國
立 交 通 大 學
資 訊 管 理 研 究 所
碩 士 論 文
在
Hull-White 隨機利率下評價保證最低提領給
付保險附約
Pricing Guaranteed Minimum Withdrawal Benefit under
Hull-White Interest Rate Model
研 究 生： 楊凱旭
指導教授： 戴天時 博士
在
Hull-White 隨機利率下評價保證最低提領給
付保險附約
Pricing Guaranteed Minimum Withdrawal Benefit under
Hull-White Interest Rate Model
研究生：楊凱旭 Student：Kai-Hsu Yang
指導教授：戴天時博士 Advisor：Dr. Tian-Shry Dai
國立交通大學 資訊管理研究所
碩士論文
A Thesis
Submitted to Institute of Information Management College of Management
National Chiao Tung University in partial Fulfillment of the Requirements
for the Degree of
Master of Science in Information Management June 2010
Hsinchu, Taiwan, Republic of China
在
Hull-White 隨機利率下評價保證最低提領給
付保險附約
學生：楊凱旭
指導教授：戴天時 博士
國立交通大學資訊管理研究所
中華民國九十九年六月
摘要
附保證的保險商品在市場上有越來越熱門的趨勢，該保險商品結合投資和保 險的觀念，能夠作為未來退休生活的退休金規劃或是生涯規劃，是能保障老年生 活的一項投資選擇，本文以分析Guaranteed Minimum Withdrawal Benefit--GMWB 商品，延續 Milevsky and Salisbury (2006)的討論，利用立體三元樹模型， 考慮利率隨機性，在Hull-White Interest Rate Model 的基礎下，建置出模擬帳戶 價值變動路徑的樹狀模型，進而以更貼近實務的方式來進行GMWB 商品的評價。
Pricing Guaranteed Minimum Withdrawal Benefit under
Hull-White Interest Rate Model
Student：Kai-Hsu Yang Advisor：Dr. Tian-Shry Dai Graduate Institute of Information Management
National Chiao Tung University June 2010
Abstract
The insurance contract with guaranteed withdrawals has become more popular recently. This product can meet the customer’s investment and insurance requirements so the customer can deal with the retirement financial plan better. This paper extends Milevsky and Salisbury (2006) assumptions, by pricing the Guaranteed Minimum Withdrawal Benefit (GMWB) with Hull-White Stochastic Interest Rate.To fit the real world market better, we construct a three-dimensional trinomial-tree structure to pricing the GMWB and the policyholder receives withdrawal benefits not continuously but discretely. In our model, we can also discuss the effect of accumulation period on pricing GMWB.
Keywords: Guaranteed Minimum Withdrawal Benefits, Stochastic Interest Rate,
誌謝
首先我要感謝我的指導教授戴天時老師。戴天時老師總是不遺餘力地教導著 我們，尤其不管多晚只要我們論文上有問題，老師總是會給我們幫助，老師真的 是站在最前線跟我們一起打拼論文，老師驚人的邏輯思考能力總能發現我的邏輯 不完善的地方，並且修正它，另外老師的group meeting 的方式，打團體戰的方 式，讓我很深刻的體驗到團體的力量，發揮一加一大於二的效果。老師對學術研 究的認真、嚴謹的態度也讓我覺得這才是論文品質的源頭，很慶幸能成為老師的 指導學生，從戴老師這學習到的知識與態度真的使我受益良多。 感謝王釧茹學姊，只要有問題去問她，學姊總是能夠安排時間讓我去與他討 論，並且很用心的提供我一些想法，也解開我的疑惑。謝謝學姊，學姊給我的許 多建議與想法都能讓這篇論文更趨於完善。同時，也要感謝這兩年來大家一起走 過來的財務工程實驗室的成員，彥君、育廷、婷瑱、柏屹和竑廷，大家有問題總 能互相討論、互相學習，當然還有財金所的洪敏誠，沒有他的幫忙，我沒辦法完 成這篇論文，謝謝他，也感謝曾經幫忙過我的好朋友們，謝謝你們。 最後要感謝我的父母及家人，是他們提供的環境讓我能夠沒有後顧之憂，感 謝她們給我的提醒與關心，也是因為她們一直在背後支持我，我才能完成順利這 篇論文。 楊凱旭 謹誌 國立交通大學資訊管理研究所 中華民國九十九年六月目錄
摘要...III Abstract...IV 誌謝...V 目錄...VI 圖目錄... VII 表目錄... VII 第一章 緒論...1 第一節 研究動機與背景...1 第二節 研究目的...2 第三節 研究架構...3 第二章 文獻探討...4 第一節 GMWB 評價模型 ...4 第二節 DFPM-HWT 模型...7 第三章 研究方法...10 第一節 GMWB 模型的基礎假設 ...10 第二節 建構 DFPM-HWT 樹狀結構模型...11 第三節 DFPM-HWT 應用在 GMWB 的評價 ...18 第四章 模型數值分析結果與討論...23 第一節 利率設定...23 第二節 收斂情形...23 第三節 即期提領...25 第四節 遞延期提領...27 第五節 敏感度分析...28 第五章 結論與後續研究發展...34 第一節 結論...34 第二節 後續研究建議...34 參考文獻...35 附錄...37圖目錄
『圖2.1』障礙選擇權接點示意圖………6 『圖2.2』BTT 接點示意圖………8 『圖3.1』HW-tree 轉換 Y 座標.………..14 『圖3.2』節點發生 Jump 時的接點……….15 『圖3.3』結合 X(t)樹和 Y(t)樹步驟一………16 『圖3.4』結合 X(t)樹和 Y(t)樹步驟二………17 『圖3.5』結合 X(t)樹和 Y(t)樹步驟三………17 『圖3.6』結合 X(t)樹和 Y(t)樹步驟四………18 『圖3.7』年金折現示意圖………19 『圖3.8』障礙選擇權折現示意圖………20 『圖3.9』評價流程圖………22 『圖4.1』零息利率………23 『圖4.2』公平費用率收斂圖………24表目錄
表4.1 不同切割期數的比較………..24 表4.2 不同模型及波動度的比較………..25 表4.3 波動度為 0.2 每年提領次數的比較………..26 表4.4 波動度為 0.2 每年提領次數的比較………..27 表4.5 加入遞延期切割期數的比較………..28 表4.6 遞延期的保費收取………..28 表4.7 提領期長對公平保費的影響………...29 表4.8 帳戶波動度對公平保費的影響………..29 表4.9 相關係數對公平保費的影響………..30 表4.10.1 相關係數為正及利率波動度對公平保費的影響(1) ………..…..31表4.10.2 相關係數為正及利率波動度對公平保費的影響(2) ………..31
表4.10.3 相關係數為負及利率波動度對公平保費的影響(1) ………..31
表4.10.4 相關係數為負及利率波動度對公平保費的影響(2) ………..32
第一章 緒論
第一節 研究動機與背景
保 證 最 低 提 領 給 付 保 險 附 約(Guaranteed Minimum Withdrawal Benefit; GMWB)是變額年金保險(Variable annuities; VA)的另一種新型態，此商品提供了 長期投資的需求以及保證報酬，由於本身又是保險契約，是保單的一種，在稅賦 上也有某種程度的優惠，非常適合長期的生涯規劃，或是老年的退休理財規劃的 保戶。 GMWB 的運作模式是以保戶的帳戶投資風險性資產，故帳戶價值的高低會 與標的資產的投資報酬連動，並保證保戶每年能夠於此投資帳戶中提領固定的保 證提領額度，在期末帳戶若還有剩餘價值，則保戶能參加獲利，全數歸給保戶， 可選擇一次領回，或是將此金額年金化。 GMWB 保戶在期初躉繳一筆保費，此筆金額存入帳戶，即為投資標的資產 的本金，在契約期間主要分成兩個時期，分別為保證遞延期和保證提領期，在遞 延期，帳戶價值通常會以兩種方式進行累積，一種為複利增值(roll-up)，另一種 為鎖高機制(ratchet)。 複利增值以保險公司訂定的年複利增加，在遞延期滿之時的帳戶價值若是低 於年複利增加的價值，則帳戶價值即調整為年複利增加的價值，反之，若遞延期 滿時帳戶價值高於年複利增加的價值，則不須要調整，意即遞延期滿的帳戶價值 至少有年複利增加的價值。 鎖高機制則是以在遞延期間帳戶價值的最大值來鎖定報酬，以遞延期間帳戶 價值的最大值來當做遞延期滿時的帳戶價值。 保證提領期保戶可依契約不同的提領模式來進行提領。在提領期間，帳戶價 值會因保戶的提領而下降，也會因市場的波動而上下震盪，若是投資績效不好， 導致在提領期滿之前帳戶價值已經無法支付保證的提領金額時，保險公司必須自
