國立臺東大學幼兒教育學系 碩士論文
指導教授熊同鑫博士
圖表應用於幼兒數概念教學之研究
研究生：鄭樹斐撰
中華民國 103 年 11 月
國立臺東大學幼兒教育學系 碩士論文
圖表應用於幼兒數概念教學之研究
研究生：鄭樹斐撰
指導教授熊同鑫博士
中華民國 103 年 11 月
i
謝誌
由衷的感謝幫助過我的人，首先，謝謝我的指導教授熊同鑫教 授，對學生論文的教導與指正，沒有老師辛勞的犧牲時間，我的論文 不會如期完成。
謝謝我的父母親，每當我回台東進修，我的母親幫忙照顧兒子，
讓我無後顧之憂可以專心的進修，當我沮喪時父母親總是一再的鼓勵 我，給我信心，讓我可以堅持地走下去。
謝謝我的先生對我的包容，從準備考幼教老師到成為正式教師、
到回台東進修，甚至在寫論文這段時間，感謝先生對我的體諒，當我 遇到困難時，指引我方向，永遠在背後支持我，給我再出發的動力。
謝謝教會的姊妹們，謝謝你們在精神上的打氣與鼓勵，有你們真 好。如果你只看見身上的限制，那就永遠看不到神為你預備的美好計 畫；如果你只因為應到眼前的試煉而感到沮喪，那就無法真實體會這 苦難背後化妝的祝福。」約翰福音第 14 章 27 節：我留下平安給你們；
我將我的平安賜給你們，我所賜的，不像世人所賜的。你們心裡不要 憂愁，也不要膽怯。獻給曾經幫助過我的人，以此共勉。
鄭樹斐 謹致 中華民國 103 年 11 月
ii
圖表應用於幼兒數概念教學之探究
鄭樹斐
國立台東大學幼兒教育研究 摘要
本研究依據鷹架教學理論，以金錢為媒材，發展數量層級包含關係、圖表記 錄及概念建構的路徑圖等策略，探討對於幼兒在數字和數量關係建構上的效益。
本研究採用質性研究，以錄音、錄影、非正式訪談的方式蒐集資料並進行資料的 編碼與分析，研究發現為：（一）數量層級包含關係對幼兒在數字和數量關係之建 構有幫助；（二）運用圖表紀錄有助建立幼兒數量層級包含關係；（三）幼兒數概 念的建構是由簡單到複雜、由具體到抽象，錢幣的學習和幼兒的數量保留能力與 計數能力有關，幼兒家庭直接的教導經驗對幼兒錢幣的學習有直接關係；（四）有 效的鷹架教學策略之應用有助提升幼兒數學思考與數概念的學習。
研究建議為：（一）幼兒數概念的學習除基數的概念，還需結合量的概念對幼 兒整體數概念的學習較為完整；（二）坊間的簿本對幼兒的發展來說是片斷的、不 完整，幼兒未建立好數量概念，直接進入「＋」、「－」符號的技術性練習，對幼 兒數概念的學習似乎較無意義；（三）幼兒課程和發展息息相關，教師宜先了解幼 兒現階段的數學能力，規劃設計課程適性教學，才能達到鷹架幼兒更高層次的學 習；（四）未來研究者可真針對幼兒數量保留之發展進行實證研究。
關鍵詞：生活數學、數概念、錢幣、數學思考能力
iii
Explore the chart applies to the concept of teaching children Number
Shue-Fei Chan Ａbstract
This study was designed in accordance with scaffolding teaching theory, the money for the mediums, the development of the relationship between the number of levels included, chart recorder, and the concept of the construction of the road map and other strategies, to explore for child benefit and the number of relationships in the digital construction.
This study used qualitative research, with recording, video, informal interviews to collect information and data coding and analysis.
The finding of the study are as follows：
1.Contains a number of levels in relation to the child and the relationship between the number of construction of digital helpful.
2.Use charts to help build a record number of levels included child relationship.
3.The concept is to construct several children from the simple to the complex, from the concrete to retain the ability to count the number of abstract ability, learning and children's coin-relatedImmediate family to teach children learning experience for young children is directly related to money.
4.Effective teaching strategies scaffolding applications help enhance children's mathematical thinking and learning number concepts.
Proposal：
1.In addition to the number of children the concept of learning concept base, the need to combine the concept of the amount of the overall umber of children the concept of learning more complete.
iv
2.Buben printing is on the development of children's piece, incomplete, a good number of children has not been established concepts directly into the "+", "-" symbol technical exercise, the number of young children learn the concept seems relatively meaningless.
3.Early childhood curriculum and development are closely related, teachers are advised to understand the mathematical abilities of children at this stage, planning and design appropriate teaching curriculum, in order to achieve a higher level of scaffolding children learn.
4.Researchers can develop children retain some amount of more future empirical research.
Keywords：Life Mathematics、Number concept、Coin、Mathematical thinking skills
v
目錄
謝致……….i
中文摘要……….ii
英文摘要………...iii
目錄………...v
附錄目錄………..vii
圖次……….…………viii
表次……….x
第一章 緒論……….1
第一節 研究動機………..1
第二節 研究目的與問題……….4
第三節 名詞釋義………..4
第二章 文獻探討………..5
第一節 幼兒數概念的內容………5
第二節 幼兒數概念的發展……….10
第三節 圖表紀錄與建構主義教學……….21
第四節 錢與幼兒數概念能力之相關研究………25
第三章 研究設計與實施………..27
第一節 研究方法………27
第二節 研究流程………27
第三節 研究設計與實施………..30
第四節 研究場域………34
第五節 研究參與者………..36
第六節 資料蒐集的方法………38
第七節 資料分析的方法………38
vi
第八節 資料的檢核………40
第四章 研究結果與討論………41
第一節 社會建構理論對幼兒數概念的發展………..41
第二節 以圖表記錄訊息對引導幼兒建立 5 元、10 元、50 元、100 元的幣 值多少及數字大小概念的理解………49
第三節 運用錢幣透過「十」系統數量層級包含的關係，幼兒發展初步的位 值概念………..66
第四節 運用錢幣透過「十」系統數量層級包含的關係，對生活中的數幼兒 產生邏輯、推理、演譯及遷移的能力………..77
第五章 結論與建議……….95
第一節 結論………95
第二節 建議………96
參考書目………..97
中文部份………..98
西文部份……….103
vii
附錄目錄
附錄一小綠蛇與曉白蛇故事大綱...106 附錄二金錢龜與小蛇故事大綱...111
viii
