數位與實體工具對學生幾何縮放作業臆測與論證的影響

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(1)國立臺灣師範大學理學院數學系(所) 碩士論文. Department of Mathematics College of Science. National Taiwan Normal University Master’s Thesis. 數位與實體工具對學生幾何縮放作業臆測與論證的影響. 陳怡君 Chen, I-Chun. 指導教授：左台益博士. 中華民國一Ｏ九年六月 June 2020.

(2) 謝辭感謝指導教授－左台益教授，從我剛進研究所時一路帶領，讓我在這四年從一開始的無知，藉由課程與論文指導，使我的論文研究逐漸進入正確的方向也讓我對數學教育有了更多的認識與想法。感謝我的口試委員－李源順教授與陳明璋教授，您們在繁忙之中抽空來給予我研究的建議與指引，使我的研究成果能更加完整。感謝研究室的夥伴們，當遇到問題時，大家一起加油打氣與互相討論，讓彼此都能進步。感謝家人，儘管你們不希望我唸研究所，但還是默默的在背後所給予的支持，讓我走自己想走的路。感謝靖坤，在這段期間是我很大的支柱，在我感到疲憊時聽我訴苦，在我感到困惑時給我適當的解答。最後感謝所有參與研究施測的學生與老師，因為有你們的協助，才有這些珍貴的研究資料，這份研究才得以順利完成。. I.

(3) 摘要本研究的目的在探討學生進行縮放與相似單元的臆測於論證活動時產生臆測的方式，及比較當學生被給予不同操作工具時，其臆測與論證的行為間的差異性。研究方法為量化與質性的混合模型，研究對象包含台北市 74 位剛從國中升上高中的高一學生及 64 位大學數學系的大一與大二學生。研究結果顯示： 1.在進行資料建構時，高中生易選擇熟悉的特殊化圖形建構例子，而大學生能夠考量到圖形的一般化。當學生使用特殊化圖形進行造例時，容易專注於圖形的樣貌，而忽略圖形的性質；使用一般化例子建構圖形時，則無法產生有效的臆測結果。 2.在進行臆測時，高中生會使用連續描點進行臆測，但卻無法形成有效的臆測；大學生在面對條件複雜的問題時，若選擇無結構描點進行臆測，則不易產生有效的臆測，然而若使用解析符號進行臆測或是關鍵位置描點進行臆測，則此易得到正確的臆測結果。 3.數位工具的使用不僅可以幫助學生在臆測時注意到圖形的樣貌，更能注意到圖形的性質，但是在進行論證時卻可能限制學生對證明的需求。 4.實體工具的使用主要在幫助學生驗證原先臆測的想法，對臆測結果的完整度修正幫助有限，但在進行論證時使用實體工具的學生更能注意到條件與臆測結果的連結而書寫證明。從以上結果，建議教師在未來設計臆測探索活動時，可以鼓勵學生觀察多個例子，並使用工具將其抽象的想法具體化，以利其有效產生臆測結果，在進行論證時鼓勵學生注意條件與臆測結果間的數學連結以書寫證明。關鍵字：臆測行為、縮放與相似論證、工具探索. II.

(4) 目次謝辭................................................................................................................................ I 摘要............................................................................................................................... II 目次.............................................................................................................................. III 表次............................................................................................................................... V 圖次............................................................................................................................ VII 第壹章、緒論................................................................................................................ 1 第一節、研究動機................................................................................................ 1 第二節、研究目的與問題.................................................................................... 3 第貳章、文獻探討........................................................................................................ 4 第一節、數學臆測與論證.................................................................................... 4 第二節、科技工具的使用與幾何論證.............................................................. 12 第三節、縮放與相似單元中的相關研究.......................................................... 16 第參章、研究方法...................................................................................................... 19 第一節、研究設計.............................................................................................. 19 第二節、研究對象.............................................................................................. 21 第三節、研究工具.............................................................................................. 22 第四節、資料蒐集與分析.................................................................................. 24 第五節、研究限制.............................................................................................. 29 第肆章、結果與討論.................................................................................................. 30 第一節、資料建構與臆測進行方式.................................................................. 30 第二節、工具的使用對臆測與論證的影響...................................................... 47 第伍章、結論與建議.................................................................................................. 60 第一節、結論...................................................................................................... 60 第二節、建議...................................................................................................... 62 III.

(5) 參考文獻...................................................................................................................... 64 附錄附錄一. 高中組數位工具組臆測與論證作業單............................................ 67. 附錄二. 高中組實體工具組臆測與論證作業單............................................ 71. 附錄三. 大學組數位工具組臆測與論證作業單............................................ 75. 附錄四. 大學組實體工具組臆測與論證作業單............................................ 79. IV.

(6) 表次表 2-1. DN Nguyen（2012）證明的發展階段 ....................................................... 8. 表 3-1. 實驗設計表 ................................................................................................ 19. 表 3-2. 實驗變相表 ................................................................................................ 20. 表 3-3. 研究選題 .................................................................................................... 22. 表 3-4. 高中版本任務設計 .................................................................................... 23. 表 3-5. 臆測與驗證分析架構表 ............................................................................ 26. 表 3-6. 尋找論證與證明分析架構表 .................................................................... 28. 表 4-1. 高中組圖形造例次數分配表 .................................................................... 31. 表 4-2. 高中組使用特殊四邊形造例，四邊形類別的次數分配表 .................... 31. 表 4-3. 高中組圖形造例對臆測方式的次數分配表 ............................................ 31. 表 4-4. 高中組圖形造例對形成初步臆測的影響 ................................................ 32. 表 4-5. 大學組圖形造例次數分配表 .................................................................... 33. 表 4-6. 大學組使用特殊四邊形造例，四邊形類別的次數分配表 .................... 33. 表 4-7. 大學組圖形造例對臆測觀察方式的次數分配表 .................................... 33. 表 4-8. 大學組圖形造例對形成初步臆測的影響的次數分配表 ........................ 34. 表 4-9. 高中組不變點位置次數分配表 ................................................................ 35. 表 4 - 10. 高中組不變點設置對臆測方式的次數分配表 ...................................... 36. 表 4 - 11. 高中組不變點位置對初步臆測結果的次數分配表 .............................. 36. 表 4 - 12. 大學組不變點位置次數分配表 .............................................................. 38. 表 4 - 13. 大學組不變點位置對臆測方式的次數分配表 ...................................... 38. 表 4 - 14. 大學組不變點位置對初步臆測結果的次數分配表 .............................. 39. 表 4 - 15. 高中組臆測方式次數分配表 .................................................................. 40. 表 4 - 16. 高中組臆測方式對初步臆測結果的次數分配表 .................................. 41. 表 4 - 17. 大學組臆測方式次數分配表 .................................................................. 42 V.

(7) 表 4 - 18. 大學組臆測方式對初步臆測結果的次數分配表 .................................. 42. 表 4 - 19. 高中組進行臆測時資料建構的類別 ...................................................... 44. 表 4 - 20. 大學組進行臆測時資料建構的類別 ...................................................... 45. 表 4 - 21. 高中組實驗組與對照組工具使用方式的次數分配表 .......................... 47. 表 4 - 25. 大學組實驗組與對照組工具使用方式的次數分配表 .......................... 48. 表 4 - 22. 高中組實驗組與對照組使用工具前的臆測結果次數分配表 .............. 50. 表 4 - 23. 高中組實驗組與對照組使用工具後的臆測結果次數分配表 .............. 50. 表 4 - 24. 高中組實驗組與對照組使用工具前後的臆測結果次數分配表 .......... 51. 表 4 - 26. 大學組實驗組與對照組使用工具前的臆測結果次數分配表 .............. 52. 表 4 - 27. 大學組實驗組與對照組使用工具後的臆測結果次數分配表 .............. 52. 表 4 - 28. 大學組實驗組與對照組使用工具前後的臆測結果次數分配表 .......... 53. 表 4 - 29. 高中組實驗組與對照組使用工具後臆測臆測敘述方式的次數分配表. .............................................................................................................................. 54 表 4 - 30. 大學組實驗組與對照組使用工具後臆測臆測敘述方式的次數分配表. .............................................................................................................................. 54 表 4 - 31. 高中組實驗組與對照組論據選擇的次數分配表 .................................. 55. 表 4 - 32. 大學組實驗組與對照組使用工具後論據選擇的次數分配表 .............. 56. 表 4 - 33. 高中組實驗組與對照組證明書寫類別的次數分配表 .......................... 57. 表 4 - 34. 大學組實驗組與對照組證明書寫類別的次數分配表 .......................... 59. VI.

