依據本研究所歸納的臆測與論證認知歷程，學生在形成臆測時需經歷建構 資訊、觀察以形成臆測，及驗證以反駁，其中資料的建構包含將問題的文字資 訊傳換為圖像案例，研究者認為不同的案例可能會對其產生臆測的方法產生影 響，因此在本節問題的回應中，分為三大部分做討論－圖形造例類型、不變點 的設置及臆測方式，並討論圖形造例類型及不變點設置類型是否對臆測方法有 影響。
一、圖形造例的選擇及其對臆測的影響
(一) 高中組
表 4 - 1 為高中組圖形造例特殊化與一般化的次數分配表，高中組圖形 造例分配表。表 4 - 2 為高中生使用特殊四邊形造例，四邊形類別的次數分 配表。在高中組的學生中，圖形建構的選擇以特殊化圖形較多，其中又以 使用長方形的人數較多。學生在畫四邊形有較高的比例選擇正方形或長方 形作為四邊形的表徵，此結果與朱芳儀（2013）研究論文所提的結論類 似，推測部分高中組的學生其幾何層次尚停留在特殊化階段，尚未過度至 一般化圖形階段，故以特殊四邊形造例的學生居多，也因此本研究推測高 中生在建構四邊形較容易選擇熟悉的四邊形做圖形造例。
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(1) 特殊化 圖形造例
(2) 一般化 圖形造例
圖 4 - 1 高中組使用不同圖形造例的學生作答資料
比較圖形造例對初步臆測結果的影響，如表 4 - 4。從表中可以看出使 用特殊化圖形造例的學生因受限於建構的圖形，導致未臆測或臆測錯誤的 人數較多，即使有學生做出正確臆測，其臆測結果也多為不完整，如圖 4 - 2 中兩位學生作答的情形，第(1)位學生無法透過繪製的點進行臆測，第(2) 位學生則是只注意到圖形的樣貌。
表 4 - 4 高中組圖形造例對形成初步臆測的影響
圖形造例 \ 初步臆測 無效臆測 不完整臆測 完整臆測
特殊化圖形 n 18 15 9
% 42.9 35.7 21.4
一般化圖形 n 9 11 11
% 29.0 35.5 35.5
圖 4 - 2 高中組使用特殊化造例的學生作答資料
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(1) (2)
圖 4 - 3 大學組使用不同圖形造例的學生作答資料
表 4 - 8 為圖形造例對形成初步臆測的影響，從表中可以看出使用一 般化圖形造例的學生未臆測或臆測錯誤的人數較多。而使用特殊化圖形造 例的學生雖然有較高的比例形成正確的臆測，但其臆測結果較多為不完整 臆測，而從學生的作答資料可以發現這些學生的臆測結果多受其造例的圖 形影響，如圖 4 - 4 中兩位學生分別以平行四邊形及方形造例，因此在臆測 中受特殊化圖形影響，使臆測結果受限於造例的四邊形，且只有關注於其 樣貌。
表 4 - 8 大學組圖形造例對形成初步臆測的影響的次數分配表
圖形造例 \ 初步臆測 無效臆測 不完整臆測 完整臆測
特殊化圖形 n 8 10 6
% 33.3 41.7 25.0
一般化圖形 n 16 6 17
% 41.0 15.4 43.6
圖 4 - 4 特殊化圖形造例對臆測結果的影響
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二、 不變點的設置
(一) 高中組
表 4 - 9 為高中組不變點設置位置的次數分配表。從表中可以看到高 中組在選擇不變點設置時，可以看出學生傾向將不變點設置在四邊形外 部，推測在建構資料時，四邊形對於學生為一封閉圖形，因此在選取操作 起點位置時，較容易選擇在四邊形的外部。另外選擇在內部的學生偏好於 將不變點放置於接近四邊形的中心，如圖 4 - 5。
表 4 - 9 高中組不變點位置次數分配表
不變點位置 n %
在內部 21 28.8
在邊界 14 19.2
在外部 34 46.6
不同例子 4 5.5
圖 4 - 5 不變點在內部的學生作答資料