行吸收此虧損，這就是保險公司所要承擔的風險，保險公司承擔保戶的下方風險 故要收取等價的保費(公平費用率)，此保費則從帳戶中扣除。 若是提領期滿之時，帳戶價值經過市場波動震盪和保戶提領以及保費收取而 還有剩餘價值，那麼將全數歸給保戶，即為保戶在此商品期間投資的獲利。 由於此保證商品是一長期保險商品的設計，所以當利率波動之時，對GMWB 商品的評價會產生某種程度的影響，若帳戶投資的標的資產與利率有關，那麼投 資標的價值對利率的敏感度也是會影響帳戶價值高低的重要因素。因此本文將考 慮利率與帳戶的相關性，利用Hull-White 的利率模型，來對 GMWB 進行評價， 以符合實務上的運作模式。 第二節 研究目的 本文研究目的為能以更接近實務的方式，考慮隨機利率並以樹狀結構進行 GMWB 商品評價，由於現有的 GMWB 評價模型有以下限制，本研究希望能針 對不同的缺點進行改善： 一、利率隨機性的假設 放寬利率為固定常數的假設，考慮能夠和市場結合的利率模型來計算公平費 用率，並討論帳戶價值與利率的相關性以貼近實務。 二、連續提領過程 目前現有的文獻使用連續提領模式以簡化模型，然而實務上GMWB 固定年 金的提領模式為每年提領時間點才做提領的動作，是屬離散提領，樹狀結構的特 性使可精確模擬離散提領所造成的帳戶價值變化，使評價結果更能符合真實市場 報價。 三、未加入遞延期 現有的GMWB 評價模型假設提領過程為即期提領，意即保戶購買商品之後 立刻進入提領期，並且在這段時間內需繳交保費，但實務上的商品設計並非如此。
實務上保戶購買商品之後有一段遞延期，在此期間內依照商品契約內容不 同，而決定此期間的帳戶累積機制，通常有保本、複利增值、以及鎖高機制，在 此期間內保戶不能提領，但須繳交保費，而遞延期結束後即為提領期，提領期所 能提領的金額取決於遞延期滿的帳戶價值高低。 本研究希望能將此遞延期加入模型中，以更能符合實務上的做法。 第三節 研究架構 本文的研究架構可分為五個章節，第一章為緒論分為三節：1. 研究動機與 背景；2. 研究目的；3. 研究架構。第二章為文獻探討分為兩部分：1. GMWB 評 價模型；2. DFPM-HWT 模型。第三章為研究方法分為三大項：1. GMWB 的模型 基礎假設 ；2. 建構 DFPM-HWT 樹狀結構模型；3. DFPM-HWT 應用在 GMWB 的評價。第四章為模型數值分析結果與討論。第五章為結論與後續研究建議。
2 2 ( (1/2) ) ( (1/2) ) 0 0 0 1 max 0, 1 / , 1/ s T T s B T B T W w e e ds T g G w T g μ α σ σ μ α− − σ +σ ⎡ ⎛ − − − − ⎞⎤ = × ⎢ ⎜ − ⎟⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ = =
∫
第二章 文獻探討
第一節 GMWB 評價模型
1. Milevsky and Salisbury (2006)的靜態提領情境設定下，假設 GMWB 投資標的 資產符合幾何布朗運動，其隨機過程為： t t t t t
S
d
S
dB
dS
=
μ
+
σ
令帳戶價值為 Wt，假設此商品價值波動為連續型，並無遞延期而保證提領 比例為 g，保證提領期為 T=1/g，表示投保人支付躉繳保費 W0後即開始進行提領。 假設帳戶服從對數常態，則帳戶價值的隨機過程為： 0 0 ( ) , 0 0 , t t t t t t W dt dt W dB W dW otherwise W w μ α− −γ +σ > ⎧ = ⎨ ⎩ = 其中γ
t為帳戶的提領率，w0表示時間點0 的帳戶價值，在此為躉繳保費。 如假設靜態提領的前提下，表示保戶每期只可提領固定金額 G=gw0，不可 任意更改且不能提前解約，則隨機過程可改寫為： 0 0 ( ) , 0 0 , t t t t t W dt Gdt W dB W dW otherwise W w μ α− − +σ > ⎧ = ⎨ ⎩ = 解微分方程式可得： 期中每期保戶可提領的固定年金在大T 時間點時的價值為：∫
T rt dt e g w 0 01 (1 ) (1 ) (1 ) ( 1) r rT rT T rt r r t e e e Ge G G e e − − − − − − = − − = = − −
∑
故時間點0 時 GMWB 的價值為： ) 1 ( ] [ 0 rT T Q rT e r g w W E e− + − − 其中， Q[ ]
E ⋅ 代表在風險中立機率測度 依照公平原則，時間點0 時 GMWB 的價格應當等於期初的躉繳保費，故： ) 1 ( ] [ 0 0 rT T Q rT e r g w W E e w = − + − − 定義一個新的隨機過程： Y ] 0 , 1 max[ 1 Y , 1 , 0 0 0 ) ) 2 / 1 ( ( 2 A w W dt Y T A Y Y e Y T T t T B t r t t − = = = = =∫
− − − − α σ σ 原式可被改寫為： ) 1 ( ] Y ] 0 , 1 max[ [ 1 / r/g Q g r e r g A E e− − + − − =GMWB 可以拆解為亞式賣權(quanto Asian put)加上確定期的確定年金(generic term-certain annuity)，利用 SDE 求解出每年提領固定金額與不固定金額下的公平 費用率α
2. 吳蕙君(2009)延續 Milevsky and Salisbury (2006)的靜態提領情境設定下，將 GMWB 選擇權部分視為每年配發定額現金股利的股票選擇權，保證提領金額 G 會讓帳戶價值在每年年末下降G 的額度，且帳戶價值歸 0 時表示無法繼續投資， 故此股票選擇權有障礙選擇權特性，為每年年末為檢查點的離散型單一向下失效 障礙選擇權，期初價格為 W0，障礙選擇權的barrier 為 G，履約價格為 G。 故GMWB 的價格等於障礙選擇權加上固定年金，在固定年金部分： 在 障礙選擇權的部分：
下降G 的高度，傳統 CRR 會不能 combine，所以利用 BTT 模型介紹的三元樹架 構來解決這個問題，那麼會碰到barrier G 節點的期數再用 Single-Barrier Option 的BTT 來連接，最後再以 backward induction 求算之：
(摘自 吳蕙君 以樹狀模型評價保證最低提領給付保險附約(2009) 圖 3.2.7) 『圖2.1』障礙選擇權接點示意圖
3. 林思瑜(2009)延續 Milevsky and Salisbury(2006)的架構下，討論利率隨機性， 以及跳躍資產模型對GMWB 評價的影響，考慮市場資訊的 BGM 利率模型，給
定參數下利用蒙地卡羅模擬法來計算公平費用率。 本研究欲在GMWB 評價模型上做條件的放寬以及改善，針對 Milevsky and Salisbury (2006)以及吳蕙君(2009)的部分考慮隨機利率性的條件，並且利用樹狀 結構的模型針對林思瑜(2009)的部分蒙地卡羅模擬法在計算效率上的問題做改 善，以及加入遞延期，以更符合實務做法。
第二節 DFPM-HWT 模型
1. Hull and White(1994)提出利率三元樹狀結構的建構方法，此方法將連續型 Hull and White 短期模型改為離散時間型，藉由市場上的零息利率，建構出能正確反 應市場狀況的利率結構，主要分成兩階段，第一階段先建構不包含市場利率結構 資訊的短期利率樹狀結構，第二階段將第一階段的樹狀結構進行調整，以符合市 場利率期間結構。
2. Dai and Lyuu(2010)提出的 Bino-trinomial tree(BTT)能夠處理在評價障礙選擇權 時，因為違約門檻會隨切割期數不同有擺盪的現象，沒辦法與樹狀結構的節點重 合，導致評價出現誤差，也就是非線性誤差的問題。此方法首先在已知門檻值的 狀況下，建構一個節點能與門檻值重合的二元樹(CRR)，以解決非線性誤差，並 在原時間點到 CRR 第一期的結點連接時，建立出比二元樹多一自由度的三元 樹，尋找原始點適合的三個連接點，示意圖如下：
『圖2.2』BTT 接點示意圖 S0點必須尋找適合的三個連接點使其一階與二階動差能逼近在對數常態下的平 均數以及變異數，且此三點連接的路徑機率總合為1。 已知CRR 樹同一期節點兩兩間距2σ Δ ，分別定義： t ^ u u β≡ − ^ 2 2 u t u t α≡ + σ Δ − = +β σ Δ ^ 2 2 u t u t γ≡ − σ Δ − = −β σ Δ 其中u= −(r σ2/2)Δ ，t ^ 0 0 0 0 ln( / ) ln( / ) ln( / )B B u= S S − S S = S S ，β∈ − Δ[ σ t,σ Δ 。 t) 則：
1 0 2 2 2 2 = + + Δ = ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ d m u d m u d m u P P P t P P P P P P σ γ β α γ β α 再利用Cramer’s Rule 即能分別求解出機率P 、u P 、m P ，完成接點。 d
3. 陳博宇(2009) 提出的 DFPM-HWT 數值方法為 Briys and Varenne (1997) 評價 模型的延伸。討論公司資產有離散跳躍情形的負債，以及在考慮有違約風險和利 率隨機性之下的公司負債價值。此樹狀結構以Hull and White 的利率結構模型為 基礎，在此基礎之下建構資產的變動過程，在資產與利率變動交互影響的部分利 用正交化的方法來做轉換，將彼此相關的利率與資產轉換成新的兩獨立變數，而 為了處理公司負債的違約門檻可能造成的非線性誤差，以及資產發生離散跳躍的 情形，故以BTT 的造樹方法來接點。
