第五章 結論與後續研究發展
第二節 後續研究建議
本文利用DFPM-HWT 來評價 GMWB 商品，放寬了利率隨機性、離散提領、以 及加入遞延期的數個假設，但尚有許多方面能夠更加精進，提供幾個面向做參考：
一、 遞延期的鎖高機制
遞延期的帳戶累積的過程當中，通常有鎖高機制、保本策略、複利增值三種，
若是能夠加入鎖高機制的帳戶累積制度，那麼將能夠使GMWB 的評價模型更為 完善。
二、 加入生存率
依照契約不同，GMWB 中保戶的生存或死亡會影響保險合約的存續，以及 年金的支付，若是能延伸加入生存率的模型，在GMWB 評價時更全面，使 得定價能夠更為正確。
參考文獻
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英文文獻
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附錄
0.970461 0.941873 0.914262 0.887629 再利用上表推算出零息利率，如下表：
Zero(0,1) Zero(0,2) Zero(0,3) Zero(0,4)
0.029985 0.029942 0.029879 0.029800 再利用上表的零息利率來建構Hull-White tree，如下圖
利率樹各別路徑分支機率分別如下表：
對應的Y 值 上漲 持平 下跌
R(0,0) 0 0.166667 0.666667 0.166667 R(1,1) 1.7286 0.121667 0.656667 0.221667
R(1,0) -0.0035 0.166667 0.666667 0.166667 R(1,-1) -1.7355 0.221667 0.656667 0.121667 R(2,2) 3.459 0.886667 0.026667 0.086667 R(2,1) 1.727 0.121667 0.656667 0.221667 R(2,0) -0.0051 0.166667 0.666667 0.166667 R(2,-1) -1.7371 0.221667 0.656667 0.121667 R(2,-2) -3.4692 0.086667 0.026667 0.886667
利率與帳戶的相關係數為-0.25，假設即期提領，期初躉繳保費 W0=100，帳
柱子點上的default boundary X 座標值 真實世界W 值 R(1,1) -5.226877 33.333333 R(1,0) -5.674091 33.333333 R(1,-1) -6.121304 33.333333 R(2,2) -4.780086 33.333333 R(2,1) -5.227299 33.333333 R(2,0) -5.674513 33.333333 R(2,-1) -6.121727 33.333333 R(2,-2) -6.568940 33.333333
不同R(t)柱子上的節點都能利用該臨界值加上2σx Δt來得到，在此已經過正交
的調整因子，列出調整因子如下表：
) 0
α( α(1) α(2) α(3)
0.029985 0.029950 0.029934 0.029930 由上表計算出的θ(t)整理如下：
) 0
θ( θ(1) θ(2)
0.002961 0.002977 0.002989 藉由上述兩表以及利率樹，即能夠利用每根R(t)柱子不同的利率值 r(t)計算出該
條件下X(t)的 drift 項，整理如下表：
柱子點的drift 項 R(0,0) 0.050591 R(1,1) 0.095640 R(1,0) 0.050919 R(1,-1) 0.006198 R(2,2) 0.140626 R(2,1) 0.095904 R(2,0) 0.051183 R(2,-1) 0.006462 R(2,-2) -0.038260
在計算X(t)樹的分支機率時，須利用該點的 X(t)座標值加上該根柱子的 drift 項，
再到欲連接的下一期的柱子上尋找最近格子點，該最接近的格子點則為X(t)分支 的中間點，分別往上往下一格作為另外兩個分支，完成三元樹接點，並利用 Cramer’s Rule 即能求算分支機率。
以R(0,0)柱子上的點，利率上漲後連接到 R(1,1)的點來舉例：
R(0,0)柱子上的點只有一個點，X 座標為 0，R(0,0)柱子的 drift 項為 0.050591，
所以我們將0+0.050591= 0.050591，連接到 R(1,1)柱子上找最近的點，為 R(1,1) 柱子的boundary 向上第三格，大小為-5.226877+3*2=0.773123，此點即為三元樹 的中間點分支，向上向下一格大小分別是2.773123、-1.226877，找到三個分支點 後，即能利用Cramer’s Rule 求算分支機率(可參考圖 2.2)：
β=0.773123-0.050591=0.722532
α=β+2σx Δt=2.722532 上漲 A(1,1) 0.009624 2.773123 156.922373 123.589 1.540018 持平 B(1,1) 0.619487 0.773123 106.532798 73.19947 -1.164736 下跌 C(1,1) 0.37089 -1.226877 72.323895 38.99056 -4.417363
R(0,0)柱子上的點利率持平後連接到 R(1,0)柱子上點的對應機率以及值如下： 上漲 A(1,0) 0.065645 2.325909 156.922373 123.589 1.092805 持平 B(1,0) 0.73105 0.325909 106.532798 73.19947 -1.611949
下跌 C(1,0) 0.203305 -1.674091 72.323895 38.99056 -4.864577 上漲 A(1,-1) 0.171667 1.878696 156.922373 123.589 0.645591 持平 B(1,-1) 0.742613 -0.121304 106.532798 73.19947 -2.059163 下跌 C(1,-1) 0.08572 -2.121304 72.323895 38.99056 -5.311790
