幼兒數概念的發展

一 、 幼 兒 數 概 念 發 展

幼兒的數概念發生，始於對集合籠統的感覺，對於集合裡的元素，幼兒不能 精確的說出數量，只能辨別它們是多還是少，在一份對幼兒數概念發展的實驗報 告中，幼兒在沒有學會數數以前就已經有了對少量物體的模糊數量概念，例如：

二歲半的幼兒還不會數數，但對數量不同的糖果會產生不同的選擇反應；1984 年 實驗研究二到五歲的幼兒在辨數、認數的水準，實驗證實，辨數能力都是各年齡 組中百分比最高的，而且 50％的兩歲半幼兒已具備辨數力（吳貞祥，1990；林嘉 綏、李丹玲，1999）。張麗芬（2005）四、五個月大的嬰幼兒會計數、一歲到一歲 半的嬰幼兒會發現數量關係比前一個多或少、14 到 28 個月的學步兒對加減運算有 些瞭解。

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許多學者（例：吳貞祥，1990；簡楚瑛，1993；周淑惠，1999；吳瓊洳、蔡 明昌譯，1999；林嘉綏、李丹玲，1999；羅雅芬譯，2003）對幼兒數與量的發展 先後順序，由先到後依序為唱數、計數、基數、序數，邏輯關係、金錢等。以下 分述之：

（一）唱數

幼兒生活在唱數的世界中，數就像每日的語言一樣，對幼兒來說「唱 數」只是一組無意義的口頭吟誦，藉由別人的協助或是自己的主動自 發，幼兒建構並學會了唱數的法則，可以唱數 11 以後的數字。幼兒對 唱數的學習，涉及了二種不同型態的學習方式：最初是背誦練習（1 至 10），然後是建構 10 以後的複雜的唱數法則，這二者是相互連貫、

緊密結合的。

（二）計數

所謂計數（Counting），計數是將數目字依序指定（Pointing）到物體上，

計數活動包括以下五個原則：

1.一對一對應原則

每一個物件只能用一個數詞依序數一次，這是數數的基礎 2.固定順序原則

唱數的數詞遵循一定的順序。

3.基數原則

唱數到最後一個數詞就是該數的數量。

4.抽像原則

任何東西都可以點算，數數的活動不受物質的特性影響，例如大 小、形狀、顏色等。

5.順序無關原則

無論從集合中任何一個元素開始點算，其總數是一定的，例如：數

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家裡的人數，不管是從爸爸先數或是從妹妹先數，總數都不變。

（三）數列（即數的順序）計數與基數意義的統整

幼兒對於數字的使用有三方面；數序的使用、計數的使用和基數的使 用。

1.序列

序列（Seriation）亦稱排列次序（Ordination），兒童能按照由大而小 或從小至大的次序排列，建立其間不同關係的能力。

2.將序數內容予以標記

序數的使用和基數不同，序數的計算不是每一個集合中的每個物體都 非數不可，「次序無關」原則並不適用於序數，只要數到自己想要的 序數即可。

3.數量之多少或是數字大小的比較

數量多少和數字大小的比較需要四種能力的統整：唱數、計數、基數 和序數等。大部分的幼兒在五、六歲時已經建構一套數字的表徵，這 種表徵稱之為「心理數字線」如圖 2-3 心理數字線。也就是說，每個 數字都與線上的某一位置相對應，愈後面的數字愈大，「心理數字線」

具有計數、比較的功能，許多學前幼兒所進行的數學運算都是基於計 數的基礎上來進行，如加法就是建構一個與加數相同的集合，然後將 此加數集合與原來集合連在一起，「往前數」（Forward Counting），數 量愈大，往後數－－下一個（Backward-next）數量愈小。（1）能直 接進入一個數字位置表徵中不用再去數它；（2）沿著方向記號一直下 去的位置是較大的數，這兩項特點在非正式數學的數學（Informal Arithmetic）中都佔有重要的角色。

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圖 2-3 心理數字線 資料來源:引自簡楚瑛（1993，頁 30）

