請問：什麼是平行？請利用日常生活中的例子來說明平行的意義。
一、《幾何原本》的平行公設
歐幾里得（Euclid，公元前 300 年前後）的《幾何原本》是幾何史上第一本有系統地討論 幾何的著作。雖然本書裏面的結果大多數都是前人已知的，但它所採用的公理方法卻被數學家 沿用至今。精心選出來的 5 條公理、5 條設準，充份顯示出歐幾里得的天才及驚人的洞察力。
特別是第五設準的引入，吸引了無數一流的數學家嘗試去證明，這導致非歐幾何的出現，讓我 們對歐氏幾何有更深入的了解。
平行設準：如果一條線段與兩條直線相交，在某一側的內角和小於兩直角，那麼這兩條直 線在不斷延伸後，會在內角和小於兩直角的一側相交。
二、在《數理精蘊》中關於平行線的部分
清朝康熙皇帝時期的一本關於數學的書籍《御製數理精蘊》，簡稱《數理精蘊》，是一部介 紹包括西方數學知識在內的數學百科全書。全書分上下兩編及附錄。上編五卷專講數理，立綱
明體，是全書的基本理論部分。卷二至卷四為《幾何原本》，是根據張誠、白晉的法文譯本修訂
的，共 12 章，分別講述了三角形、四邊形、圓及內接外切多邊形、立體幾何、比例、相似形、
勾股定理、圓錐体及球與橢圓体的表面積和體積、幾何作圖法等內容。以下是在《數理精蘊》
中關於平行線的部分（http://archive.org/stream/06076284.cn#page/n76/mode/2up）
主題一：平行
觀察學校運動場的直線跑道，各跑道之間的分隔線是否互相平行不會相交？起跑線是否與 各分隔線都垂直？在日常生活中，常用「平行」來描述同一平面上兩條永不相交的直線，但是 只靠延長直線去檢查兩條直線有沒有相交是很困難的。
平行線的意義：
（1）在同一平面上，兩直線同時垂直於另一直線，則稱此兩直線互相平行。
（2）當兩條直線平行時，若有一條直線與其中另一條平行直線垂直，則此直線必與另一條平行 直線垂直。
（3） 兩平行線間的距離處處相等。平行線間的距離指的是做垂直線段的長度。
例 1.如圖 1，若直線 L1 與直線 L2 同時垂直 L 於 A、B 兩點，
則 L1 與 L2 會相交嗎？
說明: 設 L1、L2 交於一點 C，如下圖，則 A、B、C 三點可 形成一個三角形。
在 ABC 中，∵∠CAB、∠CBA 都是直角，∴∠CAB＋∠CBA
＋∠C＞180°，但已知三角形的內角和為 180°，不可能超過 180°，
所以我們的假設是錯誤的，因此當 L1 與 L2 同時垂直於 L 時，
L1 與 L2 不會相交
在一平面上，兩直線如果可以找到一條共同的垂直線，我們 就稱這兩直線互相平行，如圖 2，L1 與 L2 同時垂直於直線 L，
所以它們互相平行，記作「L1 // L2」，讀作「L1 平行於 L2」。
例 2.如圖 3，在一平面上有相異三直線 L1、L2、L3，若 L1 // L2， L2 // L3，則 L1 與 L3有什麼關係？
說明：若 L1 // L2，則會有一條直線 M 同時垂直於 L1、L2，又 L2
// L3 時，M 也會垂直於 L3，∴M 同時垂直於 L1、L3，因此 L1 // L3。 也就是說，平面上的相異三直線 L1、L2、L3，若 L1 // L2， L2 // L3，則 L1 // L3。
B L1
L2
A
C L
圖 1
圖 2
圖 3
主題二：截線與截角
在一平面上如圖 4，若直線 L 同時與另兩條直線 L1、L2 交於不同 的兩點，如圖 3，我們稱直線 L 為 L1、L2 的截線。
而截線 L 與 L1、L2 形成八個交角，即圖中的∠1、∠2、⋯⋯、∠
7、∠8，這些角都稱為截角。
截角與截角之間，隨著彼此的位置關係，會有不同的名稱。
