幾何拼圖類

第二節 幾何拼圖類

一、四方連塊拼圖

（一）四方連塊拼圖簡介

南加州大學數學教授 Golomb 在西元 1954 年利用五塊大小相同的正方形，於 平面上任意互相連接，在扣除旋轉、鏡射、翻轉之情況下，組合出 12 種不同形 狀，稱為「等積異形五方連塊」，這就是「方連塊」（Polyominoes）的起源。「方 連塊」代表的是一些將數個單位正方形，以邊相連接而成的幾何形狀，可分為雙 方塊、三方連塊、四方連塊等等。字首的數字明確指出這組形狀是由多少數量之 正方形組成。而四方塊的英文名稱為「Tetrominoes」，總共有五種形狀：

大部分的人對四方連塊可能會比較熟悉，這是因為多年前所流行的俄羅斯方 塊正是由四方連塊所組成。四方連塊拼圖遊戲是要將九個四方連塊，利用旋轉或 翻轉全部擺進 6×6 的正方形格子中。

（二）四方連塊拼圖規則

1、有九個四方連塊，擺放於6×6正方形外面。

2、每個四方連塊都可各自旋轉、翻轉及拖曳移動。只要將滑鼠放在欲操縱的四 方連塊上，快速點擊滑鼠左鍵兩次，即可順時針旋轉該方塊 90 度；滾動滑鼠 滾輪即可對該方塊做翻轉；點選滑鼠左鍵一次並按住不放，即可拖曳該方塊 到要擺放的位置，放開滑鼠後就會自動貼合至格子點位置。

3、若成功將九個四方連塊擺放於6×6正方形內，又不互相重疊的情況下，面板 上將會立即出現過關煙火圖案。

（三）四方連塊拼圖判斷方法

四方連塊拼圖乍看之下似乎很簡單，很容易引起操作者的興趣來挑戰，但是

試了幾次之後，會發現其實不容易成功，然而這並不表示找不出一種排法能填滿 這個棋盤。關鍵問題是：要如何用圖形或數學的概念來解釋無法挑戰成功呢？其 實方法很簡單，首先，將棋盤塗成黑白相間的幾何型式，在棋盤的36格中，恰好 黑色、白色部分各佔18格，如下圖所示：

在以下四方連塊拼圖，無論如何擺放，每種都恰好佔據黑色方塊 2 格、白色 2 格：

但是最後兩個四方連塊拼圖，無論如何擺放，都恰佔據白色方塊1格與黑色方塊3 格或白色方塊3格與黑色方塊1格：

從上述的分析可以得知，這九塊四方連塊的黑色方塊及白色方塊格數，合計等於 棋盤的黑、白色方塊總數。因此，這拼圖有機會可以完成，但要避免白色方格與

白色方格相接的情況，如： ，若在遊戲中出現這排列方式，結果必定

會失敗。

二、胃痛拼圖

（一）胃痛拼圖簡介

在加州史丹福大學同步輻射實驗室，古文物復原專家運用紫外光與數位圖像

電腦處理技術，讓阿基米德發明的一道遊戲重現天日。1998年10月30日，《紐約 時報》頭版登了一則報導：紐約佳士得拍賣會上，有一本其貌不揚的古書，以美 金200萬的高價成交。從外表看，這本書就像是中世紀某位修士的祈禱書，磨損 不堪，佈滿燒焦、水漬、發霉的痕跡。然而在祈禱文的下方，隱約可看見幾乎被 擦拭掉的，傳抄自古代科學家阿基米德的抄本。這祈禱書是教士約翰‧麥隆納斯 於公元1229年4月14日抄寫，想在耶穌復活周年日，當作禮物獻給教會。羊皮紙 從古代中世紀開始使用，由於價值極為貴重，通常經過皮面刮削後，重新書寫，

被稱為再生羊皮紙。麥隆納斯將祈禱文書寫在再生羊皮紙上。透過高科技的掃 瞄，祈禱書最後一頁原本是阿基米德稱為《胃痛》的一篇文章。該文章並非談身 體的疼痛，而是在論述一道組合學的問題，而且附了一個正方形的插圖。為了美 觀及容易辨識起見，我們可以將這十四塊拼圖塗上不同的顏色，下圖就是眾多不 同拼法中的一種，也是很困難的一種。

這拼圖一說是阿基米德發明的，也有人認為更早之前就被發明，阿基米德只 是研究過它而已。現在只有兩條線索知道這拼圖，其一是從阿拉伯文中發現這個 拼圖，在這個方向上，大都把它看成類似中國的七巧版，當成一種益智遊戲，隨 意的拼出各種造型的東西；另一條線索是從一本再生羊皮書所讀出的阿基米德手 稿，在這手稿中，可以確定的是：阿基米德把胃痛拼圖當成一道組合問題研究。