圖次
圖 2-1 物體在心智上的次序圖………7
圖 2-2 集合包含關係……… 8
圖 2-3 心理數字線……… 13
圖 2-4 階層集合的包含關係……… 15
圖 3-1 研究流程圖……… 29
圖 3-2 1-100 數字尺……… 31
圖 3-3 1 元錢幣對應圖……… 31
圖 3-4 錢幣換算記錄表……….... 31
圖 3-5 分組記錄流程圖……… 32
圖 3-6 教室規劃圖……… 32
圖 3-7 教學流程圖……… 33
圖 3-8 三角檢核……… 40
圖 4-1 月份溫度登記表………. 45
圖 4-2 幼兒合作畫溫度圖……….. 47
圖 4-3 幼兒完成的 9 月-1 月的溫度表……… 47
圖 4-4 幼兒分組活動圖……… 50
圖 4-5 1-40 分組紀錄表……… 51
圖 4-6 幼兒在 1-100 數字尺上檢核數字 80 的錢幣數量………..54
圖 4-7 錢幣 92 的數量記錄圖………. 54
圖 4-8 S8 操作數字尺圖……… 55
圖 4-9 S7：用螞蟻代替 1 元、蝴蝶代表 10 元………..57
貓咪代表 50 元、獅子代表 100 元 圖 4-10 S1:螞蟻代表 1 元、蟑螂代表 10 元………..57
狗代表 50 元、暴龍代表 100 元 圖 4-11 S3：螞蟻代表 1 元、毛毛蟲代表 10 元……….. 58
獨角仙代表 50 元、老虎代表 100 元 圖 4-12 S6：老鼠代表 1 元、貓咪代表 10 元……… 58
ix
獅子代表 50 元、大象代表 100 元
圖 4-13 S8：小螞蟻代表 1 元、老鼠代表 10 元……….59
獅子代表 50 元、長頸鹿代表 100 圖 4-14 故事情境圖………..59
圖 4-15 小綠蛇小白蛇身長比一比………..61
圖 4-16 數字 1-29 數量遞增圖……….. 67
圖 4-17 小組合作拿錢………. 69
圖 4-18 數字 92 數字尺與錢幣數量對應圖……… 72
圖 4-19 幼兒錢幣學習心智圖………..74
圖 4-20 1 元和 5 元圖示………. 78
圖 4-21 1 元和 5 元圖示………..79
圖 4-22 S8 組 259 元數算錢幣圖……….81
圖 4-23 S8 組 259 元數算錢幣圖……….81
圖 4-24 分組用基木和錢幣換算………. 84
圖 4-25 1-100 數量遞增………84
圖 4-26 以 10 為長條區塊，10 數量區分圖………..88
圖 4-27 教學策略鷹架圖………..93
x
表次
表 3-1 資料編碼表...39
1
第一章 緒論
第一節 研究背景與動機
了解一個民族文化的特質，是去了解該民族的父母在養育、教育孩子的過程 中，他們看重甚麼？強調甚麼？因為不同的文化在形塑父母教養及學校教育的目 標上，扮演不可輕忽的重要角色（引自劉慈惠，2007）。我所在的教學場域是一個 鄉下的客家村，家庭大多三代同堂、外籍、弱勢偏多佔全校近 5 成，父母親職業 多從事勞力階級、經濟較不富裕。生活方式重視傳統祭祀、宗族、同血緣聚居現 象普遍，幼兒的文化資源較缺乏，是個農業社會的型態。研究者於 97 年初任教平 安國小附設幼兒園（化名），幼生入園人數逐年下降，訪談家長、家長普遍存在對 幼兒學習的隱憂與期望，隱憂是：家長自覺不會教育幼兒，把教育幼兒的期望寄 託在老師身上，期望幼兒在幼兒園的學習，能學會數學與注音，減輕家長不會教 的壓力；家長對幼兒園的教學多存在傳統教學的認知模式，在家裡對幼兒的教導 多直接教導及重紙筆的操作練習。
當科技網路的功能愈來愈強大，人人都可以上網尋找資源獲得技術性解答、
當 K-12 課程發展向下整合幼稚教育核心素養為發現問題、思考問題、解決問題時
（蔡清田，2013）。學習不再是給標準答案，而是深層的學習與思考過程。陳麗霞
（2005）指出幼稚園的課程編制，除了呼應地區環境的實際需要外，還有家長的 期待、地區的期許、教師的期待等。研究者嘗試改變，思考幼兒要學甚麼？如何 學？節儉是客家的文化之一（吳振賢、陳嘉甄；2004、陳若琳；2004、姜惠文；
2007）。訪談家長對於客家文化的節儉傳承，多表讚同。
「錢」是文化的產物，存在於生活環境中，生活中的消費無一不用到錢。鍾 志從、洪淑蘭、趙威（1999）的研究指出，我國五歲幼兒已具備初步的金錢學習 能力，能辨認大部份的硬幣、紙幣，也能比較幣值。Jong, Herwig, 和 Shelly（1997）
提到，五歲是入小學前最可以學習金錢概念和金錢技能的年齡。關於幼兒的錢幣 知識，國內的研究不多，國外大多數研究（Berti & Bombi，1981；Schuessler &
Strauss，1950；Strauss & Schuessler，1951；Strauss，1952）都是基於皮亞傑的建 構主義發展階段理論。
根據皮亞傑的發展階段理論，了解幼兒金錢的發展是從具體到抽象
（Schuessler & Strauss，1950）。前運思期的幼兒不同於具體運思期的幼兒，前運
2
思期的幼兒他們的判斷受限於知覺和直覺上的影響，也容易受到他們自身經驗的 影響，當錢幣和紙幣在物理現象上彼此之間沒有明顯的、系統的關係，幼兒需要 用其它的方法獲取彼此間的關係（Jong, Herwig, & Shelly, 1997）。
民國 101 年教育部訂定「幼兒園教保活動課程暫行大綱」，簡稱（幼兒園新課 綱），其揭示之宗旨在讓幼兒成為重溝通、能思考、懂合作的幼兒；認知領域的學 習含蓋「自然現象」、「文化產物」及「生活環境中的數學」，其認知領域的核心目 標在發展幼兒「蒐集訊息」、「整理訊息」、「解決問題」等思考歷程的能力，依課 程目標擬定計畫，並以統整方式實施（教育部，2012；潘世尊、潘幸玫，2013）。
與教育部（1987）的幼稚園課程標準比較，在數、量、形概念的內容，及數與量、
幾何與空間、時間概念等的學習面向，顯得寬廣。在新課綱中舉凡「自然現象」、
「文化產物」及「生活環境中的數學」都是幼兒要學習的認知領域。許多研究者
（蘇進發，2012；許秀聰，2012；李源順，2012；彭信禎，2010；陳彥璇；2007；
吳嫈華，2002；鄧嘉珩，1998）都強調「數」不能單獨存在；數學和生活息息相 關。林福來（2011）集合學者和教師開發與數學相關的生活素養試題，試圖提高 學生在生活中使用數學的素養。Brenner（1998）強調在教室中教導日常生活數學，
對學生來說顯得特別重要且具意義。
幼兒如何得到數字概念？皮亞傑將知識的來源分為三類（一）物理性知識、
（二）社會性知識（傳統習俗、約定俗成的）；如語言和國定假日等，是經由人們 習慣而創造出來的、和（三）數理邏輯知識；數理邏輯知識包含了心理的關係，
這心理關係的來源存在於每一位個體中，數字是透過建構性抽象化歷程來學習的
（何素娟譯，2001）。如問幼兒「這裡有幾個杯子？」幼兒數數 1、2、3、4、5，
回答有 5 個杯子，如果幼兒要表示數目，要把幾個物體看成整體，需在腦海中形 成包含關係如：1 在 2 裡、2 在 3 裡、3 在 4 裡、4 在 5 裡，如此才能深入了解 5 的實際意義（林嘉綏、李丹玲，1999）。卡蜜（Kamii,1999）據皮亞傑的說法，數 目的建構包含了次序及層級包含兩種關係的綜合（何素娟譯，2001；吳瓊洳、蔡 明昌譯，1999）。以「十」系統的建構為例，是在原數字系統 1、2、3、4……上 再建構層級包含關係（周淑惠，1999）。
幼兒有了數概念，才有能力了解金錢具有的幣值（黃美湄，1993）。德國教養 家 Brigitte Beil 指出小孩認為錢是大人在商店裡，使用的一些亮晶晶的東西，沒錢 到銀行拿就行（引自高瑩君譯，2005）；因此需教導幼兒正確的金錢概念。教導兒
3
童金錢概念必須自學齡前實施，才會有最大的效益（才淑華，2012）。數與量的概 念、數字的分解與合成、錢幣的概念等是我國五歲幼兒基本學習能力指標（孫良 誠、盧美貴，2006）。
綜觀十年來國內幼兒數概念的相關研究，大致可分為家庭與親子數學經驗
（例：李寒英，2012；鄒宜庭，2012；吳姿鋒，2012；許雅幸，2011；魏培容；
2010；黃千真，2010；鍾志從、許肅梅，2009；李淑娟、張麗芬，2009；許肅梅，
2005）、弱勢與非弱勢幼兒數學能力（例：杜雪淇、阮淑宜、林佩伃，2011；杜雪 淇，2010）數概念與語言能力（例：魏培容、郭李宗文、高志誠、高傳正，2011）、
圖畫書與數學教學（例：張麗芬，2009）、計數能力（例：常孝貞、鍾志從，2009）、
傳統教育與蒙特梭利教育幼兒數學能力比較（例：許惠欣，1995），多媒體電腦與 數學能力（曾宇駕，2014）、數量表徵（王淑玲，2012）、自我解釋對數量比較能 力（呂佩伶，2013）、數感探究以學習區為例（林碧琴，2010）、主題式課程與數 學能力（巫錦玲，2007）、計算器與數學能力（蘇惠真，2005）幼兒不同背景與認 數能力（陳芸鍾，2009）。圖表運用在教學 (何祥如，2010)）。較少研究是探討幼 兒圖表運用在幼兒數概念教學之研究。
鐘志從、洪淑蘭和趙威（1999）運用 LISREL 線性結構分析，發現我國幼兒 的金錢概念與金錢使用能力發展應與其數能力有關。Jong, Herwig, 和 Shelly
（1997）運用路徑分析，做出幼兒使用錢幣顯著地受到數字概念和錢幣（如：錢 幣的名稱和錢幣的幣值）概念影響的結論。然而量化的研究（譬如：鐘志從、洪 淑蘭、趙威，1999； Jong, Herwig, & Shelly,1997），未能指出幼兒的錢幣與數字之 間的概念關係是如何建立？且錢幣和基數之間的影響關係為何？袁媛（2001）指 出，學齡前幼兒以數群為單位的數數表現不明顯，且不能理解集合的包含關係；
