國中階段符號感意涵與評量方式之探究

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(1)國立臺灣師範大學科學教育研究所碩士班碩士論文. 指導教授：譚克平博士. 國中階段符號感意涵與評量方式之探究 An investigation on the components of symbol sense and their assessment at the junior high school level. 研究生：林育萱. 中華民國 102 年 7 月.

(2) 中文摘要數字是算術的重要元素，符號則是代數的重要元素。代數是國中數學課程與教學不可或缺的重要主題，然而從研究者教學經驗發現，相較於數字計算等一般化算術，國中學生較不容易掌握代數符號。九年一貫課程綱要在數與量主題中提及應培養學生的數感，且數感在國內外已累積相當多研究。那麼代數主題裡是否也應培養學生具備「某種感」呢? 答案是肯定的。Arcavi(1994)指出，符號感為代數教學的重要一環(Arcavi, 1994)。雖然符號感漸漸開始受到重視，但符號感的相關研究仍十分稀少，國內更是尚未出現符號感的相關研究。因此本研究主要目的為分析符號感意涵，整理與開發出符號感構成要素，進一步設計適合國中階段的符號感評量方式。故本研究共有兩大部份：研究一透過文獻分析、小組討論、專家審查等內容流程，探索符號感意涵，進一步整理、開發符號感的可能構成要素。研究二則依據研究一所整理的符號感構成要素，設計適合國中階段的符號感試題，經過多次試寫、小範圍施測與訪談，最後請專家審查，逐步修正試題，最後於正式施測階段找 117 位學生進行測驗，分析學生的作答表現。從研究一結果將符號感分為三大向度，每個向度下有數個子成分，共七個子成分。從研究二的結果發現開放式問答題型較適用於符號感測驗，且學生作答表現可對比出明顯具備符號感與欠缺符號感的情形。並由此作答表現進一步呼應研究一所整理之符號感構成要素。. 關鍵字：符號感.

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(4) 英文摘要 Number is the important element of arithmetic, while symbol is of algebra. Algebra is a major project in junior-high-school math curriculum and instruction. However, from my own teaching experience, I found that it is more difficult for the junior high school students to master algebraic symbol than to master general arithmetic. Grade 1-9 Curriculum Guidelines tells that we should develop students’ number sense; also, there are a lot of studies concerning number sense whether foreign or native. Then, when it comes to algebra, should students be developed some sense? The answer is absolutely yes. Arcavi (1994) announced symbol sense is the principal key to algebraic instruction. Although we become to take focus on symbol sense, we still do much rare relative study, not to mention the internal study. Therefore, my major study propose is to analyze the meaning of symbol sense as well as sort and build the construction of symbol sense and moreover, to design a suitable symbol-sense assessment for junior high school students. There are two parts in my study. My first part is to inquiry the meaning of symbol sense by analyzing document, panel discussion, and experts’ investigation. My second part, depending on my first part, is to design a suitable symbol-sense assessment for junior high school students; through trying tests many times, testing within narrow range; and after experts’ investigation, I revised my tests step by step so that on the formal stage, I found 117 students to do my tests and analyzed their answering performance. From my first part, there are three major dimensions dividing symbol sense; each has several minor elements, and total seven minor elements. From my second part, I found that the open essay questions are proper to symbol-sense assessment, and they contrasted students who have symbol sense with those who do not. The students’.

(5) answering performance may also respond to the construction of symbol sense in my first part.. Keywords：symbol sense.

(6) 目錄第壹章緒論 .........................................................................1 第一節第二節第三節第四節. 研究動機................................................. 1 研究目的................................................. 4 名詞釋義................................................. 5 研究範圍與限制........................................... 6. 第貳章「研究一：符號感構成要素的建構」之目的與方法： ..............................................................................................7 第一節研究設計................................................. 7 第二節研究流程................................................ 10. 第參章「研究一：符號感構成要素的建構」之研究結果 . 11 第一節文獻分析................................................ 11 第二節符號感構成要素.......................................... 42. 第肆章「研究二：探索符號感評量方式」之目的與方法 . 60 第一節第二節第三節第四節第五節. 文獻探討................................................ 60 研究設計................................................ 67 研究對象................................................ 68 研究工具................................................ 70 研究流程................................................ 98. 第伍章「研究二：探索符號感評量方式」之資料分析..... 99 第一節使用向度之測驗表現..................................... 100 第二節意義向度之測驗表現..................................... 107 第三節結構向度之測驗表現..................................... 114. I.

(7) 第陸章結果討論與建議 ................................................... 120 第一節結果討論............................................... 120 第二節建議................................................... 124. 參考文獻 ........................................................................... 126 中文部分...................................................... 126 英文部分...................................................... 128. 附錄附錄 1：「符號感測驗」正式施測試卷 ................................................................ 132 附錄 2：評分規準 .................................................................................................... 140. II.

(8) 表次表 3-1-1 代數發展階段(參考自 Sfard & Linchevski, 1994)1 .................................. 13 表 3-1-2 自然數(算術)與代數符號(代數)差異表 (Christou , Vosniadou & Vamvakoussi, 2007)2 ................................................................................ 17 表 3-1-3 代數洞察力基本架構(參考自 Pierce & Stacey, 2001)3 ........................... 36 表 3-1-4 某數值表格 4 ............................................................................................. 41 表 3-2-1 較靈活與較不靈活解題者之象徵性解法 (Star & Seifert, 2005)5.......... 56 表 3-2-2 符號感構成要素架構表 6 ......................................................................... 59 表 4-1-1 各階段代數主題能力指標 23 ................................................................... 61 表 4-1-2 代數主題之分年細目表 24 ....................................................................... 64 表 4-4-1 符號感測驗試題架構 7 ............................................................................. 71 表 4-4-2 試題修改過程第 1 題 8 ......................................................................... 74 表 4-4-3 試題修改過程第 4 題 9 ......................................................................... 77 表 4-4-4 試題修改過程第 5 題 10 ....................................................................... 78 表 4-4-5 試題修改過程第 7 題 11 ....................................................................... 79 表 4-4-6 試題修改過程第 9 題 12 ....................................................................... 80 表 4-4-7 試題修改過程第 10 題 13 ..................................................................... 82 表 4-4-8 試題修改過程第 12 題 14 ..................................................................... 84 表 4-4-9 【第 1 題：試題編碼 U-1-1-2】評分規準 15.......................................... 86 表 4-4-10【第 4 題：試題編碼 M-1-3-1】評分規準 16 ......................................... 89 表 4-4-11【第 5 題：試題編碼 S-2-1-0】評分規準 17 .......................................... 91 表 4-4-12【第 12 題：試題編碼 M-3-1-2】評分規準 18 ....................................... 93 表 4-4-13 專家審核意見 19 ..................................................................................... 95 表 4-4-14 使用向度試題之題目與目標一致性係數 20 ......................................... 96 表 4-4-15 意義向度試題之題目與目標一致性係數 21 ......................................... 96 III.

(9) 表 4-4-16 結構向度試題之題目與目標一致性係數 22 ......................................... 96 表 5-0-1. 鑑別度的評鑑標準 (郭生玉，1988)25 .................................................. 99. 表 5-1-1 U-1 試題作答人數比例、鑑別度與難度 26 ........................................ 100 表 5-1-2 U-2 試題作答人數比例、鑑別度與難度 27 ........................................ 104 表 5-2-1 M-1 試題作答人數比例、鑑別度與難度 28........................................ 107 表 5-2-2 M-2 試題作答人數比例、鑑別度與難度 29........................................ 111 表 5-2-3 M-3 試題作答人數比例、鑑別度與難度 30........................................ 112 表 5-3-1 S-1 試題作答人數比例、鑑別度與難度 31 ......................................... 114 表 5-3-2 S-2 試題作答人數比例、鑑別度與難度 32 ......................................... 117. IV.

