv. (2.9). 點擴散函數和原始影像的旋積為影像模糊的主要成因。點擴散函數又稱為退化函數，是用來描述造成影像模糊的函數。由(2.9)可得知退化影像上各點的像素值是由原始影像所有像素值的加權平均，其權重則取決於點擴散函數。若能適當地估計出點擴散函數的參數，將有助於原始影像的還原。此外，加成性雜訊也是造成影像模糊的原因，其通常來自於影像儲存過程中所受到的干擾。相較於點擴散函數對整張影像造成的系統性影響，雜訊的影響呈現隨機，如圖 5 中當原始影像(a)加入高斯白雜訊 (White Gaussian Noise)後，圖 5(b)中的含雜訊影像呈現隨機性的模糊效果。 10.

(18) 圖 5 原圖與加成性雜訊圖(a)為原始影像 Adele，(b)為加入雜訊後的結果。. 已知旋積定理 (Convolution Theorem)指出，若在空間域下兩函數進行旋. 政治大. 積運算，則其運算結果的傅立葉轉換將等於兩函數的傅立葉轉換的乘積。假. 立. 設 𝐺(𝑢, 𝑣)是模糊影像 𝑔(𝑥, 𝑦)在頻率域下的傅立葉轉換，則根據旋積定理可. 𝐺(𝑢, 𝑣) = 𝐹(𝑢, 𝑣)𝐻(𝑢, 𝑣) + 𝑁(𝑢, 𝑣). ‧. ‧ 國. 學. 得:. (2.10). Nat. sit. y. 其中， 𝐹(𝑢, 𝑣)是 𝑓(𝑥, 𝑦)的傅立葉轉換， 𝐻(𝑢, 𝑣)是 ℎ(𝑥, 𝑦)的傅立葉轉換，另. n. al. er. io. 外 𝑁(𝑢, 𝑣)是 𝑛(𝑥, 𝑦)的傅立葉轉換。由於乘積運算相對簡單，在頻率域下估. i n U. v. 計函數 𝐻(𝑢, 𝑣)比起在空間域下直接估計 ℎ(𝑥, 𝑦)較為容易。. Ch. engchi. 模糊模型的種類繁多，本篇主要探討線性動態模糊 (Linear Motion Blurred)，模型中也將不考慮雜訊。線性動態模糊對應的點擴散函數 ℎ(𝑥, 𝑦)如下，請參考 Tiwari 等人(2013)： 1. ℎ(𝑥, 𝑦) =. {∆. ∆. , 𝑖𝑓 √𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 2 𝑎𝑛𝑑. 𝑥 𝑦. = − tan(𝜃). 0, 𝑜𝑡ℎ𝑒𝑟𝑤𝑖𝑠𝑒. (2.11). 其中長度 ∆ 和角度 𝜃 為此函數中主要的參數。此點擴散函數屬於二維度的均勻分佈，當向量（x, y）與原點距離不超過 ∆/2，且與橫軸夾角為 π/2 + 𝜃 11.

(19) 時，其函數值為非零常數 1/Δ；其他點的函數值則為 0。線性動態模糊的點擴散函數在頻率域下的傅立葉轉換 𝐻(𝑢, 𝑣)為: 𝐻(𝑢, 𝑣) =. sin(𝜋∆(𝑢 cos 𝜃 + 𝑣 sin 𝜃)) 𝜋∆(𝑢 cos 𝜃 + 𝑣 sin 𝜃). 本研究的目的在線性動態模糊的估計。我們發現模糊影像的能量譜皆呈現特殊趨勢，則透過這些趨勢的偵測將得以估計點擴散函數的參數。以圖 6(a) 的 Adale 原圖作為例子，其對應的能量譜為圖 6(f)。考慮將原圖施以四種不同的線性動態模糊處理，見圖 6(b)-(e)。所有的模糊影像中，模糊角度固定在𝜃=135. 政治大. 度，而(b)-(e)對應之模糊長度∆分別為 10、50、90 和 130 像素。觀察此四張圖. 立. 可發現其模糊方向皆與水平橫軸逆時鐘夾 135 度，隨著模糊長度增加，圖(b). ‧ 國. 學. 到(e)中的模糊效果越明顯。圖(g)-(j)分別為圖(b)-(e)對應的能量譜，在這些能. ‧. 量譜出現的數條白色平行直線特徵與點擴散函數的參數密切相關。首先，能量譜上的平行線方向與線性動態模糊的角度𝜃互相垂直。如圖(b)模糊方向為. y. Nat. io. sit. 135 度，其圖(g)上之平行線方向則為 45 度(即與三點鐘方向夾 45 度)，兩者相. n. al. er. 差 90 度；第二，能量譜上的平行線之間的寬度與線性動態模糊長度成反比，. Ch. i n U. v. 也就是隨著模糊長度越長，能量譜上之平行線之間的距離越窄，圖(b)-(e)顯示. engchi. 模糊長度遞增的模糊影像，其對應的能量譜(g)-(j)上的平行線間的距離則越窄。傳統的估計方法就是依據這兩點特性來估計未知的模糊角度和模糊長度。. 12.

(20) 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. v. 圖 6 模糊影像與其能量譜 (a)為原圖而其對應的能量譜(f)，(b)-(e)展示四種線性動態模糊(上排)與其對應的能量譜(下排)，其模糊角度𝜃為 135 度，模糊長度 (b)-(e)分別為 10、50、90、130 像素。. 13.

(21) 第二節現有方法的介紹與評估壹、現有的方法以下將介紹透過雷登轉換的兩種退化模型的估計方法，包括消除雜訊以及參數估計的步驟。第一個方法由 Tiwar 等人 (2013)所提出的【傳統法】，該方法的處理步驟如下 :. 政治大. 1.. 將彩色影像轉換成灰階影像。. 2.. 將 Hann 窗函數與模糊影像矩陣相乘。將 2.的結果進行傅立葉轉換得到能量譜。. ‧. 計算能量譜的雷登轉換 𝑅(𝜃, 𝑥)值，並找出最大值，其相對應𝜃̂為估計角度。考慮固定角度在 𝜃̂下的雷登轉換，偵測所有相對極小值，令 d 為這些相對極小值間的平均距離，則大小尺寸 𝑀 × 𝑀的影像，模糊長度的估計值為 ∆̂= M/d。. n. al. er. io. sit. y. Nat. 5.. ‧ 國. 4.. 學. 3.. 立. i n U. v. 我們考慮的第二個方法由 Dobes̆等人(2010)所提出。該方法採用計算影像. Ch. engchi. 的梯度 (gradient)。假設一影像為函數 𝑓(𝑥, 𝑦)，則梯度為該函數 𝑓(𝑥, 𝑦)對 x 方向或 y 方向的偏微分 (Partial Derivatives)。由於影像資料為矩陣形式，所以 𝑥、𝑦值屬於離散的情況，所以以中心微分 (Central Differences)近似梯度，即 (∇𝑓)𝑥 (𝑥, 𝑦) ≈ 𝑓𝑑𝑥 (𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑥 + 1, 𝑦) − 𝑓(𝑥 − 1, 𝑦)， (∇𝑓)𝑦 (𝑥, 𝑦) ≈ 𝑓𝑑𝑦 (𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑥, 𝑦 + 1) − 𝑓(𝑥, 𝑦 − 1)。以上兩式分別表示水平和垂直方向的梯度。Dobes̆等人(2010)認為計算梯度有助於提升模糊參數估計的準確度，此方法將被稱為【梯度法】，以下為該法之 14.