教師在規劃數學活動時，可加強前述幼兒尚未表現的能力。張玲芬、郭津榕、朱 宜芬（2003）研究結果指出，中班幼兒在推理及解決問題方面需要加強培育。
研究者在研究場域觀察幼兒的買賣遊戲，發現幼兒對錢的幣值不了解，常把 5 元、10 元錢幣當 1 元用，對數字也常有倒置現象如數字「23」說成「32」。誠如 陳埩淑（2007）的研究建議，幼童數學教學應從數量著手，才進入數數的練習，
以幫助幼童建立正確的數概念；本研究即在運用錢幣建立幼兒的數量概念。
4
第二節 研究目的與問題
一、研究目的
依據鷹架教學理論，以金錢為媒材，發展數量層級包含關係、圖表記錄及概 念建構的路徑圖等策略，探討對於幼兒在數字和數量關係建構上的效益。
二、研究問題
（一）運用錢幣「十」系統數量，發展數量層級包含關係，對於幼兒在數字 和數量關係之建構的助益為何？
（二）運用圖表記錄，對於幼兒發展數量層級包含關係概念的助益為何？
（三）運用錢幣，透過「十」系統數量層級包含的關係，幼兒數概念建構歷 程的路徑圖為何？
（四）鷹架教學策略之應用，對於幼兒數學思考與數概念的學習產生的影響 層面為何？
第三節 名詞釋義
一、幼兒
本研究所指涉的幼兒是就讀於湖口、楊梅地區的公立幼兒園滿 4 足歲及 5 足 歲之幼兒。
二、數概念
本研究的數概念是指以錢幣幣值為主的學習概念，錢幣的幣值以中華民國中 央銀行指定發行貨幣即新台幣 1 元、5 元、50 元錢幣及 100 元紙幣，透過上述錢 幣值，探討幼兒 1-100 間的數概念。
5
第二章 文獻探討
論述運用錢幣與數的連結，培養幼兒數量層級包含的關係的概念時，本研究 首先探討數概念的重要性及其內容，其次檢視幼兒的數概念及其發展理論，最後 回顧以錢為元素的幼兒數學能力之相關研究。
第 一 節 幼 兒 數 概 念 的 內 容
一 、 數 概 念 的 意 涵 及 其 重 要 性
什麼是數？數指的是規定事物數量的抽象物，亞里斯多德（Aritstotle,384～
322B.C.）曾稱「數」為「由單位所衡量的繁多」。在數學方面，數的概念包括了自 然數、整數、有理數、實數、複數等。從自然數開始，毎個新的數的概念都是數 的意義的擴展；所謂數的概念是由時間、空間及質量、計算集合、度量等系統化 概念所組成的（教育大辭書，1964；教育百科辭典，1994 教育大辭書，2000）。皮 亞傑認為「數」是一種數學邏輯知識（Logico Mathematical Knowledge），是一種 關係，此關係是建立在大、小、多、少、數量、分類等兩種物品上再將其關係組 織化；數學是思維的科學，數的運算需要理解數的邏輯關係，幼兒學數學對智力 發展和數學知識同等重要，更重要的是促進幼兒思維能力的發展（陳文齡，1996；
曹雅玲 2004）。美國加州大學教授鄧肯（Greg Duncan）認為，早期接觸數學的經 驗，是攸關幼兒未來的重要因素；許多研究顯示，幼兒累積豐富的數學經驗，不 但能提升日後的數學思維能力，更有助於學齡期的學業表現（引自陳念怡，2013）。
李源順（2012）提及（TIMSS）國際數學與科學教育成就趨勢調查發現，台 灣的小孩有近一半認為「數學無用論」，且國人對數學的自信心不足。張麗卿（1998）
指出，隨著年級增加，學生對數學的喜好，有遞減的趨勢。蘇進發（2012）的調 查發現一般職場中，只需具備國小三年級數學的程度。學數學做什麼？
李佩芬（2013）引用一份英國世代分析的研究結果，指出在十歲時數學表現 優異的人，三十歲的平均收入比數學普通者高 7.5%。美國加州大學戴維思分校數 學教授斯坦（Sherman Stein），將職場所需的數學能力分成六級，發現對數學需求 幾乎貫穿所有的職業，數學優異者其職場選擇及生涯發展愈寬廣；以醫學、法律 領域為例，均需要分析、演繹和推理能力以解決問題，是與數學的推理、演繹訓 練有關；數學是一種「有條理，以簡馭繁的思考訓練，更是公民素養的一環」（引 自李佩芬，2013）。周淑惠（1993）參考（National Council of Teachers of Mathematics）
6
（數學課程與評鑑標準），歸納數學具有解決問題、溝通、推理、和連結的四項標 準；數學要與生活連結，從生活中學到數學再運用到生活中。蘇進發（2014）指 出 PISA 提出學生具備數學的基本內涵為：「能運用推理、概念、程序、事實、工 具等，在不同的情境下，解決數學問題的能力」。蔡清田（2013）在 K-12 課程發 展的核心素養架構一文中指出，幼兒教育階段「核心素養」之課程發展重點在，
幼兒能運用簡單的語文、數理等符號，進行繪圖或記錄；能探索環境、發現問題、
思考問題，嘗試解決問題。
數學是現代科學技術的基礎和工具，幼兒在幼兒園階段接受數學的啟蒙教 育，能提升在小學階段學習數學的優勢，並提高數學學習的基本能力。有研究顯 示，小學生數學能力的發展與初入學時的數學水準有密切關係，若一入幼兒園就 進行數學教育的幼兒，到十三、四歲時會比未經受過數學教育者要好（林嘉綏、
李丹玲，2012）。Brendefur, Strother, Thiede, Lane, 和 Surges-Prokop（2013）在學前 早期介入數學研究中發現，實驗組在數概念上是熟練且靈活的、在解決前後關係 的問題及測量、計算和空間概念上都優於控制組；於幼兒四歲時介入教導數學，
促進基本概念、技巧及讓幼兒在數學上有成功的經驗是有必要的。他們更提到，
提供機會上數學課程和批判性的題材，在幼兒進入小學前，建立豐富的數學基本 概念是非常重要地。
面對 21 世紀的瞬息萬變的環境，許多國家在幼兒數學教育面向上，強調及早 介入，以培養兒童思考與解決問題的能力。總體而言，學前數學教育有其必要性 與重要性，而培養思考與解決問題的能力，是奠基個人基礎能力，創造未來的有 利條件。
二 、 數 的 本 質
甚麼是數的本質？人們如何認識數？皮亞傑將知識的來源分為三類：（一）物 理性知識、（二）社會性知識（傳統習俗、約定俗成的）、和（三）數理邏輯知識。
數理邏輯知識包含了心理的關係，這心理關係的來源存在於每一位個體之中，是 抽象且完全是個體「心」裡面的行為，外觀上看不出來。
數理邏輯性知識和物理性知識是相互依賴的，缺一不可。邏輯數學經驗可利 用物理的性質建構關係，同時物理經驗使用邏輯數學經驗的架構，分辨對錯，數 是一種數學邏輯知識（Logico Mathematical Knowledge），是幼兒藉著反省性抽象
7
化在物體之間所創造出來的兩種關係的綜合，因此數理邏輯概念就由此建構而 來，而數字的關係一是「次序」關係，一是「層級包含」關係，當給幼兒 5 項物 品時，幼兒需將物品放在一個次序上的邏輯必然性，這種邏輯必然性可以確保幼 兒數數時，不會跳過任何一個數，幼兒並不需要逐一地將物體放在一個實際空間 的次序上，而是要將物體放在一個有次序的「關係」上不重複數，幼兒在心智上 要將這 5 項物品排列順序，如圖 2－1 物體在心智上的次序圖。
1 2
3 4
5
圖 2－1 物體在心智上的次序圖
假如幼兒對物體的心智活動只有次序關係的話，就不會有「量」的概念，因 為當我們請幼兒呈現哪 5 項物品時，幼兒會指著最後一個物品（即第五個）說那 是 5，對幼兒而言，那些數字 1、2、3、4、5 是在次序上的個別要素命名而已，這 就像是名字大明、小花、小美、…和小華一樣，當幼兒被問及總共有多少物體時，
幼兒所說的答案便相當於「小華」一樣；「小華」這個名字代表序列中最後一個個 體，並不是代表全部的團體，為了要確定物體的總數為一組群體，幼兒必須將那 些物放在一種按層級包含的關係之中，這種關係是幼兒可在內心得到的，亦就是
「1」包含於「2」內，「2」包含於「3」內，「3」包含於「4」內，「4」包含於「5」
內，如下圖 2－2 集合包含關係，當幼兒用 5 來表示這組物體的總數，而不是只表 示最後一個物體時，幼兒將 5 個物體形成一個包含關係，已量化了「5」這個數，
這樣幼兒就深入理解了 5 的實際涵義（甯自強，1983；Kamii，1998；吳瓊洳、蔡 明昌譯，1999；周淑惠，1999；林嘉綏、李丹玲，1999；何素娟譯，2001）。
幼兒「數的習得」是在內心的心智結構中，創設物件間的次序與層級包含關 係，因此幼兒在習得數時，需同時提供讀數的社會經驗和物理經驗，可應用不同
１
２ ３
４
５
8
外在環境，刺激兒童，促進反省性地抽象思考，發展幼兒的數概念。
5
圖 2－2 集合包含關係
資料來源：吳瓊洳、蔡明昌譯 （1999：頁 25），Ｃonatance Kamii 著 綜上所述，如何讓幼兒了解數量的層級包含關係，需要探討幼兒的數概念，
以下分述之。
（ 一 ） 幼 兒 數 概 念 的 內 容 比 較 分 析
教育部（1986）幼稚園課程標準：將幼兒數概念歸為常識領域 1.數、量、形其內容為：
（1）比較物體的大小、多少、長短、輕重、厚薄、高低等。
（2）物體的單位名稱。
（3）順數與倒數。
（4）質量
（5）阿拉伯數字之辨認。
（6）結合與分解：十以內數目之結合與分解。
2.幾何與空間
（1）認識基本圖形：如正方形、三角形等。
5
9
（2）認識方位：如上下、前後、中間、左右等。
3.時間概念
（1）對時間感興趣與關注。
（2）知道星期的正確說法。
（二）許惠欣（1986）幼兒應具備八種數概念能力：
許惠欣（1987）指出，幼兒應具備八種數概念能力 1.分類與集合，2.
