敏感度分析

本節欲討論不同參數的變化之下對於公平保費的影響，主要有利率波動度，

帳戶波動度，以及相關係數的改變。

(a) 提領期長

利率期間結構：

以利用Vasicek model，起始短利 r0 = 0.03，利率的波動度 η= 0.01，均數迴歸 率為0.1，θ=0.003，利率與帳戶的相關係數為-0.25，帳戶波動度為 σ=0.2

假設即期提領，期初躉繳保費W0=100，結果如下表：

表4.7 提領期長對公平保費的影響

提領期長 公平費用率

1 0.139954

5 0.042761

10 0.018817

20 0.007542

25 0.005447

由表可知，當提領期長越長，公平保費越低，這是因為不管哪種提領期長，

提領總額都為100，在保證額度都相同的狀況下，攤銷的時間越長，公平保費越 低。

(b) 帳戶波動度 利率期間結構：

以利用Vasicek model，起始短利 r0 = 0.03，利率的波動度 η= 0.01，均數迴歸 率為0.1，θ=0.003，利率與帳戶的相關係數為-0.25，假設即期提領，期初躉繳保 費W0=100，帳戶波動度分別為 0.1、0.2、0.3，結果如下表：

表4.8 帳戶波動度對公平保費的影響

提領期長 σ=0.1 σ=0.2 σ=0.3

1 0.041602 0.139954 0.255737

5 0.011292 0.042761 0.078812 10 0.004028 0.018817 0.036890 20 0.001307 0.007542 0.015723 25 0.000887 0.005447 0.011593

由上表可以看得出來，公平保費會因為帳戶波動度上升而有很明顯的變高，

有這種現象是因為GMWB 商品能拆解成一個障礙選擇權加上一個固定年金，那 麼在帳戶波動度變大的時候，選擇權的價格就會變高，自然收取的公平保費就要 提高。由結果可見帳戶的波動度的改變對於公平保費有很顯著的影響。

(c) 相關係數

利率期間結構：

以利用Vasicek model，起始短利 r0 = 0.03，利率的波動度 η= 0.01，均數迴歸 率為0.1，θ=0.003，帳戶波動度為 σ=0.2，假設即期提領，期初躉繳保費 W0=100，

利率與帳戶的相關係數分別為-0.2、0、0.2，結果如下表：

表4.9 相關係數對公平保費的影響

提領期長 ρ=-0.2 ρ=0 ρ=0.2

1 0.14043 0.141846 0.142578 5 0.042944 0.044205 0.045319 10 0.019073 0.020127 0.021152 20 0.007732 0.008484 0.009210 25 0.00561 0.006246 0.006862

由表可看出相關係數改變對公平保費的影響，相關係數越高，公平保費越高。

(d) 利率波動度 利率期間結構：

以利用Vasicek model，起始短利 r0 = 0.03，均數迴歸率為 0.1，θ=0.003，帳戶 波動度為σ=0.2，假設即期提領，期初躉繳保費 W0=100，分別討論利率與帳戶

的相關係數為正及為負的情況，結果如下：

(a) 以相關係數為正

表4.10.1 相關係數為正及利率波動度對公平保費的影響(1)

ρ=0.1 ρ=0.2 ρ=0.3 ρ=0.4

提領期長 η= 0.01 η= 0.02 η= 0.01 η= 0.02 η= 0.01 η= 0.02 η= 0.01 η= 0.02 1 0.142334 0.14325 0.142578 0.144043 0.142578 0.144531 0.142151 0.144653 5 0.044769 0.046906 0.045319 0.048035 0.046051 0.049347 0.0466 0.050446 10 0.020641 0.023639 0.021152 0.024658 0.021674 0.025671 0.022174 0.026654 20 0.00885 0.012508 0.00921 0.013251 0.009567 0.013971 0.009915 0.014667 25 0.006557 0.010279 0.006862 0.010921 0.007159 0.011539 0.007452 0.012134

表4.10.2 相關係數為正及利率波動度對公平保費的影響(2)

ρ=0.5 ρ=0.6 ρ=0.7 ρ=0.8

提領期長 η= 0.01 η= 0.02 η= 0.01 η= 0.02 η= 0.01 η= 0.02 η= 0.01 η= 0.02 1 0.148193 0.151123 0.138916 0.142029 0.141724 0.145386 0.143005 0.147278 5 0.047272 0.051666 0.047852 0.05278 0.048447 0.053909 0.049042 0.055054 10 0.022681 0.027625 0.023175 0.028571 0.023663 0.029498 0.024152 0.030414 20 0.01026 0.015341 0.010599 0.015997 0.010931 0.016635 0.011261 0.017252 25 0.007741 0.012708 0.008025 0.013263 0.008304 0.0138 0.008578 0.014316

