第二章 微加速度計設計
2.6 結論
本章首先介紹壓電微加速度計感測原理，其機械模式是由質量-彈簧-阻尼 三個機械元素組合而成，經壓電特性轉換欲量測的物理量。另外，提出一款
『H』型三軸加速度器之結構，懸樑上的感測元件為避開質塊受慣性力造成振 動時懸樑左右兩側的集中應力以及懸樑中間的低應力區，因此懸樑上設計貼 有兩片感測元件。在考量不超過微小尺寸的範圍下（5mm×5mm），合理設定 一組微感測元件之初始尺寸以提供未來量測物理量的依據。接著，簡單提及 三軸向的模態運動情形，由觀察運動情形中以假設性的佈置方法選擇出一套 可量測三軸向電極的配置方式，然而此假設情形尚未進行可行性的模擬，因 此將於未來章節中加以詳細驗證其可行性。最後，以微系統製造技術為基礎 規劃出一套可行的加速度計製作流程。
第 三 章 三 軸 式 微 加 速 計 結 構 模 態 之 理 論 分 析
3.1 前言
三軸式微加速度計因受不同方向的加速度而產生不同形式的三個振動模 態，其運動模態可依所受加速度（ax、ay、az）方向不同分別稱之為對稱模態
（Symmetric Model）、扭轉模態（Torsional Model）以及非對稱性（Asymmetric Model）模態。本章主要探討此三種基本振動模態下的結構特性，利用能量法 -卡氏第二定律（Castigliano’s second theorem）中變形量運動方程式(3-1)和(3-2) 推導出加速度計於不同的運動模態下結構懸樑在彎矩變形時之彈性係數。
i
i F
U
∂
=∂
δ (3-1)
i
i M
U
∂
= ∂
α (3-2)
方程式中 U 為結構應變能，即U =
∫
0lb MEI d 2 ) (2 ξ ξ，其中 M(ξ)為彎矩，E、I 分別為楊氏係數及轉動慣量，Fi及 Mi為質塊端作用於懸樑的力及力矩，δi及 αi 分別為懸樑承受相對應外力在質塊端所發生的垂直撓曲與力偶作用下的旋 轉角。負荷由質塊加速度的慣性力形成，並應用虎克定律K=F/δ、Kθ=M/α 求 得彈性係數。此外，結構體的不同，振動模態的運動方式可由牛頓第二運動 定律推導出運動方程式並得知特性方程式，因此，正向及扭轉模態的自然頻 率可表示如式(3-3)和(3-4)。
m K
n
n π
ω 2
1
, = (3-3)
J K
t
n α
ω π 2
1
, = (3-4)
方程式中K 及 Kα為運動模態下的結構懸樑的正向及扭轉彈性係數，m 及 J 分別為質塊質量與轉動慣量。
3.2 座標定義
三軸式微加速度計具有三個不同模態的振動形態，由於質塊中心受不同 方向的外力（慣性力）產生不同方式的運動模態如圖 2-5 所示。為方便分析 三方向振動時的結構模態先定義出運動模態下的方向座標，其軸原心座標設 定於質塊上方薄樑的tb/2 處如 圖 3-1 所示。
（1）當振動體受一垂直方向（Z 軸）加速度(az)時結構體會產生如圖 2-5(a) 的運動情形，如圖上所示質塊左右側的懸樑運動情形會與Y 軸對稱，此運動 模態稱為對稱模態（Symmetric Model）。另外兩個模態可視為兩個不同方向 的旋轉振動，（2）以振動體受一通過質心且平行於 X 軸之加速度(ax)而言，
其振動體會產生如圖 2-5(b)的運動型態，質塊將對 Y 軸旋轉而質塊左右懸樑 運動情形將與 Y 軸形成反對稱，此運動模態便稱為非對稱模態（Asymmetric Model）；同理，（3）振動體受一通過質心平行於 Y 軸的加速度(ay)，振動 體將產生如圖 2-5(c)的運動狀態，質塊則對 X 軸旋轉使其懸樑運動情形如同 扭轉運動，運動模態則稱為扭轉模態（Torsional Model）。
圖3-1 運動模態之軸座標設定
ρ為矽材密度和 θ=54.7°是<100>矽基非等向蝕刻角度，lm、wm、hm 與 tb 心（centroid of mass）位置，其公式如式(3-6)。
∫
3.3.3 非對稱性模態之質量慣性矩
2
3.3.4 扭轉模態之質量慣性矩
島狀質塊上方之矩形板質塊其轉動慣量為
12
) )(
( 2 2
,
b m b m m t
x
t w t l J w
b
+
⋅
= ρ ⋅ (3-12)