(10) 圖次圖 2-2-1 研究一之研究流程圖 1 .............................................................................. 10 圖 3-1-1 符號與概念對應關係圖 2 .......................................................................... 34 圖 3-1-2 符號感與代數洞察力的位置關係圖 (參考自 Pierce & Stacey, 2001)3 .. 35 圖 3-2-1 解題歷程之符號感的展現 4 ...................................................................... 43 圖 4-5-1 研究二之研究流程圖 5 .............................................................................. 98 圖 5-1-1 具備 U-1 之作答範例(第 1 題，評分編碼「20」) 6 ............................. 102 圖 5-1-2 具備 U-1 之作答範例(第 1 題，評分編碼「11」)7 ............................... 102 圖 5-1-3 欠缺 U-1 之作答範例(第 1 題，評分編碼「10」)8 .............................. 103 圖 5-1-4 具備 U-2 之作答範例(第 3 題，評分編碼「20」)9 .............................. 105 圖 5-1-5 具備 U-2 之作答範例(第 3 題，評分編碼「12」)10 ............................ 105 圖 5-1-6 欠缺 U-2 之作答範例(第 3 題，評分編碼「70」)11 ............................. 106 圖 5-2-1 具備 M-1 之作答範例(第 4 題，評分編碼「20」)12 ............................ 110 圖 5-2-2 欠缺 M-1 之作答範例(第 4 題，評分編碼「70」)13 ............................ 110 圖 5-2-3 具備 M-2 之作答範例(第 10 題，評分編碼「20」)14 .......................... 112 圖 5-2-4 具備 M-3 之作答範例(第 12 題，評分編碼「10」)15 .......................... 113 圖 5-3-1 具備 S-1 之作答範例(第 11 題，評分編碼「20」)16 ........................... 115 圖 5-3-2 欠缺 S-1 之作答範例(第 11 題，評分編碼「12」)17 ........................... 116 圖 5-3-3 欠缺 S-1 之作答範例(第 11 題，評分編碼「70」)18 ........................... 116 圖 5-3-4 具備 S-2 之作答範例 1(第 6 題，評分編碼「20」)19 .......................... 118 圖 5-3-5 具備 S-2 之作答範例 2(第 6 題，評分編碼「20」)20 .......................... 118 圖 5-3-6 具備 S-2 之作答範例 1(第 13 題，評分編碼「20」)21 ........................ 119 圖 5-3-7 具備 S-2 之作答範例 2(第 13 題，評分編碼「21」)22 ........................ 119 圖 5-3-8 欠缺 S-2 之作答範例(第 13 題，評分編碼「70」)23 ........................... 119. V.

(11) 第壹章緒論本章共分為四節，分別就研究動機、研究目的進行詳細說明，並針對本研究所使用的特定名詞加以界定與提出解釋，最後於第四節說明研究範圍與限制。. 第一節研究動機談到出色的音樂家，人們除了稱讚他們的努力，也不忘提到他們具有良好的「音感」。有些人會說多國語言，學習語言的能力很強，也通常會被形容為具「語感」的人。若從教育部國語辭典的定義來看，可知音感是指「對音色、音高等音樂現象的辨識能力」，語感則是指「對於語言文字之心理上的反應」。那麼數學領域中，是否也有某些重要元素，促使數學的學習呢?數學學習上，一些非正式的感覺，確實能幫助學習及問題推理(Arcavi, 1994)。從研究者的教學經驗可發現，相較於數的運算或數量比較，國中學生對於符號的使用與掌控，易顯得為陌生與不安。例如看到 (2 . 1 2 1 2  ) 與 (2 x  x  y ) 兩 2 3 2 3. 個式子，多數學生有把握求出第一個式子的答案，對於第二個帶有符號的式子，則多了一些不確定感。縱使學生後來在代數領域中漸漸習得代數的相關知識與概念，並熟練符號的基本操作，但在處理問題時，仍缺乏符號彈性運用的能力。從洪萬生(1996)引用某位國一學生檢討自己的數學學習心得，可發現學生對代數符號所感到的困擾：「我對數學有困難的是，不能容忍 x、y、z 是個數字，並算出一個答案，這是自己面臨到的一個困難，無法突破。」顯示出學生對代數符號的困擾(洪萬生， 1996)。若進一步探究學生對數字與符號感受的差異，也許與課程設計因素有關。從小學到國中，數學的首要目的是將小學算術精煉成為代數學 (蔡聰明，1995)。 1.

(12) 又從我國九年一貫課程綱要發現，國小與國中課程比較下，小學階段較強調「數與量」主題，課程目標亦提及「培養流暢的數字感」。國中階段則較強調「代數」主題。也因為學生從小即接觸數字，自然對數的運算較為熟悉，對符號的使用較為陌生。又「代數」在數學中是個相當重要的一個主題，往往各種問題常會使用代數方法解題，那麼課綱中所提到的「數與量」主題，需培養流暢的數字感，重要的「代數」主題，是否也該培養什麼樣的能力呢? 相較於數字是算術的重要元素，符號則是代數的重要元素。「數感(number sense)」在數學教育上很早就出現許多重要討論，「符號感(symbol sense)」議題亦漸漸開始受到重視( Bergsten, 1999) 根據美國國家研究協會（National Research Council, NRC）於 1989 年提出：「小學數學教育的主要目標應該要發展數感」(NRC, 1989)。黃毅英參考 NRC 所述，進一步提出中學數學應在於建立「符號感」(黃毅英, 1992)。中國教育部制定《全日義務教育數學課程標準(實驗稿)》亦明確提到須發展學生的數感、符號感。其中，Abraham Arcavi可說是符號感研究先驅，於1994年透過解代數問題時的行為表現，分析並整理符號感的可能成分，認為符號感是一種對符號有著複雜且多方面觀點的感覺，和一種能快速準確地給予符號評價、理解符號或對符號產生直覺的本能(Arcavi, 1994)。爾後提到符號感，及符號感相關研究，也多會提及 Arcavi所描述的符號感成分。且由於代數是國中數學裡相當重要的主題，符號的使用推動了數學與科學的發展，節省人們大量的思維時間，故培養符號感有其必要性與價值。Arcavi(1994) 認為符號感是代數教學的重要一環(Arcavi, 1994)。王宽明與何郁群(2010)明確指出符號感的重要性有以下四點：(1)展現事物數學結構的形式化特徵；(2)表達數量關係和解決數學問題的精確模式；(3)改變分析問題和解決問題的思維形式；(4) 促進學生良好的個性化思維(王宽明、何郁群，2010)。此外，科技的進步，讓我們省去繁瑣的計算，並得到精確的計算結果，因此，數學教育中更應強調某些能 2.

(13) 力，某些超越計算、記憶等制式化的能力。例如計算機的進步讓數學教育更加明瞭數感的重要性；而電腦代數系統(CAS)的發展，凸顯流暢地使用符號及符號感的重要性(Pierce & Stacey, 2001; Sutherland, 1999; Zehavi, 2004)。而現今各種代數主題方面的研究已經相當多，若能從另一個角度，探討學生對符號的感(sense)，相信對國中生學習代數主題有所助益。若教師能瞭解學生所具備之符號感程度，亦能進一步推測學生學習代數的困境。故本研究想從瞭解符號感之意涵，試著勾畫出符號感的構成要素，進一步從中開發適合的符號感評量方式。. 3.

(14) 第二節研究目的雖然國外已有少許文獻對符號感意涵及內容有所著墨，但基本上缺乏對符號感成分作較為全面性的整理，因此本研究的主要目的為透過對文獻分析，系統地整理符號感在國中階段應包含的成分。而本研究另一目的則是探討如何對所整理的符號感各子成分進行評量，透過研究小組的討論、學生的試寫、專家諮詢，嘗試對每一個子成分開發適合的試題，以供日後從事符號感相關研究的學者作參考。故本研究之主要研究目的如下：一、探討符號感構成要素。二、根據符號感構成要素，開發適合評量國中學生符號感的評量方式。並依上述兩個研究目的，將本研究分為兩部分進行，其中研究一主要的目的是透過深入地文獻探討以整理出符號感的成分。而研究二主要的目的是依據研究一的研究成果，研發一些可以評量符號感各子成分的題型，進行施測，以瞭解這些題目的表現。. 4.

(15) 第三節名詞釋義. 一、符號數學符號一般可分為「代數符號」、「運算符號」、「關係符號」(古逸軒，2009)。本研究中所提及之符號，是指代數符號，也就是用來代替數字運算的記號。記號形式不拘，可以是字母(x、y、z...)、文字(甲、乙…)或圖案(□、 △)。. 二、符號感本研究所指的符號感是指：解題歷程中對代數符號的感覺、體認及辨識能力。在問題處理過程中，解題者感知到符號所傳遞的訊息，進一步對符號作合適地處理，使能夠有效率解決問題。本研究將符號感畫分為「使用」、「意義」、「結構」三大向度，再依據各向度下細分為數個子成分，其內容將於本研究第貳章詳細說明。本研究「向度」一詞亦可稱作「成分」，兩者將交錯使用。. 三、符號式泛指包含代數符號的表示式，包含一般的代數式、函數式…等。由於代數符號亦屬於數學符號的一種，本研究者為凸顯代數符號在表示式中的角色與意義，故用「符號式」稱之。. 四、國中階段本研究所指國中階段為七年級到九年級所學之課程。. 5.

(16) 第四節研究範圍與限制由於國內尚未有符號感的相關研究，且國外關於符號感討論亦不多，本研究嘗試從少許文獻中，整理符號感成分、開發符號感的可能構成要素，以作為後續研究之參考與依據。符號感構成要素之各向度與子成分敘述將於第貳章與第參章詳細說明。此外，一個有符號感的人，尚須具備一定的知識與符號操作基本能力 (Naidoo, 2009；顧繼玲、張新華，2010)，故本研究設計之符號感試題，尚需考量學生的先備知識或已習得的數學概念，題目設計上以國中階段教授過的課程為主。符號感評量方式為初步發展階段，仍須不斷進行修改與施測。本研究設計的符號感試題以開放式問答題型為主要題型，少部份選擇題，正式施測前搭配深入訪談，從中觀察學生符號感的展現，以利試題的編製。但礙於符號感是比較新穎的研究領域，相關評量方式仍處與起步階段，加上研究時間有限，綜合各方面現實考量之下，本研究僅止於研發適用於評量符號感之題型，以供後續研究參考的依據。. 6.