（四）邏輯關係

1.早期的邏輯推理

（1）類比推理

類比推理是將適當的知識從熟悉的問題轉移到新問題。當我們 遇到一個新的問題，我們通常會想到前一次成功解決的經驗，

把類似成功解決的經驗用在這一次的問題中。通常問題的解決 一定有相似之處，這些相似之處具有關係上的推理，如果兩個 問題中不同的事件可以類似的關係處理，那麼一個問題的解決 方式通常可以應用於不同的問題。Brown（1986）的研究顯示，

關係性的呈現可以藉由一連串的類比，以及教導在解決問題的 過程中尋找類比（學習如何去學習）而增加，許多研究顯示，

類比的推理能力在發展的早期就已出現，這些能力為解釋與幼 兒學習週遭世界的過程，提供了有力的邏輯工具，當幼兒對整 個世界所具備的知識變得更豐富時，他們的知識結構也變得更 深入、更複雜，而幼兒所做的類比的種類也會隨之改變。

（2）演繹推理

演繹推理如：所有的貓都會吠、Rex 是貓、Rex 會吠嗎？Dias 與 Harris 在實驗中向五歲和六歲的孩童詢問有關 Rex 會吠的問 題，其研究顯示，只要邏輯問題是在遊戲的情況下表達，年幼 1 2 3 4 5 6 7 8

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愈來愈大

愈來愈小

往後

14 高的是哥哥、第四高的是弟弟、第五高的是妹妹。Bryant &

Trabasso（1971）的研究顯示，只要幫助孩童記住遞移性推論中

而集合牽涉到包含關係（Class-inclusion），何謂包含？所謂包含是指種類和次種類

（Subclass）基質與量的關係，也就是整體與部份的關係。當幼兒被問及：「有紅 色和藍色的珠子，紅色珠子比較多？還是所有的珠子比較多？」，幼兒必須知道由 子集合形成的上層集合永遠大於任一子集合。集合的邏輯關係包括了整體與部份 的關係，數目也是如此，只不過區別在於，數目的組成部份是屬同質的單位。西 斐德（ Seefeldt,1999）《編 The Eerly Childhood Curriculum :A Review of Current Research》一書，瑞斯尼克（Resnick,1983）提及，數字整體與部份的構成很重要，

瑞斯尼克說：「如果將部份—整體的圖式應用在＂量＂這個概念上，兒童就能夠把 數字想像成其他數字的構成部份，如此一來，兒童的數字理解會更豐富，幼兒尚 無法理解的數學解題法與詮釋法才能因應而生。」；據費許（Fischer,，1990）的觀 察，以「部份—整體」為本的幼稚園數學課程，不但能夠促進幼兒在數字概念方

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於 20，20 包含於 30……）。見圖 2－4 階層集合的包含關係。

圖 2-4 階層集合的包含關係 資料來源：周淑惠（1999，頁 55）

（五）金錢

加瑞（Gary,1981）的研究發現，幼兒在認識錢幣前應先熟悉數字。

對錢幣相對價值的理解，牽涉到對於數目系統的掌握，特別是 1、5、

10、100 等數字關係，錢幣的衡量需以下列的價值來看（簡楚瑛，1993）。 1.5 元較 1 元多，但較 10 元少的相對價值。

2.10 元等於 10 個 1 的單位價值。

3.10 元等於 2 個 5 元的對等關係。

Jong 和 Herwig（1997）研究指出，幼兒幣值知識的獲得是由少量到多量，先

16 齡。Edmunds 和 Whitehurst 在結論中提到（一）發展的原則和年齡成長有相關性，

年齡愈長，孩子的概念獲得愈複雜且準確。（二）日常生活經驗的素材提供會影響 他們的發展和發展的速率，愈早對低社經地位組的幼兒辨認硬幣，就愈早區辨紙 錢，成長的速率在於不同的經驗。（三）不論任何膚色人種，概念的構成順序是一 樣的。

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二 、 皮 亞 傑 (Piaget,J） 的 認 知 發 展 階 段

