建構 DFPM-HWT 樹狀結構模型

由於帳戶價值與利率這兩個隨機過程具有相關性，在運用樹狀結構模型進行 評價時，必須要有兩個過程變動的聯合機率才能運算，然而在有相依性的狀態下 要建構兩隨機過程的聯合機率並不容易，所以先採用正交化的方法，將利率和帳 戶價值這兩個變數轉變成兩個互相獨立的變數。之後利用Hull and White (1990) 所提出三元利率樹的特性產生能代表利率的新變數 Y(t)，並引用 Dai and Lyuu(2010)所提出 BTT (Bino-trinomial tree)的建樹方法建立具有違約門檻性質的 新變數X(t)來代表 GMWB 隱含的障礙選擇權的部分，之後結合這兩個三元樹創 造出立體空間的樹狀結構，基於已經經過正交化的過程，聯合機率會等於邊際機 率相乘，最後經由後推法(Backward induction)即可評價出 GMWB 所隱含障礙選 擇權的價值。

接下來將介紹建構此模型的步驟:

一、正交化

帳戶價值Wt符合幾何布朗運動：

(3.1.1)

利率為Hull and White (1990) 的 extended Vasicek model

(3.1.2)

再將等式左右同乘上反矩陣：

的drift 項有未知參數 α，如此一來便不能建構樹狀結構，故我們採取先給值後調 整的方法，利用Bisection 法來近似參數 α。

規則如下：

計算後的障礙選擇權價值+固定年金 > 起始的躉繳保費 Îα 調升

計算後的障礙選擇權價值+固定年金 < 起始的躉繳保費 Îα 調降

三、建構Y 變數的三元樹狀結構

因為r t( )=r(0)+Y t( )⋅ ，所以只需要將 r(t)也就是利率樹的部分建立完成之後，η 再經過簡單的移項以及調整，就可以生成新的變數Y(t)的樹狀結構。由於是一對 一的對應關係，Y(t)的變動機率則與相對應點的 r(t)相同。

『圖3.1』HW-tree 轉換 Y 座標

四、建構X 變數的三元樹

由於 GMWB 商品可視為一年金和一離散的障礙選擇權的組合，所以要處理 非線性誤差的問題，使用Dai and Lyuu(2010)所提出 BTT (Bino-trinomial tree)的建 樹方法。先建立起每個時間每個不同利率下X(t)的違約門檻，並且生成格子點，

間距是2σ_X Δ ，再進行接點的動作。 t

η ) 0 ( ) ) ( 0 ( )

( rt r

Y t

Y = + −

在此必須注意帳戶在提領時間點的節點，由於提領的關係帳戶價值要下降G

第三期的違約門檻值： (3) (0)]) [

)) 0 ln( ( 1 (

) 1 0 ( )

( 2 ρ η

ρ σ

r r W

G X

t

X − −

+ −

=

五、結合X(t)樹和 Y(t)樹

再建立結合兩個樹狀結構之前，必須了解建樹的先後順序，本文帳戶價值的 違約門檻跟利率有關，所以在結合 X(t)和 Y(t)時要先建立 Y(t)的樹狀結構，X(t) 的樹狀結構才能在此基礎上建立起來。分成下列幾個步驟

(1)在 t、Y(t)平面上建立 Y(t)樹，如下圖：

『圖3.3』結合 X(t)樹和 Y(t)樹步驟一

將Hull-White tree 的節點利用 ( ) (0)

( ) (0) r t r Y t Y

η

= + − 轉換，就能

建立Y(t)樹

(2) 建立不同Y(t)下的違約門檻值，並向上生成 X(t)的柱子，如下圖：

『圖 3.4』結合 X(t)樹和 Y(t)樹步驟二

(3)將所有 Y(t)都生成 X(t)的柱子，如下圖：

『圖3.5』結合 X(t)樹和 Y(t)樹步驟三 S*

t X(t)

Y(t)

1 2

3

空心圓點：該期Y(t)下的違約門檻值 X(t)的值=空心圓點+k⋅2σ_x Δt，其中k 為 整數

S*：時間點 0 時帳戶價值 w0轉換成 X(t) 的值

(4) BTT 找點(為了畫面簡潔只保留第一期的節點)，如下圖：

『圖3.6』結合 X(t)樹和 Y(t)樹步驟四

透過上面步驟(1)到(4)即可完成 X(t)與 Y(t)樹狀結構的結合(為了畫面並未把 Jump 的節點加入圖片中)，建構完樹狀結構後則利用後推法(Backward induction)進行評 價。