(17) 第貳章「研究一：符號感構成要素的建構」之目的與方法：研究一主要目的是透過深入地文獻探討以整理出符號感的成分。研究方法以文獻分析法為主，透過小組討論、學生作答表現、專家審核等過程，試圖以解題歷程角度思索，整理與建構出符號感的構成要素。. 第一節研究設計 (一)文獻蒐集本研究在初步蒐集時，先從 Arcavi(1994) 「Symbol sense: Informal sense-making in formal mathematics」這篇符號感之經典文章開始閱讀，從中概略知道符號感一詞指代數領域中，泛指對代數符號的感覺(sense)。而此文章藉由解題時的行為表現，條例式地整理出七個符號感成分。接著我試著使用關鍵字「symbol sense」於 google 學術搜尋網站上進行文獻蒐集，發現 Arcavi 於 2005 年再次討論符號感，以「Developing and using symbol sense in mathematics」一文，將符號感組成成分濃縮為六個成分(將 1994 年的其中兩個成分合併為一個)。除了 Arcavi 為符號感研究之先驅，其他深入探討符號感的相關文獻相當地少，僅有少數文獻如 Bergsten(1999)、Kinzel(2001)、 Sharma(2000)、Pope 和 Sharma(2001)…等學者的文章標題具有 symbol sense 一詞。其中較特別的是，部分研究透過電腦代數系統(CAS)或數位化環境下的工具處理代數問題，從中討論符號感的重要性與特徵。如 Pierce 和 Stacey 提出「代數洞察力( algebraic insight)」，明確指出代數洞察力是符號感的子集。而 Bokhove 和 Drijvers 則將代數專長( algebraic expertise)分為基本技能(basic skills)與符號感. 7.

(18) (symbol sense)兩個向度。由於符號感本身文獻極少的情況下，我開始蒐集 Pierce 和 Stacey 所提到代數洞察力與 Bokhove 和 Drijvers 關於符號感研究之相關文章。然而在 google 學術搜尋網站上無法透過「符號感」一詞找到與符號感構成要素的相關文獻。於是我從其他資料庫找到中國大陸關於符號感的相關文獻，有許多文獻談論符號感的重要性，但多限於表面、攏統的敘述。其中，中國大陸教育部發表的數學課程標準有提及符號感(符號意識)一詞，描述符號感所應展現的特徵。在我國九年一貫課程綱要中的數與量主題，明確提及「培養流暢的數字感」，卻未於代數主題中提到符號感一詞，文獻蒐集過程中也沒有看到國內有任何關於符號感的相關研究。由於符號感一詞中所指的符號為代數符號，且符號感的相關研究也大多脫離不了學生處理代數問題時的行為表現，所以除了文獻蒐集初始階段以符號感文獻為主，文獻蒐集的中後期階段，我開始蒐集關於代數學習或數學學習方面的文獻為主，如 Kieran、Booth、Collis、Kuchemann、Sfard…等人的文獻，皆可發現學生在算術到代數的學習過程中遭遇困難，例如學生對等號概念的迷思，與文字符號使用的不恰當性。導致這些困難的主因又與學生對符號的理解程度有關，所以亦進一步搜尋關於數學符號的文獻，如 Skemp(1987)所敘述的符號功用、 Kuchemann(1981)提出學生詮釋文字符號的六種層次…等文獻。以上為文獻蒐集的過程與主要文獻蒐集之範疇，其餘文獻探討內容將於第參章報導。. (二)小組討論有鑑於探討符號感構成要素之文獻極少，多數對符號感的描述略顯模糊與攏統，研究者除了從文獻探討過程中分析符號感成分，配合每兩周一次的小組討論，透過彼此意見交流，逐漸勾勒出符號感各子成分。而小組成員除了指導教授與研究者外，尚有四位數學背景之研究生。. 8.

(19) 研究初期，研究者在小組中發表對符號感的瞭解。研究中期，研究者就各類文獻中，初步整理符號感構成要素可劃分於三個向度，試著細分各向度下的子成分。討論過程中大家從不同角度思索何謂符號感，就研究者每個研究階段所擬定的符號感成分進行批判與修改。並透過研究者或小組成員所提供之例題，模擬解題時的想法與可能出現的情況，探索符號感的構成要素，期待藉此發展一套具體且明確的符號感構成要素。. (三)學生作答表現符號感構成要素除了透過文獻分析，研究者以教學經驗猜測學生解題時的作答情形，從解題角度來思考符號感的可能成分。最後參考研究二之結果(學生作答表現) ，作為說明或修改符號感各子成分敘述之依據。. (四)專家審核由一位數學教育專長的大學數學系教授擔任專家審核本研究擬定之符號感構成要素。. 9.

(20) 第二節研究流程研究一之研究流程，如圖 2-2-1。. 圖 2-2-1 研究一之研究流程圖 1. 10.

(21) 第參章「研究一：符號感構成要素的建構」之研究結果第一節文獻分析本節將分別從學生從算術進入代數學習面臨的困難、符號相關理論、符號感理論研究與代數洞察力四個主要方面進行文獻探討。. 一、學生從算術進入代數所面臨的學業困難由於符號感與代數符號有關，研究者想從瞭解學生學習代數時的困難，從學生在困境的反應欠，反推符號感的可能成分。 Tall 與 Thomas(1991)認為自然語言的理解與代數的符號主義間有明顯不一致的認知情況(Tall & Thomas, 1991)。亦有許多研究指出，多數學生從算術到符號化的代數學習過程，常遇到許多困難與挫折(Herscovics & Linchevski, 1994； Linchevski & Herscovics, 1996；Kieran,1992；Sfard, 1991)。從研究者自身的教學經驗，亦發現許多學生在初步接觸代數課程時，容易對符號感到陌生與不安。若從我國課程面探討，小學數學強調數與量主題，重視學生的算術能力，多處理已知數的問題。小學階段經過算術的訓練後，學生習慣於等號後求出一個答案，例如問學生「 11 11  ?」學生會於等號後頭寫下 22 也就是 11  11  22 。而. 1 1 數的排列方式，也習慣將 3 視為 3  ；234 視為兩百三十四。對於代數符號的 2 2 觀念，則習慣將代數符號視為某物品或其縮寫，例如公克的縮寫為 g，公斤的縮寫為 kg。 11.

(22) 國中課程則因增加許多代數主題，在等號的使用上更加突顯出等價關係的概念。此外代數中所使用的代數符號可用來代表未知數，例如 g 可代表一個未知的數，「 10 g 」可能為 10 乘以 g，而不是 10 公克的意思。代數符號的表示與排列方. 1 1 1 式亦不同於數，例如 x 代表的是  x ，並非  x 。 2 2 2 學生容易在學習代數主題時遇到困難的原因，可能與算術與代數之間存在的認知鴻溝(cognitive gap)情形有關 (Herscovics & Linchevski, 1994 ; Linchevski & Herscovics, 1996)。一些學者透過探索算術到代數的過程中，發現算術與代數間存在著程序性 (conceptual)與結構性(structual)運思的基本差異。概念的學習從程序性運思過度到結構性運思，需要經歷一段歷程。首先在已熟悉的物件上形成新的過程，然後將此過程簡化，忽略細部的操作，最後將概念形成一個實體。Sfard 將這樣的歷程分為三個階段：內化(interiorization)、濃縮(condensation)與具體化(reification) (Sfard, 1991 ; Kieran, 1992)。 Steffe 等人(1989)則提出算術與代數解題活動差異在於：算術的解題活動是透過列式與施展一些活動，進而朝向解答的獲得，其中並不彰顯量之間的關係；代數的解題活動則強調發現與表示量的關係，藉由等量公理的運作，把一個關係式變為另一個關係式 (引自陳維民，2010) 。接著將簡單介紹「代數發展」，然後就「等號概念」在算術與代數主題間的差異，及「數字與代數符號的使用差異」上作探討。. (一)代數發展代數是從算術精煉而來的結晶，又稱為廣義算術(generalized arithmetic)或進階算術(advanced arithmetic)。相較於算術，代數顯得抽象許多。簡單來說，以符號代替數的解題方法就是代數(蔡聰明，1995)。「Algebra」一詞來自「al-jabr」之變形，原指「還原」(restoration)之意，由 12.