(8) 圖次圖 2-1. Toulmin 論證模型 ........................................................................................ 6. 圖 2-2. 林福來、陳英娥（1998）數學臆測思維模式 .......................................... 7. 圖 2-3. 在證明發展階段中階段 2 到階段 5 的認知過程 ...................................... 8. 圖 2-4. 本研究歸納數學臆測與證明的歷程 .......................................................... 9. 圖 2-5. 鄭勝鴻（2005）五種學生證明類型 ........................................................ 11. 圖 2-6. Duval 的幾何認知歷程活動 ..................................................................... 13. 圖 2-7. Duval 的幾何認知歷程活動與工具的使用 ........................................... 14. 圖 2-8. 縮放尺示意圖 ............................................................................................ 17. 圖 3-1. 研究架構圖 ................................................................................................ 21. 圖 3-2. 研究流程圖 ................................................................................................ 29. 圖 4-1. 高中組使用不同圖形造例的學生作答資料 ............................................ 32. 圖 4-2. 高中組使用特殊化造例的學生作答資料 ................................................ 32. 圖 4-3. 大學組使用不同圖形造例的學生作答資料 ............................................ 34. 圖 4-4. 特殊化圖形造例對臆測結果的影響 ........................................................ 34. 圖 4-5. 不變點在內部的學生作答資料 ................................................................ 35. 圖 4-6. 不變點設置在邊界的學生作答資料 ........................................................ 37. 圖 4-7. 不變點設置在內部的學生作答資料 ........................................................ 37. 圖 4-8. 選擇不變點位置在邊界的學生作答資料 ................................................ 38. 圖 4-9. 不變點位置在內部的學生作答資料 ........................................................ 39. 圖 4 - 10. 不變點位置在外部的學生作答資料 ...................................................... 40. 圖 4 - 11. 高中組臆測錯誤的學生作答資料 .......................................................... 41. 圖 4 - 12. 無結構描點進行臆測的學生作答資料 .................................................. 43. 圖 4 - 13. 解析幾何進行臆測的學生作答資料 ...................................................... 43. 圖 4 - 14. 高中組的五種臆測類型 .......................................................................... 44 VII.

(9) 圖 4 - 15. 大學組的五種臆測類型 .......................................................................... 46. 圖 4 - 16. 高中組使用不同工具的學生作答資料 .................................................. 47. 圖 4 - 17. HW 組中同一位學生使用工具前與使用工具後的臆測資料............. 51. 圖 4 - 18. 大學組使用不同工具的學生作答資料 .................................................. 49. 圖 4 - 19. UW 同一學生使用工具前與使用工具後的臆測資料......................... 53. 圖 4 - 20. 學生證明資料 .......................................................................................... 55. 圖 4 - 21. UW 學生證明資料................................................................................... 56. 圖 4 - 22. UG 學生證明資料 ................................................................................... 57. 圖 4 - 23. HW 的學生證明資料............................................................................... 58. 圖 4 - 24. HG 的學生學生證明資料 ....................................................................... 58. 圖 4 - 25. 實體工具組學生證明資料 ...................................................................... 59. 圖 4 - 26. 虛擬工具組學生證明資料 ...................................................................... 59. VIII.

(10) 第壹章. 緒論. 第壹章、緒論第一節、研究動機數學推理與論證能力是數學學習的基礎也是學生學習需培養的重要能力之一。Niss（2003）將數學推理列為學生應具備的八大能力之一，此能力包含使用數學方法思考分析問題、提出合理的邏輯想法，並能將此過程寫成有效的證明。在台灣從小學的課程開始，學生已進行有意識的推理活動，透過簡單推理活動培養學生的系統思考及從證據進行反思與討論，美國數學教師協會也指出推理與證明應該是學生從幼稚園到 12 年級應該要經歷的一部份（National Council of Teacher of Mathematics, NCTM, 2000），透過數學推理能力的培養可以幫助學生進行系統性的思辨與問題解決能力。幾何推理包含探索空間中圖形與量的關係，同時也透過邏輯推理辯證法理。Ven Hiele（1986）提出的幾何學習包含視覺辨識（visualization）、描述分析（analysis）、非形式推理（informal deduction）、形式演繹（formal deduction），及嚴謹系統（rigor）五個層次，隨者學學生學習程度的增長，教師應給予不同程度的探索任務。因此從小學課程開始教師就會培養學生的推理能力，到了國中階段學生開始正式學習推理與證明－從國二開始學生被要求做簡易的推理，嘗試利用數學性質比較圖形間的屬性關係，而到國三正式學習證明的書寫，更進一步的學習抽象推理與邏輯的詮釋。幾何論證的學習並非直接提出一個定理性質並要求學生證明，而是要提供一個可以直觀且可以操作與探索的環境，使學生從中體會數學定理性質的發展脈絡，進而對此數學性質產生感覺。數學臆測的探索活動便可以提供此類的學習環境，在 NCTM（2000）中提到臆測是發現的主要途徑，也是解題過程中一個重要的環節，學生在這類活動中嘗試透過題目所給的條件，從中分析與推敲 1.

(11) 第壹章. 緒論. 合理的問題答案及相關的數學性質。現在數學臆測教學已有越來越多人重視，也有許多相關研究文獻產生，包括學生產生臆測的認知歷程、臆測思維的類型、臆測與探究教學環境的布置…等。這些研究也指出透過數學探索、臆測與論證，學生確實能在活動中學習數學概念，及發展數學能力。在進行幾何的臆測與論證活動時，儘管學生可以透過圖形獲得直觀的想法，但是卻可能無法更進一步的理解隱藏的數學性質。左台益（2002）提到幾何課程的教材設計需考慮幾何發展的思維及學生思維發展層次，要在動手操作的環境中，提供學生行動中反思與建構非形式推理的思維經驗。Duval（1995）在分析圖形啟發的作用提出四種認知理解形式，認為若要從圖形中獲得啟發，個體須先對圖形展生知覺性理解，再輔以其他的認知理解，其中包含動手操作與工具的使用，學生需要進行與了解圖像的建構及將文字或圖像表徵的轉化以達構圖式理解與操作式理解。因此要求學生進行幾何臆測與論證活動時應該提供工具使學生建構與操作數學物件。隨者科技的發展，現在已有越來越多的老師嘗試使用電腦軟體輔助教學，也開始有越來越多的研究在探討動態幾何軟體對幾何教學與學生學習的影響。透過動態幾何軟體，學習者不僅能夠更便利的繪製圖形，且其所具有「動態」與「及時」的特性也幫助學生更有效率的學習幾何。動態表徵的呈現不僅可以呈現出數學物件間的變動，也可以幫助學生可以協助學生將抽象概念具象化與可操弄化；在幾何軟體的拖曳功能提供學習者一個與數學物件的互動工具，藉由圖形的拖曳與所產生的圖像變動，學習者可以注意到幾何物件的變動關係，並發展問題解決的策略；更精確且便利的測量功能可以使使用者更專注於數學幾何物件的關係，並提供臆測所需的測量不變量；透過軟體建構不同的例子也可以協助使用者比較不同的例子，對其臆測結果進行修正或支持。在過去相似形的教學著重在邊角性質的判別與三角形的相似性質，導致許. 2.

(12) 第壹章. 緒論. 多學生在課程過後遇到多邊形相似判斷的題目時只記得零碎的判別方法。從 97 課綱發布開始，此單元加入縮放的概念，改由幾何變換的觀點引入相似的意義，不只讓圖形相似的概念更貼近學生實際的生活，也期望學生在判別相似圖形時不在受限於邊角關係。綜合上面敘述，研究者期望理解學習者在進行相似與縮放單元的臆測與論證活動時產生臆測的方式為何，及不同工具的使用對學生進行臆測與論證的方式是否有所影響，並期待在未來設計課程時可以依循此研究結果，在課程中加入能讓學生操作與思考的臆測探索活動。. 第二節、研究目的與問題本研究的目的在探討學生進行縮放與相似單元的臆測於論證活動時產生臆測的方式，及比較當學生被給予不同操作工具時，其臆測與論證的行為間的差異性，以此目的所提出的研究問題如下：一、在縮放與相似作業的探索問題中，學生建構資料與進行臆測的方式為何？二、數位工具與實體工具的使用，對學生進行臆測與論證的影響 1.. 不同工具的使用，對學生進行臆測的輔助有什麼異同？. 2.. 不同工具的使用，對學生進行論證的影響有什麼異同？. 3.

(13) 第貳章. 文獻探討. 第貳章、文獻探討第一節、數學臆測與論證一、臆測與論證的意義臆測（conjecture）指的是當面對未知問題時，個體依據當下的情況進行推論以得到一個尚未驗證的想法；數學臆測（conjecturing）則是指個體在面對數學問題時，提出合理臆測的過程。陳英娥、林福來（1998）在其研究中將此過程分解，認為數學臆測為一個猜測、檢驗、相信、和反駁的遞迴過程；林碧珍（2015）在其研究中則將數學臆測定義為在課堂中，學生自行建立資料、觀察資料以尋求規律並提出猜想、檢驗猜想的正確性，到以不同的例子驗證猜想的合理性的遞迴歷程。經由臆測所產生的主張是個體根據當下情況所提出，其正確性尚需要經由理論來證明。論證（argument）指的是一個體提出同意或是反對一個想法的理由的過程，如 Toulmin 的論證模型所示，個體要宣稱其主張的正確性，他必須要提出相對應的論據支持或是根據其他例子以進行反駁，以數學論證來說，這些論據可能為數學公設或是已經證實的數學理論。更進一步，林碧珍（2015）將數學論證的定義放在數學臆測活動之中，認為數學論證在數學臆測的脈絡下發生的，進行數學論證時所需的論據資料或是提出反駁所需的實例可由臆測時資料的建構及檢驗產生。綜合上述可知數學臆測可以說是個體面對一未知問題時，分析已知條件，根據條件產生數學想法，並進行驗證或是駁斥的過程；論證則是需要個體在其臆測的結果與已知條件或是顯示的資料中來回尋找支持的論據的過程。舉例來說，以下為一軌跡探索的問題：. 4.

