數位化數學遊戲於教學與評量應用之初探

全文

(1)國立臺灣師範大學數學系教學碩士班碩士論文. 指導教授：許志農. 博士. 數位化數學遊戲於教學與評量應用之初探. 研究生：陳裕錫. 中華民國一百年十二月.

(2)

(3) 摘要近幾年來，有越來越多的論文在探討數學遊戲與學生學習的關係，範圍涵蓋教學活動與評量，甚至學生學習的心理層面也有，但這些論文中的遊戲都僅只是在紙本上操作。反觀目前政府的教育趨勢，極力傾向於發展數位學習，希望藉此能減少城鄉的落差，因此，開發數位化數學遊戲成了當務之急。研究者先從以往自身的經驗，分析傳統數學遊戲的不方便與缺失，搭配歷年文獻來強調數學遊戲的重要性與數位化的優點。因此，研究者與指導教授開發製作三種類型的數位化數學遊戲：代數算術類、幾何拼圖類、演繹分析類，論文中介紹了多項數位化數學遊戲的背景、規則及策略，並提供論文所提及的遊戲下載（網址：http://163.24.48.1/web/rexsi/game.rar），讓有興趣之教師能方便操作使用。本研究論文最後一個章節，將說明這些 flash 遊戲的設計流程，並公開及逐行詳細解說遊戲的程式碼，希望讓更多教師能對撰寫數位化遊戲，不再抱持著敬而遠之的態度，更進一步者還可將這些遊戲修改成自己所需的形式，以增進教學效能及達到多元評量的目標。關鍵字：數學遊戲、flash、數位化遊戲.

(4) 目次第一章緒論 ..............................................................................................1 第一節研究動機與背景...................................................................................... 1 第二節研究目的.................................................................................................. 4 第三節研究限制.................................................................................................. 5 . 第二章文獻探討 ......................................................................................6 第一節遊戲概論.................................................................................................. 6 一、遊戲定義與功能.................................................................................... 6 二、遊戲理論................................................................................................ 8 三、數學遊戲.............................................................................................. 12 四、非數位遊戲與數位遊戲...................................................................... 16 五、數位化數學遊戲的分類...................................................................... 23 第二節遊戲的應用............................................................................................ 24 一、數位遊戲式學習.................................................................................. 24 二、遊戲與教學.......................................................................................... 25 三、遊戲與評量.......................................................................................... 30 第三節開發數位化遊戲的工具........................................................................ 32 一、C/C++程式語言................................................................................... 32 二、Visual Basic 程式語言 ........................................................................ 33 三、Java 程式語言 ..................................................................................... 33 四、RPG 遊戲製作大師 ............................................................................ 34 五、Game Maker......................................................................................... 34 六、Flash 與 ActionScript .......................................................................... 35 . 第三章數位化數學遊戲說明 ................................................................36 . -I-.

(5) 第一節代數算術類............................................................................................ 36 一、費波那契的遊戲（Fibonacci Nim） .................................................. 36 二、愚公移桌.............................................................................................. 39 第二節幾何拼圖類............................................................................................ 40 一、四方連塊拼圖...................................................................................... 40 二、胃痛拼圖.............................................................................................. 42 三、新七巧板.............................................................................................. 45 第三節演繹分析類............................................................................................ 47 一、河東獅吼遊戲...................................................................................... 47 二、鋸木板遊戲.......................................................................................... 49 . 第四章數位化數學遊戲的程式碼說明 ................................................53 第一節費波那契的遊戲.................................................................................... 53 一、面版佈置-第一影格 ............................................................................ 53 二、遊戲操作-第二影格 ............................................................................ 55 第二節河東獅吼遊戲........................................................................................ 62 一、面版佈置-第一影格 ............................................................................ 62 二、遊戲操作-第二影格 ............................................................................ 64 三、判斷獲勝或停止條件.......................................................................... 69 第三節四方連塊拼圖遊戲................................................................................ 70 一、面版佈置-第一影格 ............................................................................ 70 二、四方連塊遊戲按鈕製作－btn1 .......................................................... 78 三、遊戲操作-第二影格 ............................................................................ 79 四、判斷獲勝或停止條件.......................................................................... 85 第四節鋸木板遊戲............................................................................................ 87 一、面版佈置-第一影格 ............................................................................ 87 . -II-.

(6) 二、遊戲操作-第二影格 ............................................................................ 91 三、遊戲操作-第三影格 .......................................................................... 105 四、判斷獲勝或停止條件........................................................................ 117 . 參考文獻 ................................................................................................ 118 中文部份............................................................................................................ 118 英文部分............................................................................................................ 120 . -III-.

(7) 第一章緒論第一節研究動機與背景翻閱目前所有關於數學遊戲的研究論文，可發現大都是將遊戲融入教學過程中，而值得注意的是，學生參與的熱情與學習興趣，往往會在遊戲教學實施之後慢慢遞減，因此就有少數幾篇論文的研究方向，著重於將遊戲融入教學後的評量之中，且相信可以使學生持續積極地學習，以期能在遊戲式的評量中獲得最後的勝利。經過筆者分析歸類，發現這些研究論文都有個共通之處：即是所使用的遊戲，都是採用紙本方式實施。而這種利用紙本帶領學生動手玩數學遊戲的方式，筆者在大學時期所參加的國小夏令營也曾實施過。事後檢討活動施行過程，其中有諸多缺點待改進：（1）在上台教學之前，總是要花費許多時間與精神，用來準備課堂上的教具及學生操作時所需的器材，也正因為課前準備工作如此不易，所以常常得要以兩三位學生共同操作一項玩具（如：拼圖遊戲），方能完成預期的遊戲活動。（2）許多教具及器材在使用過後都無法回復如新，時間一久，就得重新製作；又或是學生在操作遊戲期間亦會不小心將道具損毀或遺失，這些不可預期的因素都會造成遊戲道具無法重覆使用。（3）遊戲進行時，需不斷有教師從旁協助指導遊戲規則，以免學生在操作時，因不清楚規則而徒勞無功；另外，許多遊戲在計算分數、判斷輸贏或成功狀態時，也需要上課教師做最後一一的確認，如此一來，上課教師勢必將會分身乏術，疲於奔走，無法從容掌控活動場面，容易引起學生失序問題。（4）其實有許多的數學遊戲相當能吸引學生的興趣，並親身來動手嘗試挑戰，且學生想帶回家分享給家人、朋友的興趣也很濃厚。但是，礙於教具數量有限的關係，往往無法如願以償。這也顯示了學生少了個「分享」觀念的機會教育，甚為可惜。. -1-.

(8) 回顧過往，「電腦」曾經是非常昂貴的物品，但隨著時代進步，科技資訊一日千里，根據教育部96年度資料指出，國中小學生擁有電腦比率為82.6%，顯示電腦近年來已經相當普遍化。且依據行政院研考會最新調查，針對我國12歲以上民眾進行的「數位落差調查報告」顯示：曾經上網的人為70.9％，其中12～20 歲的學生則將近100％曾經使用電腦或任何資訊設備上網，包含時下最流行的智慧型手機及平板電腦。在教育部中小學資訊教育白皮書2008－2011（2008）中則強調：近年來，中小學教師已普遍認同資訊科技對教學的效益，也致力於探索資訊科技在教學應用的較佳方式，但目前仍偏重以教師為主的教學形式。其實放眼全世界，各國的資訊教育政策均以積極推動數位教學資源的開發與應用為主要目標，以期提昇教學品質。目前我國主要數位教學資源網站，以教育部教學資源網的內容與規劃較為全面，但在數學領域方面，卻僅有2,976筆資料，而其中利用 flash寫成的教材更是少之又少，由此可見，這的確是值得我們努力的方向。仔細分析教師之所以習慣用紙本數學遊戲的主要原因，應是在教學現場中，教學資訊設備的不足或不便，其次是數位化數學遊戲的數量嚴重欠缺，導致難以施行於教學上。依據教育部中小學資訊教育白皮書2008－2011（2008）規劃階段的問卷調查結果，中小學教務主任們認為中小學目前最需要的設備是單槍投影機。他們認為單槍投影機是一般教室進行教學活動時最需要的資訊設備（85.76%），也是資訊設備問題中需要優先解決的問題（70.36%），這亦是促進教師在教學上應用資訊科技的有效硬體設施（69.39%）。政府也於振興經濟擴大公共建設投資－建置中小學優質化均等數位教育環境計畫（2009）中，提出兩點目前國民中小學的數位教育問題： 1、「專科教室」資訊教學設備不足。（1）善加利用電腦與網路等資訊科技工具的即時性、互動性、多媒體傳播與自主性學習環境等特質，將可活化現場教學與學習情境與模式。然全國中小學「專科教室」資訊教學設備嚴重不足，且部分設備已老舊不堪使用，無法因應各科任教師教學需求。（2）宜設立多功能e化專 -2-.