序列，3.一對一之對應或配對，4.比較多少與一樣多，5.合理性計數到 十，6.基數零至十，7.序數第一至第三，8.集合的組合與分解。
（三）簡楚瑛（1993）幼兒數學知識結構及其發展趨勢之文獻探討：
簡楚瑛（1993）指出，幼兒數學知識結構及其發展趨勢之文獻探討中 提及，學前幼兒的數概念大底可以分成數、量（測量、時間、金錢）、
空間和邏輯關係等四方面。
（四）陳文齡（1996）蒙特梭利數學教育：
陳文齡（1996）指出，蒙特梭利數學教育可分為 1.邏輯思考 2.邏輯與 數量的結合 3.零到十的認識 4.十以上的介紹 5.位數練習 6.四則運算 7.
分數介紹等。
（五）孫良誠、盧美貴（2006）五歲幼兒數學學力指標：
孫良誠、盧美貴（2006）指出，五歲幼兒數學學力指標建構研究中提 到，幼兒的數學學力指標分成三部份：
1、 數與量：包括數與量的概念、數字的分解與結合、測量方式的 運用、時間的概念、錢幣的概念。
2、 圖形與空間：包括圖形與圖形的組合，空間方位。
3、 邏輯推理：包括分類及配對、序列與規則、事物關係等。
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（六）教育部 2012 年訂定之「幼兒園教保活動課程暫行大綱」：
將數概念歸為認知領域。其涵蓋的面向很廣，在新課綱中，數學面向 包括數量、數數、數字、形狀和空間方位等，數學須應用在生活環境 中才有意義。新課綱中「生活環境中的數學」是有關自然現象及文化 產物的數學。所謂的自然現象，例如動、植物、天氣、溫度、石頭、
沙及光影等皆屬於「自然現象」。所謂的文化產物，例如：服飾、交通 工具、博物館的文化及古蹟等，人類為因應生活需要而製造或創造的 器物（包括用具與工具）、設備、建築物都屬「文化產物」。舉凡生活 小到自己身上穿的、戴的、用的日常生活中經常接觸的器物、設備與 建築物，大到其他地區或是古代人所使用的器物、設備與建築物等都 是幼兒數學學習的範疇。
綜合上述新課綱之幼兒數概念的內容，舉凡自然現象、文化產物等屬於生活 上的數，都是幼兒數概念的範疇，較之幼稚園課程標準（1987）、許惠欣（1986）、
簡楚瑛（1993）、陳文齡（1996）及孫良誠、盧美貴（2006）等論及之數概念的內 容面向要廣，但從上述的文獻探討中，大致上可以將幼兒數概念的內容歸納為（一）
數與量（金錢）、（二）邏輯關係等。以下論述其概念的發展。
第二節 幼兒數概念的發展
一 、 幼 兒 數 概 念 發 展
幼兒的數概念發生，始於對集合籠統的感覺，對於集合裡的元素，幼兒不能 精確的說出數量，只能辨別它們是多還是少，在一份對幼兒數概念發展的實驗報 告中，幼兒在沒有學會數數以前就已經有了對少量物體的模糊數量概念，例如：
二歲半的幼兒還不會數數，但對數量不同的糖果會產生不同的選擇反應；1984 年 實驗研究二到五歲的幼兒在辨數、認數的水準，實驗證實，辨數能力都是各年齡 組中百分比最高的，而且 50％的兩歲半幼兒已具備辨數力（吳貞祥，1990；林嘉 綏、李丹玲，1999）。張麗芬（2005）四、五個月大的嬰幼兒會計數、一歲到一歲 半的嬰幼兒會發現數量關係比前一個多或少、14 到 28 個月的學步兒對加減運算有 些瞭解。
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許多學者（例：吳貞祥，1990；簡楚瑛，1993；周淑惠，1999；吳瓊洳、蔡 明昌譯，1999；林嘉綏、李丹玲，1999；羅雅芬譯，2003）對幼兒數與量的發展 先後順序，由先到後依序為唱數、計數、基數、序數，邏輯關係、金錢等。以下 分述之：
（一）唱數
幼兒生活在唱數的世界中，數就像每日的語言一樣，對幼兒來說「唱 數」只是一組無意義的口頭吟誦，藉由別人的協助或是自己的主動自 發，幼兒建構並學會了唱數的法則，可以唱數 11 以後的數字。幼兒對 唱數的學習，涉及了二種不同型態的學習方式：最初是背誦練習（1 至 10），然後是建構 10 以後的複雜的唱數法則，這二者是相互連貫、
緊密結合的。
（二）計數
所謂計數（Counting），計數是將數目字依序指定（Pointing）到物體上，
計數活動包括以下五個原則：
1.一對一對應原則
每一個物件只能用一個數詞依序數一次，這是數數的基礎 2.固定順序原則
唱數的數詞遵循一定的順序。
3.基數原則
唱數到最後一個數詞就是該數的數量。
4.抽像原則
任何東西都可以點算，數數的活動不受物質的特性影響，例如大 小、形狀、顏色等。
5.順序無關原則
無論從集合中任何一個元素開始點算，其總數是一定的，例如：數
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家裡的人數，不管是從爸爸先數或是從妹妹先數，總數都不變。
（三）數列（即數的順序）計數與基數意義的統整
幼兒對於數字的使用有三方面；數序的使用、計數的使用和基數的使 用。
1.序列
序列（Seriation）亦稱排列次序（Ordination），兒童能按照由大而小 或從小至大的次序排列，建立其間不同關係的能力。
2.將序數內容予以標記
序數的使用和基數不同，序數的計算不是每一個集合中的每個物體都 非數不可，「次序無關」原則並不適用於序數，只要數到自己想要的 序數即可。
3.數量之多少或是數字大小的比較
數量多少和數字大小的比較需要四種能力的統整：唱數、計數、基數 和序數等。大部分的幼兒在五、六歲時已經建構一套數字的表徵，這 種表徵稱之為「心理數字線」如圖 2-3 心理數字線。也就是說，每個 數字都與線上的某一位置相對應，愈後面的數字愈大，「心理數字線」
具有計數、比較的功能，許多學前幼兒所進行的數學運算都是基於計 數的基礎上來進行，如加法就是建構一個與加數相同的集合，然後將 此加數集合與原來集合連在一起，「往前數」（Forward Counting），數 量愈大，往後數－－下一個（Backward-next）數量愈小。（1）能直 接進入一個數字位置表徵中不用再去數它；（2）沿著方向記號一直下 去的位置是較大的數，這兩項特點在非正式數學的數學（Informal Arithmetic）中都佔有重要的角色。
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圖 2-3 心理數字線 資料來源:引自簡楚瑛（1993，頁 30）
（四）邏輯關係
1.早期的邏輯推理
（1）類比推理
類比推理是將適當的知識從熟悉的問題轉移到新問題。當我們 遇到一個新的問題，我們通常會想到前一次成功解決的經驗，
把類似成功解決的經驗用在這一次的問題中。通常問題的解決 一定有相似之處，這些相似之處具有關係上的推理，如果兩個 問題中不同的事件可以類似的關係處理，那麼一個問題的解決 方式通常可以應用於不同的問題。Brown（1986）的研究顯示，
關係性的呈現可以藉由一連串的類比，以及教導在解決問題的 過程中尋找類比（學習如何去學習）而增加，許多研究顯示，
類比的推理能力在發展的早期就已出現，這些能力為解釋與幼 兒學習週遭世界的過程，提供了有力的邏輯工具，當幼兒對整 個世界所具備的知識變得更豐富時，他們的知識結構也變得更 深入、更複雜，而幼兒所做的類比的種類也會隨之改變。
（2）演繹推理
演繹推理如：所有的貓都會吠、Rex 是貓、Rex 會吠嗎？Dias 與 Harris 在實驗中向五歲和六歲的孩童詢問有關 Rex 會吠的問 題，其研究顯示，只要邏輯問題是在遊戲的情況下表達，年幼 1 2 3 4 5 6 7 8
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愈來愈大
愈來愈小
往後