(14) 第貳章. 文獻探討. 平面上有一固定點 𝐴 及一圓，請問當 𝐵 點在圓上移動時，̅̅̅̅ 𝐴𝐵 線段的中點軌跡是什麼圖形？學生在探索問題時，可以透過題目的敘述與中點的定義建構圖形，嘗試在其中繪製中點的位置，並歸納、驗證與反駁中點可能形成的圖形，這過程即為數學臆測；而後學生會反覆的比較最終臆測的結果與原始圖形，嘗試利用數學性質說明軌跡圖形的成因，此為論證。二、臆測與論證的重要性數學臆測與論證是數學研究與數學學習的核心，因此以下從這兩個觀點說明臆測與論證的重要性。從數學研究的觀點來看，數學知識的形成是經由數學家們不斷的進行實驗觀察、歸納、反駁以及驗證，事後再進行經由演繹推理的方式將知識進行邏輯重組而形成現在公理化的結構。 Lakatos（1976）提出數學發現的模式中提到數學知識的形成須經由猜測、檢驗、反駁、證明、修正的不斷地遞迴，才使猜想精確化而形成數學定理。以數學學習的觀點來看，現在的課堂活動中強調培養學生有系統解決問題的能力與加強邏輯推理能力，Niss（2003）也將這兩項目列為學生應具備的八項數學能力之一。而臆測與論證活動則是這類數學活動佔有重要的成分，臆測在解題過程中是一個重要的環節，學生需透過已知條件去嘗試與推測問題的答案，Manson et al.（1985）認為臆測發生於問題解決階段的進入（entry）與進擊（attack）之間，並提出臆測的過程包含使猜想清晰（articulate a conjecture）、檢查猜想（check a conjecture）、不要相信猜想（distrust the conjecture）和獲得一種感覺（get sense of）四個循環階段。論證在臆測之後則是為了要取信自己與取信他人，為了達成這目的學習者需要在資料與臆測結果之間尋找兩者的關係與連結兩者的論據，並將之重新組織形成證明（Toulmin，1958），在這過程 5.

(15) 第貳章. 文獻探討. 中學生須反覆的觀察與重整自己的思考脈絡，加強個人從證據討論問題與邏輯推理的能力。三、臆測與論證形成的歷程目前被廣泛使用的一個論證模式為 Toulmin（1958）在「The Use of Argument」一書中發表的模型，此模型由六個元素組成，如下圖 2 - 1 所示，形成的順序依使用者論證的方式有所不同。資料（Data）實驗觀察的數據或整理過的資料，論證者可依據資料內容提出個人主張；主張（Claim）指的是一個結論，在本研究中也就是對資料產生的臆測結果，是論述者希望說服他人的一個敘述；論證者需在資料與主張間尋找論據（Warrant），使兩者之間產生有利的連結，以便說服他人，因此論據內容可以是一個規則、定義；支持（Backings）支撐著論據，提供比論據更強力的說明，因此內容為已經經過驗證的定理；限制（Qualifiers）表示主張成立的限制條件；反駁（Rebuttal）駁斥了主張，描述主張不會成立的條件。. 圖 2-1. Toulmin 論證模型. 近年來 Toulmin 模式也被數學教育研究人員採用，與此模式類式的數學臆測模式也被提出。林福來、陳英娥（1998）根據 Lakatos（1976）的數學發現探索式思維模式和 Mason（1985）的臆測循環過程圖提出一個數學臆測的思維模式，其認為不論是數學家或是學生在進行臆測時，其思維會在猜測、反駁、檢驗和相信之間進行有方向的思維循環，且此循環包含兩部分－表示精煉猜測的 6.

(16) 第貳章. 文獻探討. 內循環及表示丟棄與重構猜想的外循環過程，如圖 2 - 2。. 圖 2-2. 林福來、陳英娥（1998）數學臆測思維模式. 更細部的流程可以參照林碧珍（2015）和 DN Nguyen（2012），這兩種模式主要是應用在課堂上與教學中。林碧珍認為數學臆測是在數學課堂中由學生組織及建構資料，接著觀察資料發現其中關係並提出猜想，最後對猜想進行驗證；而數學論證需發生在數學臆測活動中，學童會根據臆測過程中的資料產生形成論述或檢驗論述的依據，進而將猜想一般化與證明一般化。DN Nguyen （2012）則是在設計 HIS 論證教學系統時，歸類出臆測與證明過程中七個發展階段，如表 2 - 1 所述，儘管每個階段在臆測與證明的過程中都有個別的作用，但是學生在進行臆測與書寫證明時卻不一定會經過這七個過程，有時可能會產生突然的靈光乍現，在經過教學實驗後發現，學生通常會花最多的時間在尋找不變量、產生臆測、尋找論據及形成證明 4 個階段，圖 2 - 3 為這四個階段如何影響證明的過程。. 7.

(17) 第貳章. 表 2-1. 文獻探討. DN Nguyen（2012）證明的發展階段. 發展階段. 階段說明. Level 0 掌握資訊（information）. 在形成臆測與證明臆測之前，學生必須對問題的相關訊息有充分的了解。. Level 1 建構圖形（Construction）. 學生自行建構與問題有關的圖像，也因此學生須具備基本的尺規作圖技巧。. Level 2 尋找不變量在此階段學生須尋找問題的幾何不變量，以支持證明的（Invariance）過程。 Level 3 產生臆測（Conjecture） Level 4 尋找論據（Argumentation） Level 5 形成證明（Proof） Level 6 繼續鑽研（Delving）. 圖 2-3. 在此階段學生多透過實驗、數字的探索與測量形成臆測，此臆測為一個可以藉由一系列的概念與論據評斷為真或假的敘述。在此階段，學生需要收集並重組論據，以便形成證明。以前面尋找的論據為基礎，學生在此階段會選擇有幫助的論據，將之串聯成一個歸因的序列，並使用數學的邏輯和語言書寫證明。在此階段學生將會被要求重新考慮與延伸臆測的結果，以鞏固知識與發展解決問題的能力。. 在證明發展階段中階段 2 到階段 5 的認知過程. 綜合以上模型可以歸納出形成數學臆測與論證的歷程可分為六階段－建構資料、觀察以形成臆測、驗證與反駁、尋找論據、組織論據以形成證明、以及延伸學習，其形成的順序如圖 2 - 4 所示。當學生遇到未知數學問題時需要先從資訊中建構資料，接著從資料中觀察以形成臆測，再來須更進一步的驗證臆測 8.

(18) 第貳章. 文獻探討. 或是反駁臆測結果，在這三個過程中學生會不斷的修正臆測結果，並從中找到證明臆測所需的論據，而後組織論據以成證明，最後才能更進一步的臆測的結果。. 圖 2-4. 本研究歸納數學臆測與證明的歷程. 四、臆測、驗證與論證的類型前段所述的學生進行臆測與論證的歷程可以看成是一個整體的歷程，然而更精細的探討可以發現學生在進行臆測活動，所使用的方法與思維可能有些許差異，不同的問題類型或是不同的程度差異可能導致不同的臆測方法與思維。 Cañadas et al.（2007）整理學生的臆測行為可以分為五種類型，每一種類型都有各自的認知發展過程。 1.. 有限例歸納（Empirical Induction from a Finite Number of Discrete Cases）：觀察有限數量的案例，從中做出歸納，形成猜想。. 2.. 動態例歸納（Empirical Induction from Dynamic Cases）：透過動態數學物件的共同性質進行推測。. 3.. 類比（Analogy）：根據一個已知的事實或是理論進行推測，形成一臆測的結果。. 4.. 溯因推理（Abduction）：從單一案例的觀察結果形成臆測，再回去檢驗其造成的原因。. 5.. 知覺性臆測（Perceptually Based Conjecturing）：透過視覺或描述的方式進行推測。 9.

(19) 第貳章. 文獻探討. 同樣的，在臆測過程中學生也會有不同的驗證方式，這部分可以依據 Balacheff（1988）提出的驗證類型。其將學生的驗證形式分為兩大類，分別為實務的驗證（pragmatic justification）和概念的驗證（conceptual justification），從各類別又可細分出不同的證明類型。實務的驗證為學生利用例子來作驗證的工作，且依據學生如何利用例子驗證又可分為三個類型： 1.. 單純的實驗（naïve empiricism）：只檢查少數例子，而且不會考慮一般化。. 2.. 重要的實驗（crucial empiricism）：小心選擇例子作驗證。此時學生已經了解必須要一般化，但還未考慮到全部的可能性。. 3.. 一般的例子（generic empiricism）：利用操弄或變換一些例子，使他們可以代表整類圖形。因此驗證這些例子便是考慮到所有的可能性。. 概念的驗證為學生利用推論來連結已知與結論，且依據學生是否有使用例子輔助完成演繹驗證又可分為兩類： 1.. 思考實驗（thought experiment）：學生能利用心像操弄圖形或利用文字敘述來作完整的推理，也就是能從特例中內化並抽離出幾何性質的驗證，此時例子只是用來輔助學生進行推論的程序。. 2.. 符號計算（symbolic calculations）：利用和變換以公式化的符號式子去推論出結論。. 最後證明的部分則與學生臆測和驗證的方式有關，如鄭勝鴻（2005）依據各家學者提出的理論，將證明的類型先分為實驗操作類型、實驗與演繹之過度類型，和演繹推理類型三大類，接著再將這三大類細分為五種證明類型，如圖 2 - 5。. 10.