第三章 研究方法
本文欲將DFPM-HWT 數值方法應用在 GMWB 商品的評價上，討論在隨機 利率下的公平費用率。第一節首先提出GMWB 模型的基礎假設。第二節則介紹 如何建構評價GMWB 的立體樹狀結構。第三節討論樹狀結構的評價過程。
第一節
GMWB 模型的基礎假設
此GMWB 模型的基礎假設延續 Milevsky and Salisbury(2006)的設計，假設 GMWB 所投資的標的資產符合幾何布朗運動： t t t t t
S
d
S
dB
dS
=
μ
+
σ
其中 t S ：標的資產在時間點 t 的價格 μ：標的資產的平均報酬 σ ：標的資產的波動度 t B ：標準布朗運動 此時討論的資產價值尚未考慮到保費扣除的部分，考慮到帳戶價值會隨著時間有 預期報酬的增加以外，還有公平費用率的收取，若假設公平費用率是連續收取， 且保戶不能提前解約，則我們可以將帳戶的隨機過程改為： 0 0 ) ( w W dB W dt W dWt t t t = + − = μ α σ 其中α 即為公平費用率，w0為期初躉繳保費 GMWB 商品還有保證提領金額的因素會導致帳戶價值的變化，保證提領金 額G(在此為期初躉繳保費乘以保證提領率 g，即為 w0*g)，會讓帳戶價值在提領 時間點時下降G 的金額。在提領期結束後，若帳戶還有剩餘價值，則獲利全歸保戶所有，但若是在提 領期間帳戶價值因提領或是投資失利而歸0，那麼在提領期結束時保戶就沒有辦 法獲得多餘報酬，這樣的特性可將此視為一個選擇權，一個期初價格為 w0，履 約價格為G，期長為 w0/G，barrier 為 G 的向下失效且配發股利的股票障礙選擇 權。故GMWB 商品契約即為一個配發股利的股票選擇權，再加上定期定額的保 證提領年金。
第二節
建構 DFPM-HWT 樹狀結構模型
由於帳戶價值與利率這兩個隨機過程具有相關性，在運用樹狀結構模型進行 評價時，必須要有兩個過程變動的聯合機率才能運算，然而在有相依性的狀態下 要建構兩隨機過程的聯合機率並不容易，所以先採用正交化的方法，將利率和帳 戶價值這兩個變數轉變成兩個互相獨立的變數。之後利用Hull and White (1990) 所提出三元利率樹的特性產生能代表利率的新變數 Y(t)，並引用 Dai and Lyuu(2010)所提出 BTT (Bino-trinomial tree)的建樹方法建立具有違約門檻性質的 新變數X(t)來代表 GMWB 隱含的障礙選擇權的部分，之後結合這兩個三元樹創 造出立體空間的樹狀結構，基於已經經過正交化的過程，聯合機率會等於邊際機 率相乘，最後經由後推法(Backward induction)即可評價出 GMWB 所隱含障礙選 擇權的價值。一、正交化
帳戶價值Wt符合幾何布朗運動：
(3.1.1)
利率為Hull and White (1990) 的 extended Vasicek model
(3.1.2) 其中，a 為均數復迴歸率，η 為利率的波動度，此二參數皆為固定常數，b(t)為利 率的長期水準： 改寫(3.1.1)： (3.1.3) 其中Z(t)與 B2(t)為互相獨立的布朗運動，ρ 為帳戶價值與利率變動的相關性 接下來將(3.1.2)與(3.1.3)用矩陣的方式表示： 求出 2 1 0 ρ σ ρσ η ⎡ − ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 的反矩陣： 1 1 2 1 ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ln ( ) [( ( ) ) ] ( ) 2 dW t r t W t dt W t dB t dW t r t dt dB t W t d W t r t dt dB t α σ α σ σ α σ = − + = − + = − − + 2 ( ) ( ( ) ( )) ( ) dr t = θ t − ⋅a r t dt+ηdB t ( )t a b t( ) θ = ⋅ 2 1 2 2 2 2 1 2 ln ( ) [( ( ) ) ] ( ) 2 ln ( ) [( ( ) ) ] [ ( ) 1 ( )] 2 ( ) ( ) 1 ( ) d W t r t dt dB t d W t r t dt dB t dZ t dB t dB t dZ t σ α σ σ α σ ρ ρ ρ ρ = − − + = − − + + − = + − 2 2 2 ( ) ln ( ) ( ( ) ) 1 2 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) dZ t d W t r t dt dB t dr t t a r t σ α ρ σ ρσ η θ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎢ − − ⎥ + ⎢ − ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎢⎣ − ⋅ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥ ⎣⎦ ⎦ 1 2 2 2 1 1 0 1 0 ( 1 ) η ρσ ρ σ ρσ ρ σ η ρ ση − − ⎡ ⎤ ⎡ − ⎤ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
再將等式左右同乘上反矩陣：
其中 θ(t)則能利用 Hull and White (2005) 估計之、 )
(t
α 為Hull-White tree 的調整因子，又令兩新變數 X(t)和 Y(t)：
分別從0 積分到 t： 、Y t( ) Y(0) r t( ) (0)r η − = + 令X(0) = 0、Y(0) = 0 則 (3.1.4) 由(3.1.4)就可以利用建構 X(t)和 Y(t)兩個獨立的隨機過程來表示出帳戶 W(t)的過 程。分別建構X(t)和 Y(t)的樹狀結構，再加以結合，即可進行評價。 二、造樹過程參數的給定 X(t)和 Y(t)的隨機過程： (3.1.5) 已知X(t)和 Y(t)的隨機過程之後，就可以開始樹狀結構的建立，但是在 X(t) 2 2 2 2 2 2 ln ( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) ( )) 2 ( ) 1 0 1 1 1 1 ( ) 0 1 ( ) ( ( ) ( )) d W t dr t r t t ar t dZ t dt dB t dr t t ar t σ ρ α ρ θ σ ρ η ρ σ ρ η ρ θ η η ⎡ ⎤ ⎡ − ⎤ ⎢ − − − ⎥ ⎢ − − ⎥ ⎢ − ⎥ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥=⎢ − − ⎥ +⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 2 2 ln ( ) ( ) ( ) 1 1 ( ) ( ) d W t dr t dX t dY t dr t ρ σ ρ η ρ η ⎡ − ⎤ ⎢ ⎥ ⎡ ⎤≡⎢ − − ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 2 ( ) ln 1 (0) ( ) (0) ( ) (0) ( [ ]) 1 W t r t r W X t X ρ σ η ρ − = + − − )])} ( [ ) ( 1 ( exp{ ) 0 ( ) ( 2 t Y t X W t W = σ −ρ ⋅ +ρ⋅ 2 2 2 2 ( ( ) ) ( ( ) ( )) 2 ( ) ( ) 1 0 1 1 ( ) ( ) 0 1 ( ( ) ( )) r t t ar t dZ t dX t dt dB t dY t t ar t σ α ρ θ σ ρ η ρ θ η ⎡ ⎤ − − ⎢ − ⎥ − ⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − − +⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ − ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ^ ( 1) ( ) ( )t t t a ( 1)t t α α θ = + − + ⋅α + Δ
的drift 項有未知參數 α，如此一來便不能建構樹狀結構，故我們採取先給值後調 整的方法，利用Bisection 法來近似參數 α。 規則如下： 計算後的障礙選擇權價值+固定年金 > 起始的躉繳保費 Îα 調升 計算後的障礙選擇權價值+固定年金 < 起始的躉繳保費 Îα 調降 三、建構Y 變數的三元樹狀結構 因為r t( )=r(0)+Y t( )⋅ ，所以只需要將 r(t)也就是利率樹的部分建立完成之後，η 再經過簡單的移項以及調整，就可以生成新的變數Y(t)的樹狀結構。由於是一對 一的對應關係，Y(t)的變動機率則與相對應點的 r(t)相同。 『圖3.1』HW-tree 轉換 Y 座標 四、建構X 變數的三元樹 由於 GMWB 商品可視為一年金和一離散的障礙選擇權的組合，所以要處理 非線性誤差的問題，使用Dai and Lyuu(2010)所提出 BTT (Bino-trinomial tree)的建 樹方法。先建立起每個時間每個不同利率下X(t)的違約門檻，並且生成格子點， 間距是2σX Δ ，再進行接點的動作。 t η ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) (t Y rt r Y = + −