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的孩童就具備演繹推理的能力。
2．後期的邏輯推理
（1）遞移性推理
任何實體彼此間的遞移關係可被組織成依序關係，遞移性關係 對數學的測量是很重要的，如一家庭中的成員之間的身高具遞 移性關係，家庭成員中最高的是爸爸、第二高的是媽媽、第三 高的是哥哥、第四高的是弟弟、第五高的是妹妹。Bryant &
Trabasso（1971）的研究顯示，只要幫助孩童記住遞移性推論中 前提的訓練如Ａ＞Ｂ＞Ｃ＞Ｄ＞Ｅ和展示前提資訊，四歲的幼 兒具備遞移性推論的能力。
（2）種類包含
數概念是導自於集合與序列的關係，如果人類對物體的心智活動只有順序關 係的話，就不會有「量」的概念，因此數概念的形成和集合、序列有直接的關係。
而集合牽涉到包含關係（Class-inclusion），何謂包含？所謂包含是指種類和次種類
（Subclass）基質與量的關係，也就是整體與部份的關係。當幼兒被問及：「有紅 色和藍色的珠子，紅色珠子比較多？還是所有的珠子比較多？」，幼兒必須知道由 子集合形成的上層集合永遠大於任一子集合。集合的邏輯關係包括了整體與部份 的關係，數目也是如此，只不過區別在於，數目的組成部份是屬同質的單位。西 斐德（ Seefeldt,1999）《編 The Eerly Childhood Curriculum :A Review of Current Research》一書，瑞斯尼克（Resnick,1983）提及，數字整體與部份的構成很重要，
瑞斯尼克說：「如果將部份—整體的圖式應用在＂量＂這個概念上，兒童就能夠把 數字想像成其他數字的構成部份，如此一來，兒童的數字理解會更豐富，幼兒尚 無法理解的數學解題法與詮釋法才能因應而生。」；據費許（Fischer,，1990）的觀 察，以「部份—整體」為本的幼稚園數學課程，不但能夠促進幼兒在數字概念方 面的發展，也能夠方便兒童建構加法與減法的解題策略，即使他還沒有學過加法 與減法。周淑惠（1999）指出，數目的建構同時綜合了「層級包含」與「次序」
兩種關係，即數字的順序 1、2、3、4…….是為「一」系統，「十」系統的建構是 在已建立的「一」層級系統上建立第二個系統「十」；即將第一個系統在心理上分 割成幾個相等的部分，（10、20、30、………）與層級包含各部分的程序（10 包含
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於 20，20 包含於 30……）。見圖 2－4 階層集合的包含關係。
圖 2-4 階層集合的包含關係 資料來源：周淑惠（1999，頁 55）
（五）金錢
加瑞（Gary,1981）的研究發現，幼兒在認識錢幣前應先熟悉數字。
對錢幣相對價值的理解，牽涉到對於數目系統的掌握，特別是 1、5、
10、100 等數字關係，錢幣的衡量需以下列的價值來看（簡楚瑛，1993）。 1.5 元較 1 元多，但較 10 元少的相對價值。
2.10 元等於 10 個 1 的單位價值。
3.10 元等於 2 個 5 元的對等關係。
Jong 和 Herwig（1997）研究指出，幼兒幣值知識的獲得是由少量到多量，先
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了解錢幣的名稱再了解錢幣的價值，大部份三歲的幼兒可以分辨甚麼是錢，甚麼 不是錢，四歲到五歲的幼兒知道錢幣的名稱，也可以比較幣值，五歲的幼兒已經 知道錢的基本功用，錢可以存，已可以從事商業買賣。鐘志從、洪淑蘭、趙威（1999）
在其幼兒金錢概念、金錢使用能力及其父母金錢教養之影響研究中發現，我國五 歲幼兒已具備初步的金錢學習能力，能辨認大部份的硬幣、紙幣，也能比較幣值。
韋雪琴（1988）兒童對金錢的概念發展，將金錢的發展分為（一）嬰兒期（知 覺動作期）：不知金錢概念，以為金錢是玩具；（二）運思前期：大約知道金錢可 以買東西，對於錢的認識來自直接的經驗，對錢幣的價值以錢幣的外型、大小認 定；（三）學齡期（具體心智操作期）：金錢代表好吃、好玩、快樂等，金錢能建 立同伴關係，金錢是實用性的；（四）青少年期（形式心智操作期）：有金錢代表 獨立，對金錢的使用重視同伴關係。
Edmunds 和 Whitehurst（1973）對 80 名黑人小孩，年齡 2－8 歲，將兒童分 成低社經地位組、中社經地位組，其研究分別探討幼兒對錢的名稱、不同的幣值、
錢可以購買的年齡及不同社經背景幼兒對錢的概念的發展等，其研究發現：（一）
二歲對錢的概念是未分化的，不知道錢的名稱，模糊的知道錢可以購買物品。（二）
大部分三歲的孩子可以正確地分辨錢，錢的概念開始出現。（三）四到五歲的幼兒 對錢的幣值辨識顯著提高，可以描述幣值的相對價值、可以將幣值和商品配對、
知道錢可以在商店購買物品；但幼兒會因為錢幣的外型及閃亮度的線索，影響對 錢幣幣值的判斷。（四）六歲能認識數字並且能區辨彼此的不同，對錢的辨認能力 迅速的增加，被問及：「甚麼比較多？」大部分會選擇大的幣值。（五）七歲對數 的穩定增加，對幣值的辨識也持續的成長。（六）低社經地位組的幼兒辨識硬幣要 在中社經地位組前、中社經地位組的幼兒辨識紙幣要在低社經地位組前，中社經 地位組的幼兒比低社經地位組的幼兒較先獲得幣值多的概念；在對錢具有購買力 的知識上，低社經地位組的幼兒的任一年齡都優於中社經地位組的任一幼兒的年 齡。Edmunds 和 Whitehurst 在結論中提到（一）發展的原則和年齡成長有相關性，
年齡愈長，孩子的概念獲得愈複雜且準確。（二）日常生活經驗的素材提供會影響 他們的發展和發展的速率，愈早對低社經地位組的幼兒辨認硬幣，就愈早區辨紙 錢，成長的速率在於不同的經驗。（三）不論任何膚色人種，概念的構成順序是一 樣的。
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二 、 皮 亞 傑 (Piaget,J） 的 認 知 發 展 階 段
皮亞傑把認知發展的歷程分為四個主要的時期（Periods），依序是感覺動作期
（或感覺運動階段）（sensorimotor stage）是指出生到兩歲嬰兒的發展階段、前運 思期（或前運算階段）（preoperational stage）是指兩歲到七歲兒童的發展階段、具 體運思期（或稱具體運算階段）（concrete operational stage）七歲到十一歲的發展 階段、形式運思期（或稱形式運算階段）（formal operational stage）指十一歲以上 的青少年的發展階段。金錢的發展（Jong & Herwig,1997；韋雪琴，1988；Edmunds
& Whitehurst,1973）和皮亞傑的認知發展階段是相呼應的；它是循序漸進，由易到 難、由簡單到複雜。然而前運思期之認知發展有一些發展上的特徵和限制（黃慧 真譯，1994；周淑惠，1999；張春興，2004）。
（一）自我中心觀（egocentrism）：無法從他人的立場看事情，如古典式實驗
－－山的作業。實驗者把一個玩偶放在桌子對面的另一張椅子上只會 以自己的角度描述山的形狀。
（二）集中化（centration）：兒童集中注意於某個情境中的某個部份，例如：
倒水的質量保留（conseravation）實驗，實驗者 將寬口矮杯的水倒入細長的杯子，問「杯子水 是否一樣多？」，兒童會說寬杯子的水多，因此 本時期的兒童不能處理次序關係、種類內涵
（class inclusion）與保留概念等。
（三）象徵功能（symbolic function）：能以語言、模仿與假裝遊戲這些象徵 代表他們經驗的事物。