(23) 阿拉伯數學家阿爾．花拉子模(Al-Khowarizmi)著作的書名(Hisab al-jabr w'al muqabala)而來。但當時的代數不涉及符號法則(symbolism)，僅以文字描述。直到韋達(F. Vieta, 1540-1603)創立的符號法則，不僅出現代數方程的係數以文字符號表示，並利用符號(字母)代替數作運算，譬如 ax 2  bx  c  0 。韋達並嚴格區分算術與代數，認為算數只處理數目，而代數則更進一步處理事物的形式(洪萬生，1991，1996)。一般來說，代數的歷史發展，可區分為「文辭代數」、「簡字代數」、「符號代數」三個階段。Sfard 與 Linchevski(1994)從歷史的演變，進一步整理出代數的發展階段，如表 3-1-1。. 表 3-1-1 代數發展階段(參考自 Sfard & Linchevski, 1994)1 類型. 一般化算術. 階段. 焦點. 表徵. 歷史發展焦點. 操作性. 數的計算. 口語(言辭的). 萊茵德紙草書 ( Rhind papyrus) ， 1650BC. 口語+符號. Diophantus, 250AD. (簡記的) 結構性. 計算後的結果. 符號. Viete(1540-1603) ，. (定值代數). (字母代表未知數). 16 世紀，. 函數. 符號. Viete, Leibniz. (函數代數). (字母代表未知數). (1646-1716), Newton (1642-1727). 抽象代數. 操作性. 運用符號的過程. 符號(字母無意義). ，自 1830. (運算的結合) 結構性. 抽象結構. 英國形式學派. 符號. 19 世紀與 20 世紀：群、環、體…等理論，線性代數. 13.

(24) (二)等號概念等號「＝」是數學裡極重要的符號，也是學生學習數學時常遇到的符號。 NCTM(2000)提出等號(＝)概念的重要性，認為加強學生對等號的理解，能加深學生學習代數的基礎(引自 Samo, 2009 )。然而仍有許多學生不能理解等號的使用是用來表示等價關係(Clement, 1982)。Seo 與 Grinsburg(2003)提出學生對於等號有兩種理解方式：關係性(relational)與操作性(operational)。關係性是指能瞭解等號兩邊是相等的；操作性是指認為等號是指產出結果(Seo & Ginsburg, 2003)。學生算術的練習與解題經驗中，習慣於等號後得到一個答案或結果，容易將等號視為操作性的概念，例如 7+2=9 或 6 10  60 。加上由左至右的閱讀與書寫順序，易加深學生認為等號是作下一步動作(do something equal)的信號(Kieran, 1981；McNeil & Alibali, 2004)。當我們用 10  4  □+5 為例，問學生□等於多少時，若將等號視為產生結果之功用，會以為□=14 或 19，缺乏等號代表兩邊等價的概念。但其實等號在算術中，不僅有操作性功用，也有關係性功用。Clement(1982) 提到有些學生不懂得使用等號來表示一個等價關係，例如 7  2  5  4 或 6 10  2  30 。而在代數學習裡等號表示關係性的功用會更加突顯，也就是等號. 為代表兩側等價關係的概念更是重要。例如 2 x  3  6  x ，則是表達左式 (2 x  3) 與右式 (6  x) 為等價的關係，並非要我們直接從 2x  3  中的「＝」後求出答案或做某些動作。 Booth(1984)認為因為算術課程中等號的功用較強調找出答案，進而影響學生對代數式結構的概念(引自謝孟珊, 2000)。所以學生在學習代數時，必須改變他們對等號原有的信念，這種從算術到代數對等號意義的認知調整，便是一種調適(accommodation)，而非同化(assimilation) (Mok, 2009)。. 14.

(25) (三)數字與代數符號的使用差異代數符號代表數在國中數學課程是由算術領域進入代數領域的重要橋樑，學生對於代數符號的概念在代數學習上有很大的影響(謝宜玲、陳英娥，2003)。也因算術與代數本質上所具備的差異，使得學生容易在學習代數時對於符號或關係產生迷思概念。Booth(1988)認為學生由算術到代數的學習，就以下四個觀點可看出差異：(1)在代數活動與答案的本質；(2)符號及規則的使用；(3)代數符號及變數的意義；(4)關係的類別與學生所使用的方法。因此造成學生使用代數符號解題過程中產生學習困難(Booth, 1988)。而初次接觸代數的學生，容易抗拒答案或問題處理的結果有符號存在。例如，代數新手知道 3+3 的答案寫為 6，卻不能理解 x  y 可作為為答案的最後形式。當問到「x 的兩倍為何?」時，有些學生無法接受帶有未知符號的 2x 為最終答案。 Collis(1974, 1975)將這種情況稱為缺乏「接受封閉性不足(acceptance of lack of closure, ALC)」。學生接受封閉性不足的程度，能決定處理問題的複雜程度(Collis, 1974, 1975)。 Sfard(1991)認為學生透過學習的經驗，能逐漸建構對變數的理解，與視方程式為可操作物體的能力。例如學生一開始接觸符號時，可能將 3+x 視為一個待解的問題，得經過某些處理過程(processes)才能得到答案。而經過學習後能讓他能逐步理解為 3+x 可作一個結果(objects)，並可用對此結果做某些操作或應用(Sfard, 1991)。從概念改變觀點來看數與代數符號，代數裡代數符號的使用與學生對於數 (numbers)的先備知識產生不一致的情況。有些符號的錯誤使用，起因於學生傾向使用算術裡數的知識(又尤其是自然數)來詮釋代數中的代數符號。例如多數學生理解絕對值代表正數，知道 5  5 、  5  5 ，若將絕對值的問題寫成「對任意實數 a，a 的絕對值記作 a 時，請問 a  ? 」許多學生會寫出諸如 a  a ，這類的. 15.

(26) 不完整答案。當呈現正確答案為「若 a  0 ， a  a ；若 a  0 ， a  a 」時，仍有許多學生無法理解「－a」就像是一個表示當 a 為負數時的正數符號(Christou, Vosniadou & Vamvakoussi, 2007) 。又多數學生對數(number)的解釋大多環繞於自然數的使用，Christou et al. (2007)就型式(form)、標誌(sign)、符號表徵(symbolic representation)、順序-密度 (Ordering-Density)、單位(Relationship to the unit) 五個方面，比較自然數與代數符號間的差異，如表 3-1-2 所述。可從表 3-1-2 明顯看出算術裡常使用的自然數與代數所運用的代數符號間的差異性。自然數中的每個數值有特定的表徵且皆為正數。自然數有其順序性，如 1、2、3、4、5、……。任兩個連續自然數間不會再有自然數的存在，可知自然數的最小單位為 1。然而代數裡所使用的代數符號其形式有多種，例如 a、b、 c、甲、乙、丙、x、y、z 等，並不是根據字母表的位置排序，也沒有如自然數般的順序性。而每一個代數符號可能代表著正數或負數，所對應的數可以是一個範圍，不同符號可能代表相同數值。且除非限定符號所代表的變數條件，否則變數沒有最小單位(Christou et al., 2007)。從這些研究中發現，學生在學習代數時，有許多因素是由於欠缺對符號的瞭解(如變數、將符號或方程式視為可操作的物體…等)，使得在符號使用上感到困難及學習代數時產生迷思。這些種種困難，也與學生的學習經驗與先備知識有關，又尤其學生從小就接觸的算術課程，累積對數的經驗大大地影響代數中符號的使用。. 16.

(27) 表 3-1-2 自然數(算術)與代數符號(代數)差異表 (Christou , Vosniadou & Vamvakoussi, 2007)2 算術中的自然數. 代數中的代數符號(變數). 型式(form). 1, 2, 3,…. a, b, x, y,…. 標誌(sign). 正式出現的符號顯示為. 現像型符號(Phenomenal. 正值(Actual sign). sign). 符號表徵. 自然數中的每個數. 代數符號所對應的是一個. (symbolic. (number)有唯一的符號表. 實數範圍-也就是不同符號. representation). 徵-也就是不同符號對應. 可能代表相同數值. 於不同的數值順序-密度. 自然數的位置是根據數. 代數中所表示的代數符. (ordering-density). 數表(count list)的排序，有號，並不是根據字母表的位一定的順序性，且沒有任置排序。沒有甚麼是一定排. 單位. 何自然數在兩連續自然. 在某代數符號之前或之後. 數之間。. 的。. 單位為最小的自然數 1。. 除非指定變數為何，否則變數沒有最小單位。. (relationship to the unit). 17.