(9) 科教室，建置單槍投影機或顯示器、網路、電腦、電子白板、攝影機、可攜式及可寫式電腦等設備。此計畫已於98學年度建置6,500間多功能e化專科教室，裡面配備有單槍投影機x1、72吋電子白板x1、主機x7、無線手寫板x1。 2、「班級教室」資訊教學設備老舊。（1）目前「班級教室」資訊教學設備，大多利用「電腦教室」汰換之設備重覆再生使用，無固定經費購置及維運。依據九年一貫課程之精神，各學習領域應使用資訊科技為輔助學習之工具，以擴展各領域的學習，並提升學生解決問題的能力；而適當的使用資訊科技可以促進學生的學習成效，然而資訊教學設備老舊、不足及不便捷，易使「資訊科技融入教學」無法有效落實，而「資訊科技應用於教學創新作為」更無法發揮其功效。（2）宜增加一般教室的資訊科技設備，如：單槍投影機或顯示器、網路、可攜式及可寫式電腦等資訊設備，規劃適合中小學一般教室各學科教學使用的數位環境。此計畫已於98學年度建置e化數位教室25,700間。綜觀政府為了中小學優質化均等數位教育環境計畫所做的努力，相較於從前，教學資訊設備已做了很大的改善，而剩餘的最關鍵問題就是數位化數學遊戲數量嚴重不足。筆者在目前任教的學校有支援教授電腦課，在上課時可以明顯觀察到學生都喜歡利用電腦玩遊戲。他們往往會利用課餘短短的十多分鐘，迅速連結上熟悉的網站，去下載由 flash 寫成的小遊戲。而且私下詢問同學更會發現，大家對某幾個 flash 遊戲更是有志一同的如數家珍。由此可知，利用 flash 程式寫成的有趣遊戲是深受學生的喜愛。筆者認為其中原因可能如下：（1）遊戲的檔案小，下載等待時間較短。利用 flash 平台開發遊戲的優點，在於它使用向量運算的方式，所以製作出來的遊戲體積會比其他遊戲開發平台小很多，而重點是遊戲吸引學生程度，不會因為檔案小而隨之減少。（2）flash 遊戲的互動性佳。flash 遊戲不僅有單人遊戲，如：拼圖遊戲；亦有雙人遊戲，如：小朋友齊打交；更有 flash 大型多人連線的線上遊戲，如：DoFus－MMORPG，這些資料在在顯示出 flash 在互動遊戲世界中，可開發的潛能性。（3）電腦配備要求低，且不限作業系統。因 -3-.

(10) 為是使用 flash 開發的緣故，所以不管用的作業系統是 Windows、Mac 或 Linux，只要下載安裝 flash player 就可以玩。現在甚至連筆者的平板電腦所使用之 Android 系統，亦可搭配其他播放程式來執行 flash 遊戲。（4）遊戲檔案攜帶方便。只要從網路上下載過一次，並將它存放在隨身碟之中，即可跟隨自己移動，且執行程式時不需要透過網路連線，不會有頻寬不足而操作時發生動作延遲或停滯的情況。而以上所提到的 flash 遊戲，大部分皆屬於：（1）動作類遊戲：主要分為射擊遊戲、格鬥遊戲等有暴力成份，及無暴力成份以訓練反應力為娛樂遊戲，如：小朋友齊打交、貪食蛇、打磚塊遊戲。（2）運動遊戲：模擬真實世界中的運動項目，讓玩家有參與運動和更接近現場的感覺，如：網球遊戲。（3）益智遊戲：以趣味性的心智思考為主。如：找碴遊戲、魔術方塊、棋類遊戲等。綜觀以上市面上常見的 flash 遊戲，真正可用於數學課堂上的實在寥寥無幾，更遑論能有針對數學單元所設計製作的數位化數學遊戲。站在師長的立場來反思，我們千萬不要認為學生玩這些遊戲，都只是在玩玩而已，因為「凡走過必留下痕跡」，不可小覷潛移默化的力量，他們在數學遊戲中已切切實實地在運用數學的方法，也接受數學的薰陶。從遊戲中學習，不僅涉及認知能力，亦涉及性情、官能、社群各領域能力。具勝負的遊戲更能提高參與者解決難題、觀察與分析、運用不同策略之能力。（黃毅英，1997）. 第二節研究目的在學校的修習科目中，大多數的學生都認為數學是一門無趣的學科，認為那只是在做許多無意義的符號背誦或是符號操弄的活動，「數學課」對學生們來說是個痛苦的學習經驗。趙文敏（1981）相信數學遊戲對學生的吸引力比正統數學來得大。如果在課堂上，能夠針對各種數學主題，舉列出一些與這個單元既有關又有趣的數學遊戲，相信在學生的學習情緒及效果上，定會有相當的改善。因此本研究的具體目的如下： -4-.

(11) 一、針對數學課程內容主題或九年一貫課程綱要提到的多項數學能力，設計、製作出數位化數學遊戲，並將這些已製作的數位化數學遊戲做分類、介紹，討論這些遊戲隱含著哪種數學概念，並說明遊戲致勝的策略，以供教師們可以在課堂活動上直接使用，提升教學品質，更嘗試搭配用於評量之中，達成多元評量。此拋磚引玉之舉，深切期望能激發出更多教師的創意，能一起投入設計製作數學遊戲的行列。二、在本文中，挑選各類型代表的數位化數學遊戲共四個，隨後說明遊戲設計撰寫理念，並公佈解說其中 ActionScript 程式碼所代表的動作與意義，以及在遊戲設計時所運用到的數學原理。希望能讓教師們動手修改成適合自己所需的版本，更期望有興趣發展遊戲的同好們，不再因為看到複雜的程式碼就卻步不前，而能夠參考本文這些範例，發展設計出屬於自己的遊戲。. 第三節研究限制筆者在做研究之前也僅僅是略懂 ActionScript 程式碼而已，剛開始先練習一些簡單的遊戲設計，到最後慢慢駕輕就熟。雖然不是運用最新版本來撰寫遊戲，但對於基本的遊戲程式要求業已足夠。不過研究的過程還是會有許多的限制：一、網路上遊戲數量眾多，但仔細觀察就會發現，屬於數學遊戲的僅佔極少數。這是因為數學遊戲既要隱含數學原理在其中，又要兼顧有吸引玩家的興趣，這些在設計上實在極為不易。二、遊戲設計製作是一項非常專業的領域，通常需要結合各領域的專業人員方可完成，包括：平面美術、動畫、音樂、程式設計…等，而本研究中的遊戲，為筆者獨力製作，在製作過程中雖盡量以達到「麻雀雖小，五臟俱全」為標準。但在聲光效果及美術編排上，實難敵市售的專業遊戲。 -5-.

(12) 第二章文獻探討第一節遊戲概論一、遊戲定義與功能研究資料顯示，每一個文化環境中皆有遊戲的遺跡留存下來，可見人類在很早以前即有遊戲活動的存在，但對於遊戲的研究卻遲至十九世紀才有學者提出專業性的探討。學者對遊戲的定義和發展亦因研究時切入的面向有所差異，而持不同的見解，以下是各家學派對於遊戲定義與功能做的整理：（一）遊戲的定義比較國內外學者對遊戲之定義： Lloyd P.Rieber（1996）. 遊戲的特徵綜合整理（陳怡淇，2007）. 1、遊戲通常是自願的（Voluntary）. 1、自由的活動：參與者可依其自由意志參與和選擇遊戲。. 2、內在動機的活動：參與者是主動、內發的 2、遊戲的動機是內隱的參與遊戲，而不是被強制參與的，且不具外（Intrinsically motivating）在目標，強調遊戲的過程重於結果。 3、正向意義的活動：遊戲比傳統的教室學習更能引起兒童的興趣，是因其具備趣味性，可以帶給兒童歡樂。 3、遊戲牽涉某種層次的主動參與（Active engagement）. 4、策略性的活動：兒童在遊戲中受到遊戲規則的約束，為了贏得競爭而產生策略，因此，可視遊戲為一種策略性的活動。 5、綜合性的活動：不僅是單一、獨立的行為，它和其他方恩有著密切關係，例如創造力、解決問題的能力，語言學習、社交技巧…等。. 4、虛構的特質（Make-believe quality）. 6、非實際性的活動：遊戲的時空與真實世界的時空並不相同，遊戲是透過想像，自成一個系統，在特殊結構下的一種暫時性組合。 -6-.