故此，整體質塊對旋轉中心之轉動慣量為式(3-11)與式(3-12)
b
m xt
h x
x J J
J 0 = , + , (3-13)
圖3-4 扭轉模態之質量慣性矩 3.4 模態結構剛性及其自然頻率
3.4.1 對稱性模態（Symmetric Model）
質塊受垂直方向（Z軸）加速度時，質塊左右懸樑將形成對稱性彎曲的振 動模態（如 圖3-5(a)所示）。圖 3-5(b)概示振動體左側懸樑放大圖，圖上表示 側向慣性力Fz作用於樑端時長度lb之懸樑在緊臨質塊端將形成δz之變形量。樑 之力矩平衡式可表示為
0 =0
− +F M
M zξ (3-14)
ξ 為從自由端的距離，圖中發現當 ξ 在緊鄰質塊位置即(ξ=0)時懸樑與質塊
m Ks
ns π
ω 2
= 1 (3-19)
F
z(a)對稱性模態
ξ
M
α
0M
0F
zα δ
zl
b(b)對稱性懸樑-自由體圖 圖3-5 對稱性運動模態 3.4.2 非對稱性模態(Asymmetric Model)
非對稱性振動模態中，質塊承受一通過質心且平行於X軸之慣性力 (Fx=max) 如 圖 3-6(a)，其懸樑的撓曲會產生如 圖 3-6(b)的非對稱模態，此外 非對稱性模態之旋轉中心，即位於質塊上方薄板的0.5tb處對Y軸做旋轉。
圖3-6 (c)中概示單一懸樑由 Fx作用於質量中心之慣性力在樑端所造成之 變形含垂直位移與角位移量，因此振動體之剛性可視為同時具有兩種不同的 彈簧並聯。
當 ξ 在緊鄰質塊位置 (ξ=0)時懸樑角變化量會與質塊旋轉角度相等即
2
由於懸樑垂直剛性對旋轉中心距離為
3.4.3 扭轉模態（Torsional Model）
扭轉振動模態中，中央質塊受一加速度(ay)所產生之慣性力（Fy=may），
應變能相對的小，因此忽略不計以簡化分析，故設為α(0)= 0；同理，ξ於懸樑
2 樑截面為矩形的矩形樑（Rectangular Bars），參照[23]懸樑扭轉時所產生剪變 形之剛性即可寫為
式中 c2為矩形樑扭轉常數，其扭轉常數與懸樑截面之長寬比有關；G 為 剪彈性模數，而懸樑結構主要矽材其剪彈性模數為43.9GPa：另外，本加速度 計具有四根懸樑，其扭轉系統結構受扭轉所產生剪應變之彈性係數為
由式(3-36)與式(3-38)之合即為扭轉結構模態之整體彈性係數
α 彈性（linear-elastic）則此材料滿足虎克定律（Hooke’s Low），如圖 3-8 所示。
由力平衡與力矩平衡可推得彎曲公式（the flexure formula）中性軸 y 處之正向 應力為
微量懸樑受純彎矩的之微量變形圖，如 圖 3-9，在軸的外緣會有最大形 變及最大正向應力
(a)正向應變變化
(b)彎曲應力變化
圖3-8 懸樑受純彎矩之任一截面應變及應力分佈
變形前 變形後 圖3-9 懸樑受純彎矩之微量形變
當懸樑為均質且在彈性範圍內時則會符合虎克定律，可由彈性彎曲公式
ρ為曲率半徑（Radius of curvature）。E為材料之彈性模數。如 圖 3-10 中，
若懸樑之撓度（deflection）很小時，則
因此，結合式(3-38)及(3-39)可得懸樑彈性變形曲線之微分方程式：
EI
3.5.1 對稱性模態（Symmetric Model）
當三軸加速度計受一垂直方向加速度時，振動質塊會產生 δz的位移量。
圖3-11 懸樑之變形模態示意圖
zx
cij為勁度係數(Stiffness Coefficient)，ν 為矽的波松比（poisson’s ratio），
如 圖3-12 所示，由均勻分布的橫向應力所引起的縱向應變εt,avg與相對應的橫
圖3-12 縱向應變εt,avg與橫向應變εa,avg之示意圖
式中 d31 為壓電薄膜之縱斷壓電常數（transverse piezoelectric charge to stress ratio）。如圖 2-3 加速度計結構圖所示，利用積分方法求得承受 Z 方向
δz為 PZT 變形量且由式(3-17)得知
3.5.2 非對稱性模態（Asymmetric Model）
b
圖3-13 非對稱性模態之靜力平衡模態示意圖 3.5.3 扭轉模態（Torsional Model）