(20) 第貳章. 圖 2-5. 文獻探討. 鄭勝鴻（2005）五種學生證明類型. 實驗操作類形式指學生經由實驗操作來驗證數學命題是否正確，並依學生是否考慮到驗證的一般性，分為操作驗證和實驗歸納驗證： 1.. 特例的操作類型：利用操作特例來驗證命題是否正確。當學生使用此種證明類型時，表示他沒有考慮到證明需要一般性的推論。. 2.. 實驗歸納類型：利用操作多個例子來歸納驗證命題是否正確。當學生使用此種證明類型時，表示該生有考慮到證明需要一般性的推論。. 實驗與演繹之過度類型指學生在辯證中，夾雜實驗操作所得的幾何性質和演繹推理的過程，此類行為錯誤的形式證明： 1.. 不完備的推理證明：利用正式的數學語言或是非符號形式的數學語言做出不正確、不完整或沒有符合邏輯的辯證。. 演繹推理類型指學生利用已知的公設或以證明過的命題來證明將證的數學命題，並依學生使用數學符號的多寡，分為描述型證明和正確的形式證明： 1.. 描述型證明：雖然使用邏輯辯證，但是大部分論述是用文字敘述而較少用符號形式。. 2.. 正確的形式證明：利用正式的數學語言做邏輯辯證。. 11.

(21) 第貳章. 文獻探討. 第二節、科技工具的使用與幾何論證一、Duval 的幾何圖形的認知形式與幾何認知過程 Duval（1995）分析幾何圖形對於學習者啟發作用時，曾提出四種個體對於幾何圖形的認知理解形式－知覺性理解、構圖式理解、論述式理解、操作式理解。以下分項說明： 1.. 知覺性理解（perceptual apprehension）：是個體辨識圖形的一種認知歷程。個體辨識到圖形的組織法則與繪圖線索，能將圖形組織成一個整體性的辨識。以知覺性理解方式產生的心像與實體圖像不同，其保留了被整合過的法則與個人知覺，因此可能會有些錯誤。. 2.. 構圖式理解（sequential apprehension）：是個體建構圖形或描述圖形結構的一種認知歷程。個體對圖形基本組織的理解並非依賴視覺，而是構圖工具與數學性質的理解。在圖形理解的過程中，個體若不了解相關的數學性質或是工具的限制，便無法理解圖形的概念，因此數學知識與經驗是構圖性理解的關鍵。. 3.. 論述式理解（discursive apprehension）：是個體透過語言或文字來描述一個圖形具有的性質或是進行推理的認知歷程。每個人對同一圖形幾何性質的理解不盡相同，從其說明中能顯示個體對圖形的理解程度。. 4.. 操作式理解（operative apprehension）：是個體將心像與實體圖像相互轉換的一種認知歷程。透過圖形的操弄，個體可以獲得解題的想法。從上述四種認知理解中，Duval 認為若個體要從圖形中獲得關鍵的啟. 發，個體需先對圖形產生知覺性理解，再輔以其他的認知理解，透過對圖形的操弄與闡述，進而產生問題解決的想法。在幾何認知活動中，Duval（1998）另外提出個體應經歷的三種認知過程－視覺化過程、構圖過程以及推理過程。 12.

(22) 第貳章. 1.. 文獻探討. 視覺化過程（visualisation）：在說明一個陳述、探索一個複雜問題、大略瀏覽或是做主觀驗證時產生空間圖形表徵的一個過程。. 2.. 構圖過程（construction）：使用工具進行圖形建構的歷程。圖形的建構就像建造模型一樣，在這過程中表徵的行為與觀察的結果可以和數學物件的表徵做連結。. 3.. 推理過程（reasonion）：在證明與解釋的過程中，擴展與連結數學知識的過程。. 這三個認知過程雖然是緊密相連的，但也可以分別執行。個體若要熟悉幾何的操作，則需要此三個認知過程相互搭配。下圖 2 - 6 為此三個認知過程的交互作用圖。. 圖 2-6. Duval 的幾何認知歷程活動. 圖中的箭頭表示某個認知過程可以輔助另一個認知過程的進行，其中 2 為虛線箭頭表示視覺化過程雖然可以輔助推理過程的進行，但不一定總是有效，甚至有時可能會造成誤導。而在推理的過程中有兩種形式－5(A)表示個體用自然的語言進行命名、描述或推論；5(B)表示個體使用有理論地位的定義或定理進行論述及演繹推論。. 13.

(23) 第貳章. 文獻探討. 二、科技工具對論證的幫助從 Duval 的幾何認知理解中可以看到工具在幾何學習中的需求性，幾何的學習需要四種認知理解形式相互搭配作用，其中構圖式理解與操弄式理解便需要工具輔助，學生了解工具與幾何性質間的關係進而了解圖形的概念，才能建構幾何物件並藉由操弄圖形獲得想法。另外透過幾何認知過程，也可以發現工具在幾何探索與學習的作用，在視覺化過程中工具的使用學生可以將抽象的題目形成一個空間圖形表徵，在構圖過程中工具可以協助圖形建構，在推理過程中透過工具的使用與限制可以將視覺圖形或心像圖形與數學知識做連結，產生證明想法，因此可以說工具的使用是圍繞在三個過程之間，如圖 2 - 7。. 圖 2-7. Duval 的幾何認知歷程活動與工具的使用. 從歐幾里得時代以來就可以看到直尺、圓規等作圖工具在幾何學習中的作用，學生可以透過尺規作圖了解幾何圖形的性質，並透過圖形的建構將題目可視化以進行探索。隨者電腦技術的進步，越來越多教師投入使用科技軟體輔助教學的行列，相對應的也有越多學者專注在此類的教學活動上的研究，在幾何學習方面許多老師會搭配動態幾何軟體如 Geogebra、Gsp 等軟體。教師與學生不只可以使用動態幾何軟體更便利的建構圖形，更重要的是軟體具有「動態」與「及時」的特性。軟體的特性第一個呈現在動態表徵的形成，左台益（2012）提出動態幾何. 14.

(24) 第貳章. 文獻探討. 環境下產生的圖形為包含幾何圖形結構與代數運算結果的動態表徵，使用者透過軟體的操作與軌跡的顯示可以呈現出動態行為物件間的關係變動，亦可以幫助學習者將抽象的概念具體具體化與可操弄化，因此可以激發學習者對數學的想法。軟體的特性第二個呈現在拖曳功能，軟體提供的拖曳功能及電腦給予的即時回饋畫面可以提供學習者與數學物件互動的環境。當學生拖曳圖形時不僅可以幫助學習者注意到圖形的外在變動，同時也將內隱的幾何性質顯現出來，使學習者注意到圖形所蘊含的數學概念，進而思考幾何物件中的變動關係，並發展問題解決的策略。近年來部分學者開始進行相關研究，觀察學習者不同的拖曳行為所引起的認知功能，Arzarello et al.（2002）歸類學生使用動態幾何圖形操作時的不同拖曳模式，包含漫遊拖曳（Wandering dragging）、有界拖曳（Bounded dragging）、引導拖曳（Guided dragging）、無聲軌跡拖曳（Dummylocus dragging）、線拖曳（Line dragging）、連結拖曳（Linked dragging），及拖曳檢驗（Dragging test）七種模式，由於不同的模式會使圖形產生不同的變動，也因此可以發展出各自認知功能－從圖形關係連結到理論的上升過程（Ascending process）、尋找符合情境論據的溯因推理（Abduction），及從理論回歸到圖形關係的下降過程（Descending process）。軟體的特性第三個呈現在測量功能，與傳統工具相比，動態幾何軟體可以更精確地更便利的提供測量數值，並根據使用者對圖形的操作而產生變化，讓使用者更容易專注於數學幾何物件的關係，發現測量值之間的不變量，且如拖曳功能不同的測量方式也有不同的認知功能。Olivero & Rpbutti（2007）根據 Arzarello 對拖曳行為的分類亦將動態幾何中的測量行為依據不同的認知功能分為五種形式－漫遊測量（Wandering measuring）、引導測量（Guided measuring）、知覺測量（perceptual measuring）、驗證測量（validation measuring），及證明測量（Proof measuring）。 15.