同位角：∠1 與∠5 分別在 L1 與 L2 的上方，且都在截線 L 的左方，像這樣位置對應相同的 一組角稱為同位角。同樣的，∠2 與∠6、∠3 與∠7、∠4 與∠8 也是同位角。
內錯角：∠4 與∠5 在 L1 與 L2 的內側，且交錯在截線 L 的兩側，像這樣的一組角稱為內錯 角。同樣的，∠3 與∠6 也是內錯角。
同側內角：∠3 與∠5 在 L1 與 L2 的內側，且都在截線 L 的同側，像這樣的一組角稱為同側 內角。同樣的，∠4 與∠6 也是同側內角。
例 3.如圖 5，直線 L 為 L1、L2的截線，則：
(1)∠2 的同位角是 。 (2)∠3 的內錯角是 。 (3)∠4 的同側內角是 。
主題三：平行線的截線與應用
兩平行線被一直線所截的同位角相等、內錯角相等、同側內角互補。
當兩條平行線被另一條線所截時，截出來的同側內角、內錯角、同位角有什麼性質呢？我們來看 下面的說明。
☆如圖 6，L1 // L2，若截線 L 與 L1 垂直，則 L 也必與 L2 垂直，此時∠1、
∠2、⋯⋯、∠7、∠8 八個截角都是直角。
☆但是如果截線與平行線不垂直呢？如圖 7，L1 // L2，L 是截線，而且 L 與 L1、L2 不垂直。
我們先來看同位角，如圖 7 中的∠2 與∠6。
圖 7 圖 6 圖 4
圖 5
∵L1 // L2，因此可找到一條垂直線 M 同時與 L1、L2垂直。
由圖 7 可知 ∠2＋∠9＋90°＝180°，∠6＋∠9＋90°＝180°，
因此∠2＋∠9＋90°＝∠6＋∠9＋90°，∴∠2＝∠6。
由上可知，兩平行線被一直線所截的同位角相等。
接下來，我們來看兩平行線的內錯角，如圖 7 中的∠3 與∠6。
當 L1 // L2 時，同位角∠2＝∠6，又∠3＝∠2 (對頂角相等)，
∴∠3＝∠6。同樣的，另一組內錯角∠4＝∠5。
因此，兩平行線被一直線所截的內錯角相等。
最後來看同側內角，如圖 8 中的∠4 與∠6。
當 L1 // L2 時，同位角∠2＝∠6，又∠2＋∠4＝180°，
∴∠4＋∠6＝180°。同樣的，另一組同側內角∠3＋∠5＝180°。
因此，兩平行線被一直線所截的同側內角互補。
例 4. 如圖 9，L1//L2，L 是 L1與 L2的截線，若∠1＝50°，則︰
(1) ∠1 的同位角是 ，它是 度。
(2) ∠3 的同位角是 ，它是 度。
(3) ∠4 的內錯角是 ，它是 度。
(4) ∠3 的同側內角是 ，它是 度。
圖 9 解： ∵∠1 是∠3 的對頂角 ∴∠1＝∠3＝50°，∠2 和∠4 都是∠1 的補角，
∴∠4＝∠2＝180°－∠3＝130°。∵平行線所截的同位角相等 ∴ ∠5＝∠1＝50°，
∠6＝∠4＝130°，∠7＝∠3＝50°，∠8＝∠2＝130°。
由上可知，∠1＝∠5＝∠3＝∠7＝50°；∠2＝∠8＝∠4＝∠＝130°。
例 5. 如圖 10，L1 // L2，M、N 都是 L1與 L2 的截線，
其中 N⊥L2。根據圖上所標示的度數，
求∠1、∠2、∠3 和∠4 的度數。
例 6.如圖 11，L1 // L2，M1 // M2，求∠1、∠2 的度數。
解: ∵M1 // M2，∴∠1＝68° (同位角相等)；
∵L1 // L2，∴∠2＝∠1＝68° (同位角相等)。
圖 11 圖 10
圖 8
例 7.如圖 12，L1 // L2，已知∠1＝50°，∠2＝60°
，求∠ABC 的度數。
如圖 13，∵L1 // L2，∴∠ADC＝∠2＝60° (內錯角相等)，
∵∠ABC 是 ABD 的外角，
∴∠ABC＝∠1＋∠ADC＝50°＋60°＝110°。
