第三章 三軸式微加速度計結構模態之理論分析
3.2 座標定義
三軸式微加速度計具有三個不同模態的振動形態，由於質塊中心受不同 方向的外力（慣性力）產生不同方式的運動模態如圖 2-5 所示。為方便分析 三方向振動時的結構模態先定義出運動模態下的方向座標，其軸原心座標設 定於質塊上方薄樑的tb/2 處如 圖 3-1 所示。
（1）當振動體受一垂直方向（Z 軸）加速度(az)時結構體會產生如圖 2-5(a) 的運動情形，如圖上所示質塊左右側的懸樑運動情形會與Y 軸對稱，此運動 模態稱為對稱模態（Symmetric Model）。另外兩個模態可視為兩個不同方向 的旋轉振動，（2）以振動體受一通過質心且平行於 X 軸之加速度(ax)而言，
其振動體會產生如圖 2-5(b)的運動型態，質塊將對 Y 軸旋轉而質塊左右懸樑 運動情形將與 Y 軸形成反對稱，此運動模態便稱為非對稱模態（Asymmetric Model）；同理，（3）振動體受一通過質心平行於 Y 軸的加速度(ay)，振動 體將產生如圖 2-5(c)的運動狀態，質塊則對 X 軸旋轉使其懸樑運動情形如同 扭轉運動，運動模態則稱為扭轉模態（Torsional Model）。
圖3-1 運動模態之軸座標設定
ρ為矽材密度和 θ=54.7°是<100>矽基非等向蝕刻角度，lm、wm、hm 與 tb 心（centroid of mass）位置，其公式如式(3-6)。
∫
3.3.3 非對稱性模態之質量慣性矩
2
3.3.4 扭轉模態之質量慣性矩
島狀質塊上方之矩形板質塊其轉動慣量為
12
) )(
( 2 2
,
b m b m m t
x
t w t l J w
b
+
⋅
= ρ ⋅ (3-12)
故此，整體質塊對旋轉中心之轉動慣量為式(3-11)與式(3-12)
b
m xt
h x
x J J
J 0 = , + , (3-13)
圖3-4 扭轉模態之質量慣性矩 3.4 模態結構剛性及其自然頻率
3.4.1 對稱性模態（Symmetric Model）
質塊受垂直方向（Z軸）加速度時，質塊左右懸樑將形成對稱性彎曲的振 動模態（如 圖3-5(a)所示）。圖 3-5(b)概示振動體左側懸樑放大圖，圖上表示 側向慣性力Fz作用於樑端時長度lb之懸樑在緊臨質塊端將形成δz之變形量。樑 之力矩平衡式可表示為
0 =0
− +F M
M zξ (3-14)
ξ 為從自由端的距離，圖中發現當 ξ 在緊鄰質塊位置即(ξ=0)時懸樑與質塊
m Ks
ns π
ω 2
= 1 (3-19)
F
z(a)對稱性模態
ξ
M
α
0M
0F
zα δ
zl
b(b)對稱性懸樑-自由體圖 圖3-5 對稱性運動模態 3.4.2 非對稱性模態(Asymmetric Model)
非對稱性振動模態中，質塊承受一通過質心且平行於X軸之慣性力 (Fx=max) 如 圖 3-6(a)，其懸樑的撓曲會產生如 圖 3-6(b)的非對稱模態，此外 非對稱性模態之旋轉中心，即位於質塊上方薄板的0.5tb處對Y軸做旋轉。
圖3-6 (c)中概示單一懸樑由 Fx作用於質量中心之慣性力在樑端所造成之 變形含垂直位移與角位移量，因此振動體之剛性可視為同時具有兩種不同的 彈簧並聯。
當 ξ 在緊鄰質塊位置 (ξ=0)時懸樑角變化量會與質塊旋轉角度相等即
2
由於懸樑垂直剛性對旋轉中心距離為
3.4.3 扭轉模態（Torsional Model）
扭轉振動模態中，中央質塊受一加速度(ay)所產生之慣性力（Fy=may），
應變能相對的小，因此忽略不計以簡化分析，故設為α(0)= 0；同理，ξ於懸樑
2 樑截面為矩形的矩形樑（Rectangular Bars），參照[23]懸樑扭轉時所產生剪變 形之剛性即可寫為
式中 c2為矩形樑扭轉常數，其扭轉常數與懸樑截面之長寬比有關；G 為 剪彈性模數，而懸樑結構主要矽材其剪彈性模數為43.9GPa：另外，本加速度 計具有四根懸樑，其扭轉系統結構受扭轉所產生剪應變之彈性係數為
由式(3-36)與式(3-38)之合即為扭轉結構模態之整體彈性係數
α 彈性（linear-elastic）則此材料滿足虎克定律（Hooke’s Low），如圖 3-8 所示。
由力平衡與力矩平衡可推得彎曲公式（the flexure formula）中性軸 y 處之正向 應力為