(22) 步驟 : 1.. 將彩色影像轉換成灰階影像。. 2.. 計算影像的梯度。. 3.. 進行傅立葉轉換得到能量譜。. 4.. 使用 Butterworth 帶通濾波器 (Butterworth Band Pass Filter)。. 5.. 利用雷登轉換找尋最大的 𝑅(𝜃, 𝑥′)值以找出估計角度 𝜃̂。. 6.. 找出𝜃̂角度下的雷登轉換，找出最靠近最大 R 值兩側的相對極小值之位置，並定義其距離為 2d，以大小 𝑀 × 𝑀的影像為例，則估計模糊長度 ∆̂= M/d。. 政治大. 立. 前述方法中的步驟依據目的可分為兩大類: 第一為消除雜訊，如【傳統. ‧ 國. 學. 法】中的窗函數以及【梯度法】中的濾波器；第二則是運用雷登轉換估計模. sit. y. Nat. 細節。. ‧. 糊參數，請見表格 1。以下兩節我們將根據此兩個目的來一一介紹各個方法的. n. al. er. io. 表格 1 傳統法與梯度法簡要流程紅字部分為各方法特有步驟，藍框部分為消除雜訊，橘框部分為參數估計。. i n U. 1. 轉成灰階影像. Ch. v. 【梯度法】Dobe𝐬̆等人(2010). 【傳統法】Tiwar 等人(2013). e n g c h1.i 轉成灰階影像 2. 計算影像的梯度 3. 取得能量譜. 2. 作用 Hann 窗函數 3. 取得能量譜. 4. 使用 Butterworth 濾波器 5. 雷登轉換估計角度 𝜃̂. 4. 雷登轉換估計角度 𝜃̂ 5. 偵測目標函數所有相對. 6. 偵測目標函數最大值左右第一個相對極小點距離以估計長度 ∆̂. 極小值間的平均距離以估計長度 ∆̂. 15.

(23) 貳、消除雜訊在影像的能量譜上經常出現垂直和水平線，見圖 6(f)-(j)。此些線的來源稱為邊緣失真 (Boundary Artifact)。由於數位影像定義在有限離散空間域 ({0,1,…,M-1}X{0,1,…,N-1})上，其相對的離散傅立葉轉換可延伸為一週期為 MXN 的連續傅立葉轉換，但在此模型下，影像的頭與尾邊界以及左右邊界將假設為相連的函數，此稱為邊界條件 (Boundary Condition)。但實務上這些邊界的亮度呈現不連續的情形，此造成邊緣失真。有些學者提出將原始影像乘. 政治大. 上截斷函數(又稱窗函數)將邊界的訊號降為接近零，以降低邊緣失真。Tiwar. 立. 等人(2013)建議使用 Hann 窗函數。1-D Hann 窗函數(One Dimension Hann. 1. W(x) = 2 [1 − cos. 2𝜋𝑥 𝑁. ‧. ‧ 國. 學. Window Function)以下式表示:. ]. Nat. y. (2.12). er. io. sit. 圖 7 展示二維度 Hann 窗函數圖，其中 X 軸和 Y 軸的範圍對應到影像尺寸，Z 軸為介於 0 到 1 之間的 Hann 窗函數值。透過此函數與影像資料相乘，以降低. n. al. 影像邊界訊號的權重。. Ch. engchi. 圖 7 二維度 Hann 窗函數圖 16. i n U. v.

(24) 實務上，能量譜除了邊緣失真外，還存在其他雜訊。為了能更有效辨識能量譜上的平行線，必須適當篩選能量譜上的資訊，消除遮罩住點擴散特徵的雜訊和不需要的頻率部分。一般在消除雜訊上，常常利用濾波器 (Filter)進行頻率的篩選。濾波器分為很多種，例如篩掉高頻部分、僅保留低頻部分的低通濾波器 (Low Pass Filter)；或篩掉低頻部分、僅保留高頻部分的高通濾波器(High Pass Filter)。另一方面，Dobes̆等人 (2010)則考慮僅讓中間頻率通過的帶通濾波器 (Band Pass Filter)。令 𝐻(𝑢, 𝑣)表示頻率域下的濾波器，其與模糊影像 𝐺(𝑢, 𝑣)相乘使能量譜的頻率進行篩選。以下為一個常見的帶通濾波器函數，. 立. 政治大. ‧ 國. ‧. 其中. 學. 𝑊 𝑊 0, 𝐷(𝑢, 𝑣) ≤ 𝐷0 − 𝑜𝑟 𝐷(𝑢, 𝑣) > 𝐷0 + 2 2 𝐻(𝑢, 𝑣) = { 𝑊 𝑊 1, 𝐷0 − ≤ 𝐷(𝑢, 𝑣) ≤ 𝐷0 + 2 2 𝐷(𝑢, 𝑣) 是點. (𝑢, 𝑣) 與能量譜中心點的距離，定義為. y. Nat. er. io. sit. 𝐷(𝑢, 𝑣) = √(𝑢 − 𝑀/2)2 + (𝑣 − 𝑁/2)2 ； 𝐷0 稱為截斷頻率 (Cutoff Frequency)， 𝑊稱為帶寬 (Band Width)。 𝐷0 和 𝑊將決定濾波器中通過的頻率範圍。圖 8(a). n. al. 影像呈現 𝐷0 = 100 ,. v i n C h的濾波器，白色部分為頻率通過範圍。圖 W=20 8(b)是 engchi U. 以 𝐷(𝑢, 𝑣)為橫軸， 𝐻(𝑢, 𝑣)的函數圖，則函數值為 1 的範圍便表示能夠通過的區域。此種類型的濾波器被稱為【理想型帶通濾波器(Ideal Band Pass Filter)】. 17.

(25) 圖 8 理想型帶通濾波器 (a)的白色部分顯示頻率域下帶通濾波器通過的部分，(b)為(a)之剖面圖，經由調整𝐷0 和 W 決定通過之頻率，w 越寬通過的頻率部分越多。. 政治大. Dobes̆等人(2010) 所提出的梯度法中則考慮 Butterworth 帶通濾波器，其. 立. 𝐻(𝑢, 𝑣) = 1 −. 1 2𝑛. 𝐷(𝑢,𝑣)𝑊. 學. 。. (2.13). 1+[ 2 ] 𝐷 (𝑢,𝑣)−𝐷2 0. ‧. ‧ 國. 相對應的函數為:. 其中如前頁的定義， 𝐷(𝑢, 𝑣)是點(u,v)到能量譜上中心點的距離， 𝐷0 稱為截. y. Nat. sit. 斷頻率， 𝑊稱為帶寬， 𝑛是階層 (Order)。不同於理想帶通濾波器對於頻率. n. al. er. io. 的篩選只有完全濾掉(H=0)或完全保留(H=1)兩種結果， Butterworth 濾波器則. i n U. v. 允許頻率有部分通過的選項，𝐷0 , 𝑊, 𝑛將決定各頻率被保留的程度。參數 𝐷0. Ch. engchi. 為此函數的最大點，當 𝐷(𝑢0 , 𝑣0 ) = 𝐷0 時，則 𝐻(𝑢0 , 𝑣0 ) = 1，也就是該頻率將通過濾波器、被完全保留，而距離 𝐷0 越遠的頻率被保留的程度越少，見圖 9(a)所示，帶寬 𝑊 = 40和階層 𝑛 = 2固定，透過決定 𝐷0 來保留主要通過的頻率。帶寬 𝑊則決定通過濾波器的頻率大致範圍， 𝑊越小，則多數通過濾波器的頻率範圍較窄，見圖 9(b)。圖 9(c)則展示不同階層 𝑛下， Butterworth 帶通濾波器的函數，階層越大 Butterworth 濾波器越趨向完全保留頻率或完全濾掉兩種結果，也就是越趨向理想型帶通濾波器。. 18.