(13) （二）遊戲的種類學者劉一民（1999）提及Roger Caillois將遊戲的種類分成以下四種類型：競爭性遊戲. 機運性遊戲. 模仿性遊戲. 暈眩性遊戲. 遊戲者沉浸在想遊戲者在遊戲中遊戲者在公平的機運遊戲結果，完像的空間裡，暫時製造知覺上的失條件下，依據競賽全掌握在運氣。忘記自己，裝扮模衡，產生失魂、緊規則，戰勝對手。仿別人的角色。張、狂喜的狀態。例如：各種運動競例如：猜拳、打例如：轉圈圈、盪例如：家家酒遊戲賽、橋牌、或兒童賭、彩券、輪盤、鞦韆、滑雪、攀及戲劇。的追逐遊戲。擲骰子。岩、摩天輪遊戲。以參與的形式分小組合作遊戲與個人遊戲：小組合作遊戲. 個人遊戲. 優點. 能加強小組間的互動與對談，考驗分工的能力與合作的默契，可從討論中衍生出不同解題方式，學生參與程度高。. 遊戲題目設計時，可兼顧各種程度的學生，由簡而難，讓低成就學生也能參與其中、跟上腳步，循序漸進的學習。. 建議. 學生發表、溝通討論技巧欠佳，宜先建立並多練習在討論、發表時應有的常規。上台發表可參考設計遊戲學習單（含紀錄功能），可檢視學習過程的情況。. 教師同時間較無法顧及全面性狀況。在遊戲的設計中，應含有多種概念的統整活動，則活動比較有助於學生做聯結性的學習。. （三）遊戲的功能近代學者對於遊戲做了許多研究，他們認為遊戲具有多種功能。以下是不同學派的觀點： 1、人類學家的觀點：遊戲是人類從兒童成長為大人的過程，是極自然的事。遊戲是人類文化活動的一種形式，研究遊戲的源流及傳播，可探索民族發展及其源流歷史的線索。. -7-.

(14) 2、行為學家的觀點：遊戲除了具有訓練知識技巧的作用，亦可用以控制行為。遊戲活動可增進兒童腦神經系統及運動機能方面的發展，如大小肌肉的發展、精細動作的熟練……等，透過遊戲的過程，可提供兒童機會以培養這些能力，進而增加兒童對自己身體的自主掌控（詹志禹，1997）。 3、社會學家的觀點：遊戲方式表現出社會組織及其活動模式，可藉著遊戲探討人際關係。兒童透過遊戲來表現自我，在團體遊戲中學習與別人相處、合作、尊重，以發展合宜的人際關係，並了瞭和諧活動的重要性。此外，當兒童接受遊戲中的約束與規則時，無形中促進其社會行為的發展，更可養成在現代社會生活中所需要的基本應對概念。（吳博明，1995）。 4、心理學家的觀點：遊戲可應用於心理分析，用以診斷思想、情緒的變化狀態。透過遊戲可協助兒童語言、思考、想像的學習、問題解決能力的提昇、瞭解個人與環境的關係、表達內心感受、淨化其負向情緒…等益處，可促進兒童心理正常的發展。遊戲不僅是可以讓兒童舒緩情緒，更重要的是讓兒童領悟到自我情緒控制，遊戲是具有學習、適應、治療及休閒等的多重功能（詹志禹，1997）。 5、科學家的觀點：遊戲雖是虛擬的活動，但其過程可視為某些現實的變換，因此，它們可能是簡化的事物結構，讓兒童有探索環境及反思己身的機會。 6、教育學家的觀點：Dewey：「遊戲在學校課程中佔有明確的地位，其目的在增進知識及充實社會行為，不是體力的消耗或片刻歡愉，缺乏遊戲活動之教育，是不能得到有效的學習」。時至今日，亦證明遊戲是很好的活動教材，使學生在有趣的遊戲活動中進行學習。二、遊戲理論遊戲活動自早期人類文明便陸續存在，但進一步對遊戲加以科學化專業化地. -8-.

(15) 探討與研究，遲至十九世紀才開始。在此僅以遊戲理論提出時間加以分類，並依西元 1920 年來作遊戲理論的分水嶺，1920 年代之前的統稱為「古典遊戲理論」，在 1920 年代以後的遊戲相關理論，則稱為「現代遊戲理論」。（一）古典遊戲理論遊戲的理論最早可追溯至柏拉圖和亞里士多德對遊戲所提出的觀點。柏拉圖和亞里士多德他們都認為遊戲能增進算術的學習，並且是建構知識的技巧之一 (江麗莉譯，1997）。但千年以來，真正有學者重視且嘗試去建構出遊戲理論的，則要在十九世紀後半才開始。 1、精力過剩論此為最早發展出的遊戲理論。將精力消耗在有目的的活動，那就是工作；而消耗在沒有目的的活動，那就是遊戲。Schiller和Spencer兩人不僅認為遊戲是為了消耗過多的精力，同時也認為遊戲是導致藝術產生的因素之一。（江麗莉譯， 1997）。 2、放鬆和休閒論 Patrick認為遊戲可以讓人們解除身心因處理社會各項事物而產生的疲憊，具有暫時獲得放鬆功用（江麗莉譯，1997）。這種說法較適用於成人而並非是針對兒童所發展。 3、練習論認為遊戲可以幫助兒童發展及加強日後生存所需具備的本能（郭靜晃譯， 1992）。兒童往往會模仿成人，嘗試著去探索各種事物的可能性，以增進對自我及對環境的認識及掌控，並從中發展出個人的人格和智能(鄭肇楨，1983）。. -9-.

(16) 4、複演論起源於Darwin的進化論觀點。兒童在遊戲當中表現出了先人的活動情形，重演人類行為進化過程。從兒童玩水，爬樹及群體遊戲中，約略可看出人類遠祖為適應環境而發展出技能的痕跡（江麗莉譯，1997）。 5、成長論認為遊戲是為了滿足身體需要。在人生的成長時期需要遊戲來幫助兒童成長，等到成人之後，玩遊戲的慾望也會逐漸緩和。(林風南譯，1990）。 6、淨化論遊戲可淨化被壓抑的情緒、慾望或情結。遊戲可被視為一種發洩情感的工具，藉由玩遊戲可發揮情緒治療的效果。(林風南譯，1990）。近年在心理治療的臨床個案上紛紛興起對兒童甚至整個家族以遊戲方式進行治療，即是由此理論而崛起。但古典遊戲理論有二大缺失：一為以哲學式的反省為立論基礎，較少以實證研究來支持其立論；二為解釋的範圍過於窄化，以至有過多例外無法解釋。此派嘗試以不同的角度去解釋遊戲存在的原因及存在的目的，而未對遊戲的定義加以解釋。雖有缺失，卻提供了成人對兒童遊戲的新觀點，更為各家現代遊戲理論奠下立論基礎。（二）現代遊戲理論有關遊戲的現代理論約略發展於西元一九二○年代之後。由於心理學的快速發展，學者便試圖以心理學的角度去分析兒童遊戲的意義與價值。另一方面，又因為教育的普及及受重視，使得兒童教育學者發現並開始注意到遊戲的重要性。不只解釋人為何要遊戲，更嘗試將其在兒童發展所扮演的角色下定義，強調遊戲 -10-.

(17) 的積極功能。由於此時心理學快速發展，學者便以心理學的角度去分析兒童遊戲的意義與價值。另一方面，又因為教育的普及及受重視，使得兒童教育學者發現並開始注意到遊戲的重要性。甚而在近年，遊戲已廣泛應用在心理治療、學前教育及國小基礎教學之中。甚至在近年來，遊戲已廣泛應用在心理治療、學前教育及國小基礎教學之中，有關遊戲的現代理論經研究後彙整如下： 1、心理分析學派 Frued認為個體為了追求本我快樂會產生遊戲的行為。透過遊戲，個體能夠暫時實現內心的需求及渴望，因而可以從遊戲中獲得快樂與滿足。因為遊戲是希望的投射，當生命中有不愉快的經驗時，若透過遊戲將經驗中的情境加以重演出來，能增加個體對於那些不愉快經驗所引起負面情緒的控制力。（江麗莉譯， 1997）。遊戲對兒童的自我發展極為重要，在遊戲中兒童可以對自我的潛能有更深入的了解與認知，並可同時促進兒童體能、社會化等等多方面的學習。 2、認知學派 Piaget採取較為宏觀的角度來看待遊戲，認為遊戲可呈現並促進兒童的認知發展能力。Sutton-Smith（1979）認為角色扮演類的遊戲可幫助兒童打破自己原有的思維模式而嘗試以不同的角度去聯想或思考事情，或用新的方式來遊戲。這種富於創意的新想法可以幫助兒童在成人之後適應週遭多變的生活。 Vygotsky認為遊戲可直接促進兒童的認知發展，並可促進兒童的創造力和變通力。Bruner認為兒童在遊戲當中可以嘗試很多新的行為及新的玩法，以便日後應用到實際的生活情境中，進而解決生活上的問題（郭靜晃譯，1992）。 3、覺醒調節論由Berlyne首創，以生物觀點來做解釋。此理論將遊戲、好奇、創新等行為 -11-.