表 4 - 10 為高中組不變點位置對臆測方式的次數分配表。從表中可以 看出當不變點在內部時，學生多選擇部分關鍵描點與連續描點進行臆測；
當不變點在邊界時，學生多選擇連續描點進行臆測；不變點在外部時，學 生亦多選擇連續描點進行臆測。
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圖 4 - 6 不變點設置在邊界的學生作答資料
圖 4 - 7 不變點設置在內部的學生作答資料 (二) 大學組
表 4 - 12 為大學組不變點位置的次數分配表。從表中可以看到大學組 在選擇題目所給不變點位置時，可以看出學生傾向將這兩點設置在四邊形 外部，推測在建構資料時，四邊形對於學生為一封閉圖形，因此在選取不 變點位置時，較容易選擇在四邊形的外部。而從將不變點設置在邊界的學 生作答資料可以發現，他們有一個共同點，即在一開始選擇特殊化四邊形 造例，意圖使用特殊化圖形推得結果，如圖 4 - 8。
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表 4 - 14為大學不變點位置對初步臆測結果的次數分配表。從臆測的 結果及學生作答情形來看，當不變點位於四邊形內部或邊界，學生較容易 以無結構描點為臆測觀察方式，也因此較不容易形成正確臆測，如圖 4 - 9；若不變點在外部，學生較易使用關鍵位置描點做臆測，且較能掌握動點 的位置，故有較高的比例形成完整的臆測，如圖 4 - 10。
表 4 - 14 大學組不變點位置對初步臆測結果的次數分配表
不變點\ 初步臆測 無效臆測 不完整臆測 完整臆測
在內部 n 3 1 1
% 60.0 20.0 20.0
在邊界 n 5 3 0
% 62.5% 37.5 0.0
在外部 n 15 12 20
% 31.9 25.5 42.6 兩定點
在不同區域
n 0 0 2
% 0.0 0.0 100
多個例子 n 1 0 0
% 100.0 0.0 0
圖 4 - 9 不變點位置在內部的學生作答資料
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圖 4 - 10 不變點位置在外部的學生作答資料 三、 產生臆測的資料觀察方式
(一) 高中
表 4 - 15 為高中組臆測方式次數分配表，從表中可以看出高中組學生 在臆測時使用最多的方法為連續描點，其次是部分關鍵描點、關鍵描點。
推測題目所給條件單純，固可直接在腦中建構點的位置，進而連續描點形 成完整圖形。
表 4 - 15 高中組臆測方式次數分配表
資料觀察方式 n %
未建構資料 3 4.1
無結構描點 9 12.3
部分關鍵描點 17 23.3
關鍵位置描點 15 20.5
連續描點 24 32.9
思考實驗 5 6.8
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然在對照表 4 - 16 學生臆測方式對初步臆測結果的影響後發現，雖學 生可以簡單猜測動點的位置，但其臆測結果不一定正確，又對照使用關鍵 位置描點及部分關鍵描點作為臆測方法且臆測錯誤的的學生作答資料，可 以推測若學生在進行描點臆測時對圖形的變化無法掌握，則這類學生可能 會將所描的點直接用直線或曲線相連，如圖 4 - 11 的 (1)，而對使用連續 描點的學生來說，因其沒有明確的點可以進行連線，做圖形臆測時更容易 形成由一個曲線，如圖 4 - 11 的 (2)。
表 4 - 16 高中組臆測方式對初步臆測結果的次數分配表
觀察方式\ 初步臆測 無效臆測 不完整臆測 完整臆測
未建構資料 n 3 0 0
% 100.0 0.0 0.0
無結構描點 n 5 4 0
% 55.6 44.4 0.0
部分關鍵描點 n 5 6 6
% 29.4 35.3 35.3
關鍵位置描點 n 3 6 6