(25) 第貳章. 文獻探討. 軟體的特性第四個則呈現在例子的產生，透過動動態軟體的操作，使用者可以任意在畫面中建構特殊例和一般例，透過不同例子的比較可對其臆測結果進行修正或支持。鄭英豪等人（2017）認為適當與正確的例子有助於學生成功臆測幾何性質或關係，也支持學生產出不同類型的案例，比較案例間的共通性與差異性，進而支持學生修正或調整幾何命題，也因此將動態幾何軟體視為例子的產生器。由上述可知，動態幾何軟體不僅僅是提供學生一個操作圖形的工具，工具本身的功用、圖形產出的幾何結構，以及工具使用的限制都會影響學生作幾何研究時的產出，因此本研究的一個目的即為探討數位工具與實體工具在學生進行臆測與論證時個別產出結果的差異。. 第三節、縮放與相似單元中的相關研究一、課本中的縮放與相似單元就 97 數學領域課綱及現有的課本，可以看到縮放與相似分年細目包含下列五點： ⚫. 9-s-01 能理解平面圖形縮放的意義。. ⚫. 9-s-02 能理解多邊形相似的意義。. ⚫. 9-s-03 能理解三角形的相似性質。. ⚫. 9-s-04 能理解平行線截比例線段性質及其逆敘述。. ⚫. 9-s-05 能利用相似三角形對應邊成比例的觀念，解應用問題。. 對照課本可以分為 1.平行線截比例線段性質與逆敘述、2.圖形縮放的定義與性質、3.多邊形相似的定義、4.相似三角形的判別性質，及 5.相似三角形的應用五個主題，其中比較值得注意的是圖形的縮放與性質及多邊形相似的定義兩個部分。. 16.

(26) 第貳章. 文獻探討. 過去 92 課綱相似形教學主要從圖形的樣貌出發，由相似形的邊角性質定義相似，這導致了很多學生在比較兩圖形是否相似時，只能透過對應邊與對應角的比較。且在教學上，教師在以放大縮小作為引入動機後，便很快地進入三角形相似性質，使學生在未來進行相似形判斷時只記得零碎的判別方法，無法完整的掌握相似概念。從 97 課綱開始強調縮放與相似是相關的概念，學生應確實理解幾何圖形在縮放前後的變化性質，並了解相似的定義為「一圖形經縮放後與另一圖形全等，則稱此兩圖形相似」。透過幾何變換的觀點談相似，不只可以更貼近實際生活，也期望由圖形變動的觀點引入圖形相似的意義能使學生更容易注意到幾何圖形的相似，而不會受限於邊角的關係。二、縮放與相似單元臆測活動的相關研究部分研究者會讓學生使用縮放尺（Pantograph）讓學生進行縮放與相似的活動探索。縮放尺由 C. Scheiner 發明，其功用為將圖像放大或縮小。縮放尺由四個旋轉桿組成（如圖 2 - 8 所示），其中 𝐴𝐵𝑃𝐶 四個點會形成一平行四邊形，且 𝑂, 𝑃, 𝑄 三點共線，使用時固定 𝑂 點，則 𝑄 點所繪製的圖像為以 𝑂 為伸縮中 ̅̅̅̅ 𝑂𝐴. 心， ̅̅̅̅ 為伸縮比例將 𝑃 點繪製的圖像放大。 𝑂𝐵. 圖 2-8. 縮放尺示意圖. 利用縮放尺進行臆測活動屬於圖形軌跡追蹤的探索活動。Athanasopoulou, 17.

(27) 第貳章. 文獻探討. Stephan and Pugalee（2019）的教學實驗顯示學生可以從測量的行為中形成臆測，並進行比例的推論與論證，在這過程中縮放尺所扮演的腳色有二－單純的構圖工具及推論的工具。若學生將縮放尺視為單純的構圖工具，這些學生在進行臆測時使用工具建構圖形後透過直觀的方式形成臆測，必須不斷的使用工具測量以驗證想法，因此這類學生對臆測結果的數學相關概念就為薄弱，也無法對此結果作完整的說明。然而若學生要對其臆測結果進行推論，只單純的利用測量比較圖形的關係是不夠的。Martignone and Antonini（2010）指出活動中要形成臆測推論，首先要能夠掌握工具的結構，且之後更進一步表示探索論證的源自使用工具產生的圖像、工具的結構，以及機器的運作： ⚫. 工具產生的圖像：圖像的產生是基於某種數學變化，學生可以透過圖像之間的關係產生直觀的想法，如透過縮放尺學生可直接看到圖形的放大或縮小。. ⚫. 工具的結構：包含的工具圖形樣貌與樣貌圖形的幾何概念，在縮放尺的結構中隱含著平行四邊形，而此可以導致平行線截比例性質的推論。. ⚫. 機器的運作：指的機器運作時的動態特徵。如縮放尺在運動過程中的動點與不動點，以及使用縮放尺繪圖的特徵。. 在整個論證過程中，學生需在這三者之間不斷來回查找論據才能完整的進行推理論證。在本研究所提供給學生的問題，儘管未直接提供一個實體工具讓學生進行工具的結構分析，但是要求學生對一抽象的結構進行臆測。因此由上述總結並推測學生在此抽象結構作圖的問題中同樣可以透過物理測量進行比例推論，且在過程中論據產生自學生自行繪製的圖像、抽象結構的數學概念，及抽象結構運動時的特徵。 18.

(28) 第參章. 研究方法. 第參章、研究方法本章共有五部分：第一節為研究設計；第二節為研究對象之介紹；第三節詳述研究工具；第四節為研究流程；第五節則說明本研究之限制。. 第一節、研究設計一、實驗設計本研究設計分為前導性實驗與主要實驗兩部分，前導性研究檢驗不同環境下學生的論證歷程，實驗對象為四位國立大學數學系的研究生，其目的在測試作業單語意是否順暢及是否具可行性，並觀察學生作答情形，估算學生作業時間為 40 分鐘至 70 分鐘。研究者根據前導性研究結果作適當的修正，已確立正式施測題目的敘述，及提供學生可能的應答情形，使主要實驗更加順利。主要實驗探討使用動態幾何工具及傳統紙筆工具，學生對臆測方式及論證結果的差異及影響，因此本研究以作業單的方式，根據學生作答內容進行分析。本研究實驗設計如下表，實驗組別分為高中組及大學組兩組，且這兩組又依實驗目分為對照組－使用傳統紙筆工具及實驗組－動態幾何工具。表 3-1. 實驗設計表. 組別. 對照組. 實驗組. 高中組（H）. 使用傳統紙筆工具（W）. 使用動態幾何工具（G）. 大學組（U）. 使用傳統紙筆工具（W）. 使用動態幾何工具（G）. 二、實驗變項本實驗各變項參照表 3 - 2。. 19.

(29) 第參章. 表 3-2. 研究方法. 實驗變相表. 組別. 控制變項. 操弄變項. 依變項. 高中組（H）. 1. 2.. 臆測題目作業時數. 1. 2.. 工具使用操作指引. 1. 2. 3. 4.. 臆測資料的建構臆測產生方式臆測結果理論驗證的內容. 大學組（U）. 1. 2.. 臆測題目作業時數. 1. 2.. 工具使用操作指引. 1. 2. 3. 4.. 臆測資料的建構臆測產生方式臆測結果理論驗證的內容. (一) 控制變項 1.. 臆測題目：依大學組和高中組提供不一樣的臆測題目，但在同一大組內的實驗組與對照組的臆測題目皆相同。. 2.. 作業時數：一節課內，大學組與高中組皆為 50 分鐘。但依個人想法不同，完成時間也會不同，但以 50 分鐘為原則。. (二) 操弄變項 1.. 工具使用：在一堂課中，學生依據不同的提供工具，傳統紙筆工具與動態幾何工具，自行完成臆測與論證。傳統紙筆工具組無論對象是高中生或大學生皆提供含有直尺、圓規、量角器及三角板的工具組；而動態幾何工具組則是使用 Geogebra 作為構圖與測量工具，只是為避免高中生對 Geogebra 操作不熟悉，所以研究者事先簡化工具列，刪除不必要的工具，並在任務單中建立操作指引。. 2.. 操作指引：在作業單中，依據所提供的工具不同，進行不同的操作指引。. 20.

(30) 第參章. 研究方法. (三) 依變項 1.. 臆測資料的建構：依據作業單的填答內容進行分析. 2.. 臆測產生方式：依據作業單的填答內容進行分析. 3.. 臆測結果：依據作業單的填答內容進行分析. 4.. 理論驗證的內容：依據作業單的填答內容進行分析. 5.. 後設認知：依據作業單的填答內容進行分析. 三、研究架構本研究依研究問題及實驗設計所產生的研究架構如下圖所示。. 圖 3-1. 研究架構圖. 第二節、研究對象本研究分為前導性實驗及與正式實驗。前導性實驗目的一方面為檢視作業單中語句的敘述是否得宜，另一方面為檢視所選用的臆測題目難易度是否適當。前導性實驗對象為國立某大學數學系四位研究生，實驗器材為裝有 21.

