第貳章、文獻探討
第一節、數學臆測與論證
一、 臆測與論證的意義
臆測（conjecture）指的是當面對未知問題時，個體依據當下的情況進行推 論以得到一個尚未驗證的想法；數學臆測（conjecturing）則是指個體在面對數 學問題時，提出合理臆測的過程。陳英娥、林福來（1998）在其研究中將此過 程分解，認為數學臆測為一個猜測、檢驗、相信、和反駁的遞迴過程；林碧珍
（2015）在其研究中則將數學臆測定義為在課堂中，學生自行建立資料、觀察 資料以尋求規律並提出猜想、檢驗猜想的正確性，到以不同的例子驗證猜想的 合理性的遞迴歷程。
經由臆測所產生的主張是個體根據當下情況所提出，其正確性尚需要經由 理論來證明。論證（argument）指的是一個體提出同意或是反對一個想法的理 由的過程，如Toulmin 的論證模型所示，個體要宣稱其主張的正確性，他必須 要提出相對應的論據支持或是根據其他例子以進行反駁，以數學論證來說，這 些論據可能為數學公設或是已經證實的數學理論。更進一步，林碧珍（2015）
將數學論證的定義放在數學臆測活動之中，認為數學論證在數學臆測的脈絡下 發生的，進行數學論證時所需的論據資料或是提出反駁所需的實例可由臆測時 資料的建構及檢驗產生。
綜合上述可知數學臆測可以說是個體面對一未知問題時，分析已知條件，
根據條件產生數學想法，並進行驗證或是駁斥的過程；論證則是需要個體在其 臆測的結果與已知條件或是顯示的資料中來回尋找支持的論據的過程。舉例來 說，以下為一軌跡探索的問題：
5 重組而形成現在公理化的結構。 Lakatos（1976）提出數學發現的模式中提到 數學知識的形成須經由猜測、檢驗、反駁、證明、修正的不斷地遞迴，才使猜 案，Manson et al.（1985）認為臆測發生於問題解決階段的進入（entry）與進擊
（attack）之間，並提出臆測的過程包含使猜想清晰（articulate a conjecture）、
檢查猜想（check a conjecture）、不要相信猜想（distrust the conjecture）和獲得 一種感覺（get sense of）四個循環階段。論證在臆測之後則是為了要取信自己 與取信他人，為了達成這目的學習者需要在資料與臆測結果之間尋找兩者的關 係與連結兩者的論據，並將之重新組織形成證明（Toulmin，1958），在這過程
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中學生須反覆的觀察與重整自己的思考脈絡，加強個人從證據討論問題與邏輯 推理的能力。
三、 臆測與論證形成的歷程
目前被廣泛使用的一個論證模式為Toulmin（1958）在「The Use of Argument」一書中發表的模型，此模型由六個元素組成，如下圖 2 - 1 所示，
形成的順序依使用者論證的方式有所不同。資料（Data）實驗觀察的數據或整 理過的資料，論證者可依據資料內容提出個人主張；主張（Claim）指的是一個 結論，在本研究中也就是對資料產生的臆測結果，是論述者希望說服他人的一 個敘述；論證者需在資料與主張間尋找論據（Warrant），使兩者之間產生有利 的連結，以便說服他人，因此論據內容可以是一個規則、定義；支持
（Backings）支撐著論據，提供比論據更強力的說明，因此內容為已經經過驗 證的定理；限制（Qualifiers）表示主張成立的限制條件；反駁（Rebuttal）駁斥 了主張，描述主張不會成立的條件。
圖 2 - 1 Toulmin 論證模型
近年來Toulmin 模式也被數學教育研究人員採用，與此模式類式的數學臆 測模式也被提出。林福來、陳英娥（1998）根據 Lakatos（1976）的數學發現探 索式思維模式和Mason（1985）的臆測循環過程圖提出一個數學臆測的思維模 式，其認為不論是數學家或是學生在進行臆測時，其思維會在猜測、反駁、檢 驗和相信之間進行有方向的思維循環，且此循環包含兩部分－表示精煉猜測的
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內循環及表示丟棄與重構猜想的外循環過程，如圖 2 - 2。
圖 2 - 2 林福來、陳英娥（1998）數學臆測思維模式
更細部的流程可以參照林碧珍（2015）和 DN Nguyen（2012），這兩種模 式主要是應用在課堂上與教學中。林碧珍認為數學臆測是在數學課堂中由學生 組織及建構資料，接著觀察資料發現其中關係並提出猜想，最後對猜想進行驗 證；而數學論證需發生在數學臆測活動中，學童會根據臆測過程中的資料產生 形成論述或檢驗論述的依據，進而將猜想一般化與證明一般化。DN Nguyen
（2012）則是在設計 HIS 論證教學系統時，歸類出臆測與證明過程中七個發展 階段，如表 2 - 1 所述，儘管每個階段在臆測與證明的過程中都有個別的作用，
但是學生在進行臆測與書寫證明時卻不一定會經過這七個過程，有時可能會產 生突然的靈光乍現，在經過教學實驗後發現，學生通常會花最多的時間在尋找 不變量、產生臆測、尋找論據及形成證明4 個階段，圖 2 - 3 為這四個階段如何 影響證明的過程。
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（Argumentation） 在此階段，學生需要收集並重組論據，以便形成證明。
Level 5 形成證明