（四）直接推理（transductive reasoning）：兒童的推理依據不是邏輯，而是以 接近性為基礎，其推理認為，因可 造成果、果也可造成因，因為對兒 童來說，它們似乎是「在一起」的。
（五）因果概念（causality）：此期兒童因果概念的發展，有三種普遍的特性：
即泛靈觀（animism）、人為觀（artificialism）與終極觀（finalism）。泛 靈觀：萬物皆有靈，是有意識的、有生命的。人為觀：世界上任何事 物，包括自然限象都是「由人」或是「為人」而做的。終極觀：認為
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凡事都有它的特定緣由，而不易接受某些事件係由機會或意外而發生 的觀點。
（六）同一性（indentity）：強調物質的同等性，無論你把它放在哪裡？它們 還是一樣的東西。前運思期在發展上的限制：
1.集中化：幼兒的注意力注意一個向度或面向，如保留實驗中，應而 只注意物品的長度，忽略物品的密度
2.注意靜態而非轉換的過程：只集中注意力於靜止的結果，如保留實 驗中黏土揉成香腸狀的動作，幼兒未注 意，只注意最後的結果。
3.不可逆性：幼兒的思考集中在靜態面，未注意動態的轉換過程，因 此無法表達轉換過程，故不具可逆性幼兒數的瞭解分成三個階段；第 一階段：四歲左右為缺乏保留期對數概念無法了解。第二階段：五到 六歲為過渡期，會運用一對一對應關係建構數目，但不是充分理解，
一旦所排出的一對一關係破壞後，幼兒就無法保留他自己所建立的同 等性。第三階段：六歲半以後是保留期對數概念能真正理解的階段，
其中量的概念和數的發展概念一樣；從發展順序而言，長度與面積最 先發展（約六、七歲）、質量保留概念次之（約七、八歲）、接著是重 量保留概念（約九、十歲）、最後才是體積保留概念（約十一、二歲）。 幼兒認知的發展能力、技巧與策略是不能分開、單獨來看，而應以全面的整 體發展來看，皮亞傑說過：「數的建構與邏輯的發展是相生相隨的，共同的，數學 前期相當於邏輯前期。」幼兒未具有保留能力以前是數學無能即邏輯無能，何素 娟譯（2001）有跨文化的研究指出，全世界的孩子都具有連續量與不連續量的保 留概念，原住民的後代，如澳洲土著、及台灣的雅美族在沒有被教導的情形下，
仍有其保留概念，連聽障、視障者也具有連續量與不連續量的保留概念。具保留 能力與否為前運思期與具體運思期明顯的分際點。
三 、 幼 兒 數 保 留 能 力 之 爭 議 與 實 徵 研 究
皮亞傑對前運思期的幼兒提出了發展上的限制，一些學者（Denney, 1972；
Gelman, Bullock, & Meck, 1980；Gelman, Spelke, & Meck, 1983；Gopnik & Meltzoff,
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1987；Hughes,1975；Yarrow, 1964；）卻對皮亞傑的實驗提出不同的看法，他們認 為幼兒是有能力的，皮亞傑低估了幼兒。有些錯誤的產生可能來自如：他詢問的 方式、實驗的情境脫離了幼兒的情境、幼兒不熟悉的遊戲、幼兒在生活中不常接 觸的事物等（黃慧真譯，1994、周淑惠，1999）。尹荷德等人（Inhelder, Sinclair, &
Bovet, 1974）證實居於不能保留與保留階段中間的轉型期，幼兒能經認知衝突的引 發而達到守恆（引自周淑惠，1999）。國內、外一些研究者（蘇建文，1973；謝瑞 蘭，1980；Beilin, 1965；Curcio et al., 1972；Gelman, 1969；Hartford & Fullerton, 1970；
Kingsley & Hall, 1967；Smith, 1968；Smedslund, 1961；Wallach et al., 1967）採用不 同的訓練方法，研究訓練保留效果及遷徙現象皆發現，保留效果宏大（引自陳綠 蓉，1986，P14）。周淑惠（1999）指出，大陸心理學者曾對全國十個地區千名以上 三至七歲兒童作大規模調查研究，結果發現，學前幼兒有相當的能力表現；其發 展階段有三：（一）三歲左右幼兒對大小、多少有籠統的感知，能唱數至 10、計數 至 5。（二）四至五歲幼兒計數後能正確說出總數，在末期出現數量的守恆現象，
此時能按數取物約 5－15 個，能認識序數（第幾），能知曉 10 以內之合成、分解，
做簡單的實物加減運算。（三）五至七歲幼兒能從實物的運算走向抽象數字的運 算，能作 20 以內的加減運算，基數和序數已穩定的發展。陳俞君等人（2002）研 究顯示，小班了解 10 及 5 以內的合成與分解約 15.4%及 23.1%，中班幼兒了解 30 及 20 以內的合成與分解約 27.8%及 33.3%，潘世尊（2009）研究指出，幼兒課程 數概念之學習及小一課綱之學習，似乎低估幼兒數的學習能力與發展。
在種類包含中皮亞傑的典型實驗，如「這裡有比較多的紅花，還是比較多的 花？」被人質疑和自然語言有關，如：我們不會問「這裡有比較多的紅花，還是 比較多的花？」我們會問「有比較多的紅花或一把中有比較多的花？」使用「一 把」這樣的名詞是自然語言中指稱物體集合（collection）的設計，「一把」這種用 語提醒孩子比較整體與部分，在種類包含中皮亞傑的典型實驗，「種類」名詞的重 複使用，並未提醒聽著注意部分和整體之間的比較，Markman 和 Seibert 預測，有 關「集合」的部分與全部之間的比較，對年幼的孩童而言應該較有關「種類」如 花的部分與全部之間的比較來得簡單，Markman 與 Seibert 的結果發現，當「集合」
名詞被運用在「種類包含」的問題時，孩童的表現要比使用「種類包含」名詞的 情形好很多約（70%）正確，這顯示「集合」在心理的連貫性要比「種類包含」在 心理的連貫性佳，因為集合更容易被概念化為全體；Fuson 等人（1988）針對五和 六歲孩童及 Hodges 與 French（1988）對三、四歲的幼兒研究的發現也與 Markman
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與 Seibert 結果相同，Fuson 等人還發現，孩童對集合名詞的經驗，也遞移到使用 種類名詞的古典皮亞傑種類包含問題，集合名詞和「結合」形容詞如「所有的」，
可以幫助孩童將物體呈現為單一名稱的結合組，而非獨立分開的物體，種類包含 的邏輯概念大約至少在五歲時就已出現（引自羅雅芬譯，2003）。諸多研究證實
（Siegel, McCabe, Brand & Mattews,1977）對三、四歲的幼兒在邏輯思考上的限制，
能在典型的「層級包含關係」問題上有進步的表現，尤其是四歲組的幼兒（引自 周淑惠，1999）。
綜上所述，認知能力可以加速進行嗎？當幼兒本身已處於準備學習該概念的 狀態時，訓練似乎較有效，而且某種方式的訓練比其它方式來得有效（黃慧真譯，
1994）。幼兒不是沒有能力的，幼兒具有一些能力與概念理解。是否較小的孩童真 的缺乏較大孩童具有的特定的認知型態？其研究顯示，較小孩童與較大孩童的認 知型態，在質的方面並無差異存在，所有年齡的個體大致都擁有相同的計算及表 徵系統，孩童與成人的潛在能力基本上無差異存在，只是成人更容易應用些能力 到更廣的相關任務，Rosch, Mervis, Gray, Johnson & yes-Braem（1976）及 Markman
& Siebert（1976）分類探討研究、Bullock, Gelman & Baillargeon（1982）因果思考 等實證研究，對認知發展的詮釋為 1.導致發展的主要原因是相同能力的應用途徑 增加，能採用新的策略解決問題 2.儘管隨年齡的增加，知識更趨於分化和複雜化，
