研究一之研究流程，如圖 2-2-1。
圖 2-2-1 研究一之研究流程圖1
第參章 「研究一：符號感構成要素的建構」
之研究結果
第一節 文獻分析
本節將分別從學生從算術進入代數學習面臨的困難、符號相關理論、符號感 理論研究與代數洞察力四個主要方面進行文獻探討。
一、學生從算術進入代數所面臨的學業困難
由於符號感與代數符號有關，研究者想從瞭解學生學習代數時的困難，從學 生在困境的反應欠，反推符號感的可能成分。
Tall 與 Thomas(1991)認為自然語言的理解與代數的符號主義間有明顯不一 致的認知情況(Tall & Thomas, 1991)。亦有許多研究指出，多數學生從算術到符 號化的代數學習過程，常遇到許多困難與挫折(Herscovics & Linchevski, 1994；
Linchevski & Herscovics, 1996；Kieran,1992；Sfard, 1991)。
從研究者自身的教學經驗，亦發現許多學生在初步接觸代數課程時，容易對 符號感到陌生與不安。
若從我國課程面探討，小學數學強調數與量主題，重視學生的算術能力，多 處理已知數的問題。小學階段經過算術的訓練後，學生習慣於等號後求出一個答 案，例如問學生「1111?」學生會於等號後頭寫下 22 也就是111122。而 數的排列方式，也習慣將
2 3 視為1
2
3
1；234 視為兩百三十四。對於代數符號的 觀念，則習慣將代數符號視為某物品或其縮寫，例如公克的縮寫為 g，公斤的縮12 認知鴻溝(cognitive gap)情形有關 (Herscovics & Linchevski, 1994 ; Linchevski &
Herscovics, 1996)。
一些學者透過探索算術到代數的過程中，發現算術與代數間存在著程序性 (conceptual)與結構性(structual)運思的基本差異。概念的學習從程序性運思過度到 結構性運思，需要經歷一段歷程。首先在已熟悉的物件上形成新的過程，然後將 此過程簡化，忽略細部的操作，最後將概念形成一個實體。Sfard 將這樣的歷程 分為三個階段：內化(interiorization)、濃縮(condensation)與具體化(reification) (Sfard, 1991 ; Kieran, 1992)。
Steffe 等人(1989)則提出算術與代數解題活動差異在於：算術的解題活動是
阿拉伯數學家阿爾．花拉子模(Al-Khowarizmi)著作的書名(Hisab al-jabr w'al 數」三個階段。Sfard 與 Linchevski(1994)從歷史的演變，進一步整理出代數的發 展階段，如表 3-1-1。
Diophantus, 250AD
結構性 計算後的結果 (定值代數)
符號
(字母代表未知數)
Viete(1540-1603) ， 16 世紀，
函數 (函數代數)
符號
(字母代表未知數)
Viete, Leibniz (1646-1716),
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(二)等號概念
等號「＝」是數學裡極重要的符號，也是學生學習數學時常遇到的符號。
NCTM(2000)提出等號(＝)概念的重要性，認為加強學生對等號的理解，能加深 學生學習代數的基礎(引自 Samo, 2009 )。然而仍有許多學生不能理解等號的使用 是用來表示等價關係(Clement, 1982)。Seo 與 Grinsburg(2003)提出學生對於等號 有兩種理解方式：關係性(relational)與操作性(operational)。關係性是指能瞭解等 號兩邊是相等的；操作性是指認為等號是指產出結果(Seo & Ginsburg, 2003)。
學生算術的練習與解題經驗中，習慣於等號後得到一個答案或結果，容易將 等號視為操作性的概念，例如 7+2=9 或
6 10 60
。加上由左至右的閱讀與書寫 順序，易加深學生認為等號是作下一步動作(do something equal)的信號(Kieran, 1981；McNeil & Alibali, 2004)。當我們用10 4
□+5 為例，問學生□等於多少時，若將等號視為產生結果之功用，會以為□=14 或 19，缺乏等號代表兩邊等價的概 念。
但其實等號在算術中，不僅有操作性功用，也有關係性功用。Clement(1982) 提到有些學生不懂得使用等號來表示一個等價關係，例如
7 2 5 4
