延伸與評估

此階段延伸的目的旨於幫助學生將前述一般化後的數學結論應用在類似的數學情境中，讓 學生能夠將其所習得的新概念加以整理並延伸發展，。由於一般化、特殊化和類比往往偕同解 決數學問題（Polya, 1954），一般化是從對象的一個給定集合進而考慮到包含這個給定集合的更 大集合，特殊化是從對向的一個給定集合，轉而考慮那包含在這集合內的較小集合，而類比是 某種類型的相似性，是一種夠確定的和更概念的相似，此外Polya（1954）強調透過類比的臆測 在數學學習中的價值，誠如數學家使用類比用於發現新概念或是解題方法，Lakatos（1976）認 為藉由類比所進行的臆測有助於數學探究（mathematical discovery）。因此在本階段中，教師的 教學任務旨於協助學生將先前階段中所產生的數學發現即結論透過類比的方式應用於新的數學

情境中，如提問學生：「小丸子出發前不幸帕瑪颱風來襲，突然的降雨導致某些區域淹大水無法

通過（如圖 1 壽山動物園至歷史博物館對角線所成的矩形面積），請問小丸子有幾種走法（注意：

一樣走最近的路喔）」，透過類比的問題幫助學生藉由演繹推理精緻化前面所建構的數學知識，

或透過統整及調適建構新的心智基模。

此階段中評估的任務主要協助學生評估他們對知識的理解程度，讓學生能夠注意到其想法 的改變以及其學習歷程，並能反思其想法改變的程度，教師的任務旨於協助學生回顧整個臆測 探究教學過程，針對學生有問題的地方做概念澄清，引導學生反思整個活動歷程，並針對學生

的回饋進行教學策略的改進依據。如本活動提出兩個數學問題協助學生檢驗其學習成效：「如圖

2（左），從 A 走至 B 採捷徑走法，共有幾種方法？」、「如圖 2（右），自 A 走到 B 繞過障礙物 採捷徑走法，方法共有幾種？」

圖 2 小丸子遊高雄之延伸問題

（二）數學學習動機量表

本研究採用修改並效化過之科學學習動機問卷（Tuan et al., 2005），用以量度學生數學學習 動機變化。此量表根據Brophy（1998）和 Pintrich 與 Schunk（2002）的學習與動機實徵性研究 結果，進一步確立科學學習動機之六個子向度：（1）自我效能：是指學生相信自己有能力能夠 在科學學習任務中表現良好；（2）主動學習策略：是指學生根據先前的理解主動透過不同的策

略建構新知；（3）科學學習價值：是足以令學生獲得解題能力、經驗探究活動、刺激學生思考及

發現日常生活中的科學關係的價值觀；（4）表現目標：學生的科學表現目標是與其他同學競爭 並希望獲得老師的關注；（5）成就目標：學生在科學學習期間對於其能力及成就之提昇感到滿 足；（6）學習環境刺激：包含課程、教師教學及同儕互動等足以影響學生科學學習動機之環境 組成。該量表採李克特五等尺度，計分方式為非常同意5 分，同意 4 分，沒意見 3 分，不同意 2 分，非常不同意 1 分，共有自我效能、主動學習策略、科學學習價值、表現目標、成就目標與 學習環境刺激等六個子量表；其中第2、4、5、6、7、21、22、23 與 24 題為負向題。考量商職 學校學生之動機屬性，並確認該動機量表用於檢驗學生數學動機之信度，本研究將該試卷各問

題中之科學學科改成數學，經由專家效度的檢驗後，委請授課教師班級以外之高一10 個班級、

高二12 個班級及高三 7 個班級，共 29 個班級 1099 位學生協助問卷施測，施測結果共回收 1082 份有效問卷，以SPSS 17.0 統計軟體進行信度考驗分析，結果顯示數學動機學習量表總 Cronbach's α 係數為 .74，六個子量表各 Cronbach's α 係數分別為自我效能（self-efficacy）.72、主動學習策 略（active learning strategies） .71、數學學習價值（mathematics learning value）.72、表現目標