皮亞傑把認知發展的歷程分為四個主要的時期（Periods），依序是感覺動作期

（或感覺運動階段）（sensorimotor stage）是指出生到兩歲嬰兒的發展階段、前運 思期（或前運算階段）（preoperational stage）是指兩歲到七歲兒童的發展階段、具 體運思期（或稱具體運算階段）（concrete operational stage）七歲到十一歲的發展 階段、形式運思期（或稱形式運算階段）（formal operational stage）指十一歲以上 的青少年的發展階段。金錢的發展（Jong & Herwig,1997；韋雪琴，1988；Edmunds

& Whitehurst,1973）和皮亞傑的認知發展階段是相呼應的；它是循序漸進，由易到 難、由簡單到複雜。然而前運思期之認知發展有一些發展上的特徵和限制（黃慧 真譯，1994；周淑惠，1999；張春興，2004）。

（一）自我中心觀（egocentrism）：無法從他人的立場看事情，如古典式實驗

－－山的作業。實驗者把一個玩偶放在桌子對面的另一張椅子上只會 以自己的角度描述山的形狀。

（二）集中化（centration）：兒童集中注意於某個情境中的某個部份，例如：

倒水的質量保留（conseravation）實驗，實驗者 將寬口矮杯的水倒入細長的杯子，問「杯子水 是否一樣多？」，兒童會說寬杯子的水多，因此 本時期的兒童不能處理次序關係、種類內涵

（class inclusion）與保留概念等。

（三）象徵功能（symbolic function）：能以語言、模仿與假裝遊戲這些象徵 代表他們經驗的事物。

（四）直接推理（transductive reasoning）：兒童的推理依據不是邏輯，而是以 接近性為基礎，其推理認為，因可 造成果、果也可造成因，因為對兒 童來說，它們似乎是「在一起」的。

（五）因果概念（causality）：此期兒童因果概念的發展，有三種普遍的特性：

即泛靈觀（animism）、人為觀（artificialism）與終極觀（finalism）。泛 靈觀：萬物皆有靈，是有意識的、有生命的。人為觀：世界上任何事 物，包括自然限象都是「由人」或是「為人」而做的。終極觀：認為

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皮亞傑對前運思期的幼兒提出了發展上的限制，一些學者（Denney, 1972；

Gelman, Bullock, & Meck, 1980；Gelman, Spelke, & Meck, 1983；Gopnik & Meltzoff,

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1987；Hughes,1975；Yarrow, 1964；）卻對皮亞傑的實驗提出不同的看法，他們認 為幼兒是有能力的，皮亞傑低估了幼兒。有些錯誤的產生可能來自如：他詢問的 方式、實驗的情境脫離了幼兒的情境、幼兒不熟悉的遊戲、幼兒在生活中不常接 觸的事物等（黃慧真譯，1994、周淑惠，1999）。尹荷德等人（Inhelder, Sinclair, &

Bovet, 1974）證實居於不能保留與保留階段中間的轉型期，幼兒能經認知衝突的引 發而達到守恆（引自周淑惠，1999）。國內、外一些研究者（蘇建文，1973；謝瑞 蘭，1980；Beilin, 1965；Curcio et al., 1972；Gelman, 1969；Hartford & Fullerton, 1970；

Kingsley & Hall, 1967；Smith, 1968；Smedslund, 1961；Wallach et al., 1967）採用不 同的訓練方法，研究訓練保留效果及遷徙現象皆發現，保留效果宏大（引自陳綠 蓉，1986，P14）。周淑惠（1999）指出，大陸心理學者曾對全國十個地區千名以上 三至七歲兒童作大規模調查研究，結果發現，學前幼兒有相當的能力表現；其發 複使用，並未提醒聽著注意部分和整體之間的比較，Markman 和 Seibert 預測，有

Kingsley & Hall, 1967；Smith, 1968；Smedslund, 1961；Wallach et al., 1967）採用不 同的訓練方法，研究訓練保留效果及遷徙現象皆發現，保留效果宏大（引自陳綠 蓉，1986，P14）。周淑惠（1999）指出，大陸心理學者曾對全國十個地區千名以上 三至七歲兒童作大規模調查研究，結果發現，學前幼兒有相當的能力表現；其發 複使用，並未提醒聽著注意部分和整體之間的比較，Markman 和 Seibert 預測，有