一、對教學的建議
1. 部分學生在建構圖形以進行臆測時會先從特殊化圖形開始臆測，但最後的 臆測結果可能會受限於特殊的例子，因此當學生嘗試進行幾何臆測題目 時，教師可鼓勵學生從多個例子觀察共通性，並比較不同例子產生的結 果。
2. 本研究發現當題目條件簡單時，學生容易在腦中建構圖形，但是因為相關 的數學性質不熟悉，導致無法正確的形成臆測，因此建議教師在教學時，
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能鼓勵學生實際將抽象的想法具體呈現，透過具體圖形的觀察或許更能有 效產生臆測想法。
3. 在本研究中發現學生在進行論證時易使用三角形的相似性質，因此建議在 國三相似與縮放的幾何證明活動中，教師也可以強調一般相似形的定義，
甚至鼓勵學生利用縮放進明論證。
4. 由高中組的工具使用結果發現，即使給予工具學生多使用工具進行題目資 訊的建構，因此建議教師在設計臆測探索活動時，可以設計更多指引鼓勵 學生使用工具進行臆測與驗證。
5. 部分學生會將工具呈現的臆測結果當作論證的依據，因此建議教師在使用 工具進行臆測與論證活動時，需讓學生了解到工具的使用只是輔助臆測結 果的呈現。
二、對未來研究的建議
1. 本研究這次提供紙本問卷讓學生作答，因此無法了解到學生進行臆測與論 證時的思維改變，因此建議未來的研究可以採用訪談的方式，更進一步分 析學生在進行此類活動的想法。
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參考文獻
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Mathematical Learning, 12(2), 135–156
Toulmin, S. (1958). The Uses of Argument. Cambridge: Cambridge University Press.
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68
第二部分 數學探索任務
1. 給定四邊形ABCD 及一定點 P，若 Q 為四邊形 ABCD 上的動點。R 在PQ̅̅̅̅上，
且QR̅̅̅̅ =2
3PQ̅̅̅̅。請問當 Q 點繞四邊形一周時，你覺得 R 點形成的軌跡為何？請在下方畫 出 R 點的位置，並說明理由。
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2. 試著在Geogebra 上畫出 P 點及四邊形 ABCD，接著在四邊形 ABCD 上標出一動點 Q，
並在PQ̅̅̅̅上找一點 R，使得QR̅̅̅̅ =2
3PQ̅̅̅̅。動動看，當 Q 在四邊形 ABCD 上移動時，R 點形 成的軌跡是什麼？請說明為什麼會形成這種軌跡圖形。
提示：
a. 從
https://goo.gl/b7BKDD
下載GGB_02_姓名 b. 會用到的Geogebra 工具：新點(第 2 個工具)：可在繪圖區製作點
四邊形(第 6 個工具)：依序選取 A、B、C、D 四點，形成四邊形 ABCD 邊點(第 3 個工具)： 點選四邊形 ABCD，產生動點 R，
使得R 可以繞四邊形 ABCD 移動
2/3 點(第 4 個工具)：先選 P，在選 Q，形成 R 點，使得QR̅̅̅̅ =2
3PQ̅̅̅̅
線段(第 5 個工具)：選取 P、Q 形成線段PQ̅̅̅̅
c. 完成後將檔案名稱改為「GGB_02_(你的名字)」ex.GGB_02_王 O 名，
最後上傳至上方網址
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3. 利用Geogebra 的軌跡工具及測量工具箱比比看，形成的軌跡圖形和四邊形 ABCD 有什 麼關係？是否符合你的猜測？請將你的答案寫在下方。
提示：
a. 複製GGB_02_姓名，更改檔名為「GGB_03_姓名」
b. 會用到的Geogebra 工具：
顯示軌跡(第 7 個工具)：先選 R 在選 Q，形成 R 點軌跡
或對 R 點按右鍵，點選「顯示移動軌跡」，拖動Q 點，顯示 R 點軌跡。
測量角度(第 8 個工具)：選取三點，測量角度
測量長度(第 9 個工具)：選取兩點，測量兩點間的距離；或是選取一線段，測量線 段長度
其他工具(第 10、11 個工具)：點選右下方的三角形，依據指示做出物件 c. 完成後將檔案上傳至
https://goo.gl/b7BKDD
4. 你是否想證明你的猜測是否正確？
□非常想 □一點點想 □沒有意見 □不太想 □完全不想
為什麼？＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
5. 如果必須要證明，你會用什麼方法證明？為什麼？
6. 請把你的證明寫下來
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第二部分 數學探索任務
1. 給定四邊形 ABCD 及一定點 P，若 Q 為四邊形 ABCD 上的動點。R 在PQ̅̅̅̅上，
且QR̅̅̅̅ =2
3PQ̅̅̅̅。請問當 Q 點繞四邊形一周時，你覺得 R 點形成的軌跡為何？請在下方畫出 R 點的位置，並說明理由。
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2. (1) 使用現有工具在紙上畫出 P 點及四邊形 ABCD，接著在四邊形 ABCD 上找一點 Q，
並在PQ̅̅̅̅線段上找一點 R，使得QR̅̅̅̅ =2
3PQ̅̅̅̅，此時 R 點在哪裡？
(2) 若在四邊形 ABCD 上找另一點 Q，按照上面同樣的作法，此時 R 點在哪裡？