(28) 二、符號相關理論萊布尼茲(Leibniz, 1646-1716)說過「符號的巧妙和符號的藝術，是人們絕妙的助手，因為它們讓思考工作得到簡約，以驚人的形式節省了思維。」符號系統的出現讓數學得以蓬勃發展。而符號亦屬眾多表徵中的一種形式，人們運用各種表徵溝通或傳遞知識。其中符號可算是最為抽象的一種表徵。且人類在幼兒時期便已開始形成符號意識(symbol minded)，能體會用符號傳達訊息及知識(DeLoache, 2004)。也因符號感的展現，與符號脫離不了太多關係，故本節將從「表徵類型」、Skemp(1987)從數學學習觀點看待「符號的功用」，及代數中的「代數符號概念發展」三個部份作探討。. (一)表徵類型表徵是人與人之間互相溝通的來源，從數學解題過程中可發現，表徵的功能可以記錄及連結實物與抽象的數學概念(林福來、黃敏晃，1993)。抽象的數學概念，可透過有效的表徵幫助學生理解概念。從認知學習的觀點，Bruner(1994)認為學習是運用認知結構(cognitive structure)，經由認知表徵(cognitive representation)獲得新知識。Bruner 將認知表徵分為三種形式：動作表徵(enactive representation)、圖像表徵(iconic representation) 與符號表徵(symbolic representation)。對人類而言，動作表徵是求知的基礎，透過具體實物與實際操作的活動學習，也就是靠動作來獲得知識；圖像表徵則指對物體知覺留在記憶中的心像(mental image)，不需具體實物即可憑圖片或想像獲得知識；符號表徵則指運用符號或語言文字為依據獲得知識(引自張春興，1994)。由表徵為溝通媒介的觀點，Lesh、Post 與 Behr 修改 Lesh 於 1979 年提出的五種外在表徵，重新提出以下五種數學學習表徵：真實情境(real scripts)表徵、操作物(manipulative model)表徵、圖形(static picture)表徵、)語言表達(spoken 18.

(29) language)表徵、書寫符號(written symbols)表徵。其中書寫符號表徵是指常用的數學式或符號系統等，例如 x  y  10 (引自胡惠茹，2009)。不論從認知或溝通觀點探討表徵，都可知道「符號」屬較高層次的表徵類型。因為人們常常先以真實情境中的具體物作輔助，從具體操作中形成心像，再逐漸轉換為抽象符號運思。學習上，若能熟練地進行符號運思，也較能以有效率的方式將概念內化為個體知識。. (二)符號與數學符號廣泛運用於生活上，人們可透過符號進行抽象思維。符號在數學領域裡廣泛使用，更是必備且強大的工具。故游自達(1995)指出數學學習上，應讓學生掌握符號系統，並作有意義的操作 (引自謝孟珊, 2000)。符號在數學概念形成過程中扮演著許多重要角色，Skemp(1987)提出符號有以下幾種功用，且這些功用彼此互有關聯，分述如下：. 1.. 溝通概念是抽象的內心思維，看不到也摸不著。符號則是傳達概念的媒介，看得到也可直接操作。假定一個符號在甲、乙兩個人心目中都代表一個相同的概念，甲可將符號和概念的記憶傳遞給乙，使乙回憶起這個符號和概念。當這樣的連結建立起來，實質概念就投射在此符號之上，符號與概念兩者就被認知為一體，產生溝通的效應。然而若符號在兩人心中代表不同概念，則不能產生溝通。此外，符號與概念本身其實是兩件不同的事物。例如「7」、「seven」、「七」，都代表同一個數字概念，而符號「7」是阿拉伯數字，「seven」是英文字，「七」是中文字。端看要表達的是符號本身還是它所代表的概念。. 19.

(30) 2.. 記錄知識記錄也是一種溝通，利用符號將知識書寫下來，讓接收者方便於長期保留資料、避免遺忘或易於回顧，且記錄的知識可以配合自己同化的速度去閱讀。然而符號能否正確傳達所要表示的概念，則顯得相當重要。符號與概念的對應關係有以下幾種可能。如「一個符號僅對應於一個概念」，這是最能避免溝通時產生混淆的對應關係。然而實際生活中，符號與概念的對應關係卻不只是 1 對 1。可能因接受者的背景不同，而產生「一個符號對應於多種概念」的情況，此時應透過上下文的關係，使人掌握正確的概念。. 3.. 溝通新概念符號有助於概念的形成，而概念的形成可藉由例子中的共通不變性或共通相似性，供學習者經驗，再靠學習者抽象以形成概念。另一種溝通新概念的方法，則是連結新概念與學習者已知的相關概念。此外，概念的瞭解尚應包含學習者找尋適當例子的能力。因為人們在獲得某種能力後，必然地想要去使用它。例如理解某個符號所傳達的概念後，往後欲傳達此概念時，便懂得用此符號表示。. 4.. 使多重分類直接化利用許多不同方式或名稱對概念做分類。也就是使用不同的表徵方式，來突顯相同概念中所著重的不同特性。例如依照題目的題意，列出 ( x  1) 2  4 的方程式，學生亦可進一步寫成 x  1  2 或 x  1  2 ，使能夠更. 清楚知道變數 x 的解。 5.. 解釋解釋也是一種溝通，可以讓他人理解之前所不知道的事物，或澄清某些事物。. 6.. 促成反映活動這裡是指個人瞭解自己的概念內涵或心靈影像，瞭解彼此間的關係與結 20.

(31) 構，並能以不同方式加以操作。瞭解自己的概念內涵與使用符號表示概念的關係密不可分。符號雖然在我們觸知範圍內仍屬抽象的概念，卻遠比概念這看不見、摸不著的東西還具體。只要將概念與代表符號的聯結完成，符號就成了這個概念的標誌，供人們選取、操作。且透過符號讓與概念的聯結，讓人們更能深入瞭解反映的過程，增加思考的能力。 7.. 有助於顯示結構反映活動使我們瞭解自己的概念結構，便於進一步統整自己的概念結構。而利用簡潔的數學符號正可減輕思考系統的負擔。例如以下兩種作法： 2681. 兩千六百八十一. a 2  b 2  (a  b)(a  b). 兩數平方之差等於這兩數之和與這兩數之差之乘積. 8.. 使常規計算自動化概念發展的過程中，基礎概念或理論必須變得自動化，也就是當需要使用某概念結論時，心裡或動作表現可以自動浮現出結論，不需重新深入思考。常規計算自動化，能幫助我們將大部分注意力集中於解題活動上。數學上，自動化需完成將符號與其概念分離，並依照謹慎完整建立出來的規則習慣去處理這些符號這裡特別提醒，所謂常規計算自動化，並不是不在乎符號或運算的相關概念。一個能自動化處理符號與計算的人，有能力隨時說出處理方式的理由、符號的意義，還能依照問題要求改變符號的型式。. 9.. 回憶資料或理解符號能促使我們在自己的長期記憶中，選用適合的概念或心靈影像 (schema)，再放回心智結構中。此外，當我們理解符號的意義時，也較容易將符號記憶下來。數學裡常利用符號來幫助回憶資料或理解，有時會先回想符號，再回憶或推導其含意，故學習時必須同時理解概念與相關符號的 21.

(32) 關係。 10.. 一種創造性的心智活動創造活動前通常有一段長期思考的過程，思考時許多相關概念會一一出現在心中，以不同的觀點討論、重組，希望能解決問題。在這過程之中，利用符號的操作讓我們操控自己的概念。此外，若符號選取恰當，還能助於顯示新概念的結構，促使創作活動的進展。. 符號的強大功能讓人們以更有效率的方式處理問題，以系統的方式傳遞知識文化，促使人類文明發展，在數學世界裡更是不可或缺的元素。所以學習數學時，善用符號所帶來的力量，能藉以獲得更多知識與創造更多價值。. (三)代數符號概念發展代數與算術最大的不同，在於引用符號代表數。代數領域中的符號(這裡指字母)如同語言中的單字，代數式好比句子，每個單字都代表著一個意義(戴文寶、邱守榕，1999)，進而建構出一套符號系統。使用者必須掌握符號的概念與使用的共同約定，方能達成良好溝通。本節將介紹代數符號常見的分類與說明。 Quinlan(1992)認為代數主題中，代數符號(原文是用英文字母代表代數符號) 的理解，有其階層與順序性，如下所述：(1)代數符號被視為一個不帶意義的物體；(2)將代數符號視為一個數；(3)將代數符號視為不只一個數；(4)代數符號代表某一類的數，並能將代數符號視為此類中的一個數；(5) 代數符號代表某一類的數，能夠不把代數符號視為任何特定數 (引自 Bergsten, 2003) 。Bergsten(2003) 提出學校代數課程裡，使用代數符號(例如 x)的三種主要概念分別為：(1)代數符號為未知的定值；(2)代數符號是可代表任何數值的參數(parameter) ；(3)代數符號是變數，可以是自變數或依變數(Bergsten, 2003)。 Collis(1975)和 Kuchemann(1981)指出學生對代數符號(原文是用英文字母代. 22.