(26) 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. 圖 9 不同參數設定對 Butterworth 帶通濾波器之影響. Ch. engchi. 19. i n U. v.

(27) 參、模糊參數估計由於動態模糊影像的能量譜上平行線與點擴散函數的模糊參數密切相關，則模糊參數的估計問題將等價於直線的偵測問題。本論文主要考慮運用雷登轉換 (Radon Transform，簡稱 RT)來偵測能量譜圖形上的直線，以進一步估計出點擴散函數的模糊參數。假設 𝑓(𝑥, 𝑦)為一個定義在二維平面的函數，(x,y) 是原始座標，(𝑥 ′ ,𝑦 ′ )是經由水平橫軸逆時鐘旋轉𝜃度後的新座標，則對新座標 y’的線積分 (Line Integral)稱為雷登轉換:. 立. 政治大 cos 𝜃 ′. 𝑅(𝑥 ′ , 𝜃) = ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦′，其中 [𝑦𝑥 ′ ] = [. − sin 𝜃. sin 𝜃 𝑥 ] [ ]。 cos 𝜃 𝑦. (2.14). ‧ 國. 學. 經由不同角度的轉軸並計算對應位置 x’的線積分值，其概念等同於計算影像. ‧. 在該方向下橫軸為 x’位置上的投影。當影像上存在一特定方向 α的白色直線，則此方向的投影將達到最大，也就是在 𝜃 = 𝛼 − 90度轉軸後的線積分值將達. y. Nat. n. al. er. io. 即. sit. 到最大。所以一般便以最大的雷登轉換積分值的相對應角度來估計模糊角度。. v i n C𝜃̂ h= 𝑎𝑟𝑔𝜃 max𝑥′ 𝑅(𝑥′,U𝜃) 。 engchi. (2.15). 接著針對模糊長度的估計，定義估計角度 𝜃̂ 下的雷登轉換為目標函數: 𝑇𝜃̂ (𝑥′) = 𝑅(𝑥′, 𝜃̂)。可觀察到目標函數為左右對稱的函數，最大值出現在中心位置，往左右兩方，則發現在等距的地方出現相對極小點，令這些極點的間距為 d。以一張大小 𝑀 × 𝑀的影像為例，給定𝑑，則估計模糊長度 ∆̂= 𝑀/𝑑。如圖 10 以雷登轉換進行參數估計，圖 10(a)為真實角度𝜃＝75 度，真實長度 ∆＝27像素的線性動態模糊能量譜。圖 10(b)顯示各角度下的雷登轉換值，橫坐標為不同角度，而縱座標為新座標 𝑥 ′，線積分 R 值以亮度顯示，透過比較 20.

(28) 雷登轉換的線積分值找出最大值所在的角度(綠色虛線處)，得到估計角度 𝜃̂ = 75度。圖(c)是目標函數𝑇𝜃̂ (𝑥)，偵測函數上的相對極小點位置𝑑，計算所得∆̂=27。 Tiwar 等人(2013)的傳統法主張考慮以目標函數上所有相對極小點 (Local Minima Point)來計算 d；而 Dobes̆等人(2010)的梯度法則認為目標函數中心位置的資訊較為清楚、重要，故僅考慮目標函數最靠近中心位置的一對相對極小點，則 d 為這兩個極點間的半間距。. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 21. i n U. v.

(29) .. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學 er. io. sit. y. Nat. al. n. 圖 10 雷登轉換估計參數 (a) 𝜃＝75 度，∆＝27 的能量譜。(b)為(a)之雷登轉換。 (c)目標函數𝑇(75). Ch. engchi. 22. i n U. v.

(30) 肆、現有方法的評估以下我們將探討前兩個小節消除雜訊和參數估計各步驟的優缺點。消除雜訊部分，包括傳統法的 Hann 窗函數和梯度法的 Butterworth 帶通濾波器。而角度估計和長度估計的處理上也存在缺點，以下逐一做討論。當我們對能量譜取雷登轉換時，經常發現在 0、45、90、135 與 180 度上有較高的積分值。其中出現在 0、90、180 度的高積分值，是由於邊緣失真所產生的十字線所導致的。只要對模糊影像乘上 Hann 窗函數，便可有效地降低. 治政大 0、90 度和 180 度 R 邊緣失真在雷登轉換估計角度時的干擾，也就是降低了立值偏高造成的誤判。如圖 11 展示窗函數效果，其中圖 11(a)是原影像的能量譜， ‧ 國. 學. 可以清楚看見垂直的邊緣失真(紅框)，而圖 11(b)則是經過 Hann 窗函數乘積. ‧. 後的影像的能量譜，其垂直線消失。. sit. y. Nat. 而 Dobes̆等人 (2010) 希望在能量譜上運用 Butterworth 帶通濾波器，以. io. er. 降低雜訊對平行線偵測的干擾。但是我們發現雖然該濾波器能過濾雜訊，但. al. 卻容易導致能量譜上邊緣失真的十字線更為明顯，造成角度估計的嚴重偏差。. n. v i n C h帶通濾波器過濾前與過濾後的差異，使用濾器後圖 12 展示使用 Butterworth engchi U 能量譜上出現了邊緣失真的垂直與水平線。. 23.

(31) 圖 11 窗函數作用效果 (a)為原始能量譜。(b)為作用窗函數後之能量譜。. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. v. 圖 12 Butterworth 濾波器之缺點 (a)為作用 Butterworth 帶通濾波器前的能量譜，(b)使用濾波器篩過的能量譜，類似邊緣失真效果出現(紅框)。. 24.

(32) 角度估計方面，有時候我們發現雖然能量譜上在 45 度和 135 度方向並沒有出現明顯的斜線，但其雷登轉換卻出現較高的 R 值，甚至有時造成模糊角度的估計與真值間產生嚴重差異。由於本文考慮的方法都是先估計模糊角度，後估計模糊長度。故一旦模糊角度的估計出現嚴重偏誤，則也將產生不準確的長度估計。如圖 13 為真實長度∆=20、真實角度𝜃=10 度的線性動態模糊的雷登轉換結果。橫軸為角度𝜃，縱軸為各角度下最大的 R 值，我們發現圖中有三個明顯的相對極大點，包括 10、45 和 135 度，其中整體極大點 45 度為估計的模糊角度，與真實角度 10 度偏差極大。我們推測這樣的偏誤是來自於雷. 政治大. 登轉換在各角度下的線積分範圍長度不一致所造成。在一個方形上，兩個對. 立. 角線為長度最長的直線，積分範圍最大使得積分值偏高。為了降低此偏誤，. ‧ 國. 學. 應將積分範圍做適當調整，我們將在下一節說明調整方式。另外在長度估計上，傳統法考慮所有相對極小點，而梯度法則僅考慮最. ‧. 靠近中心位置的一對極小點，兩個方法皆為極端方法。考慮所有的極小點，. y. Nat. sit. 可能受到極端值的影響；而僅考慮一對極小點，則更是風險高的作法。我們. n. al. er. io. 發現受到雜訊影響，目標函數將包含許多不規則的波動，此將使得這兩種方. i n U. v. 法在長度估計上出現偏差。圖 14 為真實角度 𝜃=67 度、估計角度 𝜃̂=65 度估. Ch. engchi. 計所得的目標函數，其理想是偵測圖 14(a)上的相對極小值位置，但放大觀察如圖 14(b)，其實存在很多干擾造成的相對極小值，將這些相對極小值一併納入計算，將造成長度估計的失準。為了去除這部分的雜訊，我們考慮將目標函數平滑化，細節請見下節。. 25.