(18) 以一個系統的觀點來探討。Berlyne認為人會追求刺激及尋求探險，而遊戲便是一種尋找刺激的行為，當生活中的刺激不足時，遊戲便開始，反之則停止。個體為了增加刺激，會在遊戲中發揮想像力，以不同方式運用物體進行活動。（郭靜晃譯，1992）。 4、其他相關遊戲理論孩子在玩遊戲之前，必會先發展出一套遊戲的組織或脈絡關係來讓參與遊戲者在遊戲時都知道將會發生什麼，且了解這只是假裝而不是真的。Garvey（1977）在探討角色扮演和他們實際身分在參與戲劇遊戲中角色是如何替換的研究中發現，兒童會建立、維持、傳輸及再陳述遊戲對話中對個體有用的訊息。Schwartzman （1978）的研究則指出，兒童的社會地位可能影響遊戲的主題或其中的關係。遊戲的內容與兒童年齡有相關，年紀越大，在遊戲中所扮演的角色及遊戲的內容及規則則越複雜（郭靜晃譯，1992）。Curry（1972）則是從效率面向探討遊戲，他認為遊戲本身所具有的創造性，以及思考集中和思考分散之間的關係，能夠提供兒童一種讓自己脫離沮喪的方法。三、數學遊戲（一）數學遊戲的定義 Harvey ＆ Bright(1985）認為數學思考可以被視為用數學知識、技術、技巧來解決問題的思考方式；而數學遊戲是指要用到數學思考才能獲得解決的遊戲。張維忠(2006）指出遊戲本身就是文娛活動的一種，分為智力遊戲和活動性遊戲。前者是發展智力的，後者是發展體力的。數學家在從事研究時不是戲謔的，且嚴謹和認真是人們對數學的一種追求。數學是帶有藝術風度的智力工作，同時是具有巨大的實用價值的科學。可是大多數人並不認為數學與遊戲有什麼關連，然而，遊戲卻是數學的重要組成部分。饒見維（1996）亦指出數學和遊戲的關係. -12-.

(19) 其實很密切，遊戲規則與數學規則都是人為的建構，數學成立在「數學家所建立的規則下」，而遊戲則沒有固定的模式與規則，可因人、因時、因地做適時的調整。因此，可將數學視為一種遊戲，數學體系可視為數學家所發明的不同遊戲規則。而鄭肇禎（1983）認為數學本身其實就是遊戲，兩者同樣具有相類似的元素及結構。以表列方式比較說明之：數學. 遊戲. 選定的集如數字、圖形、函數的集合物體的集如棋子、撲克牌、骰子合等。合等。被定義的如規定集合內的元素如何進被定義的如走棋的步驟、如何得運算規則行加、減、乘、除等基本運算。遊戲規則分、分數的計算等。（二）數學遊戲的類型一般來說，參與數學遊戲的人只需具備基本的數學能力便可參與，數學遊戲是一種運用數學知識的大眾化娛樂活動。而這些遊戲往往以比較複雜的形式表達，則是為了增加參與者的興趣。在世界各地皆有數學遊戲，又因為地域關係而有不同的呈現方式，在發展歷程中，可見數學遊戲演變成許多數學名題的例子。例如：阿基米德的「群牛問題」及中國的「百雞問題」促進了不定方程理論的發展；哥尼斯堡七橋問題引起圖論的創立，並促成拓撲學的建立；斐波那契兔子問題等等。我們將數學遊戲分為九類，包括： 1、代數遊戲代數遊戲一般包括以代數方程或代數方程組來求解的問題。例如在公元前三世紀，古希臘數學家阿基米德提出「群牛問題」涉及八個未知數不定方程組。及五至六世紀間，中國《張丘建算經》中記載的「百雞問題」涉及的三元不定方程式組。這些問題對促進代數的發展有很大的幫助。. -13-.

(20) 2、算術遊戲算術遊戲可分為兩種問題：一種是算數，另一種是運用算術知識解決的問題。用代數的方法求解的算術問題，可使問題更為簡化。數字間的有趣關係及各種不同的數學軼事等是常見的算術問題。例如對數碼 123456789 以不改變它的排列次序為原則，只加上運算符號和必要括號的方法，使它運算結果等於某數。配合文字來表達問題則是另一種算術遊戲。例如：三世紀古希臘數學家丟番圖逝世後，墓碑上刻著的詩歌碑文為提示年齡計算的線索。 3、幾何遊戲典型的幾何遊戲如古希臘提出幾何作圖三大問題，及後人提出的直尺作圖問題、圓規作圖問題、定角圓規作圖問題、用相同形狀的圖形鋪滿整個平面問題等。另外由勾股定理設計出來的問題，如蓮花問題在許多國家都出現過。 4、組合遊戲十三世紀幻方被楊輝闡述過，中國古代稱為縱橫圖，並使它在理論上得到很大的發展。另外，「抽屜原理」亦可構造出大量的有趣問題。人們對 19 世紀中提出的柯克曼女生問題的求解使集合論得以不斷發展。 5、數論遊戲由數論中的基本定理構造出來的數論遊戲能激發起人們學習數學的興趣。公元三世紀成書的《孫子算經》中記載了著名的「孫子問題」，由於題解的理論十分深奧曲折而為後人不斷研究。實際上，這是一次餘式問題。在十三世紀由秦九韶成大衍求一術，這問題就被多種數學的專著加以延伸變化地採用。. -14-.

(21) 6、圖論遊戲十八世紀提出的柯尼斯堡七橋問題為前身，被後人發展為郵遞員問題或周遊世界問題等式。這些都直接地促進了圖論的創立，並影響了網絡理論及拓樸學的建立。 7、概率遊戲在十七世紀中葉引起了人們對「合理分配賭注問題」的廣泛討論，其實早在在十五世紀末即被提出，而後成為概率論始創的基本問題之一，可見其影響甚為深遠。「比豐投針問題」出現於十八世紀，不但開創了幾何概率的先河，也是最早用隨機數處理確定性數學的例證。 8、分割遊戲分割遊戲的典範堪推中國古代流行的七巧板。而在公元 3 世紀，劉徽証明勾股定理所用的「出入相補」原理也是分割遊戲的一種。在十八世紀末已有了專著的論述，而在二十世紀之後，開始嚴格的在數學理論上進行探究，例如：在 1942 年，証明了七巧板最多可拼成 13 個不同的凸多邊形等。 9、博奕遊戲中國古代的「翻攤」遊戲，便是博奕遊戲的一種，而「翻攤」遊戲可以再引出深奧的組合數學理論。另外還有各種的棋類遊戲等也屬於博奕遊戲，博奕遊戲也對人工智能的發展有莫大的影響。崇德國小校長潘清富也曾在其著作「數學遊戲在九年一貫課程中扮演的角色」中指出數學遊戲應該所包含的功能如下： 1、數學遊戲能引發學習興趣：在桔燥的數學演算過程中，偶爾來點花俏的活動， -15-.

(22) 學生會感到新鮮有趣，對於教學至少不會產生排斥感。 2、數學遊戲能滿足好奇心：在千變萬化的數學遊戲裡，學生有如進入迪士尼世界中，處處充滿好奇與質疑，符合兒童的學習心理。 3、數學遊戲鼓勵探索與冒險：數學遊戲具有趣味性與挑戰性，會引發學生追根究底的良好學習態度。 4、數學遊戲具創造思考的精神：數學遊戲基本上是動腦的活動，帶領學生進入數學解題的境界，令其有無限揮灑空間。 5、數學遊戲豐富教材內容：數學遊戲可彌補教科書之不足，學生更可從中獲得趣味盎然的數學生命。四、非數位遊戲與數位遊戲（一）數位遊戲的定義：學者. 定義數位遊戲為「在電腦上發展出來的，具有. 吳鐵雄（1988）. 娛樂性或教育性的軟體」將電腦遊戲定義為「可供個人電腦執行之. 鄭凱育（1999）. 遊戲軟體」將數位遊戲定義為「使用電子型態、配合. 洪國勳（2003）. 程式語言將遊戲規則透過螢幕呈現的遊戲」數位遊戲可區分為電視遊戲、電腦遊戲、. 黃怡音、林于勝、周樹林（2005）. 網路遊戲與手機遊戲四大類. 經濟部工業局（2004）將數位遊戲定義為「將數位遊戲運用資訊技術加以整合或開發之產品或服務稱之。系統或產品包括：電視遊戲（TV Game）、電腦遊戲（PC Game）、可攜式遊戲（HandheldGame）等，但手機遊戲則列入行動應用領域中。」表. -16-.

(23) 列數位遊戲類別：電視遊戲機（TV Game）. Console Game,PS2,XBOX,GameCube. 個人電腦遊戲（PC Game）. 個人電腦平台單機與線上遊戲軟體. 可攜式遊戲（Handheld Game）. Game Boy Advance、PDA平台遊戲軟體. 手機遊戲（Mobile Game）. 支援Java遊戲軟體的各廠牌手機等. 大型遊戲機台遊戲軟體（Arcade. 一般於遊樂場所中所擺放之大型遊戲. Game）. 機台等. 資料來源：經濟部工業局網路多媒體產業發展推動計畫，（2002） Rolllings & Adams（2003）以遊戲設計的觀點，提到數位遊戲設計應包括的元素如下：. 1、規則：與其他電影、電視等被動式的娛樂不同，數位遊戲是主動性的娛樂，並具有規則來規範整個遊戲的進行。. 2、競爭與挑戰：遊戲中的競爭與障礙與勝利的機制，能構成遊戲性。. 3、背景、互動模式與視角：背景是指遊戲發生的場所；互動模式是指玩家如何扮演與操控角色；視角是指玩家如何觀察遊戲世界。. 4、任務及目標：遊戲需具有任務與玩家需達成的目標。. 5、模式與結構：模式說明了遊戲的方式，遊戲中提供不同模式的轉換，遊戲方式也會有所不同。遊戲的結構即為訂定模式切換的時間與原因。. 6、真實性：擬真性在遊戲中是不可或缺的元素，因此遊戲設計者需在真實與虛幻中設計模擬遊戲情境與活動。. 7、故事性：遊戲通常具備一故事情節，讓遊戲更有意義化。. -17-.