在此必須注意帳戶在提領時間點的節點，由於提領的關係帳戶價值要下降G 的金額，但此建樹方法是在log 平面上，所以處理提領時間點的 Jump 的問題時， 要將X(t)的坐標轉換到真實世界的維度才能計算。首先建立好 X(t)樹和 Y(t)樹之 後，將Y(t)轉為 r(t)，將 X(t)經由 ( ) (0)exp{ ( 1 2 ( ) [ ( ) (0)])} η ρ ρ σ X t r t r W t W = − ⋅ + ⋅ − 轉換到真實世界 W(t)的維度，再處理 Jump 的部分，向下下降 G 的高度，即為 W(t)-G，在計算完 Jump 之後，利用 (0) [ ( ) (0)]) ) ( ln ( 1 1 ) 0 ( ) ( 2 σ ρ η ρ r t r W t W X t X − − − + = 將其再轉換為X(t)的坐標維度，其後繼續進行樹狀結構的接點。 以分別給定每一期不同的Y 坐標下 X 的樹狀結構來舉例，如下圖： T 0 X(t) t X Δ σ 2 1 2 3 『圖3.2』節點發生 Jump 時的接點 其中空心圓點表示不同期數的違約門檻值，可由下列式子得到 第一期的違約門檻值： [ (1) (0)]) ) ) 0 ( ln( ( 1 1 ) 0 ( ) ( 2 σ ρ η ρ r r W G X t X − − − + = 第二期的違約門檻值： [ (2) (0)]) ) ) 0 ( ln( ( 1 1 ) 0 ( ) ( 2 σ ρ η ρ r r W G X t X − − − + = BTT PXu PXm PXd 利用第二節提到的BTT 方法進行接點 每期圓點兩兩間距2σx Δt 又因為經過正交化，故σx=1 實心黑點=空心圓點+k⋅2σx Δt 其中k 為整數，空心方框則表示 Jump 後下 降的節點。
第三期的違約門檻值： [ (3) (0)]) ) ) 0 ( ln( ( 1 1 ) 0 ( ) ( 2 σ ρ η ρ r r W G X t X − − − + = 五、結合X(t)樹和 Y(t)樹 再建立結合兩個樹狀結構之前，必須了解建樹的先後順序，本文帳戶價值的 違約門檻跟利率有關，所以在結合 X(t)和 Y(t)時要先建立 Y(t)的樹狀結構，X(t) 的樹狀結構才能在此基礎上建立起來。分成下列幾個步驟 (1)在 t、Y(t)平面上建立 Y(t)樹，如下圖： 『圖3.3』結合 X(t)樹和 Y(t)樹步驟一 將Hull-White tree 的節點利用 ( ) (0) ( ) (0) r t r Y t Y η − = + 轉換，就能 建立Y(t)樹
(2) 建立不同Y(t)下的違約門檻值，並向上生成 X(t)的柱子，如下圖： 『圖 3.4』結合 X(t)樹和 Y(t)樹步驟二 (3)將所有 Y(t)都生成 X(t)的柱子，如下圖： 『圖3.5』結合 X(t)樹和 Y(t)樹步驟三 S* t X(t) Y(t) 1 2 3 空心圓點：該期Y(t)下的違約門檻值 X(t)的值=空心圓點+k⋅2σx Δt，其中k 為 整數 S*：時間點 0 時帳戶價值 w0轉換成 X(t) 的值
(4) BTT 找點(為了畫面簡潔只保留第一期的節點)，如下圖： 『圖3.6』結合 X(t)樹和 Y(t)樹步驟四 透過上面步驟(1)到(4)即可完成 X(t)與 Y(t)樹狀結構的結合(為了畫面並未把 Jump 的節點加入圖片中)，建構完樹狀結構後則利用後推法(Backward induction)進行評 價。
第三節 DFPM-HWT 應用在 GMWB 的評價
GMWB 被我們分為一個固定提領金額的部分以及配發股利的股票選擇權。 (1) 固定金額提領的部分 在Hull-White tree 下評價固定年金 t X(t) Y(t) 1 2 3利用Dai and Lyuu(2010)所提 出的BTT 接點，並求算機率
『圖3.7』年金折現示意圖 假設在時間點1 與時間點 3 是提領時間點，故在後推法年金折現的部分先將時間 點1 與時間點 3 的報酬都放上 G，從時間點 3 折現到時間點 2 與時間點 2 折現到 時間點1 都依照標準的步驟來折現，以時間點 3 折現到時間點 2 為例： A 點的價值*由點 P 走到點 A 的機率 + B 點的價值*由點 P 走到點 B 的機率 + C 點的價值*由點 P 走到點 C 的機率 總合在以 P 點的利率折現，就能算出 P 點的價值，以此類推也能利用 P、Q、R 三點計算出 M 點的價值。當計算完 M、N、O 三點價值之後，由於是要提領的 時間點，所以再折回第0 個時間點時要將本來的價值加上 G 再折現，即為： (M 點的價值+G)*由點 W 走到點 M 的機率 + (N 點的價值+G)*由點 W 走到點 N 的機率 + (O 點的價值酬+G)*由點 W 走到點 O 的機率 G G G A B C P Q R M N O W
總合再以W 點的利率折現，就能算出 W 點的價值，此價值即是 GMWB 的固定 提領年金的折現值。 也就是說在計算年金的時候以一般後推法計算，將該節點的價值取期望值後做折 現，與一般後推法不同的是，若該節點處在需要支付年金的年期，則必須加上該 年金的價值之後再做後推法，反覆動作到時間點0，即能計算出固定提領年金在 時間點0 的價值。 (2) 障礙選擇權 由於經過正交化後，聯合變動機率等於兩個邊際機率相乘： 『圖3.8』障礙選擇權折現示意圖 將此樹狀結構延展到最後一期，會得到一個X(t)的平面，此 X(t)平面上的每一個 點的報酬即為X(t)-G，有了最後一期的報酬之後，就可以開始進行障礙選擇權的 評價。利用Backward induction 將報酬分別取期望值然後再折現的過程當中，X 樹的分支機率能夠利用BTT 的接點求得，Y 樹由於和 Hull-White tree 是屬於一 對一的對應關係，故Y 樹分支變動的機率即為 Hull-White tree 節點變動的機率，
又因為X 樹和 Y 樹已經過正交化，聯合變動機率就等於個別邊際機率相乘。折 現就以該期的Y 利用 ( )r t =r(0)+Y t( )⋅ 計算出 r 再進行折現，此步驟不斷循環，到η 時間點0 時，即為選擇權的價格。 則GMWB 的價值就是上述的固定年金的折現值加上選擇權的價值。這個價值依 照公平原則下要等於起始的躉繳保費，所以要調整公平費用率讓這個價值等於起 始的躉繳保費，以逆推公平費用率。 評價流程如下：
第四章 模型數值分析結果與討論
本章欲討論DFPM-HWT 數值方法應用在 GMWB 商品的評價的結果，包含 即期提領、加入遞延期，以及在不同條件參數下對於公平保費的影響。
第一節
利率設定
欲利用 DFPM-HWT 來評價 GMWB，需要市場上的零息利率當作參數，在 此提供一組零息利率，如下： 利用 Vasicek model 起始短利 0.03，θ=0.003，利率的波動度 η=0.01，均數 迴歸率為0.1，利用公式反推來零息利率，如下圖： 零息利率 0.026 0.027 0.028 0.029 0.03 0.031 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 年 零息利率 『圖4.1』零息利率第二節
收斂情形
期初躉繳保費W0=100，假設即期提領，保證提領金額 G 為 5，帳戶的波動 度σ=0.2，期長 20 年，帳戶與利率的相關係數 ρ=-0.25，討論在不同切割期數下，公平保費為0 情形下的商品價值： 表4.1 不同切割期數的比較 切割期數 DFPH with HW-Tree 1 107.121176 10 107.333877 20 107.334942 30 107.335997 40 107.335730 50 107.335882 60 107.335835 70 107.335693 80 107.335771 90 107.335841 100 107.335977 由表可以看出結果不會因為切割期數而有大幅度震盪，表示模型能夠有效處 理非線性誤差所造成的問題。 針對上述結果所推算的公平費用率，利用圖形表示，如下： 公平費用率(alpha) 0.0071 0.00715 0.0072 0.00725 0.0073 0.00735 0.0074 0.00745 0.0075 0.00755 0.0076 1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 切割期數 公平費用率(alpha) 『圖4.2』公平費用率收斂圖 由上圖可知每年期數切割超過10 期之後，圖形漸趨平緩。而且切割期數超
過10 期之後，公平保費的差距更是小於十萬分之一，可證明公平保費能夠隨著 切割期數增加而有效的收斂。
第三節
即期提領
本節欲討論在沒有遞延期，也就是保戶即期提領的狀況，與假設利率為常數 的吳蕙君(2009)，以及Yang(2010)所提出的分析解做比較。 參數設定：期初躉繳保費W0=100，保證提領金額G為5，帳戶的波動度 分別為σ=0.2和σ=0.3，期長20年 針對吳蕙君(2009)及Yang(2010)的個別參數設定如下： (a) 吳蕙君(2009)的參數設定 假設利率(r)為常數，r = 0.05，故將本篇方法Zero rate參數設為水平線， 都等於0.05，相關係數ρ=0，利率的波動度為0.01，均數迴歸率為0.1。 (b) Yang(2010)的參數設定 帳戶與利率的相關係數ρ=-0.25 隨機利率：利用Vasicek model，起始短利r0 = 0.03，利率的波動度η= 0.01，均數迴歸率為0.1，θ=0.003 與吳蕙君(2009)的結果及Yang(2010)所提出的分析解做比較，整理如下表： 表4.2 不同模型及波動度的比較constant interest rate
σ = 0.2 σ = 0.3