或30 2 10
6
。而在代數學習裡等號表示關係性的功用會更加突顯，也就是等號 為代表兩側等價關係的概念更是重要。例如2 x 3 6 x
，則是表達左式(2x
3) 與右式(6 x
)為等價的關係，並非要我們直接從2x 3
中的「＝」後求出答案 或做某些動作。Booth(1984)認為因為算術課程中等號的功用較強調找出答案，進而影響學 生對代數式結構的概念(引自謝孟珊, 2000)。所以學生在學習代數時，必須改變 他們對等號原有的信念，這種從算術到代數對等號意義的認知調整，便是一種調 適(accommodation)，而非同化(assimilation) (Mok, 2009)。
(三)數字與代數符號的使用差異
代數符號代表數在國中數學課程是由算術領域進入代數領域的重要橋樑，學 生對於代數符號的概念在代數學習上有很大的影響(謝宜玲、陳英娥，2003)。也 因算術與代數本質上所具備的差異，使得學生容易在學習代數時對於符號或關係 產生迷思概念。Booth(1988)認為學生由算術到代數的學習，就以下四個觀點可 看出差異：(1)在代數活動與答案的本質；(2)符號及規則的使用；(3)代數符號及 變數的意義；(4)關係的類別與學生所使用的方法。因此造成學生使用代數符號 解題過程中產生學習困難(Booth, 1988)。
而初次接觸代數的學生，容易抗拒答案或問題處理的結果有符號存在。例如，
代數新手知道 3+3 的答案寫為 6，卻不能理解
x y
可作為為答案的最後形式。當問到「x 的兩倍為何?」時，有些學生無法接受帶有未知符號的 2x 為最終答案。
Collis(1974, 1975)將這種情況稱為缺乏「接受封閉性不足(acceptance of lack of closure, ALC)」。學生接受封閉性不足的程度，能決定處理問題的複雜程度(Collis, 1974, 1975)。
Sfard(1991)認為學生透過學習的經驗，能逐漸建構對變數的理解，與視方程 式為可操作物體的能力。例如學生一開始接觸符號時，可能將 3+x 視為一個待解 的問題，得經過某些處理過程(processes)才能得到答案。而經過學習後能讓他能 逐步理解為 3+x 可作一個結果(objects)，並可用對此結果做某些操作或應用(Sfard, 1991)。
從概念改變觀點來看數與代數符號，代數裡代數符號的使用與學生對於數 (numbers)的先備知識產生不一致的情況。有些符號的錯誤使用，起因於學生傾 向使用算術裡數的知識(又尤其是自然數)來詮釋代數中的代數符號。例如多數學 生理解絕對值代表正數，知道5
5、
5
5，若將絕對值的問題寫成「對任意 實數 a，a 的絕對值記作 a 時，請問a
?」許多學生會寫出諸如a a
，這類的16
不完整答案。當呈現正確答案為「若
a 0
，a a
；若a 0
，a a
」時，仍 有許多學生無法理解「－a」就像是一個表示當 a 為負數時的正數符號(Christou, Vosniadou & Vamvakoussi, 2007) 。又多數學生對數(number)的解釋大多環繞於自然數的使用，Christou et al.
(2007)就型式(form)、標誌(sign)、符號表徵(symbolic representation)、順序-密度 (Ordering-Density)、單位(Relationship to the unit) 五個方面，比較自然數與代數 符號間的差異，如表 3-1-2 所述。
可從表 3-1-2 明顯看出算術裡常使用的自然數與代數所運用的代數符號間 的差異性。自然數中的每個數值有特定的表徵且皆為正數。自然數有其順序性，
如 1、2、3、4、5、……。任兩個連續自然數間不會再有自然數的存在，可知自 然數的最小單位為 1。然而代數裡所使用的代數符號其形式有多種，例如 a、b、
c、甲、乙、丙、x、y、z 等，並不是根據字母表的位置排序，也沒有如自然數 般的順序性。而每一個代數符號可能代表著正數或負數，所對應的數可以是一個 範圍，不同符號可能代表相同數值。且除非限定符號所代表的變數條件，否則變 數沒有最小單位(Christou et al., 2007)。
從這些研究中發現，學生在學習代數時，有許多因素是由於欠缺對符號的瞭 解(如變數、將符號或方程式視為可操作的物體…等)，使得在符號使用上感到困 難及學習代數時產生迷思。這些種種困難，也與學生的學習經驗與先備知識有關，