（performance goal）.77、成就目標（achievement goal）.74、學習環境刺激（learning environment stimulation）.73，顯示該問卷具有良好的信度係數。

（三）學習成就評量

由於評量的目的是為協助學生了解對於學習的理解以及維繫學習運行（keeping learning on track）（Wiliam, 2007），並且本研究所設計之臆測探究教學活動皆以課本內容為主，此外，由於 職業科類別學生對於學科的學習強調應用，因此學習成就測驗目標主要聚焦於了解學生對於課

本內容是否達到概念理解（conceptual understanding）與程序流暢（procedural fluency）（NRC, 2001），

因而試題內容設計聚焦於學生對於數學定義、定理的理解與應用（參考圖3 段考試題示例）。有

鑑於此，本研究採用段考試題作為評量學生學習成就工具，藉以觀察數學臆測探究教學策略介 入對學生學習成就的影響。

圖 3 段考試題示例 四、研究工具

本研究資料蒐集共計有：（1）數學學習動機問卷：問卷實際施測時，共計針對實驗及對照 組施測三次，在學生剛升上高二一個月時進行前測，於實施臆測探究教學二個月後進行中測，

並於教學實驗結束後進行後測。（2）段考成績：為貼近觀察數學臆測探究教學對實驗組學生學 習成就影響，本研究收集數學臆測探究教學組及傳統教學組全學年度上、下學期共六次段考成 績，並輔以晤談以協助分析。（3）晤談紀錄：在每個單元結束後針對 6 名個案研究對象進行晤 談，並對對照組學生做不定期晤談，內容包括特殊的臆測解題思維模式及對教學活動的感受，

並以錄音及錄影的方式進行紀錄後加以轉錄文本並編碼分類。（4）教師反思日誌：教師在每次 課後詳細記錄教學情形及學生的學習行為，作為往後教學改進之用。（5）學生學習日誌：學生 針對所進行之探究活動所作的回饋與反思。

五、資料分析

（一）量化資料分析 1.數學學習動機問卷

在分析前將負向題分數進行轉換，非常同意改為1 分，同意改為 2 分，不同意改為 4 分，

非常不同意改為5 分，表現目標的分數經轉換後分數則代表非表現目標（non-performance goal）。 分析時以SPSS 17.0 統計分析軟體進行臆測探究教學組與對照組之前、中、後測敘述性統計分析

及以前測數據做為共變項，進行中、前測與前、後測單因子共變數分析（ANCOVA）、重複量數 分析與Scheffe 法，呈現各向度分數之平均值變化量以及相關性分析。

2.學習成就評量

本研究將整學年六次段考依數學學習動機問卷施測日程，將第一次段考作為段考成績分析 前測，第二、三次段考成績平均數作為段考中測成績，第四、五、六次段考成績平均數作為段考

後測成績。前測部分以獨立樣本t 檢定，分析兩組學生在段考成績前測上是否存在顯著差異，中

測及後測部分則以前測作為共變量進行變異數分析，以分析兩組學生在段考成績中、後測上是 否存在統計分析上之顯著差異。另為了解兩組學生段考成績集中趨勢量數之變化，考量每次段 考難易度的差異，六次段考的成績均換算為T 分數後再進行分析。

（二）質化資料分析

本研究所收集之質性資料用於提供臆測探究教學如何影響學生學習動機的證據，質性資料 分析架構主要參考Strauss 與 Corbin（1990）依現象觀察結果加以有系統性的歸納。首先，我們 將訪談轉成逐字稿，並與其他質性資料進行統整，針對研究對象之高動機、中動機、低動機個 案學生的學習表現作細部探討，將不同的資料進行個別檢視和綜合比較，並與動機量表施測的 結果做交叉分析，以歸納分析出支持研究對象在動機量表六個向度中表現的質性證據。

肆、研究發現 一、學生學習動機變化情形

（一）數學學習動機量表前測、前中測、前後測差異分析

本研究之臆測探究教學組及對照組兩個研究個案班級，高一期間數學科教師皆隸屬同一位 屆退老師，在該位教師退休後由本研究之教學者接替教學，臆測探究教學組探究教學實施約兩 學期，期間傳統教學組仍維持傳統講述教學策略。為了解兩組個案學生之數學學習動機變化，