吳蕙君 0.0028 0.0075
本篇方法 0.003002 0.007676
HW model
Yang 0.00751 0.01434
本篇方法 0.007542 0.015723
其中吳蕙君(2009)假設利率為常數，以帳戶與利率的相關係數設為0，公平 費用率相當接近，結果較高的原因是由於本篇方法使用Hull and White Model，放 寬了利率為常數的假設，考慮了利率隨機性的因素，也就加入了利率變動的風 險，但因為帳戶與利率的相關係數為0，所以利率變動對帳戶價值較無影響力， 故與吳蕙君所算出的公平費用率差異不大。
又Yang(2010)利用 reciprocal gamma distribution，在帳戶波動度分別為 0.2、 0.3 時，算出 GMWB 的分析解為 0.0075 以及 0.01434。在相同的參數設定之下， 本篇方法分別為0.007542 以及 0.015723，答案略高的原因是公式解模型中假定 保證提領金額連續支付，樹狀模型中假定離散支付保證提領金額，在每年年底才 從保戶的帳戶價值中扣除保證提領金額，所以假定GMWB 可拆成一個年金加上 選擇權，那麼離散支付模型的帳戶價值波動度較連續支付模型為大，選擇權價值 也比較高，故收取的保費較高。 但是會影響結果不同的因素可能有很多，包含帳戶價值與利率的相關性，利 率的波動度，其後將以敏感度分析討論之。 本來模型中保戶每年提領固定年金G，在此討論若是每年付一次 G、每年付 兩次G/2、每年付 4 次 G/4…的狀況： 零息利率：利用 Vasicek model 起始短利 0.03，θ=0.003 利率的波動度 η=0.01， 均數回歸率為0.1，利用公式反推零息利率，期初躉繳保費 W0=100，保證提領 金額G 為 5，期長 20 年，帳戶與利率的相關係數 ρ=-0.25，每年切 64 期： 帳戶的波動度為σ=0.2，結果整理如下表： 表4.3 波動度為0.2 每年提領次數的比較 一年付幾次G 公平保費 公平保費為0 時 的價值 在公平保費率 下時年金價值 在公平保費率 下時 option value
1 0.007543 107.33579 74.90694 32.42885 2 0.007602 107.242322 75.439605 31.80272 4 0.007637 107.199133 75.707111 31.49202 8 0.007653 107.176896 75.841158 31.33574 16 0.00766 107.165525 75.908255 31.25727 32 0.007666 107.159934 75.941822 31.21811 64 0.007667 107.157202 75.95861 31.19859 帳戶的波動度為σ=0.3，結果整理如下表： 表4.4 波動度為0.3 每年提領次數的比較 一年付幾次G 公平保費 公平保費為0 時 的價值 在公平保費率 下時年金價值 在公平保費率 下時 option value 1 0.015720 114.517727 74.906940 39.610787 2 0.015823 114.324615 75.439605 38.885010 4 0.015879 114.230510 75.707111 38.523399 8 0.015908 114.181825 75.841158 38.340667 16 0.015923 114.157796 75.908255 38.249541 32 0.015928 114.145806 75.941822 38.203984 64 0.015933 114.140009 75.958610 38.181399 由上表可以看得出來每年支付的次數越多，公平保費也越高，是因為提領次 數增加會讓帳戶價值因支付保證提領金額而提前下降，所以公平保費(收費等於 公平費用率乘上帳戶價值，並採連續收取)因帳戶價值提前下降而減少的部分需 靠提高公平費用率彌補。
第四節
遞延期提領
本節欲討論加入遞延期的保本機制之後，帳戶價值的變化，以及公平保費依 照遞延期期長或是總保險期長攤銷的不同。以期初躉繳保費W0=100，保證提領比率 5%，帳戶的波動度為 σ=0.2，期長 30 年，前 10 年為遞延期，後 20 年為提領期，帳戶與利率的相關係數 ρ=-0.25。 另外遞延期的機制為保本機制，帳戶價值在遞延期滿若是高於100，則以該 值來計算提領金額，若是低於100，則以 100 計算，以保證在遞延期滿時帳戶價 值最少有100，來保障保戶至少能夠在提領期滿時回收成本。 則公平保費為0 的情況下，商品的價值如下表： 表4.5 加入遞延期切割期數的比較 切割期數 DFPH with HW-Tree 1 116.373665 4 117.221369 8 116.553834 12 116.307604 16 116.891871 20 116.593500 針對上表中的值推算出的公平費用率的結果如下表： 表4.6 遞延期的保費收取 切割期數 保費收取遞延期長 共10 年 保費收取總保險期長 共30 年 1 0.025186 0.009628 4 0.026747 0.010176 8 0.025436 0.009700 12 0.025150 0.009556 16 0.026219 0.009958 20 0.025692 0.009758 在上述結果之中，保費的收取依照總保險期長30 年攤銷約略是依照遞延期 長10 年攤銷的三倍。
第五節
敏感度分析
本節欲討論不同參數的變化之下對於公平保費的影響，主要有利率波動度， 帳戶波動度，以及相關係數的改變。 (a) 提領期長 利率期間結構： 以利用Vasicek model，起始短利 r0 = 0.03，利率的波動度 η= 0.01，均數迴歸 率為0.1，θ=0.003，利率與帳戶的相關係數為-0.25，帳戶波動度為 σ=0.2 假設即期提領，期初躉繳保費W0=100，結果如下表： 表4.7 提領期長對公平保費的影響 提領期長 公平費用率 1 0.139954 5 0.042761 10 0.018817 20 0.007542 25 0.005447 由表可知，當提領期長越長，公平保費越低，這是因為不管哪種提領期長， 提領總額都為100，在保證額度都相同的狀況下，攤銷的時間越長，公平保費越 低。 (b) 帳戶波動度 利率期間結構： 以利用Vasicek model，起始短利 r0 = 0.03，利率的波動度 η= 0.01，均數迴歸 率為0.1，θ=0.003，利率與帳戶的相關係數為-0.25，假設即期提領，期初躉繳保 費W0=100，帳戶波動度分別為 0.1、0.2、0.3，結果如下表： 表4.8 帳戶波動度對公平保費的影響 提領期長 σ=0.1 σ=0.2 σ=0.3 1 0.041602 0.139954 0.255737
5 0.011292 0.042761 0.078812 10 0.004028 0.018817 0.036890 20 0.001307 0.007542 0.015723 25 0.000887 0.005447 0.011593 由上表可以看得出來，公平保費會因為帳戶波動度上升而有很明顯的變高， 有這種現象是因為GMWB 商品能拆解成一個障礙選擇權加上一個固定年金，那 麼在帳戶波動度變大的時候，選擇權的價格就會變高，自然收取的公平保費就要 提高。由結果可見帳戶的波動度的改變對於公平保費有很顯著的影響。 (c) 相關係數 利率期間結構： 以利用Vasicek model，起始短利 r0 = 0.03，利率的波動度 η= 0.01，均數迴歸 率為0.1，θ=0.003，帳戶波動度為 σ=0.2，假設即期提領，期初躉繳保費 W0=100， 利率與帳戶的相關係數分別為-0.2、0、0.2，結果如下表： 表4.9 相關係數對公平保費的影響 提領期長 ρ=-0.2 ρ=0 ρ=0.2 1 0.14043 0.141846 0.142578 5 0.042944 0.044205 0.045319 10 0.019073 0.020127 0.021152 20 0.007732 0.008484 0.009210 25 0.00561 0.006246 0.006862 由表可看出相關係數改變對公平保費的影響，相關係數越高，公平保費越高。 (d) 利率波動度 利率期間結構： 以利用Vasicek model，起始短利 r0 = 0.03，均數迴歸率為 0.1，θ=0.003，帳戶 波動度為σ=0.2，假設即期提領，期初躉繳保費 W0=100，分別討論利率與帳戶