(33) 立. 政治大. ‧ 國. 學. 圖 13 傳統法估計角度缺點圖 13 顯示各角度雷登轉換的最大 R 值。. ‧. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. v. 圖 14 兩方法長度估計的缺點 (a)為目標函數，(b)為(a)上紅框處的放大圖，函數上有許多干擾造成的起伏。. 26.

(34) 第三節平滑法此章前兩節介紹了兩種文獻上透過雷登轉換估計模糊參數的方法，並分別討論各法在估計時的缺點。為了改善原方法的缺點並增進準確度，在這一節中我們將提出一個新的方法，稱為【平滑法】。首先在消除雜訊部分，經由前一節的討論，我們發現邊緣失真為嚴重的. 政治大. 問題，故模糊影像必須先與 Hann 窗函數相乘以消除邊緣失真。接著將影像進. 立. 行二維離散傅立葉轉換並獲得其能量譜。我們認為此時無須考慮濾波器，除. ‧. ‧ 國. 題。. 學. 了其消除能量譜雜訊的效果有限外，採用濾波器也將帶來類似邊緣失真的問. 下一步在角度估計方面，雷登轉換作用在能量譜上時，線積分範圍長度. Nat. sit. y. 不一致經常造成問題。因此我們引用 Nguyen 等人 (2015)所提的方法，在能量. n. al. er. io. 譜上增加一個圓限制式，使得各線積分有一致範圍長度。假設原始影像大小為 𝑀 × 𝑀，則其限制圓函數 𝐻(𝑢, 𝑣)為:. Ch. engchi. 𝐻(𝑢, 𝑣) = {. 0, 1,. 其中. i n U. v. 𝑀 2 𝑀 𝐷(𝑢, 𝑣) ≤ 2 𝐷(𝑢, 𝑣) >. 𝐷(𝑢, 𝑣) 是點 (u,v) 與能量譜中心點的距離，定義為. 𝐷(𝑢, 𝑣) = √(𝑢 − 𝑀/2)2 + (𝑣 − 𝑀/2)2 。將能量譜與 𝐻函數相乘則讓 𝐷(𝑢, 𝑣) 小於 M/2的頻率部分通過並濾掉外圍高頻的部分，如此在雷登轉換時不同角度的線積分範圍長度將達到一致。後續計算能量譜的雷登轉換，並以最大的 27.

(35) 雷登轉換值的相對應角度來估計模糊角度，如(2.15)。圖 15 說明能量譜加入限制圓之效果，真實角度 𝜃 = 75 度、真實長度 ∆=27 為例，圖 15(a)為作用圓圈前之能量譜，圖 15(b)為加入限制圓後的能量譜，只保留圓圈內部的頻率，而圓圈外則濾掉(黑色部分)，而圖 15(c)為雷登轉換估計角度之結果。長度估計方面，為了消除目標函數的雜訊，我們考慮使用移動平均法 (Moving Average Method)對目標函數平滑再進行長度估計。假設目標函數上 𝑇(𝑛)表示第 n 個位置的值，則經過平滑後的 𝑇 ∗ (𝑛)為:. 治 𝑇(𝑠) 政大 𝑇 (𝑛) = ∑ 𝑡 𝑛+. 立. 𝑡−1 2. ∗. 𝑠=𝑛−. 𝑡−1 2. ‧ 國. 學. 其中 𝑡被稱作區間 (Span)，決定與 𝑇(𝑛)相鄰有多少個點數被納入平均計算。. ‧. 當區間 𝑡越大則平滑效果越強，許多細部的趨勢也會隨之消失。. sit. y. Nat. 而梯度法和傳統法在長度估計選取 𝑑的方式我們認為過於極端，我們經. io. er. 由實驗後考慮以平滑後的目標函數自最中間位置往左右兩側取各四個相對極小點，計算它們的平均為 𝑑，以大小 𝑀 × 𝑀的影像為例，則估計模糊長度. n. al. ∆̂＝𝑀/𝑑。. Ch. engchi. i n U. v. 圖 16 (a)顯示估計角度 𝜃̂ =75 度經由平滑後的目標函數，找出最大 R 值左右兩側第四個相對極小值之位置，如圖所示距離為 8d，估計得到模糊長度為 ∆̂=27，而圖 16(b)為圖 16(a)之局部放大圖，經由平滑過後，目標函數趨勢完整，沒有多餘的波動干擾。. 28.

(36) 圖 15 能量譜加入限制圓之效果 (a)為模糊影像能量譜，(b)是加入限制圓之能量譜，(c)為(b) 之雷登轉換結果。. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. v. 圖 16 平滑法估計長度 (a)為平滑後的目標函數，(b)為(a)之局部放大圖，由圖可見函數平滑後的趨勢平整。. 29.

(37) 以下為平滑法之處理步驟，流程圖則請見圖 18。 1.. 將彩色影像轉換成灰階影像。. 2. 對模糊影像乘上 Hann 窗函數。 3.. 進行二維離散傅立葉轉換得到能量譜。. 4.. 在能量譜上加入一個限制圓保留圓內的頻率。. 5.. 進行雷登轉換找出最大 Radon 值所在之角度估計θ̂. 6.. 對目標函數 𝑇𝜃̂ (𝑥)以移動平均法進行平滑。. 7.. 找出 𝑇𝜃̂ (𝑥)由中央位置往左右兩側各四個相對最小點，計算其平均. 政治大. 距離 𝑑，則大小 M × M的影像，估計模糊長度為 ∆̂＝𝑀/𝑑。. 立. ‧ 國. 學. 圖 17 展示平滑法的估計結果，以 ∆=20、 𝜃=10 為例。圖 17(a)為加入圓限制式的能量譜，圖 17(b)則顯示雷登轉換在各角度下的最大 Radon 值，在. ‧. 𝜃 = 10度時最大，即加上了圓限制式，讓我們獲得了準確的角度估計。而圖. sit. y. Nat. 17(c)為平滑後的目標函數，設區間 𝑡為 7，則可得估計長度 ∆̂= 20。故在模. io. n. al. er. 糊長度上，我們的方法也獲得了準確的估計。. Ch. engchi. i n U. v. 圖 17 平滑法估計參數 (a)為加入圓限制式後的能量譜，其真實長度∆=20、真實角度𝜃=10。(b) 顯示各角度下最大的 Radon 值，雷登轉換在𝜃=10 度時最大，則θ̂ = 10。(c)為平滑後的目標函數， ∆̂= 20。. 30.

(38) 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 圖 18 平滑法流程圖 31. i n U. v.