(31) 第參章. 研究方法. Geogebra 軟體的筆電及實體直尺、圓規、量角器…等工具的實體工具包。本研究正式研究對象分為高中組及大學組。高中組為台北市某高中一年級的學生，其中傳統紙筆工具組有 37 人；使用動態幾何工具組有 37 人。大學組台北某國立大學數學系學生，其中傳統紙筆工具組有 25 人；使用動態幾何工具組有 39 人。. 第三節、研究工具一、幾何探索題目本研究在考量學生學過的數學知識後，選擇以縮放與相似單元及三心單元設計開放性幾何探索題目，見表 3 - 3 的問題一。然而在進行前導性實驗後，發現此問題雖符合學生已學過的幾何知識，但是學生在作答時可能對重心性質不熟悉而無法完成臆測。因此在針對高中學生的題目中，為避免重心的性質對臆測造成阻礙，也避免學生可能無法在一節課內完成，因此再與專家教師討論過後，決定將題目簡化，在問題中只包含相似與縮放單元的數學知識，見表 3 - 3 的問題二，但針對大學生仍選用原先問題一題目。表 3-3. 研究選題. 組別. 題目. 給定四邊形 𝐴𝐵𝐶𝐷 及兩定點 𝑃、𝑄 ，若 𝑅 為四邊形 𝐴𝐵𝐶𝐷 上的動問題一點，請問當 𝑅 點繞四邊形一周時，你覺得 △ 𝑃𝑄𝑅 的重心形成的軌 (大學組) 跡為何？請在紙上畫出 △ 𝑃𝑄𝑅 的重心，並說明形成軌跡的理由。給定四邊形 𝐴𝐵𝐶𝐷 及一定點 𝑃 ，若 𝑄 為四邊形 𝐴𝐵𝐶𝐷 上的動點。問題二 ̅̅̅̅ = 2 ̅̅̅̅ 𝑅 在 ̅̅̅̅ 𝑃𝑄 上，且 𝑄𝑅 𝑃𝑄 。請問當 𝑄 點繞四邊形一周時，你覺得 3 (高中組) 𝑅點形成的軌跡為何？請在下方畫出 𝑅 點的位置，並說明理由。二、任務單問題設計研究任務單係根據研究者進行文獻探討時所歸納的臆測與論證的認知歷程，以分析學生進行學生進行論證任務時產生的想法。本研究所歸納的臆測與 22.

(32) 第參章. 研究方法. 認知歷程分為六個部分：建構資料、觀察以形成臆測、驗證與反駁、尋找論據、組織論據以形成證明、以及延伸學習，依此任務將分為兩大部分－臆測與驗證、尋找論證與證明。以下就任務單的問題及目的說明如下： (一) 臆測與驗證：臆測與論證包含掌握資訊到產生臆測，對應到第 1.~3. 題。其目的為觀察學生如何從資訊中建構圖形，設置不變點，並觀察學生如何使用提供的工具，進而產生臆測。 (二) 尋找論證與證明：尋找論證與證明包含尋找論據到形成證明，對應到第 4.~6.題。其目的為觀察學生在臆測之後如何書寫證明，及選擇哪一類型的論據。表 3 - 4 為以高中生版本為例的細項說明，完整任務學習單請參考附錄一。表 3-4. 高中版本任務設計. 任務類型. G 任務問題. W 任務問題. 臆測 1. 與驗. 給定四邊形 𝐴𝐵𝐶𝐷 及一定點 𝑃，若 𝑄 為四邊形 ̅̅̅̅ 上，且 𝑄𝑅 ̅̅̅̅ = 2 𝑃𝑄 ̅̅̅̅ 。請 𝐴𝐵𝐶𝐷 上的動點。 𝑅 在 𝑃𝑄. 問題目的. 3. 證. 問當 𝑄 點繞四邊形一周時，你覺得 R 點形成的軌跡為何？請在下方畫出 R 點的位置，並說明理由。 2.. 試著在 Geogebra 上畫出. (1) 使用現有工具在紙. 𝑃 點及四邊形 𝐴𝐵𝐶𝐷 ，. 上畫出 𝑃 點及四邊形. 接著在四邊形 𝐴𝐵𝐶𝐷 上. 𝐴𝐵𝐶𝐷 ，接著在四邊形. 標出一動點 𝑄 ，並在 ̅̅̅̅ 𝑃𝑄. 𝐴𝐵𝐶𝐷 上找一點 𝑄，並. ̅̅̅̅ = 上找一點 𝑅 ，使得 𝑄𝑅 2 ̅̅̅̅ 。動動看，當 𝑄 在 𝑃𝑄. ̅̅̅̅ 線段上找一點 𝑅 ，在 𝑃𝑄 ̅̅̅̅ = 2 𝑃𝑄 ̅̅̅̅ ，此時使得 𝑄𝑅. 四邊形 𝐴𝐵𝐶𝐷 上移動. 𝑅 點在哪裡？. 3. 觀察學生如何建構圖形與建構不變點與進行初步臆測觀察學生如何利用工具建構圖形、驗證或修正臆測. 3. 時，𝑅 點形成的軌跡是什 (2) 若在四邊形 𝐴𝐵𝐶𝐷 麼？請說明為什麼會形. 上找另一點 𝑄，按照上. 成這種軌跡圖形。. 面同樣的作法，此時 𝑅點在哪裡？（接下頁） 23.

(33) 第參章. 研究方法. (3) 重複(2)的動作多次，請問當 𝑄 繞四邊形 𝐴𝐵𝐶𝐷 一周時，𝑅 點形成的軌跡為何？請說明為什麼會形成這種軌跡圖形。 3.. 尋找 4. 論據與證明. 利用 Geogebra 的軌跡工. 利用現有工具量量看、. 具及測量工具箱比比. 比比看，新的圖形和一. 看，形成的軌跡圖形和. 開始畫的圖形有什麼關. 四邊形 𝐴𝐵𝐶𝐷 有什麼關. 係？是否符合你的猜. 係？是否符合你的猜. 測？. 測？你是否想證明你的猜測是否正確？ □非常想 □一點點想 □沒有意見 □完全不想為什麼？＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. □不太想. 5.. 如果必須要證明，你會用什麼方法證明？為什麼？. 6.. 請把你的證明寫下來. 觀察學生驗證猜測的意願觀察學生如何使用論據，及如何證明. 第四節、資料蒐集與分析本研究在資料蒐集與分析共有三個階段：準備階段、施測階段、資料分析階段。一、準備階段 (一) 閱讀相關文獻 (二) 設計任務單 (三) 進行前導性研究，以研究對象任務單的填答情況進行題目與敘述修改。. 24.

(34) 第參章. 研究方法. 二、施測階段在傳統紙本工具組中，進行第一題的建構圖形及臆測，至第二題才要求學生使用提供的工具完成後續任務。在動態幾何工具組中，高中組學生亦被提供紙本任務單，於第一題時先自行建構圖形與形成初步臆測，至第二題後才要求學生於 Geogebra 上作業，除須把內容記錄於紙本上，亦須將 Geogebra 檔案上傳；而大學組學生則是第一題於紙本作業，其餘題目要求學生截圖並打字於 word 檔後上傳。三、資料分析階段依據文獻探討與學生作答情形形成分析架構表，將任務單內容依臆測與驗證、尋找論證與證明，兩部分作分析，各構面與細項說明如下說明。 1.. 臆測與驗證階段在臆測與驗證階段，學生需先理解題意以建構圖形，而後根據題目要求進行觀察與臆測，並依據提供的工具進行驗證與修正臆測結果。圖形的建構包含兩部分－圖形造例的選擇及不變點的設置。研究者推測學生在建構圖形時會受到圖形心像的影響，且不同的圖形造例可能會影響臆測的進行與結果的產生，因此圖形造例分為特殊化圖形與一般化圖形進行分析；而根據 DN Nguyen（2012）學生在進行臆測時須尋找幾何不變量，而在本實驗中題目所給的固定點不僅是臆測時須注意的不變點，且與圖形的縮放中心有關，因此在建構圖形時將不變點的位置進行分類，並探討學生不變點位置設置的傾向及其對臆測方式的影響。學生資料觀察的方式是依據 Cañadas et al.（2007）整理的五種臆測類型與 Balacheff（1988）提出的驗證類型作分類，依據學生作答的情形將資料觀察方式分為無結構描點、部分關鍵位置描點、關鍵位置描點、連續描 25.

(35) 第參章. 研究方法. 點思考實驗，及解析符號共六類。在進行臆測與驗證的過程中，工具的使用可以使受試者建構圖形，將題目轉換成視覺化的圖形，並可透過工具操作與改變圖形的性質產生數學想法。考量到實體工具與數位工具的操作特性，及紙本問卷作答的限制，因此研究者將工具的使用角色區分為單純使用工具建構圖形及使用工具輔助臆測。本研究的幾何探索題目為一軌跡問題，此問題的臆測結果包含兩個層面－圖形樣貌的臆測及圖形性質的臆測。因此在臆測結果的書寫將依據學生進行臆測時，臆測結果是否完整進行分析。臆測與驗證階段詳細的分析架構表見表 3 - 5。表 3-5. 臆測與驗證分析架構表. 主構面. 次構面. 編碼方式與細項說明. 建構. 圖形. 0 未建構資料. 資料. 造例. 1 特殊化圖形：使用單一特殊四邊形，如長方形、正方形…。 2 一般化圖形：使用任意四邊形，或畫多個特殊四邊形. 不變點. 高中. 大學. 0 1 2 3 4. 0 1 2 3 4. 未建構資料定點位於四邊形內部定點位於四邊形邊界定點位於四邊形外部使用不同例子. 5 觀察資料 (尋找規律). 未建構資料兩定點位於四邊形內部兩定點位於四邊形邊界兩定點位於四邊形外部兩定點位於不同的區域 (如一點在內部、一點在外部) 使用不同例子. 0 未建構資料，並提出臆測 1 無結構的描點：無特定結構的描繪多個點， 2 部分關鍵描點：以點描繪軌跡時，開始注意到部分特殊點的位置。（接下頁） 26.