的相關係數為正及為負的情況，結果如下： (a) 以相關係數為正 表4.10.1 相關係數為正及利率波動度對公平保費的影響(1) ρ=0.1 ρ=0.2 ρ=0.3 ρ=0.4 提領期長 η= 0.01 η= 0.02 η= 0.01 η= 0.02 η= 0.01 η= 0.02 η= 0.01 η= 0.02 1 0.142334 0.14325 0.142578 0.144043 0.142578 0.144531 0.142151 0.144653 5 0.044769 0.046906 0.045319 0.048035 0.046051 0.049347 0.0466 0.050446 10 0.020641 0.023639 0.021152 0.024658 0.021674 0.025671 0.022174 0.026654 20 0.00885 0.012508 0.00921 0.013251 0.009567 0.013971 0.009915 0.014667 25 0.006557 0.010279 0.006862 0.010921 0.007159 0.011539 0.007452 0.012134 表4.10.2 相關係數為正及利率波動度對公平保費的影響(2) ρ=0.5 ρ=0.6 ρ=0.7 ρ=0.8 提領期長 η= 0.01 η= 0.02 η= 0.01 η= 0.02 η= 0.01 η= 0.02 η= 0.01 η= 0.02 1 0.148193 0.151123 0.138916 0.142029 0.141724 0.145386 0.143005 0.147278 5 0.047272 0.051666 0.047852 0.05278 0.048447 0.053909 0.049042 0.055054 10 0.022681 0.027625 0.023175 0.028571 0.023663 0.029498 0.024152 0.030414 20 0.01026 0.015341 0.010599 0.015997 0.010931 0.016635 0.011261 0.017252 25 0.007741 0.012708 0.008025 0.013263 0.008304 0.0138 0.008578 0.014316 由上表可知當帳戶與利率的相關係數大於0時，利率波動度上升，公平保費 也會跟著增加，且提領期長越長，增加的幅度越大，以ρ=0.5為例，提領期長為 10年，利率波動度上升導致公平保費上升的比率為21.8%；提領期長20年則為 49.5%，提領期長25年更是上升到64.2%，由此可知提領期長越長，利率波動對 公平保費的影響越大。 (b) 相關係數為負 表4.10.3 相關係數為負及利率波動度對公平保費的影響(1) ρ=-0.1 ρ=-0.2 ρ=-0.3 ρ=-0.4
提領期長 η= 0.01 η= 0.02 η= 0.01 η= 0.02 η= 0.01 η= 0.02 η= 0.01 η= 0.02 1 0.14126 0.141113 0.14043 0.139746 0.139343 0.138123 0.137891 0.136084 5 0.043591 0.044525 0.042944 0.043274 0.042493 0.042212 0.041846 0.040918 10 0.019604 0.021529 0.019073 0.020441 0.018555 0.019342 0.018008 0.018198 20 0.008112 0.01094 0.007732 0.010112 0.007349 0.009255 0.006957 0.008364 25 0.005933 0.008913 0.00561 0.008187 0.005284 0.007429 0.00495 0.006638 表4.10.4 相關係數為負及利率波動度對公平保費的影響(2) ρ=-0.5 ρ=-0.6 ρ=-0.7 ρ=-0.8 提領期長 η= 0.01 η= 0.02 η= 0.01 η= 0.02 η= 0.01 η= 0.02 η= 0.01 η= 0.02 1 0.142944 0.140686 0.133301 0.130762 0.134912 0.131836 0.13501 0.131348 5 0.041321 0.039746 0.04071 0.038477 0.040125 0.037207 0.039536 0.035919 10 0.017471 0.017041 0.016924 0.015845 0.016367 0.014624 0.015808 0.013371 20 0.00656 0.007439 0.00656 0.006477 0.005747 0.005476 0.005332 0.004441 25 0.004612 0.005809 0.004267 0.004944 0.003919 0.00404 0.003564 0.003101 表中同樣的相關係數下，相鄰上色的格子比未著色的格子大，由表中著色的 區域分佈可發現相關係數與利率波動度以及提領期長對於公平保費有不同的影 響趨勢，若相關係數越小，則利率波動度上升使的保費變小的力量則會變大。 而提領期長變長以及利率波動度上升對公平保費則是正向的影響。換言之， 提領期長越長，利率波動度上升使得保費變大的力量越大。 值得一提的是綜合相關係數正與負的結果來看，提領期長越長，利率波動度對於 公平保費的影響越大，也證實了隨機利率對於長期間的GMWB商品來說，是評 價商品時的重要角色，更是個不可排除的因素。 (e) 遞延期間不同保證型式之分析 利率期間結構： 以利用Vasicek model，起始短利 r0 = 0.03，均數迴歸率為 0.1，θ=0.003，帳戶 波動度為σ=0.2，期初躉繳保費 W0=100，利率與帳戶的相關係數為-0.25，利率 波動度為0.01，提領期長為 20 年
保費收取期長: T = 遞延期間(T1)+提領期間 20 年(T2) 結果如下： 表4.11 不同遞延期間以及累積方式的比較 遞延期間 保本 複利(0.03) 5 0.014050 0.016396 10 0.011702 0.020508 15 0.009541 0.022501 20 0.007835 0.030101 35 0.004630 0.034230 由上表可看出當遞延期間的長短以及帳戶累積方式的不同，對公平保費有不 同的影響，以保本來說，遞延期間越長，收取的公平保費越低；若是複利增值來 說，遞延期間越長，收取的公平保費越高，這是因為遞延期越長，複利增值的帳 戶累積方式價值會較遞延期短的帳戶價值高，故應該收取較高的保費。 又第一個部分是即期提領，沒有保本的問題，因為一定保本(帳戶從100開始 跳動)，所以提領期長越短，攤銷的期間越短，保費越高。 第二個部分是加入遞延期來討論提領期長為20年的保費，因為加入了遞延 期，所以帳戶價值在遞延期滿之時有可能低於100，但因為保本機制會把遞延期 滿帳戶價值拉到100，這樣來說的話對公平保費應該是正面的影響，也就是有保 本的話公平保費應該要收取較高。 另一方面是有關於保費的攤銷期間，攤銷期間越長，保費越低，所以對公平 保費的影響跟保本的部分是兩個反向力量的拉扯，其實是沒辦法確定公平保費會 較即期提領20年期的高還是會低。
第五章 結論與後續研究發展
第一節
結論
本文將GMWB 商品拆解成一個障礙選擇權加上固定年金，並且利用 DFPM-HWT 來評價，應用樹狀結構來評價，模擬離散提領，不僅能解決非線性 誤差的問題，也具有Hull-White 利率結構與市場利率配合的優點，更重要的是， 能夠將隨機利率加入GMWB 的評價當中，使得計算出來的價格能夠更貼近市場。 從實驗結果也說明了當提領期長越長，利率波動度對公平保費的影響越大， 證實利率隨機性對於像GMWB 這樣長年期的商品來說是重要的考量因素，若評 價過程中假設利率為固定常數則將低估其風險，這樣的結果當然有失準確性。 另一方面也放寬現有評價模型當中GMWB 商品都為即期提領的限制，以加 入遞延期後的評價模式能夠更貼近實務。第二節
後續研究建議
本文利用DFPM-HWT 來評價 GMWB 商品，放寬了利率隨機性、離散提領、以 及加入遞延期的數個假設，但尚有許多方面能夠更加精進，提供幾個面向做參考： 一、 遞延期的鎖高機制 遞延期的帳戶累積的過程當中，通常有鎖高機制、保本策略、複利增值三種， 若是能夠加入鎖高機制的帳戶累積制度，那麼將能夠使GMWB 的評價模型更為 完善。 二、 加入生存率 依照契約不同，GMWB 中保戶的生存或死亡會影響保險合約的存續，以及 年金的支付，若是能延伸加入生存率的模型，在GMWB 評價時更全面，使 得定價能夠更為正確。參考文獻
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附錄
利率期間結構以利用Vasicek model：dr=a(b−r)dt+ηdz，起始短利r0 = 0.03， 利率的波動度η= 0.01，均數迴歸率為 0.1，θ=a*b=0.003，透過 ) ( ) , ( ) , ( ) , ( BtT rt e T t A T t P = − 來計算債券價格如下表，其中 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − + − = a T t B a b a t T T t B T t A 4 ) , ( ) 2 / )( ) , ( ( exp ) , ( 2 2 η2 η2 2 、 a e T t B t T a( ) 1 ) , ( = − − − P(0,1) P(0,2) P(0,3) P(0,4) 0.970461 0.941873 0.914262 0.887629 再利用上表推算出零息利率，如下表：Zero(0,1) Zero(0,2) Zero(0,3) Zero(0,4)
0.029985 0.029942 0.029879 0.029800 再利用上表的零息利率來建構Hull-White tree，如下圖 利率樹各別路徑分支機率分別如下表： 對應的Y 值 上漲 持平 下跌 R(0,0) 0 0.166667 0.666667 0.166667 R(1,1) 1.7286 0.121667 0.656667 0.221667