第 2 期 上漲 A(2,2) 0.250542 3.219914 156.922372 123.589 1.986810 A(1,1) 持平 B(2,2) 0.706789 1.219914 106.532798 73.19947 -0.717944
下跌 C(2,2) 0.042669 -0.780086 72.323895 38.99056 -3.970572
上漲 B(2,2) 0.063188 1.219914 106.532798 73.19947 -0.717944 B(1,1) 持平 C(2,2) 0.729118 -0.780086 72.323895 38.99056 -3.970572 下跌 D(2,2) 0.207693 -2.780086 49.099862 15.76653 -8.646194
上漲 D(2,2) 0.265853 -2.780086 49.099862 15.76653 -8.646194 C(1,1) 持平 E(2,2) 0.697476 -4.780086 33.333333 Default
下跌 F(2,2) 0.036671 -6.780086 22.629618 Default R(1,1)柱子上的點利率持平後連接到 R(2,1)柱子上點的對應機率以及值如下： 上漲 A(2,1) 0.433827 2.772701 156.922372 123.589 1.539596 A(1,1) 持平 B(2,1) 0.563825 0.772701 106.532798 73.19947 -1.165158
下跌 C(2,1) 0.002348 -1.227299 72.323895 38.99056 -4.417786
上漲 B(2,1) 0.167679 0.772701 106.532798 73.19947 -1.165158 B(1,1) 持平 C(2,1) 0.743743 -1.227299 72.323895 38.99056 -4.417786
下跌 D(2,1) 0.088578 -3.227299 49.099862 15.76653 -9.093407
上漲 D(2,1) 0.453903 -3.227299 49.099862 15.76653 -9.093407 C(1,1) 持平 E(2,1) 0.544983 -5.227299 33.333333 Default
下跌 F(2,1) 0.001114 -7.227299 22.629618 Default R(1,1)柱子上的點利率下跌後連接到 R(2,0)柱子上點的對應機率以及值如下： 上漲 A(2,0) 0.012026 4.325487 231.146006 197.812673 3.521306 A(1,1) 持平 B(2,0) 0.631035 2.325487 156.922372 123.589 1.092382 下跌 C(2,0) 0.356939 0.325487 106.532798 73.19947 -1.612372
上漲 C(2,0) 0.322171 0.325487 106.532798 73.19947 -1.612372 B(1,1) 持平 D(2,0) 0.658367 -1.674513 72.323895 38.99056 -4.864999 下跌 E(2,0) 0.019462 -3.674513 49.099862 15.76653 -9.540621
上漲 D(2,0) 0.015558 -1.674513 72.323895 38.99056 -4.864999 C(1,1) 持平 E(2,0) 0.64528 -3.674513 49.099862 15.76653 -9.540621
下跌 F(2,0) 0.339162 -5.674513 33.333333 Default R(1,0)柱子上的點利率上漲後連接到 R(2,1)柱子上點的對應機率以及值如下： 上漲 A(2,1) 0.234964 2.772701 156.922372 123.589 1.539596 A(1,0) 持平 B(2,1) 0.715585 0.772701 106.532798 73.19947 -1.165158
下跌 C(2,1) 0.049451 -1.227299 72.323895 38.99056 -4.417786
上漲 B(2,1) 0.055489 0.772701 106.532798 73.19947 -1.165158 B(1,0) 持平 C(2,1) 0.722156 -1.227299 72.323895 38.99056 -4.417786 下跌 D(2,1) 0.222355 -3.227299 49.099862 15.76653 -9.093407
上漲 D(2,1) 0.249798 -3.227299 49.099862 15.76653 -9.093407 C(1,0) 持平 E(2,1) 0.707225 -5.227299 33.333333 Default
下跌 F(2,1) 0.042977 -7.227299 22.629618 Default
R(1,0)柱子上的點利率持平後連接到 R(2,0)柱子上點的對應機率以及值如下： 上漲 B(2,0) 0.413249 2.772701 156.922372 123.589 1.092382 A(1,0) 持平 C(2,0) 0.582622 0.772701 106.532798 73.19947 -1.612372
下跌 D(2,0) 0.00413 -1.674513 72.323895 38.99056 -4.864999
上漲 C(2,0) 0.15498 0.325487 106.532798 73.19947 -1.612372 B(1,0) 持平 D(2,0) 0.74678 -1.674513 72.323895 38.99056 -4.864999 下跌 E(2,0) 0.098239 -3.674513 49.099862 15.76653 -9.540621
上漲 E(2,0) 0.432848 -3.674513 49.099862 15.76653 -9.540621 C(1,0) 持平 F(2,0) 0.564732 -5.674513 33.333333 Default