(33) 表代數符號)的詮釋有六種方式，依符號概念的層次，由低到高依序為： 1. 代數符號被某數值替代(letter evaluated)：學生一開始即將代數符號設定為一個數值。例如「當 x  5  15 時，x的值為何? 」學生藉由回憶 10  5  15 的事實來解題。 2.. 代數符號未被使用(letter not used)：將代數符號忽略不用，亦即代數符號存在，但未被賦予意義。例如「當 x  y  23 ，則 x  y  2  ?」學生不用考慮x或y的值，亦可求出答案為25。. 3.. 代數符號被視為物體(letter used as an object)：將代數符號視為一種對物體的簡記方式，或視為物體本身。例如以2a代表2個蘋果，5a代表5個蘋果，那麼「請問 2a  5a  ? 」學生可知解為7a，代表為7個蘋果。. 4.. 代數符號被視為特定未知數(letter used as a specific unknown)：認為代數符號是一個特定的未知數值，可直接對代數符號進行操作。例如「請問3 乘以 n  5 為?」儘管知道n是一個特定未知數，學生仍能直接對代數符號進行運算，求得解為 3n  15 。. 5.. 代數符號被視為一般數(letter used as a generalized number)：代數符號可代表許多數值，也就是有不只一個數值。例如「已知x,y為實數，當 x  y  10 且x小於y，x的值為何?」學生知道x不是一個特定數值，而是一. 個小於5的集合。 6.. 代數符號被視為變數(letter used as a variable)：學生將代數符號視為一個範圍內的非特定值，並瞭解變數會隨不同類的數值及運算關係而改變。例如「請問2x與 x  2 哪一個數較大?」學生有能力了解x的改變會影響此題的答案，也就是瞭解當 x  2 時， 2 x  x  2 。. 從許多研究中發現學生對符號有多種理解方式，學者將代數符號的理解程度依序劃分為許多階層，由此得知當學生初次接觸代數時，容易將符號視為一個特定數值或代表某物的記號，忽略符號可作為變數(variable)的重要概念(Collis, 1975；Booth, 1984；Stacey & MacGregor, 1997；Kuchemann, 1978 , 1981)。所以 23.

(34) 代數學習上，應先加強學生對於符號的理解能力，發展符號的直覺感，使能夠在接觸符號時，順利察覺到某些訊息，避免誤解代數符號所傳達的意義，從中獲得解題的進展。. 24.

(35) 三、符號感理論研究本節將說明符號感的發展，並介紹Arcavi於1994年與2005年提出符號感所具備的成分。. (一)符號感的發展國內外數感相關研究不勝枚舉，與數感相比，符號感的研究卻非常地少，對於符號感的定義與描述亦不多。Abraham Arcavi 算是符號感研究之先驅，於 1994 年透過解代數問題時的行為表現，分析並整理符號感所展現的特徵。認為符號感是一種對符號有著複雜且多方面觀點的感覺，和一種能快速準確地給予符號評價、理解符號或對符號產生直覺的本能(Arcavi, 1994)。爾後提到「符號感」，及關於符號感的研究，也多會提及 Arcavi 所述之符號感成分。而其實最早於 1990 年時，Fey 對符號感提出以下五點教學目標： 1. 有能力從代數式中大略判斷數字或圖像表徵所顯示的規律； 2. 有能力去比較不同的次方函數中的各種規則，如 n，n2，n3，…，nk…等形式的規則或數值大小……； 3. 有能力從數值表、圖形或口頭敘述的條件中，分辨最適合用來描述此規律模式的代數規則中的可能形式； 4. 有能力檢查代數運算過程、預測結果的形式；如同演算估計，檢查結果並判斷正確計算的可能性……； 5. 有能力從一些等價形式中，決定一個最適合解決某特定問題的形式… (引自 Arcavi, 1994)。除了 Fey 的教學目標與 Arcavi 對符號感的研究，亦有部分學者提出符號感一詞，如黃毅英 1992 年參考 NRC(1989)文獻，指出中學數學應在於建立「符號感」。認為符號感是瞭解符號代表從具體事物抽象出的概念，且在符號操作上具有一定的能力(黃毅英，1992)。Zorn(2002)認為符號感是指從符號中提取數學的. 25.

(36) 意義和結構，讓符號能有效率地代表某事物，並經由操作符號來發現新的數學意義與結構(Zorn, 2002) 。Bergsten(1999) 參考 Picciotto 與 Wah(1993)的論文，指出符號感是能夠欣賞符號思維所帶來的力量，知道何時及理解為什麼要用符號，並擁有對數學結構化的感覺(Bergsten, 1999)。符號感是指一種與代數相關的知識，這種知識是技術技能之外的。Pierce 和 Stacey 亦在 2001 年提到「代數洞察力 (algebraic Insight) 」，認為代數洞察力是符號感中的一部分，是符號感的子集。本研究將於後介紹何謂代數洞察力，及其中所隱含的符號感特徵。 Kinzel(2001)透過學生解題時的錯誤表現，探究符號感的意義，描述符號感所展現的特徵。提到符號感結合一種將情境代數化(algebratizing)的意識，和操作及詮釋符號的能力。而情境代數化的意識是指：能用代數式表達一個與數量相關的情境。其中使用代數式表達數量關係時，又通常需伴隨些許操作符號和詮釋符號的能力。Kinel 統整出流暢使用符號的人，應具備的能力如下：(1)辨別出哪些情境使用代數符號是有效的；(2)在物理或數學的情境裡，建構並操作代數式；(3) 讀懂(read through)符號所帶來的訊息，進一步分析符號背後的關係；(4)能掌握並應用對表徵的洞察力(representational insight)，就符號形式(notational forms)做詮釋及使用(Kinzel, 2001)。中國大陸教育部亦對符號感提出些許描述。2001 年出版的《全日義務教育數學課程標準(實驗稿)》，認為符號感主要表現在：能從具體情境中抽象出數量關係和變化規律，並用符號來表示；理解符號所代表的數量關係和變化規律；會進行符號間的轉換；能選擇適當的程序和方法解決用符號所表示的問題。2007 年在《全日義務教育數學課程標準(修改稿)》將符號感一詞修改為符號意識。指出在「數與代數」的教學中，應幫助學生建立符號意識，這種符號意識主要是指能夠理解並且運用符號代表數、數量關係和變化規律；知道使用符號可以進行一般性的運算和推理。認為建立符號意識有助於學生理解符號的使用，是數學表達和進行數學思考的重要形式(劉稀鳳，2009) 。 26.

(37) 史炳星與馬雲鵬則對《全日義務教育數學課程標準(實驗稿)》所敘述的符號感作詮釋。認為引進字母表示，是用符號表示數量關係和變化規律的基礎；而使用字母表示數，則是學習數學符號的重要關鍵(史炳星、馬雲鵬，2002) 針對符號感一詞，鄭毓信(2002)從「語感」、「方向感」、「美感」等類似詞彙作探討，認為這些詞彙都代表著一種相關的能力，並包含一種「直感」的涵義。特別是對於某些特定事物、現象或屬性等方面的敏感性，及相關的鑒賞能力。認為使用「符號感」一詞很難想像其真正的涵義，故提出「掌握數學語言」會比「發展符號感」更為恰當(鄭毓信，2002)。王兄(2007)從表象圖式的角度，來瞭解符號感及其發展，認為符號感是指對符號的感受和領域能力，對符號式時運用的理解以及對數學結構的感悟(王兄， 2007)。符號感是人對符號的意義和作用的理解，以及主動使用符號的意識和習慣。包括三層意思：(1)理解各種數學符號的意義，符號表示什麼意思，在什麼時候使用以及怎樣使用。(2)理解數學符號的作用與價值，為什麼使用符號，有哪些好處。(3)學習數學和應用數學時，在獨立思考和與人交流時能經常地、主動地，甚至是創造性地使用符號(李星雲，2007)。當學習者缺乏代數文字概念和基本的符號操作，則不具符號感。因為缺乏代數文字概念者會對文字賦予新的意義，易在某些任務中造成錯誤(Naidoo, 2009) 劉雲章（2006）認為教師必須講活抽象的數學符號，藉以發展學生的符號感。提出七點教學建議，其中一點為「重視對符號的語意分析」，說明須讓學生了解符號的涵義，讓代表概念的符號被賦予具體內容。且須能讓學生從符號中感知數學信息，理解符號的涵義（劉雲章，2006）。符號感教學應包括正確認識數學符號的涵義，也就是該符號表示什麼意思。 (王宽明、何郁群，2010) 顧繼玲與張新華(2010)基於本身的體會，概括符號感內涵為：符號感是人們對符號的意義、作用的理解，以及主動使用符號的意識。具體地來說，符號感應 27.