如圖 14，過 B 點作 L3 // L1 ∵L1 // L2，∴L3 // L2。 ∵L1 // L3，∴∠3＝∠1＝50° (內錯角相等)，
∵L2 // L3，∴∠4＝∠2＝60° (內錯角相等)，
因此∠ABC＝∠3＋∠4＝50°＋60°＝110°。
圖 14 圖 13 圖 12
附錄二
平行與截線性質學習工作單
班級：╴╴ 座號：╴╴ 姓名：╴╴╴╴╴
1.在一平面上有相異三直線 L1、L2、L3，若 L1⊥L2，L2⊥L3， 則 L1 與 L3有什麼關係？
2.如圖 1，L1 // L2，那麼同位角∠1 與∠5、∠3 與∠7、
∠4 與∠8 的度數相等嗎？
3.如圖 2，∠3＝80°，求其他七個截角的度數。
4.如圖 3，L1 // L2，M、N 都是 L1 與 L2 的截線，∠2＝108°、
∠4＝81°，求∠1、∠3 和∠5 的度數。
5.如圖 4，L1 // L2，M1 // M2，求∠1、∠2 的度數。
6.若∠A 與∠B 角的兩邊互相平行，∠A＝70°，
則∠B＝╴╴╴。
7.如圖 5，L1 // L2，已知∠1＝135°，∠2＝55°，
求∠ABC 的度數。
圖 4
圖 5 圖 3 圖 2 圖 1
通訊作者：劉致演，e-mail：unique.cs@msa.hinet.net 收稿：2015 年 4 月 1 日；
接受刊登：2015 年 10 月 1 日。
秦爾聰、劉致演、張克旭、段曉林（2015）。
數學臆測探究教學對商職學生數學學習成就與動機之影響。
臺灣數學教育期刊，2（2），53-83。
doi: 10.6278/tjme.20151001.003
數學臆測探究教學對商職學生數學學習成就與動機之影響
秦爾聰1 劉致演1 張克旭2 段曉林1
1國立彰化師範大學科學教育研究所
2國立臺中高級家事商業職業學校
本研究旨於探討數學臆測探究教學策略對於商職二年級學生數學學習動機及學習成就的影響。研究設計 採準實驗研究之不等組前後測設計；資料收集及分析採量為主質為輔的方式進行。兩個案班級各39 人，
隸屬同一任課教師，為中部某公立家商二年級學生。實驗組採臆測探究教學，控制組則維持傳統講述式教 學；研究時程共歷經一整個學年。評量學生數學學習動機工具為數學學習動機問卷，檢驗學生學習成效工 具為六次段考成績。研究結果發現，臆測探究教學組學生動機提升與傳統教學組學生間存在顯著差異，學 習成就雖未存在顯著差異卻呈現穩定成長的態勢。顯示在臆測探究教學環境脈絡下，學生願意主動參與 學習、採用不同策略解決問題、重視數學學習價值，在精熟目標導向引導下期許自己是高自我效能的學習 者，進而在學習成就上呈現穩定成長的狀態。
關鍵詞：探究教學、數學臆測、學習成就、學習動機
Corresponding author：Chih-Yen Liu，e-mail：unique.cs@msa.hinet.net Received：1 April 2015;
Accepted：1 October 2015.
Chin, E. T., Liu, C. Y., Chang, K. H., & Tuan, H. L. (2015).
Influences of conjecturing-Inquiry teaching on commercial vocational high school students’ achievements and motivation towards mathematics Learning
Taiwan Journal of Mathematics Education, 2(2), 53-83.
doi: 10.6278/tjme.20151001.003