本研究針對學習動機問卷量表之前、中、後測之六個向度進行分析探討。表 1 為臆測探究教學

組與傳統教學組前、中、後測學習動機各向度描述統計結果。根據數學學習動機問卷前測獨立

樣本 t 檢定分析結果，發現臆測探究教學組與傳統教學組在前測中自我效能、主動學習策略、

數學學習價值、非表現目標、成就目標、學習環境刺激及總分各向度T 值分別為-.99、-.67、-.89、

-.64、.34、.52、-.23，p 值分別為.33、.51、.38、.52、.74、.60、.82，顯示兩組在數學學習動機 問卷各向度間不存在顯著差異，但在自我效能、主動學習策略、非表現目標及總分等，臆測探 究教學組的得分低於傳統教學組。

表1 

臆測探究教學組與傳統教學組數學學習動機前、中、後測平均數及標準差

臆測探究（N = 39） 傳統教學（N = 39）

前測 中測 後測 前測 中測 後測

向度 M SD M SD M SD M SD M SD M SD

自我效能 22.23 4.19 23.56 4.13 24.36 2.80 23.23 4.72 22.64 4.63 23.15 3.82 主動學習策略 29.79 3.08 31.59 2.71 31.87 2.30 30.31 3.66 30.59 2.94 30.51 3.68 數學學習價值 17.69 3.11 18.21 2.47 19.26 2.10 17.05 3.24 17.08 2.99 17.08 2.86 非表現目標 14.64 2.47 14.08 2.60 14.64 2.42 15.03 2.80 14.72 2.66 14.85 2.93 成就目標 19.74 2.70 20.9 2.25 21.18 2.26 19.54/ 2.63 20.36 2.25 20.00 2.82 學習環境刺激 18.95 3.43 22.33 2.87 22.74 3.04 18.54 3.50 19.46 3.07 20.33 2.78 總分 123.05 10.71 130.67 9.85 134.05 8.16 123.69 14.23 124.85 11.16 125.92 11.97

另以動機前測為共變量（排除動機前測差異），分析兩組動機中測各向度及總分之共變數分

析結果顯示，臆測探究教學組在自我效能（F(1,75) = 9.24，p < .01）、主動學習策略（F(1,75) = 5.75，p < .05）、學習環境誘因（F(1,75) = 19.77，p < .001）及總分（F(1,75) = 13.01，p < .001）

上明顯優於傳統教學組，並且存在顯著差異，但數學學習價值（F(1,75) = 2.74，p = .102）、非表 現目標（F(1,75) = .75，p = .391）、成就目標（F(1,75) = 1.26，p = .266）等向度上則未有顯著差 異。另根據後測共變數分析結果顯示，臆測探究教學組在自我效能（F(1,75) = 8.01，p < .01）、

主動學習策略（F(1,75) = 5.61，p < .05）、數學學習價值（F(1,75) = 17.97，p < .001）、成就目標

（F(1,75) = 5.37，p < .05）、學習環境誘因（F(1,75) = 12.97，p < .01）及總分（F(1,75) = 19.14，

p < .001）與傳統教學組間存在顯著差異，但在非表現目標（F(1,75) = .00，p = .992）上則未具 有顯著差異。

（二）數學學習動機量表各向度之差異分析 1. 自我效能

根據統計分析結果，兩組學生在自我效能向度上，中測及後測均達到顯著差異，且傳統教 學組的中測與後測分數均低於前測，顯示臆測探究教學組的教學策略介入對於學生自我效能的 提升有別於傳統教學組。經質性資料分析後，發現可能的因素是學生在合作學習的脈絡中提升 了自我效能，臆測探究教學活動建構在合作學習的脈絡上，學生在解題、討論、發表與論述中 發展數學概念的理解，並在理解中提升數學學習的自信、降低對於數學任務困難的預期（可能 反映在問卷自我效能向度上之「不論數學內容簡單或困難，我都有把握能學會」、「我有信心在 數學的考試中取得好的成績」）。