又尤其學生從小就接觸的算術課程，累積對數的經驗大大地影響代數中符號的使 用。
表 3-1-2 自然數(算術)與代數符號(代數)差異表 (Christou , Vosniadou &
Vamvakoussi, 2007)2
算術中的自然數 代數中的代數符號(變數) 型式(form) 1, 2, 3,…
a, b, x, y,…
標誌(sign) 正式出現的符號顯示為 正值(Actual sign)
現像型符號(Phenomenal
(relationship to the unit)
單位為最小的自然數 1。 除非指定變數為何，否則變 數沒有最小單位。
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二、符號相關理論
萊布尼茲(Leibniz, 1646-1716)說過「符號的巧妙和符號的藝術，是人們絕妙 的助手，因為它們讓思考工作得到簡約，以驚人的形式節省了思維。」符號系統 的出現讓數學得以蓬勃發展。而符號亦屬眾多表徵中的一種形式，人們運用各種 表徵溝通或傳遞知識。其中符號可算是最為抽象的一種表徵。
且人類在幼兒時期便已開始形成符號意識(symbol minded)，能體會用符號傳 達訊息及知識(DeLoache, 2004)。也因符號感的展現，與符號脫離不了太多關係，
故本節將從「表徵類型」、Skemp(1987)從數學學習觀點看待「符號的功用」，及 代數中的「代數符號概念發展」三個部份作探討。
(一)表徵類型
表徵是人與人之間互相溝通的來源，從數學解題過程中可發現，表徵的功能 可以記錄及連結實物與抽象的數學概念(林福來、黃敏晃，1993)。抽象的數學概 念，可透過有效的表徵幫助學生理解概念。
從認知學習的觀點，Bruner(1994)認為學習是運用認知結構(cognitive structure)，經由認知表徵(cognitive representation)獲得新知識。Bruner 將認知表 徵分為三種形式：動作表徵(enactive representation)、圖像表徵(iconic representation) 與符號表徵(symbolic representation)。對人類而言，動作表徵是求知的基礎，透 過具體實物與實際操作的活動學習，也就是靠動作來獲得知識；圖像表徵則指對 物體知覺留在記憶中的心像(mental image)，不需具體實物即可憑圖片或想像獲得 知識；符號表徵則指運用符號或語言文字為依據獲得知識(引自張春興，1994)。
由表徵為溝通媒介的觀點，Lesh、Post 與 Behr 修改 Lesh 於 1979 年提出的 五種外在表徵，重新提出以下五種數學學習表徵：真實情境(real scripts)表徵、操 作物(manipulative model)表徵、圖形(static picture)表徵、)語言表達(spoken
language)表徵、書寫符號(written symbols)表徵。其中書寫符號表徵是指常用的數 學式或符號系統等，例如
x y
10(引自胡惠茹，2009)。不論從認知或溝通觀點探討表徵，都可知道「符號」屬較高層次的表徵類型。
因為人們常常先以真實情境中的具體物作輔助，從具體操作中形成心像，再逐漸 轉換為抽象符號運思。學習上，若能熟練地進行符號運思，也較能以有效率的方 式將概念內化為個體知識。
(二)符號與數學
符號廣泛運用於生活上，人們可透過符號進行抽象思維。符號在數學領域裡 廣泛使用，更是必備且強大的工具。故游自達(1995)指出數學學習上，應讓學生 掌握符號系統，並作有意義的操作 (引自謝孟珊, 2000)。
符號在數學概念形成過程中扮演著許多重要角色，Skemp(1987)提出符號有 以下幾種功用，且這些功用彼此互有關聯，分述如下：
1. 溝通
概念是抽象的內心思維，看不到也摸不著。符號則是傳達概念的媒介，
看得到也可直接操作。假定一個符號在甲、乙兩個人心目中都代表一個相 同的概念，甲可將符號和概念的記憶傳遞給乙，使乙回憶起這個符號和概 念。當這樣的連結建立起來，實質概念就投射在此符號之上，符號與概念 兩者就被認知為一體，產生溝通的效應。然而若符號在兩人心中代表不同
看得到也可直接操作。假定一個符號在甲、乙兩個人心目中都代表一個相 同的概念，甲可將符號和概念的記憶傳遞給乙，使乙回憶起這個符號和概 念。當這樣的連結建立起來，實質概念就投射在此符號之上，符號與概念 兩者就被認知為一體，產生溝通的效應。然而若符號在兩人心中代表不同