一、符號感評量方式的建議
1. 符號感評量方式以開放試題為佳，較能從學生作答反應中，分析其是否 具備符號感的各種向度。
2. 符號感試題的設計上，解題所需的數學概念應以學生學習過的概念為主，
避免學生因為沒學過相關概念而導致作答錯誤。
3. 評分以雙碼方式較佳，可透過雙碼同時得知學生的得分與作答方式或錯 誤類型。
二、對本研究的檢討
為了提供相關研究更客觀、詳細的資訊，以下提供幾點本研究有待改進之檢 討意見如下：
1.符號感構成要素
由於符號感相關文獻極少，研究者試圖從代數學習、數學教育、符號功能等 相關文獻，結合解題歷程探索符號感的可能構成要素，初步制定出符號感構成要 素架構表，尚需更多理論與實徵資料，以利逐漸形成更加完善之符號感構成要素 架構表。
2.本研究在試題設計上，有些試題雖具創意，但幾乎沒學生寫出正確答案，
因為此類試題對大部分學生而言可能過於困難，反而降低學生作答意願，無法從 作答反應看出是否具備符號感。
3. 符號感各向度下的子成分試題題數不均，有的子成分僅有一道題目，往 後符號感評量方式應平均增加各子成分試題，以利分析及探討資料。
4. 由於某子成分所選試題皆為九年級所學課程，需在學生學完此部分課程 後方能進行預試、修改試題、正式施測，時間十分緊迫，且越接近基本學力測驗，
學校教師與學生配合施測的意願越低，導致正式施測時的回收樣本反應不佳，進 而將施測對象改為高一學生。故在符號感題目設計上，若能平衡國中各年級所學 概念，便能同時針對七年級或八年級學生進行施測。
三、對未來研究的建議
1.為瞭解學生解題錯誤的因素，可設計與符號感試題所需之概念知識題作為 前測，以確保能掌握學生作答錯誤的原因是否是由於先備知識之不足，還是由於 欠缺符號感所導致。
2.在確保試題所需先備知識為學生學習過的情況下，可作不同年級學生的作 答反應比較，以分析不同年級學生的符號感表現是否有程度上的差異。
3. 相較於數感本身已有相當多的研究，符號感的研究正於此進行初步探索，
往後研究也許可同時對學生在數感與符號感表現上進行比較。
126
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132
附錄 1：「符號感測驗」 正式施測試卷
學校：__________ 班級：_________ 姓名：__________ □男 □女
【說明】以下題目請詳細寫下作答過程，並清楚說明你的想法或理由(字數不限)
1. 某家糕餅店慶祝新開幕，舉辦「套住一路發」活動：店家準備一張由數字 1~36 整齊排列海報(如圖一)，只要顧客能用規定矩形 圍住圖中任意八 個數(圖二為其中一種圍法)，使其和為 168，當日消費金額一律打 8 折。請 問此矩形所圍的八個數為何，才能使矩形內的數字和為 168?
註：矩形不能旋轉。
(圖一) (圖二)
★作答：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36
2. 若 m、n 兩數為整數，且2
n m
0，請回答以下問題：(1) m、n 是否皆為正整數?
(2) m 是否必為偶數?
(3) n 是否必為偶數?
(4)
m n
與m n
兩數，哪個數比較大?★作答：
3. 由右表可得知當
x
5時，y 25
；當x
1時， 1
y
…。請觀察表格中 x 與 y 的數值，寫出符合此表格 x 與 y 的關 係式?
★作答：
x y
－5 －25
－1 －1 2 －4 3 －9 20 －400
134
4. A(1 , 1)、P(a , b)、Q(m , n )為直角坐標平面上的三個點，其中 a , b , m , n 為 有理數。已知
a
2 b
2
3、( a 1 )
2 ( b 1 )
2 5
、m
2 n
2
7、9 ) 1 ( ) 1
( m
2 n
2
。請回答以下問題：(1)P 點到原點的距離為何? (2)Q 點到 A 點的距離為何?
★作答：
5. 已知(2
x
5)2
(
2x
5)
12
0，求 x 的解★作答：
6. 如右圖，有 A 型、B 型、C 型三種不同的紙板，其中
A 型：邊長為 π 公分 ( π 為圓周率 ) 的正方形，共有 6 塊；
B 型：長為 π 公分，寬為 1 公分的長方形，共有 17 塊；
C 型：邊長為 1 公分的正方形，共有 12 塊。
請問：
(1)上述 35 塊紙板的面積總和為?
(2)能否將上述 35 塊紙板緊密地拼成一個長方形?若能，
請問此長方形的長與寬分別為多少?