扭轉模態中，加速度計受一通過質心且平行於Y軸之慣性力時，振動質塊
因D3 =d31⋅Txx，其積分方法求得承受Y 方向加速度時單一懸樑所產生的
2
表3-1 三軸加速度計運動模態特性
第 四 章 有 限 元 素 分 析 及 討 論
4.1 前言
ANSYS 軟體理論背景是利用有限元素法（Finite Element Method），廣 泛的用於分析結構體的靜態或動態機械行為、壓電轉換、熱傳導與流體力學 等工程問題，由於此分析軟體用途廣泛且接受度高因此於各界極具好評。本 章將應用 ANSYS 軟體針對其運動模態之應力分析、電性分析、自然頻率及 動態分析及尺寸變化對感測器性能的影響。
分析流程大致可分為前處理（Preprocessing）、有限元素分析（Finite Element Analysis）及後處理（Postprocessing）三大步驟。前處理大致為建構 分析模型，其次，有限元素分析則是利用有限元素法求得結果數值，接著於 後處理部分主要分析結果輸出各總圖表。本文利用ANSYS分析流程大致如下 圖4-1 所示：
圖4-1 模擬設計分析流程
4.2 ANSYS 前處理（Preprocessor）
ANSYS 前處理部份可概分為元素選擇（Element Type）、材料機械性質
（Material Properties）、建立實體模型（Solid Modeling）及網格分切（Meshing）
等。此章節將介紹本文元素選擇、定義加速度計的材料性質及模型的建立。
4.2.1 元素選擇（Element Type）
由於不同的科學領域中必須選擇其合適的分析元素來探討問題，此外，
依元素的幾何外形可分成四類，分別為1D 的線元素（line element）、2D 面 元素（surface element）及 3D 的實體元素（solid element），乃至於較少用的 特殊元素。因此 ANSYS 軟體提供了超過上百種的元素類別以滿足不同領域 及幾何外型的需求。
本文主要探討加速度計的微機械結構與電性分析結果。由於探討的微加 速計結構元件為三維的實體結構，因此選擇 3D的實體元素。而實體元素中 Solid45（圖4-2[17]）為最基本的 3D實體元素，此元素由八個節點所組成（即 I、J、K、L、M、N、O、P），每個節點皆具有三個自由度（X、Y、Z），
具有大變形、大應變、應力強化、膨脹及塑性的特質，故利用此元素建構加 速度計的四根懸樑、振動質塊及其質塊上方薄板。然而元素Solid 45 不適用於 電性分析，故選擇具有較多自由度且包含電性分析的實體元素Solid5（圖 4-3[17]）加以探討PZT壓電薄膜所產生的電性輸出。
圖4-2 元素 Solid 45[17]
圖4-3 元素 Solid 5[17]
4.2.2 材料性質（Material Properties）
本文所探討的微加速度感測器主要材料為SOI矽基材，而量測電壓的壓電 薄膜材料為鈦鋯酸鉛簡稱（PZT），電極的部分是採用導電性較佳的白金材 料，其機械性質如 表4-1 所示，此等材料特性可從過去的文獻[7]找得。由於 本加速度計的電極部分的厚度僅有0.3μm，其厚度比壓電材料厚度 1μm相對的 薄，對整體結構的分析結果影響不大，故用壓電材料PZT取代電極白金（Pt），
以方便模擬分析及求解。
表4-1 材料機械性質[7] 在ANSYS 的設定中，PZT 薄膜為非等向（anisotropic material）性材料，
其勁度矩陣為[16]：
(a) PZT 材料勁度矩陣設定 (b) 壓電材料之介電係數設定 圖4-4 PZT 壓電材料參數設定
4.2.3 模型建立（Modeling and ）
三軸式微加速度計因受不同方向的加速度（ax、ay、az）而產生不同形式 的三個振動模態，所以建立模型時需考慮結構體的運動振形屬於全運動模 式，為符合三方向加速度計運動模態需求全模型的建立是必要的。圖 4-5(a)
三軸式微加速度計因受不同方向的加速度（ax、ay、az）而產生不同形式 的三個振動模態，所以建立模型時需考慮結構體的運動振形屬於全運動模 式，為符合三方向加速度計運動模態需求全模型的建立是必要的。圖 4-5(a)