第五章 結論與建議
第二節 建議
根據本研究之研究結果,以及研究者在研究過程中的發現與經歷,在教學、
教材設計及未來研究上,提出以下建議,供未來研究相關課程時之參考:
一、 研究者在研究過程中的發現與經歷
對於學業程度較低的學生,平均在課堂中的專心度較學業程度較高的學生來 的低,上課時聽不懂所以又更沒有興趣去學習,造成了一種惡性循環;研究者在 甲高中及丙高中兩所學業程度較低的學生中,觀察到不少學生就是產生這種情況,
但在實驗教學時為了避免干擾實驗課程的流程與進度,因此研究者與教學者均未 及時給予那些同學提醒;因此建議教師在教學時,一發現學生開始對課程產生不 適應時,應立即給予提醒,並利用課堂空檔時間或非課程時間給予學生補救教學,
避免學生漸漸步入歧途。
二、 教材設計的建議
此部份為研究者與指導教授討論最多的部份,因此分兩點進行說明。
(1) 甲、乙、丙三所高中的情況分析
如 4.4 所述,甲高中用了 1.5 堂課的時間在教案中第三堂課,僅用了 0.5 堂課在第四堂課;丙高中用了 2 堂課的時間在第三堂課,用了 1 堂課的時間在第 四堂課,就造成了兩校對於同樣的一份試題,有了明顯的學習差異;而乙高中因 學生程度明顯高於另外兩校,但實際教學時,乙校仍然只能在一堂課的時間內勉 強講解完設計的課程,亦無法有剩餘的時間讓學生於課堂上練習學習單上的題 目。
(2) 對於教材設計的建議
由以上結果發現,由於第三堂課的觀念較多且內容較豐富,但其內容又不方 便從中切割,僅一堂課的時間對於大部份的學生並無法完整的學習此教材,權宜 之計僅能類似在丙高中時所做之修改,將原設計第三堂課內容分為兩堂課,在講 解完對稱點及三次函數的圖形典型時做為切割,並預留時間讓學生能練習學習單
66
上例題,下一堂課稍加複習後再講解遞增、遞減範圍與極極值和函數圖行的描繪 的示範。
此套教案的設計是建立在最有效利用時間的條件下,即上課鐘響完就開始進 行課程活動,直至下課鐘響結束 50 分鐘的完整教學,但從三所學校中均發現這 是不可能的事情,學生從小養成的習慣與教師各人因素等,均無法於上課鐘響完 就馬上開始教學,故此次實驗都有發生超過 50 分鐘的設計,佔用到學生下課時 間的情形發生,因此教案的修改能從ㄧ些細部觀念推導去做刪減,盡量將教案修 改為 40 至 45 分鐘內完成為主。
三、 未來研究的建議
對於未來研究的方向,根據本研究的觀察與討論,研究者從兩點不同的想法 給予建議:
(1) 教案的後續發展建議
如上教案建議所述,將四堂課的教材修改為五堂課的教材,並再以高一學生 做實驗,觀察學生學習情況是否能提升;本研究因時間限制,未能將測驗試題讓 高三學習完正常課程規劃以極限概念來做微分教學的自然組學生進行測驗,以比 較高一學生與高三學生的學習差異,建議未來若有研究者對此後續結果有興趣,
能繼續分析高一與高三學生的學習差別,更甚至對於微分的學習心態等問題。
另外,極限逼近的概念或是極限符號的表式方法,對於高一學生都是不容易 學習的,因此建議該類似觀念仍應於高三時再行教學,高一時僅需由「直觀」的 角度與多項式除法的概念來了解切線與切線斜率即可;除非對於程度極佳的學生 才可告知微分的極限定義,並將微分的極限定義推廣至
f x ( ) x
、1
x
和1
2x
,以1
n 2
、-1、-2 的情況,推論並接受:微分基本公式可推廣至任意次方的冪函數x
r;且從導數的極限定義,闡述導數的數學意涵:從割線到切線,以及物理意 涵:從平均速度到瞬間速度。67
(2) 數學認知的建議
從三所學校的測驗試題與作業中發現,三所學校皆有學生對於「切線方程式」