(38) 包括理解符號的意義，理解符號的作用，符號有什麼價值，以及能否主動是用符號、利用符號表示和符號運算解決實際問題。因此，符號感是以一定的知識和技能為基礎的主動應用符號的意識。並提出符號感的發展示一個漸進的過程，認為符號感可分為三個階段：(1)理解符號：理解符號表示的意義、價值與關係。(2) 掌握符號：能進行符號運算和符號間的轉換。(3)應用符號：利用符號表示及其運算解決問題(顧繼玲、張新華，2010)。然而不論是從 Fey 的教學目標或是其它學者對符號感的描述，雖然可知「符號感」一詞與代數主題相關，特別是指代數符號的直覺感所應具備的特徵，但多數學者對符號感的描述仍略顯攏統，並未對符號感本身作深入的研究與探討。使得符號感基本組成成分為何? 尚需要更多清楚明確的定義與釐清。. (二)Arcavi 所提的符號感縱使某些文章中，曾提及符號感的重要性，但大多輕描淡寫帶過，沒有對符號感本身作深入的探討與詳細的說明。直到 1994 年，Arcavi 開始觀察學生或老師解代數問題時的活動，從中分析解題時的行為表現，試著對符號感作詮釋，認為符號感是一種對符號有著複雜且多方面觀點的感覺，和一種能快速準確地給予符號評價、理解符號或對符號產生直覺的本能(Arcavi, 1994)。並藉由這些行為表現，整理出符號感的可能成分。2005 年 Arcavi 再次發表關於符號感的文章，說明符號感上有一些議題需要討論：(1)符號感特徵的發展尚不完備，需透過更多例子與理論基礎探究符號感的組成成分。(2)觀察與訪談數學程度好的學生之解題歷程，除了從中發現解題時的特徵，並進一步討論符號感是與生俱來還是後天培養而得的。(3)甚麼樣的基本知識是符號感所應具備的(Arcavi, 2005)。以下將介紹 Arcavi 於 1994 年「 Symbol sense: Informal sense-making in formal mathematics」文章中所提及符號感的七個成分，並輔以例子加以說明。(備註： Arcavi 於 2005 年的文章，將 1994 年的第一個和第二個成分合併為「Friendliness. 28.

(39) with symbols」，對其成分的描述仍以 1994 年的內容為主，故以下將以 Arcavi 1994 年提出的七個成分為主軸作說明). 1.瞭解符號並能體會符號的力量：知道何時使用符號，並知道如何使用符號將某些關係展現出來。文中用了幾個例題說明此特徵，其中一個是矩形問題：「有一個矩形，若增加某一邊長的 10%，減少另一邊長的 10%，此矩形面積會有甚麼樣的變化?」學生可能試著用不同方式找出此問題的答案。例如先假定此矩形的長為 100 公分，寬為 80 公分，面積為 8000 平方公分，再根據題目的要求，將長變為 110 公分，寬變為 72，面積則變為 7920 平方公分。打算試著用多個特定例子，推論出某些規律。故接著用不同長寬的矩形代入問題，從中觀察矩形面積的變化。學生在解一個不熟悉的問題時，最習慣使用實際數值代入問題裡，藉由數值的觀察推測某些規律，在研究者教學經驗中，這也是學生最常使用的方法之一。然而，若學生使用代數符號來處理此問題，能進一步探索出更多的規律與關係。例如直接將長與寬設為 a、b，原始面積為 ab，邊長改變後的矩形面積變為 0.99ab。懂得運用文字符號來處理問題，表達出某些關係或規律，而非使用特定數值代表某些特定情況。故 Arcavi 認為若能立即聯想到引用符號處理問題，便是符號感的展現。. 2.一種知道何時停止使用符號的感覺，轉而用其他讓問題有進展或更方便的解決方式。簡單來說，符號感能預先察覺到用符號解題將遇到困難的感覺。Arcavi 引用兩個例題說明：「試求 x  2  x  6 的解?」 29.

(40)  x2  y2  0 「當 a 值為何，可使方程組  有 0,1,2,3,4,5,6,7 或 8 個解?」 2 2 ( x  a)  y  1 以上兩題若直接使用代數符號的運算方式處理，會顯得複雜，若從符號表示式的概念、函數或直角坐標的概念來解題，會比單純操作代數符號的運算還來得適合。當解題者發現操作代數符號的技能，無法得到有效率且合理的答案時，能夠及時停止使用符號，轉而用其他方式來處理問題。故 Arcavi 認為除了懂得引用符號處理問題，適當地放棄符號操作，也是符號感的一種展現。. 3.操作符號和「讀」懂符號的能力。將符號視為工具，暫時忽略符號背後所代表的意義，讓符號在操作上作更有效率的處理。如同 Arcavi 引自 Whitehead(1911)提到「文明藉由延伸數字的操作得以進展，省去思考關於數字代表甚麼…」就像處理問題時，將帶有眾多訊息的物體(意義、形體、眾多文字量等訊息)，用符號作代表，純粹的操作符號會比操作物體本身有效率多了，處理問題的過程中也可減少受到過多訊息產生干擾，影響效率。換句話說，Arcavi 這裡所指的操作符號的能力，包含能夠分離符號與指示對象的關連，不去聯想符號背後所隱藏的關係或意義，使能流暢地操作符號，讓問題處理上更有效率。但 Arcavi 這裡所強調的操作符號的能力，更包含了瞭解符號背後所傳達的訊息，跳脫機械式的計算，使能夠靈活地操作與運用符號。然而在某些情況下，讀懂符號的意義，結合符號意義間的關係，才可用簡單快速的方式得到問題的答案，或使問題處理有大幅度的進展。Arcavi 用以下例題說明何謂符號感亦包含讀懂符號的意義。「求此方程式的解：. 2x  3  2」 4x  6. 多數熟練代數符號運算的人，會直接對符號進行操作，用等量公理求解得. 30.

(41) 3 3 3 3 x   。但 x   是一個錯誤答案，除了將 x   代回題目中驗算，發現 x   2 2 2 2 會使分母為零，又此題若觀察符號的意義與關係，能發現左邊整個分式應為. 1 (分 2. 母恰為分子的兩倍)，根本不等於右邊的數值 2，也就是此方程式根本無解。從上述例題及 Arcavi 對此成分之敘述，使研究者聯想到 Skemp 提及的符號功用之一：「符號可使常規計算自動化」。指出數學上的自動化，是將符號與其概念分離，並依照一套系新建立出來的規則習慣去處理這些符號。但 Skemp 特別強調這種慣例性工作的自動化處理，必須建立在理解符號的意義或相關概念之上。例如一個可以自動化處理符號的數學家，可以告訴你處理的理由、目的，及每個符號的含義，也能依照問題需求將符號的型式做改變(Skemp, 1987)。 Skemp(1987)提到符號的常規計算自動化需建立在理解符號的意義上，Arcavi 亦藉由例題告訴我們，符號感不僅是操作符號的能力，也必需懂得審視、檢驗符號，讀懂符號所傳達的意義及符號間的關係，才能增加答案的合理性及解題的效率。. 4.察覺語言或圖像資訊與符號間的關係，列出相對應的符號式，並有處理符號式的能力，使問題處理有所進展。 Dugdale & Kibbey 於 1986 年設計的電腦遊戲-Green Globs，是在直角坐標平面上展示一些隨機擺放的綠點，要求學生設計一個通過綠點(越多越好)的代數符號式。Arcavi 藉此例展現圖像與符號式連結的能力。以下將用 Pope & Sharma 參考 Arcavi 對符號感之敘述，進一步所作研究中所使用的例題來說明：「觀察右圖，找出 x 與 y 的關係式。」給予以下選項讓學生做選擇：. y  5x  3， y  x 2  3， y  3x 2， y  4 x 2  3 ，. 31.

(42) y  ( x  3) 2 ， y  2 x 2  3 ， y . 1 3 x. (Pope & Sharma, 2001)。 Arcavi 認為能將圖像轉換為符號式，截取圖像中 x 與 y 的關係，創造出完全符合或接近圖像路徑的符號式，是符號感的一個特徵。換句話說，為了某些目的將圖像或語言等表徵，轉換成符號表徵，並用符號列出關係式。. 5. 針對問題選擇合適的符號表徵之能力。當察覺選擇的符號表徵不夠滿意時，尋找另一個更適合的符號表徵用符號解決問題時，不論是從真實情境直接轉換為符號，或是著重圖像、語言等表徵轉換成相同意義的符號表徵，皆會先遇到的問題就是符號的選擇，及如何用符號表示。從 Arcavi 所舉的幾個例子當中，發現這裡所欲描述的符號感成分，應根據符號本身所代表意義或結構，在眾多可選擇的符號表徵中，針對問題選取較為適合的符號表徵(仍是符號表徵的範疇)，而不是強調不同表徵與符號表徵間的聯結或轉換。其中一例題為「選取一個奇數，將它平方後減掉 1，請問答案是甚麼樣的數字?」直接令奇數為 n，根據題意並稍做分解可列出 n 2  1  (n  1)(n  1) ，因為 n 為奇數， (n  1) 及 (n  1) 均為偶數，可得答案應為 4 的倍數。然而，若將奇數令為 2n-1，根據題意整理後可得 (2n  1) 2  1  ......  4n(n  1)  8[n . n 1 ] ，當中因為 2. n 與 (n  1) 為兩個連續整數，必有一數為奇數、一數為偶數，相乘必為 2 的倍數，進一步發現此答案不僅為 4 的倍數，能從中得到更多資訊發現答案可為 8 的倍數。文中還有一個例題讓變數在選取上顯得更加重要：「John 拿一張低於$100 元的支票到銀行兌現，行員將小數點以上的數和小數點以下的數搞混了(如支票上寫$19.45，卻付$45.19 給 John)，在花了$3.5 元後，發現他現有的錢為支票上寫 32.