(24) （二）比較數位遊戲與非數位遊戲之優點媒體與資訊科技的發展可說是一日千里，也使遊戲逐漸分成兩個類型：一是非數位化的遊戲，包括有文字遊戲、棋盤與紙牌類遊戲以及其他非以數位形式進行的遊戲，主要是由玩家自行創造而來，透過創意以及手邊既有的工具材料設計出的遊戲。另一個類型即數位化的遊戲，是透過數位遊戲設計軟體或是程式設計所製作出來透過數位化方式呈現的遊戲(Nanjappa, 2001）。而 Prensky(2001）提到數位遊戲吸引我們的原因，即為數位遊戲所具有的特色：. 1、娛樂性：能讓玩家在遊戲的過程中獲得享受與愉悅。. 2、遊戲性：能促使玩家極度熱烈的投入於其中。. 3、規則性：能提供玩家遊戲的整體架構。. 4、目標性：能讓玩家有動力去進行遊戲。. 5、人機互動性：能讓玩家透過電腦的操弄與互動中來進行遊戲。. 6、結果與回饋：能提供玩家學習的機會。. 7、適性化：能讓玩家在遊戲中流暢的進行。. 8、勝利感：能提供玩家自我的滿足感。. 9、競爭挑戰與衝突感：能讓玩家感受到興奮與刺激。. 10、問題解決：能引發玩家的創造力。. 11、社會互動性：能讓我們與其他玩家組成遊戲社群。. 12、圖像與情節性：能讓我們在遊戲中獲致情感。 -18-.

(25) 遊戲數位化的優點： 1、彈性及方便：使用者可以在任何時間、地點使用。 2、內容更新容易、迅速：只要將更新的檔案存入伺服器內，即可讓遠端的學習者下載更新內容。 3、不受平台限制：數位化可以藉由平台上的網路瀏覽軟體及存取資料。 4、降低成本：在遠端的使用者可直接在可上網的地方操作，所以不需花費其他額外成本（如：交通、材料）。綜觀上列優點，數位遊戲固然吸引人，但若從幕後製作數位遊戲的製作者角度來探究，其整個設計過程所需花費的時間及心力是不可計量的。由此可得知，去設計一系列可在教學上使用的數位化遊戲程式更是ㄧ門待開發、待付出的嶄新領域！. （三）數位遊戲的種類（胡昭民，2007）： 1、益智類遊戲（Puzzle Game）益智類遊戲是最早發展的遊戲類型之一，大多是由紙本遊戲（如：黑白棋等棋類遊戲）與益智玩具（如：四方連塊與七巧板等拼圖類遊戲）衍生而來。益智類遊戲並不需要強烈的聲光效果，而是較注重玩家的思考與邏輯判斷分析，運用使用者的思路來完成遊戲所設定的目標。「規則」及「玩法」是益智類遊戲的重心所在，製作遊戲之前必須先瞭解遊戲全盤的規則，以及它所有可能包含的全部玩法，以免因設計人員與遊戲玩家之間的想法不同，而產生不可預期的情形。通常玩益智遊戲的玩家都必須要有恆心及耐心，思考探索遊戲中的任務，再依據自己的決策來執行，突破各項不同的挑戰。而益智遊戲比較不會讓玩家對著鍵盤與滑鼠猛按，所以要走的步驟都必須加以思考，在有限的時間內做出正確的判斷。. -19-.

(26) 以下是益智遊戲的益處：（1）教育性： Bright (1985）由研究中證實，透過電腦遊戲，可教予學生邏輯思考與數學概念。Winner（1981）將電腦遊戲加入國小高年級的數學課程中，研究發現藉由電腦遊戲，學生們很快地便學會操作電腦，包括啟動機器、載入程式等。Winner （1981）在其研究中發現電腦遊戲可加強學生理解數學概念的能力及解決數學問題的信心。Loftus（1983）認為電腦益智遊戲與認知系統中的注意、記憶、空間關係及其他策略有關。Greenfield（1984）認為電腦益智遊戲除了可提昇及歸納技巧等能力外，還可增進手眼協調、視覺變換等能力。許多肯定電腦益智遊戲的教育價值者認為，兒童在玩電腦益智遊戲的過程中，可以學習簡單的電腦觀念與操作，可視此為認識電腦的入門，且電腦益智遊戲藉各種不同速度，可提供兒童發展肢體的機會，尤其是手眼協調能力（吳鐵雄，1988）。綜合以上研究可知，電腦益智遊戲在教育方面的貢獻主要是在資訊教育、認知能力教學及手眼協調能力訓練。（2）娛樂性：學生在生活及課業上所承受的壓力、挫折，無形之中帶給身心莫大的傷害，許多學者專家認為需要予以紓解。而電腦益智遊戲充分刺激感官的視覺音效、新奇有趣的內容，即可達到調劑身心的效果。此外，電腦益智遊戲中不同難度的重重關卡，極具挑戰性，兒童於過關斬將之後所得的成就感，無疑是增強其自信心的最佳助力（吳鐵雄，1988）。 2、策略類遊戲（Strategy. Game）. 策略類遊戲也是屬於讓玩家動腦思考的一種遊戲類別，主要是讓玩家能夠在. -20-.

(27) 特地場景中，運用自己的思路來操控屬於自己的兵將，以打敗對方為目的來進行攻防遊戲。尤其以「世紀帝國」、「魔獸爭霸」、「紅色警戒」等最為有名，之所以會吸引許多玩家投入遊戲，在於其中任務玩法多變，場景細膩豐富，能滿足不同玩家的需求。策略類遊戲除了需要玩家勤練熟練度外，腦袋的靈活度往往也是左右遊戲勝敗的關鍵。在多人連線的遊戲中，可以互相結盟，以多人的力量來消滅另一個種族，在遊戲裡亦可以利用以物剋物的方式來攻打對方或防守。 3、模擬類遊戲（Simulation. Game）. 模擬類遊戲就是在模仿某一種行為模式的遊戲，以電腦模擬出各種在真實世界中所發生的情況，玩家可藉此做出在真實世界中所難以做到的事情。通常模擬類遊戲的主題有汽車、機車、船、飛機等，如：微軟公司所發行的「模擬飛行 2002」。另一種模擬類的遊戲是模擬經營模式，讓玩家去管理一種運作系統，如城市、動物園等，玩家要憑藉自己的想法去經營運作，如：美商藝電公司所發行的「模擬城市」。而軍方更是會利用模擬類遊戲來訓練士兵，如戰機及戰車皆有大型的模擬設備，讓士兵實際操縱武器前有更多的訓練機會。而模擬類遊戲最初的設計考量就是：當時飛行機具都相當昂貴，對於不熟悉飛行機具的飛行員來說，直接操縱是相當危險的，因此科學家就開始研發可以模擬飛行機具各種物理現象與突發狀況的系統。而後引進到一般電腦遊戲中，讓一些無法真正操控飛機的人，也能從遊戲中找到駕駛的樂趣與快感。 4、動作類遊戲在早期的遊戲產業裡，礙於電腦硬體運算速度關係，因而遊戲平台不能做複雜的運算，只能支援低位元的成像處理，因此動作類遊戲就在這時候產生了，也可以這麼說，所有的遊戲類型幾乎都是從動作類遊戲演變而來的。從很早之前的「超級瑪利」到後來的動作遊戲代表作「戰慄時空 CS」，這類遊戲的特色在於. -21-.