由上表可知當帳戶與利率的相關係數大於0時，利率波動度上升，公平保費 也會跟著增加，且提領期長越長，增加的幅度越大，以ρ=0.5為例，提領期長為 10年，利率波動度上升導致公平保費上升的比率為21.8%；提領期長20年則為 49.5%，提領期長25年更是上升到64.2%，由此可知提領期長越長，利率波動對 公平保費的影響越大。

(b) 相關係數為負

表4.10.3 相關係數為負及利率波動度對公平保費的影響(1)

ρ=-0.1 ρ=-0.2 ρ=-0.3 ρ=-0.4

提領期長 η= 0.01 η= 0.02 η= 0.01 η= 0.02 η= 0.01 η= 0.02 η= 0.01 η= 0.02 1 0.14126 0.141113 0.14043 0.139746 0.139343 0.138123 0.137891 0.136084 5 0.043591 0.044525 0.042944 0.043274 0.042493 0.042212 0.041846 0.040918 10 0.019604 0.021529 0.019073 0.020441 0.018555 0.019342 0.018008 0.018198 20 0.008112 0.01094 0.007732 0.010112 0.007349 0.009255 0.006957 0.008364 25 0.005933 0.008913 0.00561 0.008187 0.005284 0.007429 0.00495 0.006638

表4.10.4 相關係數為負及利率波動度對公平保費的影響(2)

ρ=-0.5 ρ=-0.6 ρ=-0.7 ρ=-0.8 提領期長 η= 0.01 η= 0.02 η= 0.01 η= 0.02 η= 0.01 η= 0.02 η= 0.01 η= 0.02

1 0.142944 0.140686 0.133301 0.130762 0.134912 0.131836 0.13501 0.131348 5 0.041321 0.039746 0.04071 0.038477 0.040125 0.037207 0.039536 0.035919 10 0.017471 0.017041 0.016924 0.015845 0.016367 0.014624 0.015808 0.013371 20 0.00656 0.007439 0.00656 0.006477 0.005747 0.005476 0.005332 0.004441 25 0.004612 0.005809 0.004267 0.004944 0.003919 0.00404 0.003564 0.003101

表中同樣的相關係數下，相鄰上色的格子比未著色的格子大，由表中著色的 區域分佈可發現相關係數與利率波動度以及提領期長對於公平保費有不同的影 響趨勢，若相關係數越小，則利率波動度上升使的保費變小的力量則會變大。

而提領期長變長以及利率波動度上升對公平保費則是正向的影響。換言之，

提領期長越長，利率波動度上升使得保費變大的力量越大。

值得一提的是綜合相關係數正與負的結果來看，提領期長越長，利率波動度對於 公平保費的影響越大，也證實了隨機利率對於長期間的GMWB商品來說，是評 價商品時的重要角色，更是個不可排除的因素。

(e) 遞延期間不同保證型式之分析 利率期間結構：

以利用Vasicek model，起始短利 r0 = 0.03，均數迴歸率為 0.1，θ=0.003，帳戶 波動度為σ=0.2，期初躉繳保費 W0=100，利率與帳戶的相關係數為-0.25，利率 波動度為0.01，提領期長為 20 年

保費收取期長: T = 遞延期間(T1)+提領期間 20 年(T2) 結果如下：

表4.11 不同遞延期間以及累積方式的比較 遞延期間 保本 複利(0.03)

5 0.014050 0.016396

10 0.011702 0.020508

15 0.009541 0.022501

20 0.007835 0.030101

35 0.004630 0.034230

由上表可看出當遞延期間的長短以及帳戶累積方式的不同，對公平保費有不 同的影響，以保本來說，遞延期間越長，收取的公平保費越低；若是複利增值來 說，遞延期間越長，收取的公平保費越高，這是因為遞延期越長，複利增值的帳 戶累積方式價值會較遞延期短的帳戶價值高，故應該收取較高的保費。

又第一個部分是即期提領，沒有保本的問題，因為一定保本(帳戶從100開始 跳動)，所以提領期長越短，攤銷的期間越短，保費越高。

第二個部分是加入遞延期來討論提領期長為20年的保費，因為加入了遞延 期，所以帳戶價值在遞延期滿之時有可能低於100，但因為保本機制會把遞延期 滿帳戶價值拉到100，這樣來說的話對公平保費應該是正面的影響，也就是有保 本的話公平保費應該要收取較高。

另一方面是有關於保費的攤銷期間，攤銷期間越長，保費越低，所以對公平 保費的影響跟保本的部分是兩個反向力量的拉扯，其實是沒辦法確定公平保費會 較即期提領20年期的高還是會低。