微量懸樑受純彎矩的之微量變形圖，如 圖 3-9，在軸的外緣會有最大形 變及最大正向應力
(a)正向應變變化
(b)彎曲應力變化
圖3-8 懸樑受純彎矩之任一截面應變及應力分佈
變形前 變形後 圖3-9 懸樑受純彎矩之微量形變
當懸樑為均質且在彈性範圍內時則會符合虎克定律，可由彈性彎曲公式
ρ為曲率半徑（Radius of curvature）。E為材料之彈性模數。如 圖 3-10 中，
若懸樑之撓度（deflection）很小時，則
因此，結合式(3-38)及(3-39)可得懸樑彈性變形曲線之微分方程式：
EI
3.5.1 對稱性模態（Symmetric Model）
當三軸加速度計受一垂直方向加速度時，振動質塊會產生 δz的位移量。
圖3-11 懸樑之變形模態示意圖
zx
cij為勁度係數(Stiffness Coefficient)，ν 為矽的波松比（poisson’s ratio），
如 圖3-12 所示，由均勻分布的橫向應力所引起的縱向應變εt,avg與相對應的橫
圖3-12 縱向應變εt,avg與橫向應變εa,avg之示意圖
式中 d31 為壓電薄膜之縱斷壓電常數（transverse piezoelectric charge to stress ratio）。如圖 2-3 加速度計結構圖所示，利用積分方法求得承受 Z 方向
δz為 PZT 變形量且由式(3-17)得知
3.5.2 非對稱性模態（Asymmetric Model）
b
圖3-13 非對稱性模態之靜力平衡模態示意圖 3.5.3 扭轉模態（Torsional Model）
扭轉模態中，加速度計受一通過質心且平行於Y軸之慣性力時，振動質塊
因D3 =d31⋅Txx，其積分方法求得承受Y 方向加速度時單一懸樑所產生的
2
表3-1 三軸加速度計運動模態特性
第 四 章 有 限 元 素 分 析 及 討 論
4.1 前言
ANSYS 軟體理論背景是利用有限元素法（Finite Element Method），廣 泛的用於分析結構體的靜態或動態機械行為、壓電轉換、熱傳導與流體力學 等工程問題，由於此分析軟體用途廣泛且接受度高因此於各界極具好評。本 章將應用 ANSYS 軟體針對其運動模態之應力分析、電性分析、自然頻率及 動態分析及尺寸變化對感測器性能的影響。
分析流程大致可分為前處理（Preprocessing）、有限元素分析（Finite Element Analysis）及後處理（Postprocessing）三大步驟。前處理大致為建構 分析模型，其次，有限元素分析則是利用有限元素法求得結果數值，接著於 後處理部分主要分析結果輸出各總圖表。本文利用ANSYS分析流程大致如下 圖4-1 所示：
圖4-1 模擬設計分析流程
4.2 ANSYS 前處理（Preprocessor）
ANSYS 前處理部份可概分為元素選擇（Element Type）、材料機械性質
（Material Properties）、建立實體模型（Solid Modeling）及網格分切（Meshing）
等。此章節將介紹本文元素選擇、定義加速度計的材料性質及模型的建立。
4.2.1 元素選擇（Element Type）
由於不同的科學領域中必須選擇其合適的分析元素來探討問題，此外，
依元素的幾何外形可分成四類，分別為1D 的線元素（line element）、2D 面 元素（surface element）及 3D 的實體元素（solid element），乃至於較少用的 特殊元素。因此 ANSYS 軟體提供了超過上百種的元素類別以滿足不同領域 及幾何外型的需求。
本文主要探討加速度計的微機械結構與電性分析結果。由於探討的微加 速計結構元件為三維的實體結構，因此選擇 3D的實體元素。而實體元素中 Solid45（圖4-2[17]）為最基本的 3D實體元素，此元素由八個節點所組成（即 I、J、K、L、M、N、O、P），每個節點皆具有三個自由度（X、Y、Z），
具有大變形、大應變、應力強化、膨脹及塑性的特質，故利用此元素建構加 速度計的四根懸樑、振動質塊及其質塊上方薄板。然而元素Solid 45 不適用於 電性分析，故選擇具有較多自由度且包含電性分析的實體元素Solid5（圖 4-3[17]）加以探討PZT壓電薄膜所產生的電性輸出。