(28) 挑戰及快感，遊戲角色的操控簡單，讓玩家可以快速的融入遊戲中，並透過操縱角色的前進、後退、攻擊、跳躍、閃躲等動作，來考驗玩家的記憶力及反射動作。隨著關卡的進行、新樣式的陷阱、難纏的敵人與遊戲的困難度，帶給玩家成就感，這也就是為什麼動作類遊戲是市場佔有率最高的原因。 5、運動類遊戲運動類遊戲在早期似乎是為了讓喜好運動，卻不能親自參與的人製作的遊戲，而後來真實的運動也越來越多人喜歡，導致運動類遊戲大受歡迎，範圍從籃球、棒球等球類運動，到滑雪、泛舟等各式各樣的運動。運動類遊戲必須要符合大自然的物理原則，這點和模擬類遊戲相似，但運動類遊戲更注重人體活動的行為表現。運動類遊戲在近幾年更有一種奇妙的限向，那就是有許多玩家可能因為支持現現實生活中的某支隊伍，而愛上運動類遊戲，甚至為了讓心中支持的隊伍打敗其他隊伍，不辭辛勞苦練，讓支持的隊伍獲得最後的勝利或總冠軍，來滿足心中的好勝心，如 NBA Live 遊戲或美國職棒大聯盟遊戲。 6、（動作）角色扮演類遊戲（RPG，英文全稱 Role-Playing Game）通常這類遊戲都是由玩家扮演冒險者在遊戲世界中漫遊，而一路上的各種遭遇（如戰鬥、交談、會見重要人物等）則是玩家人物成長，以及遊戲進行的重要關鍵。RPG 遊戲最主要強調的是人物的特性描寫與它的背景故事表現，以達角色扮演的目的；而 RPG 遊戲另一項較有利的條件是寶物的收集，不管是裝備或者是寶物，這些都可能是吸引玩家繼續玩下去的原因。RPGG 遊戲中所有人物都有自己獨特的個性，以及本身所屬的職業或身份，這都能讓角色特性更突顯出來，如：魔法師、僧侶等，每一種角色都可與其他角色的能力做互補，這更加強了 RPG 遊戲品質與張力。近年來，日本更推出 RPG 製作大師系列軟體，使無法滿足於市面上 RPG 的玩家也能自己製作 RPG 遊戲。更有研究人員透過此軟體，教導學生操作. -22-.

(29) 使用，並設計出符合國中七年級的物理光學教材遊戲，並從中探討學生的學習與學習動機之影響。 7、線上遊戲（Online Game）無論遊戲再如何設計，畢竟它所使用的人工智慧是有限的，單機遊戲對戰到最後的行為模式終究會被看穿，屆時遊戲就已失去可玩性。隨著科技的發展進步，網路已是人們生活的必需品，而寬頻網路的普及，更是改變了人們使用電腦的習慣，於是線上遊戲就變為最火熱的遊戲代名詞，仔細觀察廣告，可以發現幾乎一個星期就會推出一款新的網路遊戲。線上遊戲無疑是一個新興的產業，遊戲軟體本身是免費服務，其所販賣的是連線點數，提供一個線上的虛擬世界，滿足玩家各式各樣的想像。由於線上遊戲在後來自行衍生經濟行為，例如：虛擬貨幣、虛擬寶物等，這些商品都可以用實際貨幣來進行買賣兌換。線上遊戲吸引了許多的人沈溺其中，但線上遊戲卻充滿了許多風險，例如當自己的帳號被盜用時，自己辛苦累積的寶物及貨幣就會被提領一空，到最後只能自認倒楣。另外，線上遊戲也會對社會造成危害，例如：有些在線上遊戲中一起打怪或練功的伙伴，因遊戲中有聊天的功能，日子一久，有些小女生就會被誘拐去見網友，進而發生無可挽回的遺憾。五、數位化數學遊戲的分類市面上益智遊戲以生動活潑的畫面，具挑戰性的關卡設計，提供了一個思考的環境，訓練思考、分析及判斷的能力，激發學習者好奇、興趣及冒險的精神，能主動對遊戲情境做分析、思考，以求過關斬將，獲得自我實現的成就感。倘若能將推理能力的培養或數學的專業知能與遊戲化的電腦學習環境做結合，相信在學生對數學的興趣及實質能力的提升等方面都會有幫助。. -23-.

(30) 因此本文針對數學知能製作一系列的數位化遊戲，並將數位化數學遊戲分為三大類：分別為代數算術類、幾何拼圖類及演繹分析類，並將於本文第三章再對遊戲做詳細介紹與說明，於第四章介紹部分遊戲的程式碼。代數算術類的部分有費波那契的遊戲、愚公移桌；幾何拼圖類的部分有四方連塊拼圖、胃痛拼圖及新七巧板；演繹分析類的部分有河東獅吼遊戲、鋸木板遊戲。. 第二節遊戲的應用一、數位遊戲式學習數位學習的定義：根據行政院國科會2002年的「數位學習國家型科技計畫」，主要是將「數位學習」定義涵蓋的範疇即包含數位學習工具（載具及輔具）之研發、數位學習網路環境之建置、開發數位教材內容，以及數位學習活動的設計等，使用數位工具透過有線或無線網路，進行線上或離線之學習活動。2003年，經濟部工業局根據專家學者的歸納，數位學習是以電腦等終端設備為輔助工具來進行線上或離線之學習活動，以達成學習目的。數位遊戲式學習的定義：數位遊戲式學習數位遊戲式學習，是透過數位遊戲做為平台進行學習，學習者可以在遊戲中完成挑戰、克服問題，在遊戲過程中得到成就感。Prensky（2001）提出21世紀是數位遊戲學習的世代，Prensky認為應該將遊戲納入教學的目標中，而且遊戲可以消除教室中的枯燥學習，即應同時兼顧遊戲性與教育性，以達到寓教於樂的目的。他將1975之後出生的新新人類稱為G世代。近二十年來電腦的興起會伴隨著這些G世代年輕人一起學習生活，因此電腦遊戲盛行是時勢所趨。. -24-.

(31) Hogle（1996）以數位遊戲為探討，提出遊戲對於學習有下列優點： 1、提高興趣並且引發動機：在遊戲中的互動與控制性、期望與好奇、以及幻想性等特質，都能提高學習者的內在動機和興趣。學習者為了獲得最終的成就感，就算在過程中面臨到困難挑戰，也會願意不斷的嘗試克服。 2、可保留記憶：相較於傳統單一面向的課程，數位模擬遊戲的學習方式，其記憶保留部份可以得到較好的效果。 3、可提供練習及回饋：數位遊戲學習軟體提供重複練習的機會，讓學習者可以反覆的操作，並且每次都能獲得即時的回饋，可促進學習目標的達成。 4、提供較高層次的思考：電腦遊戲軟體的設計，可以將教學目標融入遊戲活動當中，讓學習者不斷的在遊戲中運用所知來克服困難及解決問題，讓學習者有機會整合自己所學知能，來思索解決問題的策略及方法。二、遊戲與教學日本遠山啟教授：「現實情境的模擬實驗即為遊戲，模擬實驗是種先行投資，對孩子的成長有著重大意義，且對孩子的智力與體力成長也有莫大幫助。」「遊戲學習」可以說是「遊戲＝學習＝生活」的三位一體（小澤健一，2001）。. -25-.

(32) 數學遊戲教學法必須有下列幾個主要特性（饒見維，1996）：適度的挑戰性. 競賽性. 在遊戲活動中，教師通常會設定某種思考的任務，學生必須設法運用自己既有的數學知能來達成該任務。而在過程或方法上如果有一些限制條件，則達成此目標便具有某種難度或挑戰性，學生可藉由克服這些含有挑戰性的過程達成目標來獲得成就感。. 大多數的遊戲都具有某種競賽的成分，競賽往往能激起人類好勝的天性，並造成活動的挑戰性與趣味性，增加學生參與活動的動機與興趣。數學遊戲的競賽便是藉評量學生達成任務的快慢，解決活動中蘊含之數學成分，或評量其所完成某種數學成果的數量優劣程度與方式來決定勝負。. 機遇性與趣味性. 教育性. 遊戲之所以稱為教學遊戲則尤其遊戲，大都是因為必須再具有教育遊戲的過程具有性。也就是說，好某種機遇的因素，的教學遊戲要以因此造成遊戲的不著痕跡的方式趣味性，而使人沉來達成其教學目迷其中。標。讓學生運用自己具有的數學知能來思考，讓學生有機會應用有關的數學技能來解題。從教育的觀點而言，數學教學遊戲的最大特性便是訓練學生的思考解題能力。. 田尼氏（Z. P. Dienes）根據皮亞傑的學習心理學，建立了一套數學遊戲學習歷程的理論。他在《數學的營造》一書中提出數學概念的建立可利用遊戲經過六個階段逐步達成： 1、自由玩耍（free play）：學習者被安排在一個經過預先設計的情境中，使他們能接觸到特定的學習結構。學習者經過了一段時期，已能留意到其屬性。 2、有規律遊戲（games）：學習者在上一階段受到環境剌激，對具數學結構的事物作出反應與適應。漸漸地，他們發覺所需的這些反應原來是有規律性的。 3、找尋共同結構（searching forcommonality）：學習者嘗試對具數學結構的事物作分類活動，即能綜合推廣。例如：知道一般對於x、y兩條件，恆有x 和y、x和非y、非x和y 及非x和非y四種可能性。. -26-.