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或是反駁臆測結果，在這三個過程中學生會不斷的修正臆測結果，並從中找到 證明臆測所需的論據，而後組織論據以成證明，最後才能更進一步的臆測的結 果。
圖 2 - 4 本研究歸納數學臆測與證明的歷程 四、 臆測、驗證與論證的類型
前段所述的學生進行臆測與論證的歷程可以看成是一個整體的歷程，然而 更精細的探討可以發現學生在進行臆測活動，所使用的方法與思維可能有些許 差異，不同的問題類型或是不同的程度差異可能導致不同的臆測方法與思維。
Cañadas et al.（2007）整理學生的臆測行為可以分為五種類型，每一種類型都有 各自的認知發展過程。
1. 有限例歸納（Empirical Induction from a Finite Number of Discrete Cases）：觀察有限數量的案例，從中做出歸納，形成猜想。
2. 動態例歸納（Empirical Induction from Dynamic Cases）：透過動態數學物 件的共同性質進行推測。
3. 類比（Analogy）：根據一個已知的事實或是理論進行推測，形成一臆測 的結果。
4. 溯因推理（Abduction）：從單一案例的觀察結果形成臆測，再回去檢驗 其造成的原因。
5. 知覺性臆測（Perceptually Based Conjecturing）：透過視覺或描述的方式 進行推測。
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同樣的，在臆測過程中學生也會有不同的驗證方式，這部分可以依據 Balacheff（1988）提出的驗證類型。其將學生的驗證形式分為兩大類，分別為 實務的驗證（pragmatic justification）和概念的驗證（conceptual justification），
從各類別又可細分出不同的證明類型。
實務的驗證為學生利用例子來作驗證的工作，且依據學生如何利用例子驗 證又可分為三個類型：
1. 單純的實驗（naïve empiricism）：只檢查少數例子，而且不會考慮一般 化。
2. 重要的實驗（crucial empiricism）：小心選擇例子作驗證。此時學生已 經了解必須要一般化，但還未考慮到全部的可能性。
3. 一般的例子（generic empiricism）：利用操弄或變換一些例子，使他們 可以代表整類圖形。因此驗證這些例子便是考慮到所有的可能性。
概念的驗證為學生利用推論來連結已知與結論，且依據學生是否有使用例 子輔助完成演繹驗證又可分為兩類：
1. 思考實驗（thought experiment）：學生能利用心像操弄圖形或利用文字 敘述來作完整的推理，也就是能從特例中內化並抽離出幾何性質的驗 證，此時例子只是用來輔助學生進行推論的程序。
2. 符號計算（symbolic calculations）：利用和變換以公式化的符號式子去 推論出結論。
最後證明的部分則與學生臆測和驗證的方式有關，如鄭勝鴻（2005）依據 各家學者提出的理論，將證明的類型先分為實驗操作類型、實驗與演繹之過度 類型，和演繹推理類型三大類，接著再將這三大類細分為五種證明類型，如圖 2 - 5。
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圖 2 - 5 鄭勝鴻（2005）五種學生證明類型
實驗操作類形式指學生經由實驗操作來驗證數學命題是否正確，並依學生 是否考慮到驗證的一般性，分為操作驗證和實驗歸納驗證：
1. 特例的操作類型：利用操作特例來驗證命題是否正確。當學生使用此 種證明類型時，表示他沒有考慮到證明需要一般性的推論。
2. 實驗歸納類型：利用操作多個例子來歸納驗證命題是否正確。當學生 使用此種證明類型時，表示該生有考慮到證明需要一般性的推論。
實驗與演繹之過度類型指學生在辯證中，夾雜實驗操作所得的幾何性質和 演繹推理的過程，此類行為錯誤的形式證明：
1. 不完備的推理證明：利用正式的數學語言或是非符號形式的數學語言 做出不正確、不完整或沒有符合邏輯的辯證。
演繹推理類型指學生利用已知的公設或以證明過的命題來證明將證的數學 命題，並依學生使用數學符號的多寡，分為描述型證明和正確的形式證明：
1. 描述型證明：雖然使用邏輯辯證，但是大部分論述是用文字敘述而較 少用符號形式。
2. 正確的形式證明：利用正式的數學語言做邏輯辯證。
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1. 知覺性理解（perceptual apprehension）：是個體辨識圖形的一種認知歷 程。個體辨識到圖形的組織法則與繪圖線索，能將圖形組織成一個整 體性的辨識。以知覺性理解方式產生的心像與實體圖像不同，其保留 了被整合過的法則與個人知覺，因此可能會有些錯誤。
2. 構圖式理解（sequential apprehension）：是個體建構圖形或描述圖形結 構的一種認知歷程。個體對圖形基本組織的理解並非依賴視覺，而是 構圖工具與數學性質的理解。在圖形理解的過程中，個體若不了解相 關的數學性質或是工具的限制，便無法理解圖形的概念，因此數學知 識與經驗是構圖性理解的關鍵。
3. 論述式理解（discursive apprehension）：是個體透過語言或文字來描述 一個圖形具有的性質或是進行推理的認知歷程。每個人對同一圖形幾
3. 論述式理解（discursive apprehension）：是個體透過語言或文字來描述 一個圖形具有的性質或是進行推理的認知歷程。每個人對同一圖形幾