R(1,0) -0.0035 0.166667 0.666667 0.166667 R(1,-1) -1.7355 0.221667 0.656667 0.121667 R(2,2) 3.459 0.886667 0.026667 0.086667 R(2,1) 1.727 0.121667 0.656667 0.221667 R(2,0) -0.0051 0.166667 0.666667 0.166667 R(2,-1) -1.7371 0.221667 0.656667 0.121667 R(2,-2) -3.4692 0.086667 0.026667 0.886667 利率與帳戶的相關係數為-0.25，假設即期提領，期初躉繳保費 W0=100，帳 戶波動度為0.2，期長三年，一年一期，提領額度 G 為 33. 333333，公平保費α =0， 利用 ( )] ) ) 0 ( ) ( ln( [ 1 1 ) 0 ( ) ( 2 Y t W t W X t X − ⋅ − + = ρ σ ρ ，分別將W(t)=G=33.333333、 ) 0 ( W =100、X(0)=0、以及各 R(t)對應的Y(t)帶入，即能得到不同R(t)柱子點上 的default boundary，也就是支付使得帳戶為 0 的 X(t)臨界值，可參考圖 3.5 中的 空心圓點，並將數值整理如下表： 柱子點上的default boundary X 座標值 真實世界W 值 R(1,1) -5.226877 33.333333 R(1,0) -5.674091 33.333333 R(1,-1) -6.121304 33.333333 R(2,2) -4.780086 33.333333 R(2,1) -5.227299 33.333333 R(2,0) -5.674513 33.333333 R(2,-1) -6.121727 33.333333 R(2,-2) -6.568940 33.333333 不同R(t)柱子上的節點都能利用該臨界值加上2σx Δt來得到，在此已經過正交 化，故σx=1。 連接到下一期的柱子點時，由(3.1.5)式得知，必須透過 2 2 2 1 )) ( ) ( ( 1 2 ) ) ( ( ρ η θ ρ ρ σ σ α − − − − − − t ar t t r
，來計算X(t)的drift 項，θ(t)則能利用Hull and White (2005) 提出的 ( 1) ( )+ ⋅ ( +1) Δ − + t a t t t α α α 來估計，其中α(t)為Hull-White tree
的調整因子，列出調整因子如下表： ) 0 ( α α(1) α(2) α(3) 0.029985 0.029950 0.029934 0.029930 由上表計算出的θ(t)整理如下： ) 0 ( θ θ(1) θ(2) 0.002961 0.002977 0.002989 藉由上述兩表以及利率樹，即能夠利用每根R(t)柱子不同的利率值 r(t)計算出該 條件下X(t)的 drift 項，整理如下表： 柱子點的drift 項 R(0,0) 0.050591 R(1,1) 0.095640 R(1,0) 0.050919 R(1,-1) 0.006198 R(2,2) 0.140626 R(2,1) 0.095904 R(2,0) 0.051183 R(2,-1) 0.006462 R(2,-2) -0.038260 在計算X(t)樹的分支機率時，須利用該點的 X(t)座標值加上該根柱子的 drift 項， 再到欲連接的下一期的柱子上尋找最近格子點，該最接近的格子點則為X(t)分支 的中間點，分別往上往下一格作為另外兩個分支，完成三元樹接點，並利用 Cramer’s Rule 即能求算分支機率。 以R(0,0)柱子上的點，利率上漲後連接到 R(1,1)的點來舉例： R(0,0)柱子上的點只有一個點，X 座標為 0，R(0,0)柱子的 drift 項為 0.050591， 所以我們將0+0.050591= 0.050591，連接到 R(1,1)柱子上找最近的點，為 R(1,1) 柱子的boundary 向上第三格，大小為-5.226877+3*2=0.773123，此點即為三元樹 的中間點分支，向上向下一格大小分別是2.773123、-1.226877，找到三個分支點 後，即能利用Cramer’s Rule 求算分支機率(可參考圖 2.2)： β=0.773123-0.050591=0.722532
α=β+2σx Δt=2.722532 γ=β-2σx Δt=-1.277468 0.370890 P 0.619487 P 0.009624 P -5.934236 ) -dt)( ( -9.911788 ) -dt)( ( -0.153977 ) -dt)( ( -16.000000 ) -)( -)( -( d d m m u u 2 d 2 m 2 u = Δ Δ = = Δ Δ = = Δ Δ = = + ⋅ = Δ = + ⋅ = Δ = + ⋅ = Δ = = Δ α β σ β α γ α σ γ α β γ σ γ β β γ α γ α β x x x 其後所有點皆能以此方法計算分支機率 節錄0-2 期的所有節點以及分支機率，資訊如下： 第 0 期： R(0,0)柱子上的點： X 座標值 真實世界W 值 0 100 第 1 期： R(0,0)柱子上的點利率上漲後連接到 R(1,1)柱子上點的對應機率以及值如下： 柱子上點 代號 機率 X 座標值 真實世界 W 值 支付完提領 額度的W 值 支付完提領 額度的X 值 上漲 A(1,1) 0.009624 2.773123 156.922373 123.589 1.540018 持平 B(1,1) 0.619487 0.773123 106.532798 73.19947 -1.164736 下跌 C(1,1) 0.37089 -1.226877 72.323895 38.99056 -4.417363 R(0,0)柱子上的點利率持平後連接到 R(1,0)柱子上點的對應機率以及值如下： 柱子上點 代號 機率 X 座標值 真實世界 W 值 支付完提領 額度的W 值 支付完提領 額度的X 值 上漲 A(1,0) 0.065645 2.325909 156.922373 123.589 1.092805 持平 B(1,0) 0.73105 0.325909 106.532798 73.19947 -1.611949
下跌 C(1,0) 0.203305 -1.674091 72.323895 38.99056 -4.864577 R(0,0)柱子上的點利率下跌後連接到 R(1,-1)柱子上點的對應機率以及值如下： 柱子上點 代號 機率 X 座標值 真實世界 W 值 支付完提領 額度的W 值 支付完提領 額度的X 值 上漲 A(1,-1) 0.171667 1.878696 156.922373 123.589 0.645591 持平 B(1,-1) 0.742613 -0.121304 106.532798 73.19947 -2.059163 下跌 C(1,-1) 0.08572 -2.121304 72.323895 38.99056 -5.311790 第 2 期 R(1,1)柱子上的點利率上漲後連接到 R(2,2)柱子上點的對應機率以及值如下： 柱子上點 代號 機率 X 座標值 真實世界 W 值 支付完提領 額度的W 值 支付完提領 額度的X 值 上漲 A(2,2) 0.250542 3.219914 156.922372 123.589 1.986810 A(1,1) 持平 B(2,2) 0.706789 1.219914 106.532798 73.19947 -0.717944 下跌 C(2,2) 0.042669 -0.780086 72.323895 38.99056 -3.970572 上漲 B(2,2) 0.063188 1.219914 106.532798 73.19947 -0.717944 B(1,1) 持平 C(2,2) 0.729118 -0.780086 72.323895 38.99056 -3.970572 下跌 D(2,2) 0.207693 -2.780086 49.099862 15.76653 -8.646194 上漲 D(2,2) 0.265853 -2.780086 49.099862 15.76653 -8.646194 C(1,1) 持平 E(2,2) 0.697476 -4.780086 33.333333 Default 下跌 F(2,2) 0.036671 -6.780086 22.629618 Default R(1,1)柱子上的點利率持平後連接到 R(2,1)柱子上點的對應機率以及值如下： 柱子上點 代號 機率 X 座標值 真實世界 W 值 支付完提領 額度的W 值 支付完提領 額度的X 值 上漲 A(2,1) 0.433827 2.772701 156.922372 123.589 1.539596 A(1,1) 持平 B(2,1) 0.563825 0.772701 106.532798 73.19947 -1.165158 下跌 C(2,1) 0.002348 -1.227299 72.323895 38.99056 -4.417786 上漲 B(2,1) 0.167679 0.772701 106.532798 73.19947 -1.165158 B(1,1) 持平 C(2,1) 0.743743 -1.227299 72.323895 38.99056 -4.417786