(3) 重複(2)的動作多次，請問當 Q 繞四邊形 ABCD 一周時，R 點形成的軌跡為何？
請說明為什麼會形成這種軌跡圖形。
3. 利用現有工具量量看、比比看，新的圖形和一開始畫的圖形有什麼關係？
是否符合你的猜測？
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4. 你是否想證明你的猜測是否正確？
□非常想 □一點點想 □沒有意見 □不太想 □完全不想
為什麼？＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
＿＿
5. 如果必須要證明，你會用什麼方法證明？為什麼？
6. 請把你的證明寫下來
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附錄 三 大學組數位工具組臆測與論證作業單
數學探索作業單（G 版）
親愛的同學您好：
感謝您協助此次訪談問卷。
此問卷訪談為科技部計畫案的研究實驗，主要在分析中學生數學探索學習的特徵。
訪談結果純為學術研究之用，請盡可能回答訪談內容，再次謝謝您的合作。
國立臺灣師範大學數學系研究所數學教育組 研究指導教授：左台益 研究者：陳怡君
中華民國一零六年九月
第一部分 基本資料 1. 姓名：＿＿＿＿＿＿
2. 性別：□男 □女
3. 就讀學校：＿＿＿＿＿＿
4. 年級：＿＿＿＿＿＿ 組別：＿＿＿＿＿＿
5. 您認為自己在學校的數學程度為何？
□非常好 □好 □普通 □不好 □非常不好 6. 你認為自己對數學的學習態度為何？
□非常積極 □積極 □普通□不積極 □非常不積極 7. 你認為自己對數學的喜愛為何？
□非常有興趣 □有興趣 □普通 □沒有興趣 □完全沒有興趣
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第二部分 數學探索任務
1. 給定四邊形 ABCD 及兩定點 P、Q，若 R 為四邊形 ABCD 上的動點，請問當 R 點繞四邊 形一周時，你覺得△PQR 的重心形成的軌跡為何？請在下方畫出△PQR 的重心，並說明形 成軌跡的理由。
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2. 試著在 Geogebra 上畫出 P、Q 兩點及四邊形 ABCD，接著在四邊形 ABCD 上標出一動點 R，並畫出△PQR 的重心。動動看，當 R 在四邊形 ABCD 上移動時，△PQR 的重心形成 的軌跡是什麼？請說明為什麼會形成這種軌跡圖形。
3. 利用 Geogebra 的工具箱量量看、比比看，新的圖形和一開始畫的圖形的關係有什麼關 係？是否符合你的猜測？
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4. 你是否想證明你的猜測是否正確？
□非常想 □一點點想 □沒有意見 □不太想 □完全不想
為什麼？＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
5. 如果必須要證明，你會用什麼方法證明？為什麼？
6. 請把你的證明寫下來
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附錄 四 大學組實體工具組臆測與論證作業單
數學探索作業單（W 版）
親愛的同學您好：
感謝您協助此次訪談問卷。
此問卷訪談為科技部計畫案的研究實驗，主要在分析中學生數學探索學習的特徵。
訪談結果純為學術研究之用，請盡可能回答訪談內容，再次謝謝您的合作。
國立臺灣師範大學數學系研究所數學教育組 研究指導教授：左台益 研究者：陳怡君
中華民國一零六年九月
第一部分 基本資料 1. 姓名：＿＿＿＿＿＿
2. 性別：□男 □女
3. 就讀學校：＿＿＿＿＿＿
4. 年級：＿＿＿＿＿＿ 組別：＿＿＿＿＿＿
5. 您認為自己在學校的數學程度為何？
□非常好 □好 □普通 □不好 □非常不好 6. 你認為自己對數學的學習態度為何？
□非常積極 □積極 □普通 □不積極 □非常不積極 7. 你認為自己對數學的喜愛為何？
□非常有興趣 □有興趣 □普通 □沒有興趣 □完全沒有興趣
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第二部分 數學探索任務
1. 給定四邊形 ABCD 及兩定點 P、Q，若 R 為四邊形 ABCD 上的動點，請問當 R 點繞四邊 形一周時，你覺得△PQR 的重心形成的軌跡為何？請在下方畫出△PQR 的重心，並說明形 成軌跡的理由。
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2. (1) 使用現有工具在紙上畫出 P、Q 兩點及四邊形 ABCD，接著在四邊形 ABCD 上找一點 R，此時△PQR 的重心在哪裡？
(2) 若在四邊形 ABCD 上找另一點 R，△PQR 的重心又在哪裡？
(3) 重複(2)的動作多次，請問當 R 繞四邊形 ABCD 一周時，△PQR 的重心形成的軌跡為 何？請說明為什麼會形成這種軌跡圖形。
3. 利用現有工具量量看、比比看，新的圖形和一開始畫的圖形有什麼關係？
是否符合你的猜測？
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4. 你是否想證明你的猜測是否正確？
□非常想 □一點點想 □沒有意見 □不太想 □完全不想
為什麼？＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
5. 如果必須要證明，你會用什麼方法證明？為什麼？
6. 請把你的證明寫下來