(33) 4、描述和圖示（representation）：在上一階段成熟後，學習者可以用一些圖畫或文字描述上面分類的策略。 5、符號化（symbolization）：再更進一步，開始以符號整理上述描述和圖示。 6、形式化（formalization）：上面符號的引入，自然不盡完美。此時可向學習者引入正式的符號，數學的概念在此時已經建立。（鄭肇楨，1982）遊戲融入教學的優點：「遊戲導向教學法」最早是由Aufshnaiter、Schwedes及Helanko（1984）所提出，認為影響學生認知推理過程中最重要的因素乃是學生不斷地透過成長中的實際行動與感覺，把事物、行動和實體等各方面建立成一個客觀化的系統，進而形成概念結構，逐步增進其解決問題的能力。因此主張開發有趣的單元活動教材來改善教學與學習情境。Krulik & Rudnick（1983）提出： 1、遊戲可以取代一些無趣的例行性訓練和引發學生自發性的練習。 2、遊戲的情境可以提供獲勝得機會和取得同儕的認同。 3、嘗試解決遊戲難題的過程中，可以引導學生研究新的問題解決之技巧。 4、遊戲過程需要遊戲者主動參與，而一般課室中學生比較要被動聽教師解釋。教學用的遊戲必須符合數學的主題，教學者也必須引導學生將遊戲內容概念化成數學的思維（黃毅英，1997）。饒見維（1996）在深入研究並應用數學遊戲教學法於國小課室教學之後，提出善用數學遊戲教學法具有下列幾項優點： 1、激發學生學習數學的興趣及動機。 2、幫助學生從具體的經驗建立基本的數學概念與技巧。 -27-.

(34) 3、培養學生解決問題時的靈活變通與深度推理思考能力。 4、幫助學生精熟基本計算方法與計算能力。 5、提供學生成功的經驗並幫助學生建立自信。 6、發揮聯絡教學與整體學習的效果。 7、提供即時的回饋與學習輔導。 8、遊戲的教學效果好、效率高。饒見維（1996）並提出遊戲教學法在施行上，必須注意的原則： 1、遊戲的方式要多樣化。多樣化的遊戲互相搭配，才能滿足學生求新求變的心態，使學生產生一種期待上課的心理。 2、遊戲的難易度要適中。遊戲的難度適中，才會激發出學生的求勝動機。若遊戲設計過於簡單，學生會失去求勝的樂趣，若設計得太難，學生求勝的機會太少，則學生會失去求勝的動機，反而出現反效果。 3、遊戲的規則要公平簡潔。競賽性遊戲最注重視的是公平性。若教師對某組學生有所偏袒，一定會招致學生的怨恨，因此教師在遊戲進行時須隨時警惕自己不可做偏心的決策。 4、兼顧遊戲的過程與結果。多數的遊戲看不出學生在解題與思考上的多樣性與思考過程，因此教師必須在遊戲結束之後，引導學生討論該遊戲中的數學概念及思考方法。如果有時間還可以重複玩幾次以加深學生的概念。 5、兼顧實力與機運因素。遊戲教學法的樂趣之一乃是機運的因素。但若是所有遊戲都靠機運決定勝負，則會降低學生的努力動機；反之若所有遊戲都要靠 -28-.

(35) 實力才可獲勝，程度較差的學生會認為自己獲勝無望而對遊戲失去參與樂趣及動機。饒見維（1996）針對實施數學遊戲教學法，可能遭遇的困難及限制說明如下： 1、個別差異的問題：實施數學遊戲教學法時，教師常會使用分組的方式來進行遊戲，而不論採取哪種分組方式，都很難解決個別差異的問題。在分組競賽遊戲中，常發生得失心強的學生會將小組的失敗歸因於組內能力較差的學生不幫忙。而且能力較差或學習動機較弱的學生，往往會成為旁觀者，只剩下能力較好或學習動機強的學生在玩。 2、班級學生人數及秩序的問題：實施遊戲教學的限制之一就是學生人數不能太多，否則秩序將非常難以掌控，學生在小組討論或遊戲競賽的過程中，聲音很容易隨情緒的起伏而放大。不過饒見維（1996）認為學生是否喜歡參與教學活動以及是否學習到課程內容才是重點，若多半學生在遊戲中都很投入在有意義的討論與操作，教師應該要適度容忍遊戲中製造的聲音。 3、學生間的合作與互動不良問題：學生要很長的時間才能培養出合作的能力和默契，並不是實施一兩次遊戲教學便能讓學生熟練，而且要讓男生與女生之間合作討論或遊戲並不容易，通常小組中若有多數是男生或多數是女生，少數的女生或少數的男生就會被忽略，影響分組遊戲或討論的成效。 4、時間與進度的問題：通常一個遊戲都需要一節課以上的時間，教師必須把遊戲和教學目標做緊密的配合，否則就會有趕不上進度的壓力，造成學生在評量後分數降低的困擾。 5、遊戲的設計與研發問題：要設計適合的數學遊戲並不容易，要設計遊戲必需花費很多時間構思遊戲目標、遊戲規則、及遊戲內容。因此很難期望中小學. -29-.

(36) 教師在繁忙的工作之餘願意主動設計與發展數學遊戲，造成數學遊戲教學法在推行上的困難。 6、教學資源的問題：許多遊戲要依賴充分的教學資源或教具才能實施，而教師為了製作教具或尋找遊戲材料通常要花費許多的時間及金錢準備，這也是影響教師實施數學遊戲教學法意願的另一個重要因素。三、遊戲與評量評量的要素：定義：評量是能在教學歷程中提供良好回饋的主要工具。評量對象. 學生. 評量依據. 教學目標. 評量重點. 學生在教學歷程中的改變. 主要歷程. 教學活動. 主要評量者. 教師資料來源:（陳誼璟，2000）. 以評量的時程來分類，教學評量可分成預備性評量、形成性評量及總結性評量（林清山、張春興，1998）。為了配合教學目標，又兼顧學生全面的發展，在評量方式的選擇上必須具有彈性，因為沒有一種評量方法能夠用以評量出學生所有重要的學習成就。所以，評量不可以只限用紙筆測驗或客觀式測驗，而應該是根據評量的目的，選擇最有效的評量方式（郭生玉，1990）。高品質的評量可以促進高品質的學習，不良的評量會阻礙高品質的學習，而且，此種負面的評量會是長時期影響學習品質的（江文慈，2001）。劉秋木（2000）提出在數學學習上，多元的評量工具是不可或缺的，而數學的評量工具有： 1、客觀的測驗題：選擇題、是非題和配合題等。 2、操作性評量：給一個作業、計劃或研究問題，然後訪談、觀察以及查看作品。. -30-.

(37) 3、觀察：重點為情意的表現和數學的能力。 4、訪談和會談：可以提供學生思想、理解和情意的資訊。從中瞭解學生理解的程度。 5、學習日記：老師可以藉此瞭解學生的概念及錯誤解題的過程或缺點，進而瞭解語言表達能力。由以上資料可知，在教學上常用的紙筆測驗在其使用上其實有很大的限制，這種方式雖然可以很快的、大量的得知成績，但分數只呈現出表面的「對和錯」，有時是完全看不出解題的過程，更不能從而得知作答者整個思考邏輯，所以不可只以此種方式來評斷學生的學習程度，而應多從不同的觀點和方法來評量以瞭解學生的真正能力。另一種評量方式為多元評量，包括實作、上課討論、表達、和同儕的互動情況、學習積極度等，都是評量的項目，甚至給予質的評語。另一方面，因為測驗結果和實際特質會有某種不可預期的程度誤差，宜謹慎解釋分數。教育改革不能只有片面性，其中能見出學習成效的評量方式也有必要跟著改進修正，本文研究者則是希望將傳統的評量方式做變化，朝著將評量遊戲化的方向去做改變。若一開始即採取把教學評量之遊戲置於教學後的總結性評量，勢必會發現有些小遊戲是無法評量到整個大單元的觀念，此時應把實施時程調整到一個概念講解完之後立即評量，以讓學生建立深刻的正確觀念，並且能及時糾正學生的錯誤觀念，以促進下一階段的順利銜接。可知在評量方式及時程的選擇上必須具有彈性才能夠真正達到教學目標。. -31-.

(38) 第三節開發數位化遊戲的工具一、C/C++程式語言 C 語言的第一次發展在 1969 年到 1973 年之間。之所以被稱為「C」是因為 C 語言的很多特性是由一種更早的被稱為 B 語言的程式語言中發展而來。C 語言是 80 年代初開發的較高階程序性導向電腦語言，初期架構在 UNIX 系統上，而所謂的較高階是跟機械語言及組合語言相比，因為它比這兩種語言更接近人類的英語；而程序性導向所指的是程式撰寫者將所要執行的事情，依據電腦的特性一步步分解條列成一篇 C 語言編譯器能看懂的文章，美其名是文章，實際上是向電腦交辦事項，且此交辦事項必須交代得巨細靡遺，因電腦並不具智慧，所以程式設計師必需當一般使用者與電腦的橋樑，考量所有會發生的狀況轉化為電腦能執行的方式，如此電腦就能一步步的執行，也就是所謂的程序性。 C++是 80 年代末開始風行的電腦語言，它將 C 語言加入了物件導向的特性，並更名為 C++，所以它包含了原先 C 語言所有的功能；而物件導向就是將程序性導向內的副程式轉為零件化，應該是說原先程式是用來處理資料，而零件化是連程式主體也是資料的一種，如此設計師在維護或擴充上可以更加的方便簡單。 C 語言的語法簡潔、執行效率高，又有跨平台的特性，因此成為許多程式設計師的最愛，也是資訊科系必備的語言基礎。由於會用 C/C++的程式設計師很多，因此許多新興的程式語言也都以 C/C++的語法為基礎。例如：網頁特效及手機遊戲的 Java、網頁語法的 JavaScript、動態網頁技術的 PHP 以及 Flash 動畫的控制語法 ActionScript，在語法上和 C/C++都很類似，因此只要學會了 C 語言，要學會上述其他語言都很快就可以上手。. -32-.