(43) 的兩倍。請問這張支票原本應為多少? 」若將此支票上的金額直接設為一個變數符號(例如：令此支票金額原為 x)，會發現解不出來。將支票金額上每一個位數分別設為四個變數(例如：十位數為 x、個位數為 y、小數點以下第一位為 m、小數點以下第二位為 n)，計算過程則會過於複雜。若能發現將小數點以上的數與小數點以下的數分別設為兩個變數，題目便顯得容易處理。雖然從上述例子可知，有些時候符號的選擇具決定性的成果，然而表示問題的方式或符號的選取是有許多自由的，Arcavi 特別強調，雖然不能因為沒有選到最好的問題呈現方式或變數符號來說明缺乏符號感，但符號感應包含一種預感，也就是符號最佳選擇的預感。. 6.處理問題的過程中，明瞭隨時檢查符號意義的需要。能明白解決問題過程中，隨時檢查符號意義的必要性，將符號意義和自己的直覺或問題所預期的結果相比較。. 7. 察覺符號能在不同的上下文中扮演不同的角色 Skemp 說符號有溝通與記錄知識的功用，為避免溝通發生混淆，符號與概念的對應可能是一個對應一個，或一個符號對應於多個概念(如圖 2-3-1)。為避免溝通上發生混淆，最好使用一個符號時，就只讓它對應一個概念。當然在一般情況下，很難避免符號與概念一對多的情形，故便要從上下文(context)的描述中，了解傳達者使用得符號所欲傳達的概念(Skemp, 1987) 。Skemp 所提符號與概念的對應關係，強調上下文對於符號判別的重要性，如同 Arcavi 這裡所指的符號感成分。. 33.

(44) 符號. 概念. 圖 3-1-1 符號與概念對應關係圖 2. 以下為 Arcavi 用二元一次方程式與方程式在幾何上所代表的意義為例，說明此成分所表達的意思。「求兩直線 x  0 與 y  mx  b 的交點，其中 m、b 為常數。」利用解聯立方程式中的代入消去法，將 x  0 代入 y  mx  b 中，可得 y  b ，亦即此交點為(0 , b)。然而若從另一個角度來看，要找一條斜率為 0 的水平線，將 m  0 代入 y  mx  b，可得到 y  b 的水平線。雖然同樣是「 y  b 」這個符號，但在不同的情境與上下文，卻可能代表著不同的意義。換句話說，一個相同的符號，可能有著不同的意義，要根據上下文做判斷。反之，一個不同的符號，也可能在不同的情境或上下文中，代表著相同的意義。 Arcavi 認為符號感的展現，要能察覺符號在上下文中所代表的角色差異，並發展對這些差異的直覺感。. 34.

(45) 四、代數洞察力(Algebraic Insight) 計算機代數系統(Computer Algebra System，簡稱 CAS)是一種能進行符號運算的軟體統稱。可進行的符號運算如處理數學表示式的化簡、求值、展開、因式分解、方程式的求解……等。常見的軟體有 Mathematica、Maple、MATLAB…… 等。隨著各種計算機代數系統的發展與貢獻，科技讓代數計算變得更精準有效率，代數教學除了重視標準化地計算技巧，也應強調其他能力的培養。如教學應減少機械式的操作計算，加強學生的代數洞察力(Pierce & Stacey, 2001)。代數洞察力對於解題者是非常重要的，讓解題者在選擇解題策略及檢視自己處理問題的過程中，盡量避免錯誤(Pierce & Stacey, 2007)。此外，Pierce 與 Stacey 提到符號感顯現於一般處理問題的過程中，而代數洞察力顯現於將數學化問題找出數學化答案的過程之間，符號感與代數洞察力的位置關係如圖 3-1-2。認為代數洞察力是符號感中的一部分，也就是代數洞察力是符號感的子集(Pierce & Stacey, 2001)。故本研究者欲從了解代數洞察力的過程，探索符號感的可能構成要素。. 圖 3-1-2 符號感與代數洞察力的位置關係圖 (參考自 Pierce & Stacey, 2001)3. 35.

(46) 本節將介紹 Pierce 與 Stacey 所謂的代數洞察力。表 3-1-3 為代數洞察力之基本架構。. 表 3-1-3 代數洞察力基本架構(參考自 Pierce & Stacey, 2001)3 面向(Aspects). 元素(Elements). 1. 代數預期. 1.1 常規和基本性質的了解. (Algebraic expectation). 1.2 結構的辨識 1.3 辨識關鍵特性. 2. 表徵連結的能力. 2.1 符號表徵與圖像表徵的連結. (Ability to link representations). 2.2 符號表徵與數值表徵的連結. 36.

(47) (一)面向 1：代數期待(Algebraic expectation). 代數期待是指思考歷程中，對於代數的處理結果有某些預期想法。學生應該發展從表示式中看到線索、預測規律和對符號運算有所感覺(Pierce & Stacey, 2004)。若用算術中的估計法比喻代數期待，知 295 6880 大約為百萬位數，而看到 (2  x  x 2 )( x5  x3  27 x  63) 可預期這是一個七次多項式，或預期展開後 x 的最高次方為 7。代數期待不強調準確的計算，但重視表示式的常規(conventions)、結構性(structure)、關鍵特性(key features) (Pierce & Stacey, 2007) 。. 1.1 常規和基本性質的瞭解 (Recognition of conventions and basic properties) 文字(letters)在代數上的使用廣泛，常用文字符號代表數，但其意義仍有所不同。例如 y  ax 2  bx  c 中出現了許多文字符號，其中 a、b、c 代表參數，x 和 y 代表變數(Pierce & Stacey, 2001)。在數學語言的使用上，有許多符號的選定只是習慣或常規，像是習慣以 x 當自變數，y 當應變數；x 軸為水平軸，y 軸為垂直軸。除了習慣性常規，尚有其特定的基本性質。有些學生會因為看到某些符號，便直覺認定一切，忽略了符號本身的基本性質。我們可從以下 Pierce 和 Stacey 提的例子看出常規與基本性質的差異。例如 f ( y ) . y3 ，當中的 y 為自變數，而非應變數；而將此函數作圖時， 2y  3. 水平軸所代表的變數為 Y，亦非習慣上的變數 X。 (Pierce & Stacey, 2007) 。此外，常見的分配律 a(b  c)  ab  ac ，亦有許多學生容易錯誤套用於 (a  b)2  a 2  b2 (Pierce & Stacey, 2001)。. 而數學語言的表達方式亦有特定方式，符號書寫的位置通常有特別意涵，某些數學符號的書寫位置是二維方式，例如次方的書寫方式： a b ，其中 a 為底數， b 為指數。Pierce 和 Stacey 舉一個例子：將一杯咖啡拿到室外放置 t 分鐘後的溫 37.

(48) 度(℃)，用 T (t )  (100  12)e0.2t  12 表示。探究其中的「 e 0.2t 」，能知道與「 e  0.2t 」有著不同意義(Pierce & Stacey, 2007)。。由此可知數學符號書寫的位置與相對位置是很重要的，縱使使用一樣的符號，書寫位置不同，意義也就跟著不同。. 1.2 結構的辨識(Identification of structure) 表示式的編排可從各面向探究不同的結構。思考. a( x  1)5  b( x  1) 2 整體結構， ( x  1). 中間那條線將式子劃分為分子與分母。亦可將 ( x  1) 視為單一個體，是這個表示式中的共同項。或從 (2 x  1)2  3x(2 x  1) 中，一眼發現 (2 x  1) ，為此表示式中的一個因式，且能以括號整體看到 (2 x  1) 2  3x(2 x  5) 中的 (2 x  1) 與 (2 x  5) 的不同(Pierce & Stacey, 2001)。此外，創造多元的等價表示式，亦是看出結構的方法。若將上面所陳述的例子，T (t )  (100  12)e0.2t  12 重新排列為 T (t )  12  (100  12)e0.2t ，則是關注咖啡與室外溫度的差異，隨咖啡置於室外的時間指數倍地減少。此式用 (100-12)形式編寫，不用 88 取代，則欲藉由某些形式透露特定意涵(Pierce & Stacey, 2007)。. 1.3 辨識關鍵特性(Identification of key features) 閱讀報章雜誌或看書時，總容易在文章中看到某些明顯的特徵，進而了解文章中的大意。如標題、人或事物的名字、附圖的說明、偉人名言…等等，如同利用關鍵字中瞭解文章大意，來形容此元素所欲表達的意涵。辨識關鍵特性意指能從數學式中看到主要特徵、關鍵特性，進一步推得某些訊息或線索。「請問 x5  y 5 與 ( x 2  y 2 )( x  y)( x  y) 兩式是否相等」如果能看到兩式未知數的最高次方是不相等的，就可省去將式子做展開核對的過程。又如上面所陳述例子 T (t )  (100  12)e0.2t  12 ，可看到 T (0)  100，而不論過了幾分鐘(t)，咖啡的溫度都會比 100℃低，比 12℃高。以上都是藉由主要特徵或關鍵特性，看到某些訊息或線索的例子(Pierce & Stacey, 2001, 2007)。 38.