2003年伊利諾大學電腦科學家比爾‧卡特勒寫了程式，將旋轉與鏡射視為同

一種，可有536種基本解法，若納入旋轉與鏡射則可計算出有536×32＝17,152種 不同的拼法。同時，數學家波西‧狄亞柯尼及蘇珊‧荷姆斯這對夫妻與另一對組 合學夫妻檔隆恩‧葛拉漢及金芳蓉，他們不藉助電腦，只以筆紙也算出有17,152 種不同的拼法。阿基米德的胃痛拼圖會有這樣多的不同拼法，應該不是運氣好才 發現的，而是精心設計得到的，唯有將幾何與代數融合在一起，才能發明如此巧 妙而多變的拼圖。

（二）胃痛拼圖規則

1、有 14 塊多邊形拼圖，擺放於12× 的正方形框外面。 12

2、每塊多邊形拼圖都可各自旋轉、翻轉及拖曳移動。只要將滑鼠放在欲操縱的 拼圖上，快速點擊滑鼠左鍵兩次，即可順時針旋轉該方塊 90 度；滾動滑鼠滾 輪即可對該拼圖做翻轉；點選滑鼠左鍵一次並按住不放，即可拖曳該拼圖到 要擺放的位置，放開滑鼠後就會自動貼合至格子點位置。

3、若成功將 14 塊多邊形拼圖擺放於12× 的正方形框內，又不互相重疊，面板12 上將會立即出現過關煙火圖案。

三、新七巧板

（一）七巧板簡介

大眾對七巧板應該不感到陌生，在國中課本中也曾提及，它是由一塊正方 形、一塊平行四邊形，及兩大、一中、兩小共五塊等腰直角三角形組成。七巧板 的遊戲規則也相當地簡單易懂，只需要遵守等積變換的原則，也就是排成的圖案 中，不可有重疊的地方，那麼排成的區域面積就不會改變。七巧板還有智慧板、

唐圖等別稱，英文名稱則為「Tangram」，與華容道、九連環均被西方人列為中國 的難題。而七巧板的來源也是眾說紛紜，主要說法有：

1、由宋代的《燕几圖》演變而來：《燕几圖》由宋代進士黃柏思所設計，包含大 中小三種長度各異、寬度相同的長方形。古時的「燕」字通「宴」，所以「燕 几」就是用來宴請賓客的案几。將這些長方形案几經過排列組合之後，會產 生數十種形式變化，而且可以配合各種場合不同的需求來做調整，有些類似 今日的組合傢俱。

2、到了明代，嚴澄設計了蝶翅几，與燕几圖有相當大的不同，其組成為兩塊「大 三斜」、四塊「小三斜」、一塊「閏 （更小的小三斜，大小為小三斜的一半）」 及「長斜」、「右半斜」、「左半斜」各兩塊。

此處所謂的「三斜」指的是三角形、「長斜」是指梯形、「半斜」則是指 有一個直角的梯形。蝶翅几的組合比起燕几圖更加變化多端，由明人戈汕於 公元1617年編著的《蝶几譜》中，總共列出了一百多種組合。

（二）新七巧板簡介

隨著七巧板的流傳與盛行，各地也出現了許多不同的排板遊戲。在日本十一 世紀初時，有個名叫 Sei Shonagon 的宮廷婦女發明了七巧板，跟中國的七巧板 有些許不同，下圖即為日本七巧板：

而在上一個介紹的胃痛拼圖遊戲中，我們可以提取其中的七塊多邊形拼圖，

創新發展出另一款拼圖遊戲－新七巧板，此新七巧板拼圖可以排列成正三角形以 及長方形兩種形式。如果仔細觀察胃痛拼圖的完成圖，就會發現其排列規則是將 大正方形分割成直角三角形、長方形、梯形、平行四邊形等區塊，只要一一完成 各區塊，就能順利拼出胃痛拼圖，組合學家也是根據此道理才算出 17,152 種不 同的拼法。因此，新七巧板拼圖可說是進入胃痛拼圖前的暖身題。

（三）新七巧板益處

1、可以訓練學生有關形狀概念、視覺辨別、認知功能、視覺記憶、手眼協調、

精細動作的提升，並具有鼓勵開放性思考的特色。

2、可將實物與形態的認知概念連結起來，此對學生的觀察力、想像力、形狀分 析及創意邏輯上等方面都有發展的機會。

3、幫助學生學習基本邏輯關係和數學概念。具有讓學生認識各種幾何圖形、數 字、周長和面積的正向意義。

4、引導學生領悟圖形的分割與組合，進而增強學生的空間感和觀察力。