但基本能力的本質並沒有發生變化；一些以皮亞傑理論融合訊息處理論者（Case, 1978, 1985；Halford, 1980；Turiel, 1983）重新詮釋認知發展，認為過程容量
（processing capacity）的成長與成熟度的成長一樣，都是決定認知發展的重要機 制，因當短期記憶體的容量增加時，孩童才能將其他資訊串（chuk of information）
合至解題流程中，Mckeough（1987）對認知型態（literary composition, scientific reasoning 及 working memory）進行研究發現，主宰認知發展的機制其中之一是經 驗，經驗主宰短期記憶體的功能（經由對此領域經驗的累積可更有效率的運用短 期記憶），認知發展具有跨領域的同步性存在；孩童和成人認知發展的差異並不在 一般的心智表徵或程序階段，而應以「心智的結構」定律來探討，皮亞傑所稱的 認知發展階段應涵蓋各個階段的基本能力，隨著孩童年齡的增長在生理成熟度與 經驗的累積上日益精進，但擁有的基本能力本質不變，在皮亞傑所劃分的毎個認 知階段中，都可出現相似的特徵與認知能力，不同年齡孩童呈現所有認知階段的 特徵，只是在面對問題時慣用的比率不同而已（許瑛召、洪榮昭，2003）。
其實，近年來的研究指出，幼兒的學習能力比皮亞傑所描述的更有彈性，皮
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亞傑之後的研究者認為經驗、知識左右記憶力，如會下棋的兒童對棋盤上棋子的 組織有經驗、有知識，因此在他記棋子時，是一組一組的記，在有限的認知容量 中因有知識，造成組織知識的單位變大，記憶量也就變大，季（Chi,1983）對一位 四歲半男童的恐龍知識做研究，發現男童對其熟悉的恐龍如食物、防禦機制、生 活環境、行動等特徵來分類，一點也不含糊，學前的孩子不是沒有邏輯、知識的 小人兒（柯華葳，1995）。維高斯基（Vygotsky）的近測發展區（The Zone of Proximal Development）認為教育是「引導」（leading）發展，藉著老師、父母，以及其他兒 童的合作與互動，孩子可以積極建構新的心智能力（古瑞勉譯，1999）。因此要如 何提升幼兒的數學能力使其充分發展，教學方法顯得相當重要。
第三節 圖表記錄與建構主義教學
一、圖表記錄訊息
數學的學習是一種探究的過程，此過程分為三個面向，一是解題，二是形成心 象（mental images）及記錄，要讓幼兒形成心象，圖表的視覺形成心象和紀錄就 顯得相當重要。民國 101 年教育部訂定「幼兒園教保活動課程綱要」，其揭示之宗 旨在讓幼兒成為重溝通、能思考、懂合作的幼兒；認知領域涵蓋「自然現象」、「文 化產物」及「生活環境中的數學」，其認知領域的核心目標在發展幼兒「蒐集訊息」、
「整理訊息」、「記錄訊息」等思考歷程的能力（教育部，2012）。其中記錄訊息的 能力就涉及了圖表概念。記錄有助提升幼兒的思維，能幫助幼兒知覺他們自己的 思考方式，並釐清想法（詹勳國、李震歐、林心怡、侯美玲、侯淑芬、莊蕙元、
戴政吉，2003）。要從所蒐集到的資料獲取有意義的資訊，最好的方法就是用圖形 來描述資料。圖表是利用外在具體的表徵如圖形，將事實有系統的歸納，以便讀 取圖表中所含的訊息，進而判斷資料（譚寧君，1994）。幼兒會經由物體影像的暫 留最後儲存變成記憶，進而比較、分辨物體的異同（蘇國樑，1993）。蘇國樑等人 將圖表的概念分成非抽像階段與抽像概念階段，所謂的非抽象階段依資料分析的 步驟分為：1.資料的分類：將相同形狀或顏色的物體放一起、2.點記：做數字記錄、
3.藉由具體的數字記錄理解圖表訊息的初步概念、4.將有效的資料記錄成表格或是 長條圖；抽像階段是由圖轉化成數值、百分數圖等（譚寧君，1994；蘇國樑，1993）。
本研究所運用的圖表記錄，是由教師設計圖表，提供幼兒記錄的方法，運用具 體的物體（錢幣），讓幼兒記錄數字的整體與部份，從圖表記錄中判斷、蒐集訊息。
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二、建構主義教
學
有關知識的學習理論有「吸收論」、「經驗論」、「理性論」和「建構論」之分，
「吸收論」的代表人物為桑代克（Edward L. Thorndile）、斯金納（B. F. Skinner）
和行為學派的葛聶（Robert Gagne）。吸收論的論點認為學習者是一個空的器皿，
學習是被動的，由教學者主動灌輸知識，學習者只是被動的接收知識；它重知識 的技能，數學知識是透過工作分析（task analysis）有組織、有順序的傳授給學習 者，並運用外在的增強方式來控制學習進度與行為，其教學設計也是較結構性的、
有清楚的教學目標可以遵循，因此稱為「吸收論」;「經驗論」的代表人物如洛克、
柏克來及休姆，經驗論主要認為知識的起源是由個體的外在而來，透過「感官」
來內化；「理性論」者如笛卡兒、斯賓諾沙及康德，他們堅持「論理」比感官經驗 重要，因為我們的感官常常欺騙我們（如錯覺），所以不能相信感官經驗所給我們 的事實，精密確實的數學及純正的演譯推理原則一直是理性論者支持的論點（周 淑惠，1999）。
談到建構教學，皮亞傑與維高斯基（Vygotsky）是兩位建構主義的代表人物，
皮亞傑和維高斯基都認為知識是兒童主動建構而來，而二者對兒童建構知識有不 同的觀點，其不同的地方在於：（一）在和環境互動方面：皮亞傑認為兒童是主動 和環境互動建構知識，此知識是兒童藉由同化、適應、調適、平衡等持續不斷建 構的過程，知識是兒童自己建構而來，是由「內」而外；維高斯基對兒童知識的 建構，主張兒童是生活在文化、社會的情境脈絡下，要了解人類的高級心理歷程 必須從社會生活及歷史文化的角度才可能達成，所以兒童知識的建構是透過成 人、同儕的互動而得，是由「外」而內的建構。（二）理論觀點的不同：維高斯基 強調社會互動的觀點，所有高階思維功能的產生都是源自於人與人關係的產生，
最近一些研究發現，兒童獨自學習有時不一定會有學習結果，大多數學生的學習，
還是要借助大人或教師的引導，維高思基的理論又被稱為社會歷史取向。皮亞傑 強調個人的建構觀點是心理學、生物學的。（三）對於幼兒學習和發展的不同：皮 亞傑強調學習是附屬於發展，發展是學習的前因，而非學習的結果，皮亞傑將學 習定義為「起自外部的獲得」，兒童沒有經過「一步一步的建構活動」來將他們獲 得的知識重新建構組織，這種知識是「拷貝」來的知識，因為兒童沒有運用到現 有的發展能力，所以對（認知能力的整合）發展沒有多大的幫助，在皮亞傑的觀 念中，發展是首要任務，學習是要能使兒童運用其現有的數學邏輯能力去創造，
這樣的學習才有助於兒童認知能力的發展；維高斯基認為學習先於發展，學習若
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是跟隨在發展之後，就排除了學習在發展中扮演積極角色的可能性，維高斯基主 張學習的過程促進發展的歷程，教育若無視於學習的事實，就不可能產生更積極 的效果。教育創造學習的歷程，在學習的歷程中可以不斷的引發兒童的「近側發 展區」（陳正乾、丁雪茵、林慧芬譯，1993；陳正乾，1998）。
所謂「近側發展區」是指「實際發展水準」（the level of actual development）
與「潛在發展水準」（the level of potential development）之間的距離；實際發展水 準是指兒童獨立解決問題的能力，潛在發展水準指兒童在成人的「引導」（leading 或 guidance）之下或是與較有能力的同儕「協同」（collaborate），解決問題的能力，
