建立未設站位置流量延時曲線推估模式

利 用 迴 歸 方 法 建 立 流 量 延 時 曲 線 (FDC)推 估 模 式 是 將 FDC區 域 化 之 基 本 統 計 方 法 。首 先 ，對 同 一 水 文 區域 內 之流 量 站 歷 史 記 錄 建 立流 量 延 時 曲 線 ； 其 次 ， 利用 迴 歸方 法 建 立 特 定 流 量 超越 機 率 值 與 環 境 特 性變 數 間 之 多 元 迴 歸 模 式 ；最 後 ，利 用 欲 推 估 位置 之 環 境 特 性 變 數 資料 反 推 其 特 定 流 量 超 越 機 率 值 。研 究 中應 用 三 種 不 同之 迴 歸方 法 ─ 多 元 線性 迴 歸方 法 、 主 成 分 迴歸 方 法及偏 最小平 方 迴歸方 法，比較 模式表現及模式參數的解釋能力，

獲 得 各 水 文 區域 較 佳之 流 量 延 時 曲線 推 估模 式 。 多 元 線性 迴 歸方 法 、 主 成 分 迴歸 方 法及偏最 小 平方迴 歸 方法均 以 Matlab編寫程式求解。

一 、 迴歸 方程式

未 設 站 位 置 之 流量 可透 過 建 立 有 設 站位 置 流 量 之 迴 歸 方 程式 加以 推 估 ， 如 下 式(Chiang et al., 2002a; Fennessey and Vogel, 1990; Wurbs, 2006)：

an

n a

a V V

V a

Q ₀ ₁¹  ₂² ... (7)

式 (7)中，V₁, V₂, ... V_n為所 選擇 環 境 特性變數，必須是 易於未設站位 置取得 之 資料；a₀, a₁, a₂, ..., a_n為 模 式參數；Q為研究對 象 之特定流 量統計數據，

例 如50年一遇之洪水 量(Bhaskar and O'Connor, 1989)、低流量統 計值 (Vezza et al., 2010)或 特定 流 量 超 越 機 率 值Q_p(Chiang et al., 2002b; Hope and Bart, 2012; Mohamoud, 2008; Shu and Ouarda, 2012)。

二 、 多元 線性迴歸方法

將 式 (7)進 行 對 數 轉 換 (logarithmically transform)以 進 行 標 準 多 元 線 性 迴 歸(multivariable linear regression, MLR)分析，如下式：

n

n V

a V

a V a V a a

Q ln ln ln ln ... ln

ln  ₀ _{1 1} _{2 2} _{3 3}  (8)

令 標準 化後之變 數ln 為 依變數 (a vector of dependent variables )Q Y， 標準化 後 之lnV₁, lnV₂, ... lnV_n為 解釋 變 數 (a matrix of explanatory variables)X，則線 性 迴歸 模 式表示 如下：

αX E

Y  (9)

式 (9)中，α 為模式參數(a vector of model parameters)，E為模 式殘差(a vector of model residuals)，藉 由 最 小 化 模 式 殘 差 之 平方和 (least square method)求解

α 。 本 研 究 以 地 文 因 子 為 解 釋 變 數 ， 特 定 流 量 超 越 機 率 值 Q_p則 作 為 推 估 FDC之依 變數 。

MLR之 解 釋 變 數 應 為 相 互 獨 立 (linearly independent)， 當 兩 個 或 多 個 解 釋 變 數間有強烈 之 線性相 關 時稱為 多重共 線 性 (multicollinearity)，變異數 膨 脹 係 數 (variance inflation factors, VIFs)可 用 於 檢 測 水 文 迴 歸 模 式 之 多 重 共 線 性 (Kroll and Song, 2013)。將每個解釋變數取出對其他變數進行MLR，利 用 迴歸 模 式之決定 係 數 (coefficient of determination, R²)計 算 膨脹 係數 (VIF)，

如 下式 ：

R2

-1

VIF  1 (10)