(39) 第四節影像還原影像還原是指將模糊影像還原回原始影像的過程。我們在前文介紹了幾個估計線性動態模糊參數的方法，當參數估計後則後續進行對影像還原的步驟。本文採用 Lucy-Richardson 法進行影像還原，此法主要是透過貝氏定理反覆迭代以還原模糊影像。實際上我們無法得知模糊影像真正的 PSF 參數，因此透過估計出來的 PSF 參數和 Lucy-Richardson 演算法進行還原，請參考. 政治大. Richardson (1972) 和 Dutta 等人 (2010)。. 立. 考慮一 𝑀 × 𝑁的影像，已知 𝑓(𝑥, 𝑦)為原始影像在(x, y)位置上的亮度，. ‧ 國. 學. 𝑔(x, y)為退化影像。已知退化影像理論上是由原始影像與點擴散函數旋積而成，. ‧. 𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑥, 𝑦) ∗ ℎ(𝑥, 𝑦) + 𝑛(𝑥, 𝑦). y. 𝛼. 𝛽. io. sit. Nat. = ∑ ∑ 𝑓(𝛼, 𝛽)ℎ(𝑥 − 𝛼, 𝑦 − 𝛽) + 𝑛(𝑥, 𝑦). n. al. er. 其中 𝑛(𝑥, 𝑦)為一平均為 0 的誤差項。則平均而言，退化影像上的每一個像素. Ch. i n U. v. 為原始影像上所有像素值的加權平均。或是說，我們可假設退化影像的像素. engchi. 服從一平均數為 ∑𝛼 ∑𝛽 𝑓(𝛼, 𝛽)ℎ(𝑥 − 𝛼, 𝑦 − 𝛽)的分配。由於像素值為非負整數，可考慮波式分配 (Poisson distribution)。細節如下。為了方便起見，以下以一維的符號來取代二維位置座標，將位置(𝛼, 𝛽)設為 i ，位置 (𝑥, 𝑦) 設為 j ，則 𝑔𝑗 = 𝑔(𝑥, 𝑦), 𝑓𝑖 = 𝑓(𝛼, 𝛽) ，且定義 ℎ(𝑖, 𝑗) = ℎ(𝑥 − 𝛼, 𝑦 − 𝛽)。其中點擴散函數 ℎ(𝑖, 𝑗)可解釋為原始影像第 i 個位置的每一個光點發散到退化影像第 𝑗點的機率，則退化模型可整理成為下列統計模型。定義 𝑧(𝑖, 𝑗)為原始影像第 𝑖個位置像素值發散到模糊影像第 𝑗個位置的總光 32.

(40) 點，則 𝑧(𝑖, 𝑗)~𝑖𝑛𝑑. 𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛(𝑓𝑖 ℎ(𝑖, 𝑗))。且則原始影像第 𝑖個位置的像素值 𝑓𝑖 可表示成 𝑓𝑖 = ∑MN j=1 𝑧(𝑖, 𝑗)。另外，退化影像第 𝑗個位置的像素值 𝑔𝑗 可表示成 𝑔𝑗 = ∑𝑀𝑁 𝑖=1 𝑧(𝑖, 𝑗) ~Poisson(𝜇𝑗 )。其中 𝜇𝑗 = ∑MN i=1 𝑓𝑖 ℎ(𝑖, 𝑗)。則. 政治 𝑓 ℎ(𝑖,大𝑗) z(i, j)|𝑔 ~Binomial (𝑔 , ) ∑ 𝑓 ℎ(𝑘, 𝑗) 立 𝑗. 𝑗. 𝑖 MN k=1 𝑘. 𝐸(𝑧(𝑖, 𝑗)) 𝑓𝑖 ℎ(𝑖, 𝑗) 𝑓𝑖 ℎ(𝑖, 𝑗) = = MN 𝜇𝑗 𝐸(𝑔𝑗 ) ∑k=1 𝑓𝑘 ℎ(𝑘, 𝑗). ‧. ‧ 國. 學. 而模糊影像 𝑔𝑗 上來自原始影像上第 𝑖個位置的比例為:. n. Ch. 𝑔𝑗 𝑓𝑖 ℎ̂(𝑖, 𝑗) ∑MN 𝑓𝑘 ℎ̂(𝑘, 𝑗) k=1. engchi. 而給定 𝑧̂ (𝑖, 𝑗),則原始影像上的像素值為: MN. MN. 𝑓̂𝑖 = ∑ 𝑧̂ (𝑖, 𝑗) = ∑ j=1. j=1. er. io. al. 𝑧̂ (𝑖, 𝑗) =. sit. y. Nat. 當我們知道點擴散函數 ℎ̂和模糊影像 𝑔，則可以得到 𝑧̂ (𝑖, 𝑗):. i n U. v. MN 𝑔𝑗 𝑓𝑖 ℎ̂(𝑖, 𝑗) 𝑔𝑗 ℎ̂(𝑖, 𝑗) = 𝑓 ∑ 𝑖 ̂ ̂ ∑MN ∑MN k=1 𝑓𝑘 ℎ (𝑘, 𝑗) k=1 𝑓𝑘 ℎ (𝑘, 𝑗) j=1. 最後得到迭代式: 𝑀𝑁. 𝑓𝑖. (𝑟+1). = 𝑓𝑖. (𝑟). ∑ 𝑗=1. 𝑔𝑗 ℎ̂(𝑖, 𝑗) (𝑟) ̂ ∑𝑀𝑁 ℎ(𝑘, 𝑗) 𝑘=1 𝑓. 33. 𝑘.

(41) 第三章模擬實驗本章將呈現幾個線性動態模糊估計的實驗，將第二章提到的已發展的兩個方法與我們提出的方法分別進行模糊參數的估計並比較其結果。包括傳統方法(簡稱 Traditional)，兩種運用影像梯度的方法:運用影像 𝑥方向的梯度簡稱 𝐺𝑥 ；而運用影像 y 方向的梯度則簡稱 𝐺𝑌，以及我們提出的方法(簡稱 Proposed)。我們的方法在估計模糊長度前須先將目標函數平滑化，我們考慮移動平均法，以下的模擬中，計算移動平均的區間一律設為影像寬度的 1%。透過 Matlab 軟體中的 Image. 政治大. Processing Toolbox 生成 Lena 影像之多種不同的模糊影像(影像尺寸256 × 256像. 立. 素)，模糊長度 ∆設定為 10-50；模糊角度 𝜃則設定為 1-180 度，在我們的模擬中. ‧ 國. 學. 不考慮加成性雜訊 𝑛(𝑥, 𝑦)。圖 19(a)為原始影像 Lena，圖 19(b)為 ∆= 20、𝜃 = 67度. ‧. 的模糊影像，圖 19(c)為 ∆=30、𝜃 = 90的模糊影像，圖 19(d) 為 ∆= 40、𝜃 = 144的模糊影像。我們將比較各方法對 ∆ , θ之估計結果，另外也將探討在所提的方法中. y. Nat. er. io. sit. 平滑參數之影響。. 本章首先呈現不同角度下各方法估計的結果，而第二個實驗為不同方法在不. al. n. v i n Ch 同長度下估計的表現，而我們也對平滑法中移動平均法的的平滑區間做討論，最 engchi U. 後將根據這些估計值，透過 Lucy-Richardson 法還原原始影像，比較這些方法在影像還原上的效果。. 34.

(42) 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學 sit. y. Nat. n. al. er. io. 圖 19 原圖 Lena 與模糊影像. Ch. engchi. 35. i n U. v.