圖4-2 元素 Solid 45[17]
圖4-3 元素 Solid 5[17]
4.2.2 材料性質（Material Properties）
本文所探討的微加速度感測器主要材料為SOI矽基材，而量測電壓的壓電 薄膜材料為鈦鋯酸鉛簡稱（PZT），電極的部分是採用導電性較佳的白金材 料，其機械性質如 表4-1 所示，此等材料特性可從過去的文獻[7]找得。由於 本加速度計的電極部分的厚度僅有0.3μm，其厚度比壓電材料厚度 1μm相對的 薄，對整體結構的分析結果影響不大，故用壓電材料PZT取代電極白金（Pt），
以方便模擬分析及求解。
表4-1 材料機械性質[7] 在ANSYS 的設定中，PZT 薄膜為非等向（anisotropic material）性材料，
其勁度矩陣為[16]：
(a) PZT 材料勁度矩陣設定 (b) 壓電材料之介電係數設定 圖4-4 PZT 壓電材料參數設定
4.2.3 模型建立（Modeling and ）
三軸式微加速度計因受不同方向的加速度（ax、ay、az）而產生不同形式 的三個振動模態，所以建立模型時需考慮結構體的運動振形屬於全運動模 式，為符合三方向加速度計運動模態需求全模型的建立是必要的。圖 4-5(a) 為結構實體模型，由於四根懸樑的末端皆連結基座，可將實體元件簡化為 圖 4-5(b)，尺寸大小則參照第二章所提出的初始尺寸如表 2-2。
(a) 實體結構模型 (b)模擬設計結構模型 圖4-5 結構外型
4.2.4 收斂性分析
有限元素原理中網格的細分造成元素的多寡將會影響求解的精確值，當 物體網格化越精細所得到的輸出值越是精準，相對所花費的求解運算時間及 電腦記憶空間越是龐大，因此針對網格化的大小與求解效率之間則必須取得 一個平衡點。鑑於上述原因，為確認模擬輸出結果具有一定的正確性且縮短 模擬時不必要的時間花費，故利用element數對稱模態下自然頻率的影響作為 有限元素收斂測試分析，其結果如 圖 4-6。由 表 4-3 經整理後編號 4 已趨於 收斂，故此在模擬的過程中便以編號4 模型作為模擬依據。
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 3150
3180 3210 3240 3270
3300 symmetric自然頻率收斂性
element 數 Hz
圖4-6 element 數對稱模態下自然頻率之收斂性 表4-3 相對誤差
Case1 Case2 Case3 Case4 Case5 Case6 element 數 1024 3168 7168 13300 23040 36064
對稱模態
自然頻(Hz) 3248 3231 3220 3212 3209 3208 相對誤差
(Ci-Ci+1)/Ci 0.52% 0.34% 0.25% 0.09% 0.03% -
4.3 靜態分析(Static analysis)
靜態分析又稱穩態分析（Steady-state analysis）主要分析欲測物處於靜力 平衡系統的情形下所探討之力學問題，其反應與時間無關，當運動方程
F Kx x C x
M&&+ &+ = 於變形加速度與變形速度很小時則可分別忽略慣性力M &&與x 阻尼力C& ，即符合虎克定律x F =Kx
本文可利用靜態分析了解結構體受預應力影響後其各部位所承受之應力 或應變。由於懸樑上貼有壓電轉換器，利用靜態分析後再於後處理部份得知 壓電轉換器PZT 所輸出的電壓值。
靜態分析模擬步驟大致如下：
1. 前處理（Preprocessor）
2. 建立實體模型
3. 選定結構材料並進行網格化（Mesh）
4. 設定上電極為等電位 couple node 5. 進入求解器（Solution）
6. 選擇分析類型（Analysis Type）為靜態分析（Static）
7. 定立邊界條件：懸樑的端點為固定端（fixed）、元件承受慣性力方向 及 大小、下電極設定
8. 進入求解器（Solver），等候程式計算完畢，接受其分析結果（Finish），
並離開分析處理器
9. 進入一般後處理器（General Postproc）
10. 顯示其受方向慣性力下之結果
10. 顯示其受方向慣性力下之結果