下跌 D(2,1) 0.088578 -3.227299 49.099862 15.76653 -9.093407 上漲 D(2,1) 0.453903 -3.227299 49.099862 15.76653 -9.093407 C(1,1) 持平 E(2,1) 0.544983 -5.227299 33.333333 Default 下跌 F(2,1) 0.001114 -7.227299 22.629618 Default R(1,1)柱子上的點利率下跌後連接到 R(2,0)柱子上點的對應機率以及值如下： 柱子上點 代號 機率 X 座標值 真實世界 W 值 支付完提領 額度的W 值 支付完提領 額度的X 值 上漲 A(2,0) 0.012026 4.325487 231.146006 197.812673 3.521306 A(1,1) 持平 B(2,0) 0.631035 2.325487 156.922372 123.589 1.092382 下跌 C(2,0) 0.356939 0.325487 106.532798 73.19947 -1.612372 上漲 C(2,0) 0.322171 0.325487 106.532798 73.19947 -1.612372 B(1,1) 持平 D(2,0) 0.658367 -1.674513 72.323895 38.99056 -4.864999 下跌 E(2,0) 0.019462 -3.674513 49.099862 15.76653 -9.540621 上漲 D(2,0) 0.015558 -1.674513 72.323895 38.99056 -4.864999 C(1,1) 持平 E(2,0) 0.64528 -3.674513 49.099862 15.76653 -9.540621 下跌 F(2,0) 0.339162 -5.674513 33.333333 Default R(1,0)柱子上的點利率上漲後連接到 R(2,1)柱子上點的對應機率以及值如下： 柱子上點 代號 機率 X 座標值 真實世界 W 值 支付完提領 額度的W 值 支付完提領 額度的X 值 上漲 A(2,1) 0.234964 2.772701 156.922372 123.589 1.539596 A(1,0) 持平 B(2,1) 0.715585 0.772701 106.532798 73.19947 -1.165158 下跌 C(2,1) 0.049451 -1.227299 72.323895 38.99056 -4.417786 上漲 B(2,1) 0.055489 0.772701 106.532798 73.19947 -1.165158 B(1,0) 持平 C(2,1) 0.722156 -1.227299 72.323895 38.99056 -4.417786 下跌 D(2,1) 0.222355 -3.227299 49.099862 15.76653 -9.093407 上漲 D(2,1) 0.249798 -3.227299 49.099862 15.76653 -9.093407 C(1,0) 持平 E(2,1) 0.707225 -5.227299 33.333333 Default 下跌 F(2,1) 0.042977 -7.227299 22.629618 Default
R(1,0)柱子上的點利率持平後連接到 R(2,0)柱子上點的對應機率以及值如下： 柱子上點 代號 機率 X 座標值 真實世界 W 值 支付完提領 額度的W 值 支付完提領 額度的X 值 上漲 B(2,0) 0.413249 2.772701 156.922372 123.589 1.092382 A(1,0) 持平 C(2,0) 0.582622 0.772701 106.532798 73.19947 -1.612372 下跌 D(2,0) 0.00413 -1.674513 72.323895 38.99056 -4.864999 上漲 C(2,0) 0.15498 0.325487 106.532798 73.19947 -1.612372 B(1,0) 持平 D(2,0) 0.74678 -1.674513 72.323895 38.99056 -4.864999 下跌 E(2,0) 0.098239 -3.674513 49.099862 15.76653 -9.540621 上漲 E(2,0) 0.432848 -3.674513 49.099862 15.76653 -9.540621 C(1,0) 持平 F(2,0) 0.564732 -5.674513 33.333333 Default 下跌 G(2,0) 0.00242 -7.674513 22.629618 Default R(1,0)柱子上的點利率下跌後連接到 R(2,-1)柱子上點的對應機率以及值如下： 柱子上點 代號 機率 X 座標值 真實世界 W 值 支付完提領 額度的W 值 支付完提領 額度的X 值 上漲 A(2,-1) 0.008808 3.878273 231.146006 197.812673 3.074092 A(1,0) 持平 B(2,-1) 0.61511 1.878273 156.922372 123.589 0.645169 下跌 C(2,-1) 0.376082 -0.121727 106.532798 73.19947 -2.059585 上漲 C(2,-1) 0.304471 -0.121727 106.532798 73.19947 -2.059585 B(1,0) 持平 D(2,-1) 0.671405 -2.121727 72.323895 38.99056 -5.312213 下跌 E(2,-1) 0.024124 -3.227299 49.099862 15.76653 -9.987834 上漲 D(2,-1) 0.011863 -2.121727 72.323895 38.99056 -5.312213 C(1,0) 持平 E(2,-1) 0.630308 -4.121727 49.099862 15.76653 -9.987834 下跌 F(2,-1) 0.357829 -6.121727 33.333333 Default R(1,-1)柱子上的點利率上漲後連接到 R(2,0)柱子上點的對應機率以及值如下： 柱子上點 機率 X 座標值 真實世界 支付完提領 支付完提領
代號 W 值 額度的W 值 額度的 X 值 上漲 B(2,0) 0.219885 2.325487 156.922372 123.589 1.092382 A(1,-1) 持平 C(2,0) 0.723382 0.325487 106.532798 73.19947 -1.612372 下跌 D(2,0) 0.056733 -1.674513 72.323895 38.99056 -4.864999 上漲 C(2,0) 0.04829 0.325487 106.532798 73.19947 -1.612372 B(1,-1) 持平 D(2,0) 0.714193 -1.674513 72.323895 38.99056 -4.864999 下跌 E(2,0) 0.237516 -3.674513 49.099862 15.76653 -9.540621 上漲 E(2,0) 0.234243 -3.674513 49.099862 15.76653 -9.540621 C(1,-1) 持平 F(2,0) 0.715974 -5.674513 33.333333 Default 下跌 G(2,0) 0.049783 -7.674513 22.629618 Default R(1,-1)柱子上的點利率持平後連接到 R(2,-1)柱子上點的對應機率以及值如下： 柱子上點 真實世界 支付完提領 支付完提領 代號 機率 X 座標值 W 值 額度的W 值 額度的 X 值 上漲 B(2,-1) 0.39317 1.878273 156.922372 123.589 0.645169 A(1,-1) 持平 C(2,-1) 0.600418 -0.121727 106.532798 73.19947 -2.059585 下跌 D(2,-1) 0.006412 -2.121727 72.323895 38.99056 -5.312213 上漲 C(2,-1) 0.142781 -0.121727 106.532798 73.19947 -2.059585 B(1,-1) 持平 D(2,-1) 0.748818 -2.121727 72.323895 38.99056 -5.312213 下跌 E(2,-1) 0.108401 -4.121727 49.099862 15.76653 -9.987834 上漲 E(2,-1) 0.412293 -4.121727 49.099862 15.76653 -9.987834 C(1,-1) 持平 F(2,-1) 0.583481 -6.121727 33.333333 Default 下跌 G(2,-1) 0.004226 -8.121727 22.629618 Default R(1,-1)柱子上的點利率下跌後連接到 R(2,-2)柱子上點的對應機率以及值如下： 柱子上點 代號 機率 X 座標值 真實世界 W 值 支付完提領 額度的W 值 支付完提領 額度的X 值 上漲 A(2,-2) 0.00609 3.43106 231.146006 197.812673 2.626878 A(1,-1) 持平 B(2,-2) 0.598185 1.43106 156.922372 123.589 0.197955 下跌 C(2,-2) 0.395725 -0.56894 106.532798 73.19947 -2.506799 上漲 C(2,-2) 0.287272 -0.56894 106.532798 73.19947 -2.506799
B(1,-1) 持平 D(2,-2) 0.683443 -2.56894 72.323895 38.99056 -5.759426 下跌 E(2,-2) 0.029285 -4.56894 49.099862 15.76653 -10.435048 上漲 D(2,-2) 0.008669 -2.56894 72.323895 38.99056 -5.759426 C(1,-1) 持平 E(2,-2) 0.614336 -4.56894 49.099862 15.76653 -10.435048 下跌 F(2,-2) 0.376995 -6.56894 33.333333 Default 因第二期之後資料量太多，故以上樹狀結構建構過程及節點資訊只節錄到前兩 期，透過此範例利率期間結構的設定以及公平保費α =0，所計算出來的帳戶價值 為106.244439，經由圖 3.9 可知必須透過 Bisection 的方法將公平保費α 調升，再 重複上述步驟，及能推算出近似的公平保費結果。