★作答：
7. 陳老師在黑板上出了一道數學問題：「 解方程式
4 1 2
2
4
x
x
」並問同學如何解題。小明舉手發言，回答：「因為
2 4
，所以這一題無解。」請問：
(1)請猜測小明回答
2 4
的理由為何?(2)你認為小明的回答正確嗎?若正確，請說明原因。若不正確，請提供其他 作法。
★作答：
136
8. 已知函數
f ( x ) 3 x 5
，當f ( a ) 3
時，a
?★作答：
9. 熱愛繪畫的小莫，創造一幅名為「星夜狂想」的畫作，
如右圖。已知圖中有圓形、三角形、正方形與七顆星星，
最靠近圓形的星星位於圓形正上方 2 公分處，其中圓形
、三角形、最靠近圓形的星星三點共線。若小莫想用函 數式描述星星的位置，以圓形為原點作一直角坐標平面，
其中圓形到正方形的方向為 x 軸正向，圓形到三角形的 方向為 y 軸正向，x 軸與 y 軸單位長皆取 1 公分，則下列 哪個函數式最能表示星星的位置?
★作答：
(A)
y 2 x
(B)y x 2
(C)
2 2 1
x
y
(D)y
(2x
)2
2 (E)2
2 1
2
x
y
(F)y x
2
2 (G)y
(x
2)2 (H) 1 2
y x
10. 已知
2 x y 24
與3 x y 9
為直角坐標平面上的兩直線，小寶想在直角坐 標平面上畫出此兩直線，下圖為小寶的部分計算過程：
請問
x
3與y 18
在此計算過程中所代表的意思為何?(A)
x
3表示此兩直線交點的 x 坐標；y 18
表示一條水平線。(B)
x
3為一條鉛直線；y 18
表示此兩直線交點的 y 坐標。(C)
x
3表示此兩直線交點的 x 坐標；y 18
表示此兩直線交點的 y 坐標。(D)
x
3為一條鉛直線；y 18
表示一條水平線。★作答：
11. 已知2
x
1 x
1
12，求 x 的解★作答：
138
12. 求 a 的一元二次方程式
xa
2 a z 0
的解，其中 x、z 為已知數且x
0。★作答：
13. 已知
x y 2 a
， 請問( )2 ( )2 ) )(( 2
a y a x
a y a x
＝?
★作答：
14. 將 2，3，4，5，6，7，8 這七個數字分別填入右圖格子 中，每個格子只能有一個數字，每個數字亦只能選一次。
請回答下列問題：
(1) 若某種填法如下：
請分別寫出上圖中各個田字形中四個數字的總和。
★作答：
(2) 欲使每個田字形四個格子中所填各數字和皆相等，
請問此和的最小值為何?
★作答：
3 7 4 6 5 8 2
140
79 其他
無作答 90 嘗試解題，但又塗掉或劃掉
91 直接表明不會寫，或是寫些與解題無關的東西。
99 空白
142
2. 若 m、n 兩數為整數，且
2 n m 0
，請回答以下問題：(1) m、n 是否皆為正整數?
(2) m 是否必為偶數?
(3) n 是否必為偶數?
(4)
m n
與m n
兩數，哪個數比較大?答案：(1)否 (2)是 (3)否 (4) 若 m=n=0，則
m n
與m n
一樣大。若 m 或 n 不等於 0，則
m n
比較大。編碼 作答情況
(1) 正確作答情況 20 代入數字為例作說明，並寫出正確答案。
21 用文字或代數符號說明。
例如：正負相加等於零；
n 0
時，m 0
；m 0
時，n 0
。 (1) 部份正確作答情況10 列出正確答案，未附有合理的解釋或推導。
(包含無法判斷的解釋或推導) 19 其他
(1) 不正確作答情況
70 無法從作答中分析出合理的解題策略與步驟。
71 僅列出錯誤答案，無任何作答過程或理由。
79 其他
(1) 無作答 90 嘗試解題，但又塗掉或劃掉
91 直接表明不會寫，或是寫些與解題無關的東西。
99 空白
編碼 作答情況
144
91 直接表明不會寫，或是寫些與解題無關的東西。
99 空白
編碼 作答情況
(4) 正確作答情況 20 以代入數字為例作說明，並寫出正確答案。
21 用文字或代數符號說明。
(4) 部份正確作答情況 10 列出正確答案，未附有合理的解釋或推導。
(包含無法判斷的解釋或推導)
11 將數字代入為例作說明，但僅列出部分正確答案。
例如：用數字代入說明
m n
比較大的理由，未說 m=n=0 時m n
與m n
一 樣大的情況。例如：用數字代入說明