一般而言，VIF值大 於 10表示有嚴重之多重共線性問題，此時 對 應之決定係 數 (R²)為 大 於 0.9， 表 示 解 釋 變 數 與 其 他 變 數 有 高 度 相 關 。 如 果 多 重 共 線 性 存 在於 迴 歸模式 中，一般係 透 過逐步 迴 歸程序 (stepwise regression procedure) 選出具有解釋力之解釋變數 。

三 、 主成 分迴歸 方 法

當 解 釋 變 數 間 存 在 多重 共 線 性 ， 逐 步 迴歸程 序 雖 可 選 出 具 有解釋 力 之 解 釋 變 數 ， 然而 當 沒有 絕 對 之 信 心將 變 數 直 接 從 水 文 迴歸 模 式 中 移 除 時 ， 則 可採 用主成 分 迴 歸 (principle component regression, PCR)方法 。 PCR乃利

用 PCA原理，將原線性迴歸模式之解釋變數X進行分解，選取其中之主成分

來 進 行 多 元 線性 迴 歸。 令 原 變 數X經 線 性 轉換 得 新 變 數T (T AX)，T代 替 原變 數 進入式 (9)， 得到下式：

βT F

Y  (11)

式 (11)中，β 為新變數之模式參數，F為模式殘差，β 以最小化模式殘差之 平 方 和 求 解 。原 始 變數 之 模 式 參 數 再 透 過原 始 變 數 與 主成 分 間之 權 重 關 係 反 推 獲 得 。

四 、 偏最 小平方迴歸方法

在主 成分 迴歸 方法 中，只對解釋變數進行分解，然而，當依變數超過 1 個變數，且也存在 多 重 共線性時，可以對 其做同樣的分解處理 (Abudu et al., 2010)，在 分 解 過 程 中，需 同 時 考 慮 分 解矩 陣 間之 影 響，此 即偏 最 小 平 方 迴 歸 (partial least squares regression, PLSR)。 本研究假設特定流量超越 機率值 間，如Q_0.05 及Q_0.10，Q_0.10 及Q_0.15，... ，Q_0.90 及Q_0.95存在相關性，利用 PLSR建 立 迴 歸 模 式 ，可 簡 化 多 元 線 性 迴 歸方 法 或主 成 分 迴 歸 方法 中 逐一 對 特 定 流 量 超 越機 率值Q_p建立 推 估模式 之 繁複程 序。令原變 數X、Y線 性轉換之新 變 數T AX、U BY存在 內 部之 線性 關 係：

γT G

U  (12)

式 (12)中，γ為對角化矩陣，G 為模式殘差。因U BY (Y  UB^T)，故：

γTB H

Y ^T  (13)

式 (13)中 ，H為 新 矩 陣 之 模 式 殘 差 。X、Y於 確 保T、 U 共 變 異 數 最 大 化

(covariance maximization)之 原 則 下 進 行 分 解 ， 一 般 使 用 非 線 性 疊 代 淨 最 小 平 方 (nonlinear iterative partial least squares, NIPALS) 程序求 解 (Geladi and Kowalski, 1986)， 主 成 分 迴 歸 方 法 及 偏 最 小 平 方 迴 歸 方 法 之 主 成 分 數 選 擇 通 常 採用 留一交叉驗 證 法 (leave-one-out cross-validation procedure)，檢驗 採 用 不同 主 成分數 之預 測 殘差平 方 和 (prediction residual error sum of squares, PRESS)， 選 擇 具 有 最小 PRESS之主 成 分 (Geladi and Kowalski, 1986)。

五 、 模式 誤差 表 現

三 種 迴 歸 方 法 於 流量延 時 曲 線 推 估 之 模式表 現 採 用 留 一 交 叉驗證 法 之 納 許 效率 係數(Nash-Sutcliffe efficiency, NSE)(Nash and Sutcliffe, 1970)及絕 對 值相 對 誤差(absolute relative error)評估 。 NSE計算公式如下：