幾何理論

幾何學的英文為Geometry，源自希臘文，Geo原意為土地，metrein 則是測量（國立 教育研究院籌備處，2006）。其基本涵義是代表的是空間與移動。所謂空間，說的即是 幾何空間，包括具象或抽象的幾何圖形或構造；而移動則意指幾何空間的動作，例如: 平 移、旋轉、對稱、滾動、跳動等等（吳志揚、陳文豪，2004）。有名的數學家笛卡兒（1596~1650）

認為人類生而就有幾何、空間、時間等的觀念。幾何是人類對於數學的最初認識，也是 生而感興趣的（彭惠群，2010）。

一、幾何理論

教育界一般對於兒童幾何概念發展來自兩個學派的理論基礎，分別是Piaget兒童幾 何概念理論與van Hiele五個幾何思考層次理論。

（一） Piaget兒童幾何概念理論

Piaget理論的研究重點在探討幾何概念建構與形成的運思歷程，是屬於年齡取向的 階段論，他相當重視兒童概念發展的過程。Piaget認為兒童對於幾何的相關認知是來自 對於他本身理解的世界之觀察，因為兒童在這個世界中，觀察一自我為中心相關的環境 週遭事物（張英傑，2001）。Piaget 的研究（Piaget, Inhelder & Szeminska, 1960）

將兒童的幾何發展分成不同的階段，分別是拓墣概念階段（topological conception）、

投影幾何概念階段（Projective Space）與歐幾里得幾何階段（Euclidean Space）。所 以Piaget的兒童幾何理論也被稱為階段論，其理論除了注重年齡發展，也認為兒童幾何 概念的學習是從簡單具體的形象表徵，進而發展抽象幾何的概念。其理論整理簡述如下 表分類：

25 育家Dina van Hiele-Geldof 和Pierre M. van Hiele夫婦共同提出兒童幾何思考發展的 van Hiele模式 （van Hiele, 1986），是與教學因素有關；認為幾何思考的發展，較不 受兒童年齡成熟因素的影響，學生認得正方形但卻無法說出何謂正方形，學生也無法了

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解正方形即是長方形，Van Hiele夫婦的研究發現，學生幾何成熟度的發展層次與這些行 為有正相關，所以這個理論常用於誘發式教學或預測學生的幾何能力。

Van Hiele 模式包含五個幾何認知層次，分別是視覺（Visualization）分析

（Analysis），非形式化的歸納（Informal Deduction），型式歸納（Formal Deduction）

以及嚴密性（Rigor）（Shaughnessy & Burger，1985），這五個層次分別說明幾何認知 的特徵，這個模式解釋了學習者經由合宜的指導及操作經驗能從最初的視覺階段（此階 段只由觀察了解圖形但無法說明圖形的特性），到了嚴密性的層次時，這個層次就可以 抽象了解與歸納，但鮮少學生能到達這個層次，各層次的重點如下：

圖2-5 Van Hiele 模式之認知層次

（研究者整理繪製）

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二、幾何圖形的分類活動發展

Piaget在圖形幾何分類方面，用整體與部分之間的關係來說明，Piaget將分類能力 的發展區分成三個階段，分別是視覺型階段、功能型階段與關係型階段。

第一階段是拓墣概念階段也稱為視覺型階段，學童仰賴視覺做為圖形分類的判斷，

例如：長方形與正方形是不同的圖形種類。

第二階段是投影幾何概念階段也稱為功能型階段，學童在這個階段多半已經掌握幾 何的某些特性，並從功能性上去判斷，有相同特性的圖形會歸在一起，是同一個類別，

但類別間的交互關係概念則較為模糊，例如：如何透過邊跟角的關係去區別長方形、正 方形跟菱形；對於四邊形方面也缺乏平行的概念，所以不了解定義平行四邊形時，長方 形或菱形是否該放到相同類別。

第三階段為歐幾里得幾何階段也稱為關係型階段，此時階段學童已經掌握部分與整 體，已經可以了解種類間的相互關係，例如：正方形是長方形，正方形是菱形，而長方 形可能是菱形等。

這三個階段與Van Hiele夫婦的幾何理論做比對，其中視覺型階段大約是第零層次，

功能型階段大約是第一層次，關係型階段大約在第一層次到第二層次之間。

以下圖2-6為例，整體像一個六邊形，中央有一個圓形，四周有6光芒，圓中還有一 個六角星形，當要求學童回答圖像中有多少個三角形時，不同層次的學童可能產生不同 的答案。如視覺型的兒童尚不了解三角形定義之一即為以三個直線為邊，所以可能回答 為12個三角形。

圖2-6 兒童幾何認知圖例(一)

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又以下圖2-7為例，整體是有缺角的正方形，但其實是由若干正方形與長方形所組成，

學童觀察下圖有幾個長方形時，不同層次的學童由於有不同觀點對於圖形的類別，所以 會產生不同的答案。如關係型的學童方能將正方形與長方形區分，也就是了解正方形亦 為長方形的一種，長方形不一定是正方形。

圖2-7 兒童幾何認知圖例(二) 三、小結

近年來，國內外學者針對兒童幾何認知的相關研究為數不少。以下針對問題解決能 力之相關實證研究，研究者整理如表2-3所示：

表 2-3 兒童幾何認知相關研究彙整 研 究 者

（年代） 研究主題 研究結果 鄭英豪

（2010）

國小學生視覺 化幾何性質圖 型的困難

1. 學生在面對一個複雜圖形時，先被視覺化的是高優先序 的性質圖型，而不是完整的文字資訊或思維意圖要找的 圖型，因此在給定性質圖型的視覺化方面有困難。

2. 以平角是180 度這個性質來說，有7成的學生認為它正 確，但認為正確的學生中卻有近5成沒有選其性質圖 型，有近三分之二的學生選了三角形內角和是180 度。

（續下頁）

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30 念發展是經由「學習的過程」，使Van Hiele幾何模式 層次較低的學生可藉由學習達到較高層次的幾何能力。

2. 對於垂直、平行等幾何概念，國小一及六年級學童答對 率並無顯著差異，顯示一年級學童對於以上二種幾何概 念已具備初步認知

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整體來說兩種幾何理論各有優缺點，Piaget強調的是幾何概念的建構，探究如何形 成的過程，但想法多侷限於各時期有什麼樣概念，因為每個兒童的心智活動發展速度均 不相同，所以以此為準則過於狹隘；相較van Hiele夫婦研究的重點放在幾何邏輯順序的 系統之建構上，強調幾何學習的內容，但對於認知的過程則較為粗略。根據上述文獻分 析，本研究摺紙教學將以第三個歐幾里得階段，也就是關係型階段來考量，因為摺紙活 動牽涉到幾何間的相互關係，透過手動而了解加強整體幾何的概念，此階段的學童正在 發展這樣的能力。加上教育部頒布的九年一貫課程內容寫到將數學學習歷程分為一至三 年級、四至五年級、六至七年級和八至九年級四個階段；包含數與量、圖形與空間（正 式綱要中為幾何）、代數、統計與機率和連結五大學習主題；其中，相鄰兩階段的課程 內容，並非二分，而是有重疊的部分（教育部，2001）。其中五年級開始的幾何課程目 標就是想協助學童學會表達與理解週遭生活的世界事物，而且在教導代數或量測概念時，

也可透過幾何的角度理解抽象的表徵（陳碧鳳，2005）。所以研究者以此階段的學童進 行研究最為適合。

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