(43) 第一節不同角度下參數估計結果在第一個實驗中，我們生成模糊長度 ∆分別為 20 和 40 像素，而模糊角度 𝜃從 10 度到 180 度，每十度為間隔，共 36 種不同的模糊影像。表一、二為四種方法對 ∆, 𝜃的估計結果，當估計值與真值間之估計誤差超過五時，將以紅字呈現。表格 2 為 ∆= 20下的結果，我們發現傳統方法與梯度法在很多時候皆出現相當的估計誤差。針對角度的估計，傳統方法的估計值與真實十分接近，只有少數情況之估計誤差超過五度，如 𝜃 = 10, 20, 70時。梯度法 𝐺𝑥 在模糊角度接近 0 度. 政治大. 與 180 度(也就是趨近橫軸)時其對角度的估計出現失誤；同樣地，梯度法 𝐺𝑌 在模. 立. 糊角度接近 90 度(也就是趨近縱軸)時，在角度的估計上出現嚴重估計錯誤。我們. ‧ 國. 學. 提出的方法則表現優異，在此實驗中皆未出現嚴重的估計誤差。. ‧. 由於所有的方法都是初步先估計出角度，後續再估計模糊長度。所以模糊長度的估計結果與角度估計的準確度息息相關。如果角度估計不準確，則後續的長. y. Nat. io. sit. 度估計必出現嚴重誤差。因此不論是傳統方法或梯度法，在長度的估計上表現皆. n. al. er. 不好。特別是梯度法，其估計誤差更為嚴重。而我們提出的方法之估計其誤差皆不超過 3 像素。. Ch. engchi. i n U. v. 表格 3 為 ∆= 40下估計的結果。此時所有方法的估計較先前改善許多。傳統方法的角度估計值皆未超過 5 度，在部分情況下些微高估模糊長度。梯度法的趨勢如同表一：梯度法𝐺𝑥 在模糊角度接近 0 度與 180 度時、 𝐺𝑌 在模糊角度接近 90 度時，在估計上出現嚴重錯誤。我們提出的方法之估計誤差皆在 1 度或 1 像素以內。圖 20 將各方法之估計角度與真實角度繪圖，結果越接近 45 度線表示估計越準確。圖形顯示我們的方法(綠線)幾乎與 45 度線重疊，傳統方法(黑線)有些許的偏差，梯度法𝐺𝑥 (紅線)和𝐺𝑌 (藍線)則在多處出現嚴重偏差，顯示其角度估計表現不佳。 36.

(44) 表格 2: ∆= 𝟐𝟎各角度下參數估計結果 Blurred Length ∆=20 𝐺𝑥. 𝐺𝑌. θ̂. ∆̂. θ̂. ∆̂. θ̂. ∆̂. θ̂. ∆̂. 10. 45. 98. 45. 146. 10. 66. 10. 20. 20. 45. 98. 45. 114. 21. 40. 21. 23. 30. 32. 58. 31. 40. 31. 39. 30. 20. 40. 41. 37. 40. 40. 40. 20. 40. 20. 50. 49. 26. 49. 39. 52. 20. 60. 58. 25. 39 治 49 政 58 39 58大. 36. 58. 20. 70. 45. 128. 70. 40. 68. 32. 71. 20. 80. 79. 29. 80. 51. 45. 256. 學. 80. 20. 90. 90. 35. 90. 39. 45. 205. 90. 23. 100. 99. 32. 99. 31. 135. 186. 99. 20. 110. 110. 23. 110. 28. 111. 158. 110. 20. 120. 121. 41. 122. 32. 122. 121. 20. 130. 131. 131. 40. 131. 71. 129. 20. 140. 139. 26. 32. 140. 20. 150. 150. 41. 148. 160. 159. 29. 170. 169. 180. 179. Nat. io. al. n. 48. C 138 h. 29 138 engchi U. 35. er. ‧ 國. 立. ‧. θ. y. Proposed. sit. Traditional. v ni. 39. 148. 39. 150. 23. 135. 120. 159. 60. 159. 20. 46. 135. 186. 168. 73. 169. 20. 26. 45. 114. 180. 186. 180. 20. *真實角度與估計角度偏差 5 度，真實長度與估計長度偏差 5 像素，以紅色表示估計結果不良。. 37.

(45) 表格 3 : ∆= 𝟒𝟎各角度下參數估計結果 Blurred Length ∆=40 𝐺𝑥. 𝐺𝑌. θ. θ̂. ∆̂. θ̂. ∆̂. θ̂. ∆̂. θ̂. ∆̂. 10. 10. 40. 45. 102. 9. 39. 10. 40. 20. 20. 46. 21. 40. 20. 40. 21. 40. 30. 31. 40. 31. 40. 31. 39. 30. 40. 40. 40. 40. 40. 40. 40. 40. 40. 40. 50. 50. 40. 50. 40. 50. 48. 50. 40. 60. 59. 54. 59. 39. 70. 70. 46. 立 70. 39. 40. 70. 40. 70. 40. 80. 80. 40. 80. 53. 45. 137. 學. 80. 39. 90. 90. 40. 90. 39. 45. 93. 90. 39. 100. 99. 40. 100. 39. 135. 186. 100. 39. 110. 110. 46. 110. 40. 110. 40. 110. 40. 120. 121. 40. 120. 54. 120. 54. 121. 40. 130. 130. io. sit. Proposed. 131. 53. 130. er. Traditional. 129. 40. 140. 139. 40. 140. 40. 150. 150. 43. 149. 40. 150. 40. 160. 160. 40. 159. 40. 160. 40. 159. 40. 170. 170. 40. 135. 114. 170. 39. 170. 40. 180. 180. 53. 45. 128. 180. 53. 180. 39. n. al. Ch. 140. 大. y. Nat 46. 59. ‧. ‧ 國. 治 59 政 39. n U e n51g c h i150 40. 38. 140. 40. i v 40.

(46) 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. 圖 20 不同模糊角度估計結果上圖為∆=20，下圖為∆=40。. 39. v.

(47) 第二節不同長度下參數估計的結果第一節展示兩特定模糊長度(20 和 40 像素)的估計結果。為了獲得更全面性的比較，在本節中我們考慮模糊長度介於 10 到 50 像素(間隔 5 像素)、模糊角度由 1 到 180 度估計之結果，也就是每種真實長度下有 180 種不同的組合。為了更清楚明瞭估計結果的優劣，我們計算這些不同角度下的均方差 (Mean Square Error, MSE)作為估計評斷的標準: MSE(𝜃̂; ∆) =. 立. 治̂ ; ∆) = 政 , MSE(∆ 大. 2 ̂ ∑180 𝜃=1(𝜃 −𝜃). 2 ̂ ∑180 𝜃=1(∆−∆). 180. 180. 。. 其中 𝜃̂為估計角度， 𝜃為真實模糊角度， ∆̂為估計長度, ∆為真實模糊長度。MSE. ‧ 國. 學. 值越小表示估計值與真實參數越接近。. ‧. 表格 4 顯示四種方法在不同長度下估計角度和長度的 MSE。圖 21 之上圖為模. sit. y. Nat. 糊角度估計之 MSE 的灰階影像，下圖則是模糊長度估計的 MSE 灰階圖。當 MSE. io. er. 越大則越接近白色，MSE 越小則越接近黑色。根據圖形看出傳統方法在真實模糊長度較短時估計效果較差，當真實長度增加則估計結果改善。梯度法則表現不佳。. al. n. v i n Ch 相較之下，我們的方法普遍優於其他的方法。由表三可看出我們的方法的 MSE 明 engchi U 顯低於其他三法，甚至跟梯度法比較起來，僅是梯度法的 MSE 之數千分之一至數萬分之一。當長度大於等於 30 像素時，雖然傳統方法在估計角度上的表現較為改善，但其對長度的估計的 MSE 仍然遠高於我們的方法。. 40.