(39) 二、Visual Basic 程式語言 Visual 指的是開發圖形使用者介面（GUI）的方法，Basic 屬於一種直譯式高階程式語言，Visual Basic 必須經過編譯的動作才能在電腦上執行，而且 Visual Basic 與 Windows 作業系統緊緊的結合在一起，它所提供的元件功能，都是針對 Windows 作業系統量身打造，所以 Visual Basic 所開發出來的程式，只能在 Windows 作業系統上執行，且還必須將一些 Visual Basic 執行時所需要的元件（類似虛擬機器）安裝至作業系統中，如此才能執行 Visual Basic 程式。 Visual Basic 不需撰寫大量程式碼來描述介面元件的外觀和配置，而只要把預先建立的物件添加到螢幕上的某一點即可，如果曾經使用過如小畫家之類的繪圖程式，那麼應該很容易接受這觀念。Visual Basic 以原來的 BASIC 語言為基礎，做了更進一步的發展，至今包含了數百個陳述式、函數及關鍵字，其中有很多都和 Windows GUI 有直接關係。專業人員可以使用 Visual Basic 製作出任何其它 Windows 程式語言所能做到的功能，而初學者則只要掌握幾個基本要領，就可以建立實用的應用程式。三、Java 程式語言 Java 程式語言是以 C++的語法關鍵字為基礎，由 Sun（昇陽）公司所提出，其計畫一度面臨停止的可能性，後來因為網路的興起，使得 Java 頓時成為當紅的程式語言，這說明了 Java 程式在網路平台上擁有極高的優勢。Java 不同於一般的編譯語言和直譯語言。它首先將原始碼編譯成位元組碼，然後依賴各種不同平台上的虛擬機器來解釋執行位元組碼，從而實作了「一次編譯、到處執行」的跨平台特性，所謂的跨平台，指的就是 Java 程式可以在不重新編譯的情況下，直接於不同的作業系統上運作，所以目前在最夯的平板電腦（Android 系統）中，絕大多數的 app 都是由 Java 程式語言所寫成的。Sun 公司對 Java 語言的解釋是：. -33-.

(40) 「Java 程式語言是個簡單、物件導向、分散式、解釋性、健壯、安全與系統無關、可移植、高效能、多執行緒和動態的語言」。四、RPG 遊戲製作大師 RPG 遊戲製作大師是一款 RPG 的製作工具，宗旨為不懂程式編輯的一般玩家也能做出 RPG 遊戲。最先由日本的 ASCII 公司於超級任天堂主機上開發，最先發行於日本，隨後被翻譯並發行於台灣、美國、南韓、中國大陸等各國。RPG 遊戲製作大師是一款讓使用者可以任意地製作角色扮演遊戲的軟體，大部分的版本均包含圖塊元件的地圖編輯器，並以簡單指令取代程式語言的事件編輯器及戰鬥編輯器，所有版本均內建地圖元件、角色圖片及事件等可用於製作遊戲，目前已經有許多網站可以讓使用者分享他們的創作。五、Game Maker Game Maker軟體是由Mark Overmars所設計，是一個為降低遊戲設計難度而寫的遊戲製作程式，它不同於一般C/C++、Visual Basic、Java等遊戲設計語言，使用較艱深的資料結構及複雜的程式語法，Game Maker將複雜的遊戲功能融於簡單的操作方式，使用人性化的介面，遊戲設計者只要利用滑鼠點選介面上的功能選項，就能輕鬆製作一個中型以下的遊戲。在透過Game Maker製作遊戲的過程中，可以讓製作遊戲的生手在簡易製作過程中，學會遊戲設計的概念及技巧，並了解遊戲設計的流程。此軟體可在其中輸入或設計編輯影像、動畫、聲音以及各種場景的配置，更有許多外掛的程式可供擴充，增加其遊戲設計的廣度；另外，在該軟體的官方網站也有許多的圖檔與遊戲範例，可供遊戲設計者下載做為參考使用，總而言之，是一個簡易上手又具有龐大擴充功能的軟體。. -34-.

(41) 六、Flash 與 ActionScript Flash 這套軟體當初是由 Macromedia 所推出的動畫設計軟體，因為是採用向量圖案來產生動畫效果，因此具檔案容量小的優點，非常適合網路上的傳輸。 Flash 可以內嵌於網頁中，也可以編譯為 Windows 中可直接執行的 exe 檔，要執行 Flash 檔案的話，在電腦中必須安裝 Flash Player 的播放器。而 Flash 的動畫製作方式可以節省大量圖片檔案的應用，且對於程式設計人員來說，時間軸與移動軌跡的設計更省去了一些對於貼圖動作的程式設計成本，所以就慢慢有許多人利用 Flash 來製作一些小遊戲，漸漸受到大家的喜愛。 Flash 之所以可以完成遊戲設計的主因在於 Action Script，Action Script 本來只是用輔助動畫的製作，後來改版的 Action Script 語法，讓 Falsh 不再只有單純的播放功能，而能進一步發展遊戲、互動式表單以及網頁設計。在新版本的 Flash 更在 Action Script 中加入物件導向的特性，使得 Action Script 有走向遊戲設計應用的趨勢。筆者選用此軟體開發遊戲，雖然只使用ActionScript 2的版本，但對於遊戲基本操作業已足夠，且經過筆者測試，所撰寫的遊戲程式亦能在當今最火熱的平板電腦（Android系統）上使用，要注意的是平板電腦多受限於螢幕大小，故在開發之際要先確認視窗大小。至於更多人使用的蘋果電腦系列－iPad、iPhone，在Adobe Flash CS5.0軟體，也提供給使用ActionScript的工程師開發iPad、 iPhone上的應用軟體，所以它確實有著獨一無二的潛力。. -35-.

(42) 第三章數位化數學遊戲說明第一節代數算術類一、費波那契的遊戲（Fibonacci Nim）（一）費波那契的遊戲簡介費波那契的遊戲近似於常見的搶一遊戲，可以取到一號棋子即為贏家。淡江大學數學系的余成義教授也曾經研究過此遊戲，現今本研究將此遊戲利用 flash 軟體數位化。從遊戲規則上很難看出遊戲與費波那契數列的相關性，但在實際玩過數遍後就會慢慢發現，此遊戲的必勝條件跟某些數字息息相關，而這些數字就藏身在費波那契數列之中。遊戲面板設計有 30 顆、55 顆及隨機顆棋子數的版本，先藉由較簡單的 30 顆棋子版本，讓遊戲操作者可以在遊戲過程中對數字產生感覺，並歸納出自己的必勝策略，接著再將策略應用於挑戰更難的 55 顆版本，甚至隨機顆數的版本。. -36-.

(43) （二）費波那契的遊戲規則 1、剛開始有 N（N 為隨機出現，N＞1）顆棋子，甲、乙兩人輪流取棋子。 2、先取的一方，剛開始不能取完全部的棋子。 3、每次至少點選一顆或一顆以上的棋子，而符合規則可以點選的棋子會以閃爍方式呈現，點選後棋子會依玩家的不同，顯現出各自的代表顏色。 4、每次取走的棋子數目不能超過對方剛剛取走的棋子數目的兩倍。取到最後一顆棋子者獲勝。（三）費波那契數列簡介在1202年，義大利數學家費波那契出版了他的「算盤書」，那是商用的算術和代數手冊，他在書中提出了一道兔子繁殖的問題：有一對兔子每月能生一對小兔（一雄一雌），而每對小兔在牠出生後的第三個月，又能開始生一對小兔。在不發生死亡的情況下，由一對兔子開始，一年後會有多少對兔子？關於這問題：在第一個月時，只有一對小兔子，過了一個月，那對兔子成熟了，在第三個月時便生下一對小兔子，這時有兩對兔子。再過多一個月，成熟的兔子再生一對小兔子，而另一對小兔子長大，有三對小兔子。如此推算下去，我們便發現了費波那契數列的規律，也就是說，第n個月應該有 f n 對兔子才是。費波那契數列〈 f n 〉是滿足 f1 = 1、 f 2 = 1 及遞迴關係 f n = f n−1 + f n−2 ( n ≥ 3) 的數列（後項等於前兩項的和），其前幾項可以算得為 f 3 = 2、 f 4 = 3、 f 5 = 5、 f 6 = 8、 f 7 = 13、 f 8 = 21 …。. 費波那契數列雖然起源於兔子問題，但是這數列幾乎與我們的生活息息相關，例如：人體美學的黃金比例－費氏數列相鄰兩項的比值趨近於黃金比例、生 -37-.