下跌 G(2,0) 0.00242 -7.674513 22.629618 Default R(1,0)柱子上的點利率下跌後連接到 R(2,-1)柱子上點的對應機率以及值如下： 上漲 A(2,-1) 0.008808 3.878273 231.146006 197.812673 3.074092 A(1,0) 持平 B(2,-1) 0.61511 1.878273 156.922372 123.589 0.645169
下跌 C(2,-1) 0.376082 -0.121727 106.532798 73.19947 -2.059585
上漲 C(2,-1) 0.304471 -0.121727 106.532798 73.19947 -2.059585 B(1,0) 持平 D(2,-1) 0.671405 -2.121727 72.323895 38.99056 -5.312213 下跌 E(2,-1) 0.024124 -3.227299 49.099862 15.76653 -9.987834
上漲 D(2,-1) 0.011863 -2.121727 72.323895 38.99056 -5.312213 C(1,0) 持平 E(2,-1) 0.630308 -4.121727 49.099862 15.76653 -9.987834
下跌 F(2,-1) 0.357829 -6.121727 33.333333 Default
R(1,-1)柱子上的點利率上漲後連接到 R(2,0)柱子上點的對應機率以及值如下：
柱子上點 機率 X 座標值 真實世界 支付完提領 支付完提領
代號 W 值 額度的W 值 額度的 X 值 上漲 B(2,0) 0.219885 2.325487 156.922372 123.589 1.092382 A(1,-1) 持平 C(2,0) 0.723382 0.325487 106.532798 73.19947 -1.612372
下跌 D(2,0) 0.056733 -1.674513 72.323895 38.99056 -4.864999
上漲 C(2,0) 0.04829 0.325487 106.532798 73.19947 -1.612372 B(1,-1) 持平 D(2,0) 0.714193 -1.674513 72.323895 38.99056 -4.864999
下跌 E(2,0) 0.237516 -3.674513 49.099862 15.76653 -9.540621
上漲 E(2,0) 0.234243 -3.674513 49.099862 15.76653 -9.540621 C(1,-1) 持平 F(2,0) 0.715974 -5.674513 33.333333 Default
下跌 G(2,0) 0.049783 -7.674513 22.629618 Default
R(1,-1)柱子上的點利率持平後連接到 R(2,-1)柱子上點的對應機率以及值如下：
柱子上點 真實世界 支付完提領 支付完提領
代號 機率 X 座標值
W 值 額度的W 值 額度的 X 值 上漲 B(2,-1) 0.39317 1.878273 156.922372 123.589 0.645169 A(1,-1) 持平 C(2,-1) 0.600418 -0.121727 106.532798 73.19947 -2.059585 下跌 D(2,-1) 0.006412 -2.121727 72.323895 38.99056 -5.312213
上漲 C(2,-1) 0.142781 -0.121727 106.532798 73.19947 -2.059585 B(1,-1) 持平 D(2,-1) 0.748818 -2.121727 72.323895 38.99056 -5.312213 下跌 E(2,-1) 0.108401 -4.121727 49.099862 15.76653 -9.987834
上漲 E(2,-1) 0.412293 -4.121727 49.099862 15.76653 -9.987834 C(1,-1) 持平 F(2,-1) 0.583481 -6.121727 33.333333 Default
下跌 G(2,-1) 0.004226 -8.121727 22.629618 Default
R(1,-1)柱子上的點利率下跌後連接到 R(2,-2)柱子上點的對應機率以及值如下：
柱子上點
代號 機率 X 座標值 真實世界 W 值
支付完提領 額度的W 值
支付完提領 額度的X 值 上漲 A(2,-2) 0.00609 3.43106 231.146006 197.812673 2.626878 A(1,-1) 持平 B(2,-2) 0.598185 1.43106 156.922372 123.589 0.197955
下跌 C(2,-2) 0.395725 -0.56894 106.532798 73.19947 -2.506799
上漲 C(2,-2) 0.287272 -0.56894 106.532798 73.19947 -2.506799
B(1,-1) 持平 D(2,-2) 0.683443 -2.56894 72.323895 38.99056 -5.759426 下跌 E(2,-2) 0.029285 -4.56894 49.099862 15.76653 -10.435048
上漲 D(2,-2) 0.008669 -2.56894 72.323895 38.99056 -5.759426 C(1,-1) 持平 E(2,-2) 0.614336 -4.56894 49.099862 15.76653 -10.435048
下跌 F(2,-2) 0.376995 -6.56894 33.333333 Default
因第二期之後資料量太多，故以上樹狀結構建構過程及節點資訊只節錄到前兩 期，透過此範例利率期間結構的設定以及公平保費α =0，所計算出來的帳戶價值 為106.244439，經由圖 3.9 可知必須透過 Bisection 的方法將公平保費α 調升，再 重複上述步驟，及能推算出近似的公平保費結果。