(48) 表格 4 各長度下估計 MSE. 25. 30. MSE(𝜃̂; ∆). 1911.52. 1184.77. 110.19. MSE(∆̂; ∆). 7639.97. 3653.78. 1622.84. MSE(𝜃̂; ∆). 771.31. 479.79. 556.23. 627.38. 610.82. MSE(∆̂; ∆). 41498.89. 28308.66. 23377.73. 18691.33. MSE(𝜃̂; ∆). 997.739. 474.039. 281.039. MSE(∆̂; ∆). 38987.78. 35083.16. MSE(𝜃̂; ∆). 9.54. 2.74. MSE(∆̂; ∆). 144.26. 56.23. 0.61. 40. 0.36. 45. 50. 0.13. 0.06. 40.79. 27.59. 11.22. 514.48. 672.77. 674.68. 834.64. 10099.93. 7042.47. 5129.74. 3011.23. 5653.09. 243.59. 244.48. 233.52. 232.42. 209.13. 221.54. 26107.69. 17432.23. 13063.30. 9650.88. 6282.64. 4316.19. 5972.21. 1.37. 0.77. 0.46. 0.38. 0.21. 0.12. 0.06. 5.34. 2.54. 2.06. 4.41. 16.51. 15.89. 立. 96.31. 35. 0.23. 政治99.28 大 37.04. 277.84. y. ‧. Nat. Proposed. 20. 學. 𝐺𝑌. 15. sit. 𝐺𝑥. 10. io. n. al. 2.90. er. Traditional. ∆. ‧ 國. Method. Ch. engchi. 41. i n U. v.

(49) 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. v. 圖 21 不同長度下角度與長度估計的 MSE 上圖為模糊角度估計的 MSE 灰階圖，下圖為模糊長度估計的 MSE 灰階圖。. 42.

(50) 第三節平滑區間對長度估計的影響我們的方法建議以平滑後的目標函數來估計模糊長度。我們考慮移動平均平滑法，此平滑法的關鍵參數是加權平均的區間 (Span)，當區間越大則函數被平滑的效果越明顯，區間越小則函數上保留較多的細節。本節將討論平滑區間對模糊長度估計的影響。沿用第二節的設定，表格 5 中列出我們的方法在不同區間長度比例下估計模. 政治大計算平均數的像素個數。舉例來說，假設目標函數上橫軸的全距為 728(-364~364)，立. 糊長度的 MSE。目標函數上橫軸的全距乘上區間比例，就是移動平均法在平滑時. 若選用區間比例 1%，則移動平均法的區間為 728×1%=7.28，因此平滑區間範圍約. ‧ 國. 學. 為 7，也就是目標函數上每個點本身與前後三個點的值取平均。. ‧. 表格 5 呈現了區間長度為 0.5%、1%和 1.5%下所獲得的長度估計之 MSE。我. sit. y. Nat. 們發現，區間長度的確影響長度估計的準確度。當真實模糊長度較短時，採用較. io. er. 大的區間比例才能降低 MSE；而當模糊長度較長，則應採用較小的區間長度。由. al. v i n Ch 則能量譜上的水平線間距越窄，經由雷登轉換後，目標函數將呈現頻率較高的趨 engchi U n. 於點擴散函數的模糊長度反映在能量譜上水平線之間的寬度，當模糊長度越長時，. 勢。圖 22 之圖(a)為模糊長度 ∆= 10的目標函數，圖 22(b)則為模糊長度 ∆= 50的目標函數。隨著模糊長度增加，目標函數中的波動更為劇烈、頻率更高，此時應採用較為低的區間比例，才能保留重要資訊。故若分析人員推測模糊長度偏高時，則應採用較短的區間。一般而言，我們建議平滑區間比例應介於 0.5%和 1.5%之間。雖說區間長度的確影響估計的準確度，根據表三，無論採用何種比例，我們方法的對模糊長度的估計仍然優於其他三法。. 43.

(51) 表格 5 不同平滑區間下長度估計的 MSE 區間比例 ∆. 0.5%. 1%. 1.5%. 10. 557.3. 144.26. 100.55. 15. 186.6. 56.23. 51.46. 20. 94.79. 5.34. 13.68. 25. 10.89. 2.54. 4.96. 30. 8.78. 2.06. 4.84. 35. 4.26. 40 45. 2.33. 16.51. 309.7. 50. 5.09. 15.89. 652.89. 學 ‧. ‧ 國. 立. 2.9 78.66 治政 3.08 4.41 大121.08. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. v. 圖 22 模糊長度對目標函數影響 (a) ∆= 10的目標函數。(b) ∆= 50的目標函數。. 44.

(52) 第四節影像還原前幾節的比較著重在模糊參數的估計上，本節則探討運用各估計結果對模糊影像進行還原的還原效果。我們將使用 Lucy-Richardson 演算法，搭配估計參數值對模糊影像進行還原。為了檢視各估計方法還原影像的效果，我們考慮以原始影像和還原影像之間的均方差作為判斷的標準。定義一張尺寸 𝑀 × 𝑁的原始影像像素值為 𝑓(𝑥, 𝑦)、其還原影像為 𝑓̂(𝑥, 𝑦)，則原始影像與還原影像之間的 MSE 為: ∑𝑥 ∑𝑦[𝑓̂(𝑥, 𝑦) − 𝑓(𝑥, 𝑦)]2. 立. 政 𝑀𝑁治大. 小表示還原影像與原始影像越接近、還原效果越好。. 學. ‧ 國. 其意義為檢視原始影像與還原影像上每一個對應的位置像素值之間的差距，MSE 越. ‧. 影響影像還原的因素，除了模糊參數的估計外，還包括 Lucy-Richardson 演算. y. Nat. 法的迭代次數(n)。以模糊參數為 ∆= 20, θ = 30度的模糊影像為例，我們考慮採. er. io. sit. 用真實的參數值以及不同的迭代次數進行影像還原。圖 23(a)為 Lena 原始影像，圖 23(b)為模糊影像，圖 23(c)-(f)則分別表示迭代次數 n=20、60、120 和 320 次的還原. al. n. v i n Ch 影像。經過比較發現，迭代次數越多在視覺上還原的效果越好。圖 23(c)只有迭代 engchi U. 20 次顯示嚴重的波瀾，而圖 23(d)清楚許多但依舊有些殘影存在，圖 23(e)仔細觀察仍可以發現淡淡的線條(如 Lena 肩膀處)，最後圖 23(f)經過 320 次迭代，各處的波瀾已消失不見，取而代之的是類似雜訊的效果。另一方面，我們計算各還原影像與原始影像之間的均方差 (MSE)，並繪製成圖 24。圖 24 顯示 MSE 在迭代 60 次時達到最小，此結論與圖 23 的結果並不一致，即 MSE 此準則與視覺感受差異大。在以下的實驗中，我們為了公平的比較還原結果將迭代次數一律設為 60 次。接著我們比較各估計方法的影像還原效果。我們產生真實模糊長度 45.