(36) 第參章. 研究方法. 觀察. 3. 資料 (尋找規律). 點、邊的中點…。 4. 連續描點：依據條件性質會連續的描繪點軌跡，形成圖像 5 思考實驗：用概念或性質推論出軌跡結構，直接繪出圖像 6 解析符號：使用符號解析計算推論圖形。. 臆測結果. 臆測結果. 0 1. 2. 命題描述. 關鍵位置描點：只從特殊位置進行軌跡臆測，如頂. 無效臆測：無臆測或臆測結果錯誤，如圓、直線… 等。不完整臆測：臆測結果正確，但只關注到圖形的樣貌，未注意到圖形性質，如結果為四邊形、長的一樣的圖形。完整臆測：臆測結果正確，不只關注到圖形的樣貌，亦注意到圖形性質，如結果為縮小的四邊形、相似的四邊形。. 0 無效臆測：無臆測或臆測結果錯誤。 1 無文字敘述：只將臆測結果以圖像呈現，而無文字說明。 2 敘述不完整：臆測內容只包含圖形樣貌。 3 敘述完整：臆測內容包含圖形樣貌及圖形性質。 4 符合邏輯的敘述：敘述含有因果關係或是包含前提敘述。 0 未使用工具 1 單純使用工具建構圖形：單純利用工具依題意建構圖形 2 使用工具輔助臆測：除建構圖形外，亦使用工具的功能進行圖形性質的驗證. 工具使用. 2.. 尋找論據與證明此部分的證明包含兩個層面－證明論據的選擇與證明書寫的完備性。學生於國中階段學習相似圖形單元時內容包含圖形的縮放性質及圖形的相似性質，而在高中階段除了傳統的歐氏幾何外，學生也開始接觸解析幾何的操作，因此研究者將學生可能使用的論據分為三種－使用縮放性質、使用圖形相似的概念，及使用解析符號進行論證。完備性的部分則是根據鄭勝鴻（2005）的證明類型將學生的證明書寫結果分為實驗操作證明、不完 27.

(37) 第參章. 研究方法. 備的推理證明、非形式證明，及正確且完整的形式證明。表 3-6. 尋找論證與證明分析架構表. 主構面. 次構面. 細項說明. 理論驗證. 完備性. 0 沒有臆測結果、臆測錯誤，或未進行論證 1 實驗操作證明：使用操作繪圖的結果來驗證數學之臆測是否正確 2 不完備的推理證明：雖嘗試使用以圖形的幾何性質進行論證，但使用依據不完整，或不符合邏輯。 3 非形式證明：符合邏輯推理，但大部分的論述是以非嚴謹的數學語句說明。 4 正確且完整的證明形式：利用正式的數學語言做邏輯推理，完整論述。. 論據選擇. 0 1 2 3. 沒有臆測結果、臆測錯誤，或未進行論證選擇圖形的相似作為論證依據選擇圖形的縮放作為論證依據以解析幾何. 本研究流程圖如圖 3 - 2。. 28.

(38) 第參章. 圖 3-2. 研究方法. 研究流程圖. 第五節、研究限制本研究樣本為台北市高中及大學的學生，基於地域的限制，樣本缺乏母群體的代表性，因此結果的引用只能推廣到此研究樣本背景相符的學生。且因本延究採用紙本問卷，故只能對學生作答的結果進行分析討論，無法探討學生在過程中腦中思維的變化及運作的流程。. 29.

(39) 第肆章. 結果與討論. 第肆章、結果與討論本章依據實驗所得資料與分析來回應研究問題，共分成兩部分闡述研究發現，依序為（一）學生如何建構資料與進行臆測（二）工具的使用對臆測與論證的影響。. 第一節、資料建構與臆測進行方式依據本研究所歸納的臆測與論證認知歷程，學生在形成臆測時需經歷建構資訊、觀察以形成臆測，及驗證以反駁，其中資料的建構包含將問題的文字資訊傳換為圖像案例，研究者認為不同的案例可能會對其產生臆測的方法產生影響，因此在本節問題的回應中，分為三大部分做討論－圖形造例類型、不變點的設置及臆測方式，並討論圖形造例類型及不變點設置類型是否對臆測方法有影響。一、圖形造例的選擇及其對臆測的影響 (一) 高中組表 4 - 1 為高中組圖形造例特殊化與一般化的次數分配表，高中組圖形造例分配表。表 4 - 2 為高中生使用特殊四邊形造例，四邊形類別的次數分配表。在高中組的學生中，圖形建構的選擇以特殊化圖形較多，其中又以使用長方形的人數較多。學生在畫四邊形有較高的比例選擇正方形或長方形作為四邊形的表徵，此結果與朱芳儀（2013）研究論文所提的結論類似，推測部分高中組的學生其幾何層次尚停留在特殊化階段，尚未過度至一般化圖形階段，故以特殊四邊形造例的學生居多，也因此本研究推測高中生在建構四邊形較容易選擇熟悉的四邊形做圖形造例。. 30.

(40) 第肆章. 表 4-1. 高中組圖形造例次數分配表圖形造例. n. %. 特殊化圖形. 42. 57.5. 一般化圖形. 31. 42.5. 表 4-2. 結果與討論. 高中組使用特殊四邊形造例，四邊形類別的次數分配表圖形造例. n. %. 正方形. 9. 12.3. 長方形. 30. 41.1. 平行四邊形. 3. 4.1. 比較圖形造例對臆測觀察方式的影響，如表 4 - 3。從表中可以看出，使用特殊化圖形為臆測的學生多使用連續描點與關鍵位置描點，如圖 4 - 1 (1)；而使用一般化圖形造例的學生，其臆測方式大多集中在連續描點與部分關鍵描點，如圖 4 - 1 (2)。以此結果可推測兩類型的學生在臆測題目條件簡單的情形下，皆可直接依據條件連續描繪圖形軌跡，但另外有一部分使用特殊化圖形進行造例的學生在臆測時臆選擇特殊的點進行軌跡圖形臆測，不過這些學生是否已注意到關鍵位置描點的重要性不得而知。表 4-3. 高中組圖形造例對臆測方式的次數分配表. 圖形造例 \ 臆測方式特殊化圖形一般化圖形. 未建構資料. 無結構描點. 部分關鍵描點. 關鍵位置描點. 連續描點. 思考實驗. n. 1. 7. 8. 9. 14. 3. %. 2.4. 16.7. 19.0. 21.4. 33.3. 7.1. n. 2. 2. 9. 6. 10. 2. %. 6.5. 6.5. 29.0. 19.4. 32.3. 6.5. 31.

(41) 第肆章. 結果與討論. (1) 特殊化圖形造例. (2) 一般化圖形造例. 圖 4-1. 高中組使用不同圖形造例的學生作答資料. 比較圖形造例對初步臆測結果的影響，如表 4 - 4。從表中可以看出使用特殊化圖形造例的學生因受限於建構的圖形，導致未臆測或臆測錯誤的人數較多，即使有學生做出正確臆測，其臆測結果也多為不完整，如圖 4 2 中兩位學生作答的情形，第(1)位學生無法透過繪製的點進行臆測，第(2) 位學生則是只注意到圖形的樣貌。表 4-4. 高中組圖形造例對形成初步臆測的影響. 圖形造例 \ 初步臆測特殊化圖形一般化圖形. 無效臆測. 不完整臆測. 完整臆測. n. 18. 15. 9. %. 42.9. 35.7. 21.4. n. 9. 11. 11. %. 29.0. 35.5. 35.5. 圖 4-2. 高中組使用特殊化造例的學生作答資料 32.

(42) 第肆章. 結果與討論. (二) 大學組表 4 - 5 為大學組圖形造例特殊化與一般化的次數分配表，表 4 - 6 為大學組使用特殊四邊形造例，四邊形類別的次數分配表。在大學組的學生中，因其為大學數學系的學生，因此在圖形的建構上較能注意到題目敘述的一般情形，因此選用一般化圖形造例的學生占多數。但仍有部分學生因未達一般圖形思考層次，因此使用特殊化圖形造例，而其中又以使用正方形的人數較多。表 4-5. 大學組圖形造例次數分配表圖形造例. n. %. 特殊化圖形. 24. 38.1. 一般化圖形. 39. 61.9. 表 4-6. 大學組使用特殊四邊形造例，四邊形類別的次數分配表圖形造例. n. %. 平行四邊形. 4. 16.7. 正方形. 13. 54.2. 長方形. 7. 29.2. 更進一步比較圖形造例與臆測觀察方式的關係，如表 4 - 7。已經以一般化圖形的學生已經有較完善的圖形結構，所以他們在觀察臆測的時候較能注意到以特殊點進行觀察臆測即能推測整體的結果，如圖 4 - 3 (1)。然而使用特殊化圖形的學生較不能有圖形變化的思考，故多以無結構描點來觀察圖形，或選擇使用解析幾何作為圖形臆測方式，如圖 4 - 3 (2)。表 4-7. 大學組圖形造例對臆測觀察方式的次數分配表. 圖形造例 \ 觀察方式特殊化圖形一般化圖形. 未建構資料. 無結構描點. 部分關鍵描點. 關鍵位置描點. 連續描點. 思考實驗. 解析符號. n. 0. 8. 1. 2. 5. 3. 5. %. 0.0. 33.3. 4.2. 8.3. 20.8. 12.5. 20.8. n. 1. 7. 6. 11. 3. 4. 7. %. 2.6. 17.9. 15.4. 28.2. 7.7. 10.3. 17.9. 33.