實際發展水準所顯示出來的是兒童已經成熟、發展完成的能力，潛在發展水準則 是兒童尚未成熟、尚在發展中的能力，如何引導兒童達到近側發展區，鷹架教學 法由此產生。鷹架教學法於 1976 年由 Wood、Bruner & Ross 等人提出，其觀點認 為教師或成人若能提供適當的協助（例如系統性的指導、關鍵性的指點）將有助 於兒童認知的發展，使兒童的學習超越他過去所學，這樣的學習可以用建築工地 的鷹架做比喻，鷹架教學的核心是師生間的對話的互動，在必要的時機教師提供 協助，協助的方式有：提問、指引（cueing）、迅速提示（prompting）、教練（coaching）、 標準的言行與動作示範（modeling）、告訴（直接教學)或是討論，經由這些方式，
依學生的需求調整其鷹架，但學習的責任在過程中逐漸轉移到學生身上，透過外 在社會空間的互動將符號逐漸內化，成為學習者認知思考的部分，鷹架的支持可 以讓兒童在建構知識、策略等的表現提升到較高的層次。近年來，皮亞傑認為孩 子是無能的及忽略文化與社會的因素受到愈來愈多的批評，尤其是階段（stages）
與自我中心（egocentrism）的論點。皮亞傑強調階段發展是全面性的、固定不變的，
佛萊維爾（Flavell）、傑爾曼（Gelman）、貝爾拉吉（Bailargeon）批評：「發展其實 是不平均的，在某些認知發展的範疇中有一些階段的證據，但在其他的面向中沒 有發展出證據，例如：學前的孩子有從他人的觀點來看事情的能力」。布魯納
（Bruner）提出皮亞傑忽略社會文化的觀點，他說：「我們並非完全只根據個人獨 自對自然現象的經歷建構事實，我們在經歷世界時，大多是透過他人協商的過程 而獲得知識」（陳正乾、丁雪茵、林慧芬譯，1993；陳淑敏，1994；周淑惠，1996；
單文經，1998；李長燦，2003；黃克強，2005）。
皮亞傑和維高斯基雖然對學習和發展的看法有不同的觀點，但二人都重視兒 童現階段的發展層次，維高斯基的近側發展區定出兒童的實際發展層次，維高斯 基的學習不是直接教學，而是重視學習與發展在彼此交錯中，複雜而具影響的歷
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程；皮亞傑所謂的教要降低成人權威互動的過程。皮亞傑和維高斯基學習和發展 之間的關係，如何在教育上運用？從近側發展區的觀點而言，對於學生的發展和 學習，教師要了解學生的實際發展層次及潛能，作為訂定教學計畫和選擇教學策 略的參考，教學不應坐視學生的成熟，教學應該創造適當的學習情境激發學生主 動的學習，使學生的潛在能力能發揮，提昇認知發展；學生在解題時教師可掌握 皮亞傑的知識建構觀點，即個體內在認知機制運作究竟為何的問題，了解學生在 面對問題時是如何運思、運思的過程中可能會出現甚麼問題、且此問題該如何突 破等，在學生學習的課程中，對較小範圍的知識作較深入的探索，重視對學習者 先前經驗及概念的了解，強調語言、社會脈絡、社會文化對知識建構的重要性，
重視師生對談（discourse）、運用教師和能力較佳同儕的鷹架作用，幫助學生發展 出「最大或最高層」的能力（陳淑敏，1996；潘世尊，2004）。
社會建構論在數學教學運用上是師生的互動，它是一個社群，這個社群是相 互信任的關係、共同創造有意義的活動。在這個學習社群裡必須自己去建構知識，
與成員互動、溝通、協商、講道理、理性溝通，容忍不同意見。這個社群提供了 挑戰、支持和反省的刺激來重組並建構知識，老師是情境的佈置者、組織者、學 習的仲介者（mediator）、促進者，兒童是解題者，老師的教學要誘導幼兒主動參 與遊玩、實驗、推理，幼兒有興趣就會主動建構知識，教師要透過觀察，了解幼 兒的興趣、提供教材，同時教師要減少權威的管教，以平等的立場和幼兒互動，
鼓勵同儕之間的合作互動，在真實的情境中不斷的評量幼兒的實際發展層次與潛 在發展層次，讓幼兒漸漸的導向潛在發展層次，使幼兒的潛能獲得充分的表現與 發展的機會（廖信達，2003）。
2012 年「幼兒園教保活動課程暫行大綱」其主要之理論基礎即是建構論的基 礎。潘世尊（2007）指出，維高斯基的社會主義建構取向，可以作為幼兒園課程 的取向參考。余民寧、韓珮華（2009）探討教學方式對數學學習興趣與數學成就 之影響中提到，建構式教學對促進學生能力知覺、數學有效性與數學學習興趣等 具有正向影響力。陳昇飛（2013）社會互動教學與幼兒數概念之研究中發現，開 放性對話有助於幼兒數概念之發展、同儕互動能改變幼兒數學解題策略。Joseph 等人（1993）利用自擬的「國小數學建構課程」，提昇小學低成就學童的數學能力，
結果發現，對提昇他們思考的技巧、發展解題能力以及改變數學學習的觀點有幫 助。劉錫麒（1991）研究發現，建構教學可以提昇國小五年級學生數學解題能力。
杜佳真（1995）發現建構教學能有效修正國小五年級學生速率問題的錯誤概念，
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以及增進速率問題解題能力。
綜上所述，建構主義教學在數學學習上對促進、提昇兒童之數學概念具有正 向的影響力。從維高斯基與皮亞傑的建構論知，老師除要了解幼兒在認知思考上 歷程的運作外，同時要發現並評量幼兒的實際發展水準適時的鷹架幼兒的學習，
達到幼兒的近側發展區。諸多文獻（甯自強，1983；蔡葉偉、朱芳美、桂亞珍，
1998；何素娟譯，1999；周淑惠譯，1998；周淑惠，1999；曹雅玲，2004；
Charlesworth,2005；Filiz,Varol & Farran,2006）指出，數的學習是幼兒內在抽象性 化的反省思維，是「自控」的，是由個體自己決定與「他控」不同，數學不是教 出來的，唯有當兒童建構了自身對於數學的理解方式，他才能把數字學好。教學 的目的不是要幼兒說出正確的結果，而是促進幼兒在量化上做思考。互動合作建 構的學習、提升幼兒高層次的思維，實為本研究提供了研究的面向。
第四節 錢與幼兒數概念能力之相關研究
國內有關錢與幼兒數概念能力的研究不多。鐘志從、洪淑蘭、和趙威（1999）
指出，我國五歲幼兒已具備初步的金錢學習能力，能辨認大部分的硬幣、紙幣，
也能比較幣值，約半數的受試者能在買賣遊戲中正確的付現，父母提供直接的金 錢學習經驗，如：教幼兒認識錢幣名稱與價值、讓幼兒自己買東西付錢等，有助 於幼兒金錢概念與金錢使用能力的發展。此研究與國外 Jong , Herwig & Shelley
（1997）的發現相似，幼兒使用金錢顯著的受到數概念和金錢概念的影響，幼兒 的基數概念對於學習幣值概念有益。
陳彥廷、柳賢（2005）指出幼兒在學習數與量尚有困難，其中又以序數問題、
錢幣轉換等為主要困難的問題。胡玲毓（2010）針對學童錢幣概念的學習進行研 究，發現錢幣轉換困難的問題，一是與學童具備的數概念有關，另一與是否有使 用及接觸錢幣的生活經驗影響有關；而此經驗主要來自於家庭。學童能順暢學習 錢幣概念，必須兼顧數概念和實際具體操作使用錢幣的經驗。培養幼兒的錢幣概 念，蔡淑桂（2013）建議可透過「數學遊戲」、「算錢的具體操作」與「摸觸實物」
的玩耍過程，讓幼兒發現順序原理，建構數量知識，形成可理解與領悟之數概念 基模系統；教學者可多用真實錢幣與實物，讓幼兒不斷的嘗試讀數與數數。
綜上所述，數概念和金錢概念彼此有相關性，父母提供直接學習經驗，有助 於幼兒幣值概念的建立。對於幼兒在幣值量上的轉換、如何建立幣值轉換與數概
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念之間的連結關係？其建構與思考的影響為何？是值得研究的議題。