(53) ∆= 20 − 50 像素(間隔 10 像素)與真實模糊角度 𝜃 = 10 − 180度(間隔 10 度)的模糊影像，先透過四種方法估計參數，再利用估計結果以 Lucy-Richardson 法進行影像還原，並計算還原影像與真實影像之間的 MSE。我們首先以一範例說明 : 在圖 25 中，圖 25(a) 為原始影像，圖 25(b) 為 𝜃 = 30、∆= 20的線性動態模糊影像，圖 25(c)是傳統方法的還原影像，其角度估計值θ̂ = 32，長度估計值 ∆̂= 58。圖 25(d)為 𝐺𝑥 的還原影像，參數估計值為θ̂ = 31， ∆̂= 40。圖 25(e)為 𝐺𝑦 的還原影像，參數估計值為θ̂ = 31，∆̂= 39。圖 25(f)則是我們提出方法的還原影像，參數估計值為 θ̂ = 30， ∆̂= 20。雖然前三種方法的角度. 政治大. 估計值都靠近真實值，但長度估計值皆嚴重高估，此導致了還原效果不佳。我們. 立. 提出的方法還原效果則相對優良，可以清楚辨識人臉部位。. ‧ 國. 學. 表格 6-9 顯示三種方法在不同參數設定下還原影像的 MSE，我們進一步以圖. ‧. 26(a)-(d)表示這些方法的還原影像的 MSE 灰階圖矩陣，以三種方法中最大的 MSE 值(約 12000)顯示為白色，而 MSE 值為 0 顯示黑色，其中橫軸為真實角度 𝜃，縱. y. Nat. io. sit. 軸為真實長度∆。圖 26(a)顯示傳統方法的結果，當真實長度∆越長，還原的效果也. n. al. er. 越好。當∆= 20, θ = 70 時，此方法還原效果最差。對照表一的參數估計值，可以. Ch. i n U. v. 發現此法在此情境下的長度估計 ∆̂= 128嚴重高估，這導致還原效果極差。圖 26(b). engchi. 與(c)分別顯示 𝐺𝑥 和 𝐺𝑌 還原的結果，由圖可得知此二梯度法分別在某些特定角度下還原效果不好。𝐺𝑥 在真實角度接近 0 度與 180 度時效果不好， 𝐺𝑌 則在真實角度接近 90 度效果不良。此發現與第一節的結果一致。圖 26(d)則是我們提出的方法還原的結果，各組合間還原效果差異不大。唯一特例是 ∆= 50, θ = 60的還原效果特別差，此時其長度估計值 ∆̂= 33低估真實長度。在還原效果的 MSE 比較上，我們可以觀察四張圖 26(a)-(d)之間的對比度，圖 26(d)相較於(a)-(c)整體更接近黑色，顯示我們的方法仍然優於其他方法。. 46.

(54) 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. v. 圖 23 不同迭代次數還原效果迭代次數 n=20, 60, 120, 320 下的還原影像。 47.

(55) 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. al. er. io. sit. y. Nat. 圖 24 不同迭代次數的 MSE. Ch. engchi. 48. i n U. v.

(56) 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. v. 圖 25 線性動態模糊還原效果比較其中圖 26 在θ = 30、∆= 20下，採用不同模糊參數估計方法的還原影像。(a)為原始影像；(b)為模糊影像。(c)為傳統方法的還原影像，參數估計值為 θ̂ = 32，∆̂= 58。(d)為𝐺𝑥 的還原影像，參數估計值為θ̂ = 31, ∆̂= 40。(e)為𝐺𝑦 的還原影像，參數估計值為θ̂ = 31，∆̂= 39。(f)則平滑法的還原影像，參數估計值為 θ̂ = 30，∆̂= 20。. 49.

(57) 表格 6 傳統法在不同參數下影像還原的表現. 立. 政40 治 50 大 3247.31 1056.31. 6847.28. 30. 51.66. 3339.601. 1438.44. 1467.32. 3001.88. 40. 65.32. 702.9801. 83.10. 60.17. 58.10. 50. 79.22. 102.192. 76.74. 66.98. 65.94 θ. Nat. 100. ‧ 國. 8803.958. 110. 1946.94. 314.31. 30. 380.62. 411.52. 40. 82.63. 583.92. 50. 61.52. 83.57. 4278.07. io. 20. 120. 130 5263.23. 140 1282.38. n. 71.31. 50. 78.78. 80. 90. 9880.73. 1418.44. 2502.65. 93.89. 365.58. 63.30. 43.72. 1878.00. 534.86. 52.95. 54.79. 99.47. 740.16. 57.76. 62.32. 160. 150. 4459.52. a63.98 l C 1290.97 2229.85n i v 50.86 i U 82.25 h e554.55 227.44 n g c h100.46 67.90. 70. 759.94. ‧. 8803.85. 60. y. 30. sit. 20. 20. MSE(f̂(x, y), f(x, y)). ∆. 10. 學. ∆. θ. er. MSE(f̂(x, y), f(x, y)). 82.92. 170. 180. 1941.52. 5525.07. 1283.61. 65.53. 519.30. 63.61. 69.28. 67.80. 2386.52. 80.47. 79.81. 85.57.

(58) 表格 7 梯度法 𝑮𝒙 在不同參數下影像還原的表現. 10. 20. 20. 10492.53. 9640.07. 3838.4. 30. 11841.33. 1646.48. 84.49. 40. 6394.36. 82.18. 50. 7673.4. 100. 120. 20. 1829.68. 1549.2. 2513.71. 4289.8. 1977.27. 4076.48 10079.89 11761.41. 30. 62.3. 46.68. 1554.31. 1580.47. 1551.65. 1643.94. 40. 57.2. 57.15. 1760.03. 65.12. 50. 61.52. 66.06. 立83.1. 75.25. 50. 60. 3844.17 3326.17 治政 2033.89 75.08 大 61.05. 76.74. 4005.03. 60.17. 58.1. 66.98. 65.94. 93.86 66.95. 70. 80. 90. 3233.11. 4863.65. 2733.01. 46.37. 1335.06. 43.72. 57.65. 1515.38. 77.26. 60.26. 1695.23. 70.96. θ. n. 1788.82. Ch. 67.9. 78.78 e71.31 ngchi U. 51. 150. 160. 170. y. 140. sit. io. al. 130. ‧. 110. Nat. ∆. 40. 學. MSE(f̂(x, y), f(x, y)). 30. er. ∆. θ. ‧ 國. MSE(f̂(x, y), f(x, y)). 1613.02. v ni. 82.92. 763.92 10340.64 86.66. 8937.88. 180 9627.43 7469 8334.52. 80.47 10579.24 11149.45.

(59) 表格 8 梯度法 𝐆𝐲 在不同參數下影像還原的表現. 20. 30. 40. 7963.38. 4226.9. 3609.63. 30. 1607.28. 85.78. 63.73. 40. 90.79. 63.45. 50. 79.22. 75.25. 3844.17 治政47.59 4418.85大. 76.74. 35.79. 60. 60.17. 826.28. 66.98. 65.94. 2861.8. 70. 80. 90. 2008.08 12400.08 11780.33. 61.05. 46.37 10540.58. 93.86. 57.65. 9604.52. 8721.1. 60.26. 11663. 8286.93. 66.95. 9608.24. θ 130. 140. 150. 160. 170. 180. 11600.99 11378.23. 2966.02. 7579.03. 2738.38. 4076.48. 7393.69. 30. 11122.39. 46.68. 1554.31. 1580.47. 1551.65. 1514.92. 53.63. 3777.68. 1822.64. 40. 11351.85. 57.15. 62.81. 65.12. 69.25. 69.29. 74.71. 2386.51. 50. 10765.05. 66.06. 82.92. 80.47. 79.81. 3020.74. Nat. 20. y. 120. sit. 110. ‧. 100. 立 115.51. 50. 學. 20. MSE(f̂(x, y), f(x, y)). io. ∆. 10. al. n. 1788.82. Ch. 67.9. 78.78 e71.31 ngchi U. 52. er. ∆. θ. ‧ 國. MSE(f̂(x, y), f(x, y)). v ni. 9193.4 11835.63.