% 20.0 40.0 40.0
連續描點 n 10 9 5
% 41.7 37.5 20.8
思考實驗 n 1 1 3
% 20.0 20.0 60.0
(1) (2)
圖 4 - 11 高中組臆測錯誤的學生作答資料
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觀察方式\ 初步臆測 無效臆測 不完整臆測 完整臆測
部分關鍵描點 n 4 1 2
% 57.1 14.3 28.6
關鍵位置描點 n 4 3 6
% 30.8 23.1 46.2
連續描點 n 3 1 4
% 37.5 12.5 50.0
思考實驗 n 1 1 5
% 14.3 14.3 71.4
解析符號 n 1 6 5
% 8.3 50.0 41.7
圖 4 - 12 無結構描點進行臆測的學生作答資料
圖 4 - 13 解析幾何進行臆測的學生作答資料 四、 形成臆測的類型
從上述資料整理出學生較容易選擇的臆測進行的類型。在高中組內，首先 將學生建構資料方式依據圖形造例、不變點設置進行分類，可得出學生常見的 建構資料方式包含使用特殊化圖形進行造例並將不變點設置於外部及使用一般
(1) (2)
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化圖形進行造例並將不變點設置於外部，如表 4 - 19。
表 4 - 19 高中組進行臆測時資料建構的類別
圖形造例\ 不變點設置 內部 邊界 外部 多個例子
特殊化 n 13 12 16 1
% 17.8 16.4 21.9 1.4
一般化 n 8 2 18 3
% 11.0 2.7 24.7 4.1 接著考慮學生的觀察方式，得出的五種臆測類型，如圖 4 - 14，其中選擇第(2) 種及第(4)種類型較容易得到正確的臆測。
圖 4 - 14 高中組的五種臆測類型
在第(1)種類型中，學生只考慮特殊化的資料類型，如在建構資料時選擇特 殊化圖形，且將不變點設置於內部－接近對角線交點，也因此在進行臆測時無 法確切的掌握圖形的變化，無法形成正確的臆測結果。
在第(2)種與第(3)種臆測類型中，學生在建構資時皆選擇特殊化圖形，且將 不變點設置於為外部，推測此兩類學生在進行臆測時，會選擇特殊、熟悉的資 料建構方式。第(2)種類型與第(3)種類型的差別只在最後的臆測方式，第(2)類型 的學生選擇關鍵位置描點，第(3)類型學生則為連續描點，由此可推測儘管學生
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圖 4 - 15 大學組的五種臆測類型
在第(1)種及第(2)種臆測類型中，學生在建構資料時皆選擇特殊化圖形，且 將不變點位置設在外部，兩者間的差異在臆測方式－第(1)種類型為無結構描 點，第(2)種類型為連續描點。推測第(1)種類型的學生在進行臆測時對幾何的想 法較薄弱，因此在臆測時只能隨意地描點觀察，也不容易得到正確的臆測結 果；第(2)種類型的學生雖在一開始為特殊化圖形，但可以推測此類學生在進行 臆測時，不只考慮重心位置，同時也思考重心所隱含的性質，因此可以得到正 確的圖形。
在第(3)種、第(4)種及第(5)種臆測類型中，學生在建構資料時皆選擇一般化 圖形，且將不變點設在外部，三者間的差異同樣在臆測方式的不同－第(3)種類 型為部分關鍵位置描點，第(4)種類型為關鍵位置描點，及第(5)種為解析符號。
第(3)種類型的學生臆測的方式介於無結構描點與使用關鍵位置描點的過渡期，
雖已知道可以藉由特定位置的描點進行臆測，但尚未完全掌握到關鍵位置描點 的原則，因此描點過後只是將點的位置作連接，無法得到正確的臆測圖形。第 (4)種類型的學生除能考慮一般化圖形外，已可掌握關鍵位置對圖形臆測的重要
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