(43) 第肆章. (1). 結果與討論. (2). 圖 4-3. 大學組使用不同圖形造例的學生作答資料. 表 4 - 8 為圖形造例對形成初步臆測的影響，從表中可以看出使用一般化圖形造例的學生未臆測或臆測錯誤的人數較多。而使用特殊化圖形造例的學生雖然有較高的比例形成正確的臆測，但其臆測結果較多為不完整臆測，而從學生的作答資料可以發現這些學生的臆測結果多受其造例的圖形影響，如圖 4 - 4 中兩位學生分別以平行四邊形及方形造例，因此在臆測中受特殊化圖形影響，使臆測結果受限於造例的四邊形，且只有關注於其樣貌。表 4-8. 大學組圖形造例對形成初步臆測的影響的次數分配表. 圖形造例 \ 初步臆測特殊化圖形一般化圖形. 無效臆測. 不完整臆測. 完整臆測. n. 8. 10. 6. %. 33.3. 41.7. 25.0. n. 16. 6. 17. %. 41.0. 15.4. 43.6. 圖 4-4. 特殊化圖形造例對臆測結果的影響 34.

(44) 第肆章. 結果與討論. 二、不變點的設置 (一) 高中組表 4 - 9 為高中組不變點設置位置的次數分配表。從表中可以看到高中組在選擇不變點設置時，可以看出學生傾向將不變點設置在四邊形外部，推測在建構資料時，四邊形對於學生為一封閉圖形，因此在選取操作起點位置時，較容易選擇在四邊形的外部。另外選擇在內部的學生偏好於將不變點放置於接近四邊形的中心，如圖 4 - 5。表 4-9. 高中組不變點位置次數分配表. 不變點位置. n. %. 在內部. 21. 28.8. 在邊界. 14. 19.2. 在外部. 34. 46.6. 不同例子. 4. 5.5. 圖 4-5. 不變點在內部的學生作答資料. 表 4 - 10 為高中組不變點位置對臆測方式的次數分配表。從表中可以看出當不變點在內部時，學生多選擇部分關鍵描點與連續描點進行臆測；當不變點在邊界時，學生多選擇連續描點進行臆測；不變點在外部時，學生亦多選擇連續描點進行臆測。. 35.

(45) 第肆章. 表 4 - 10. 結果與討論. 高中組不變點設置對臆測方式的次數分配表. 不變點位置 \ 臆測方式在內部在邊界在外部多個例子. 未建構資料. 無結構描點. 部分關鍵描點. 關鍵位置描點. 連續描點. 思考實驗. n. 0. 2. 7. 4. 7. 1. %. 0.0. 9.5. 33.3. 19.0. 33.3. 4.8. n. 0. 2. 3. 2. 5. 2. %. 0.0. 14.3. 21.4. 14.3. 35.7. 14.3. n. 2. 4. 7. 7. 12. 2. %. 5.9. 11.8. 20.6. 20.6. 35.3. 5.9. n. 1. 1. 0. 2. 0. 0. %. 25.0. 25.0. 0.0. 50.0. 0.0. 0.0. 表 4 - 11 為高中組不變點設置對初步臆測結果的次數分配表。進一步從臆測結果來看，若不考慮多個例子的情形，當不變點在邊界時，學生未臆測或臆測錯誤的比例較高，推測因不變點在邊界易導致部分資料無法顯現，臆對學生形成阻礙，如圖 4 - 6 的學生將 𝑃 點位置設置在 ̅̅̅̅ 𝐵𝐷 上，所以容易忽略 𝑄 在 ̅̅̅̅ 𝐵𝐷 時 𝑅 點的位置，導致對圖形的認知為詭異的愛心；當不變點在內部時或外部時，透過描點與不變點的連線，學生較容易意識到比例對軌跡圖形的影響，但因其為高中學生，對幾何臆測的想法尚未全面，故在書寫臆測結果時多只注意到圖形的樣貌，屬於不完整臆測，如圖 4 7。表 4 - 11. 高中組不變點位置對初步臆測結果的次數分配表. 不變點位置 \ 初步臆測在內部在邊界在外部多個例子. 無效臆測. 不完整臆測. 完整臆測. n. 7. 7. 7. %. 33.3. 33.3. 33.3. n. 6. 4. 4. %. 42.9. 28.6. 28.6. n. 11. 14. 9. %. 32.4. 41.2. 26.5. n. 3. 1. 0. %. 75.0. 25.0. 0.0. 36.

(46) 第肆章. 圖 4-6. 不變點設置在邊界的學生作答資料. 圖 4-7. 不變點設置在內部的學生作答資料. 結果與討論. (二) 大學組表 4 - 12 為大學組不變點位置的次數分配表。從表中可以看到大學組在選擇題目所給不變點位置時，可以看出學生傾向將這兩點設置在四邊形外部，推測在建構資料時，四邊形對於學生為一封閉圖形，因此在選取不變點位置時，較容易選擇在四邊形的外部。而從將不變點設置在邊界的學生作答資料可以發現，他們有一個共同點，即在一開始選擇特殊化四邊形造例，意圖使用特殊化圖形推得結果，如圖 4 - 8。. 37.

(47) 第肆章. 表 4 - 12. 結果與討論. 大學組不變點位置次數分配表. 不變點位置. n. %. 在內部. 5. 7.9. 在邊界. 8. 12.7. 在外部. 47. 74.6. 兩定點在不同區域. 2. 3.2. 不同例子. 1. 1.6. 圖 4-8. 選擇不變點位置在邊界的學生作答資料. 表 4 - 13 為大學組不變點位置對臆測方式的次數分配表。更進一步比較圖形造例與觀察方式，不變點設置在圖形內部或邊界時，學生較容易使用無結構描點進行臆測或直接套用解析符號推測軌跡圖形；當不變點在圖形外部時，學生較能注意到只需以關鍵位置建構圖形推測出軌跡全貌。表 4 - 13. 大學組不變點位置對臆測方式的次數分配表. 不變點位置 \ 臆測方式在內部在邊界在外部兩定點在不同區域不同例子. 未建構資料. 無結構描點. 部分關鍵描點. 關鍵位置描點. 連續描點. 思考實驗. 解析符號. n. 0. 4. 0. 0. 0. 0. 1. %. 0. 80.0. 0. 0. 0. 0. 20.0. n. 0. 4. 0. 0. 1. 0. 3. %. 0.0. 50.0. 0.0. 0.0. 12.5. 0.0. 37.5. n. 1. 7. 7. 12. 7. 6. 7. %. 2.1. 14.9. 14.9. 25.5. 14.9. 12.8. 14.9. n. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 1. %. 0.0. 0.0. 0.0. 0.0. 0.0. 50.0. 50.0. n. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. %. 0.0. 0.0. 0.0. 100.0. 0.0. 0.0. 0.0. 38.

(48) 第肆章. 結果與討論. 表 4 - 14為大學不變點位置對初步臆測結果的次數分配表。從臆測的結果及學生作答情形來看，當不變點位於四邊形內部或邊界，學生較容易以無結構描點為臆測觀察方式，也因此較不容易形成正確臆測，如圖 4 9；若不變點在外部，學生較易使用關鍵位置描點做臆測，且較能掌握動點的位置，故有較高的比例形成完整的臆測，如圖 4 - 10。表 4 - 14. 大學組不變點位置對初步臆測結果的次數分配表. 不變點\ 初步臆測在內部在邊界在外部兩定點在不同區域多個例子. 無效臆測. 不完整臆測. 完整臆測. n. 3. 1. 1. %. 60.0. 20.0. 20.0. n. 5. 3. 0. %. 62.5%. 37.5. 0.0. n. 15. 12. 20. %. 31.9. 25.5. 42.6. n. 0. 0. 2. %. 0.0. 0.0. 100. n. 1. 0. 0. %. 100.0. 0.0. 0. 圖 4-9. 不變點位置在內部的學生作答資料. 39.

(49) 第肆章. 圖 4 - 10. 結果與討論. 不變點位置在外部的學生作答資料. 三、產生臆測的資料觀察方式 (一) 高中表 4 - 15 為高中組臆測方式次數分配表，從表中可以看出高中組學生在臆測時使用最多的方法為連續描點，其次是部分關鍵描點、關鍵描點。推測題目所給條件單純，固可直接在腦中建構點的位置，進而連續描點形成完整圖形。表 4 - 15. 高中組臆測方式次數分配表. 資料觀察方式. n. %. 未建構資料. 3. 4.1. 無結構描點. 9. 12.3. 部分關鍵描點. 17. 23.3. 關鍵位置描點. 15. 20.5. 連續描點. 24. 32.9. 思考實驗. 5. 6.8. 40.