的概念不清楚,會將直線方程式與函數的概念搞混,或是根本不知如何正確的表 示「直線方程式」,且程度越低的學生分不清方程式與函數的比例越高,雖然直 線方程式的圖形與一次函數的圖形畫起來是一樣的,但其本質的概念並不一樣,
學生往往分不清之間的差異,導致在作業與測驗中皆有發現題目是問直線方程式,
但學生作答時卻以
f x ( )=
…的方式呈現。在此實驗結束後,指導教授剛好獲邀至臺北市一間 PR 值約為 99 的學校,進 行 4 堂課的教學機會,指導教授就將此教材再次在該校進行教學,但因時間的因 素無法讓學生進行測驗,因此僅由研究者批閱該校的四份作業,研究者從四十多 位學生的作業中仍發現有兩位學生將直線方程式以
f x ( )=
…的方式呈現,因此研 究者認為此問題存在於各種不同程度的高中生中,而直線方程式的概念和函數的 概念為國中部份的教材,建議未來研究或許能朝國中端努力,探討學生剛接觸方 程式與函數時的認知,與學習完方程式與函數時能否明確的分辨出兩者的相同與 相異處,並能否以正確的「數學語言」進行溝通。68
參考文獻
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69
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70
附錄
【附錄一】高中數學課程「多項式的微分」教案
單元
名稱
多項式的微分
適用對
象
高一學習多項式的除法原理,綜合除
法,泰勒形式之後
時間/節
數
200 分鐘/4 節
第一節
項目 教學活動 時間 附註
起點
行為
一、 知道函數圖形的意義是( , ( ))x f x 在坐標平面上的點集合 二、 能做多項式P(xa)的綜合除法,得到商式 Q 與餘數 r 三、 知道多項式函數 f x( )可以寫成 f x( )q x x( )( a) f a( ),
給定 f x( )與實數 a,能算出以上等式 四、 知道多項式函數 f x( )可以寫成泰勒形式
( )
n( )
n 1( ) ( )
f x a x a a x a f a
, 給定 f x( )與 a,能算出以上形式多項式 P 或
多項式函數
( ) f x 均不
必超過 4 次
教學
目標
I. 認識多項式函數的「局部」圖形總像是一條直線
II. 能根據泰勒形式,了解「局部圖形像一條直線」的原因
III. 知道局部圖形「像」的那條直線,稱為切線
IV. 能根據泰勒形式,算出切線方程式
V. 能以數學語言做關於切線的溝通
課前
準備
a. 準備單槍投影機
b. 製作函數圖形局部展示的電腦程式
c. 複印文本(講義)、學習單 I 和作業一
課程
導入
1. 觀察現象:二次多項式函數的圖形是拋物線,仔細觀察拋物線,在一固定
點( , ( ))a f a 「附近」放大,觀察其「局部圖形」,總是會像一條直線嗎?
順便複習起點行為一
2. 如上,三次多項式函數的「局部圖形」也會像一條直線嗎?
10
5 (15)
雖然實際操
作都是多項
式函數,教師
的語言卻可
71
3. 宣告目標:那條「局部很像」的直線稱為「切線」,本節學會在指定的點
算出切線
4. 檢查起點行為:
4-1. 觀察現象時,複習起點一:函數圖形的意義
4-2. 檢查起點四:利用學習單 I 的隨堂練習,黑板分三區,全班分組同時
做三題(3 次函數),必要時重點複習
2 (17)
10 (27)
以說是「函
數」,此時不
要擔心一般
性(不連續或
不可微)等問
題
教學
內容
5. 利用第 4 項複習的結果,指出「已知 f x( )在
x
1的泰勒形式,估計 (0.99)f 或 f(1.02)之值至百分位」的題型,即為函數值接近泰勒一次式 的性質,解釋局部圖形像一條直線的理由
6. 承上,泰勒形式可以不必「算完」,以升冪排列比較方便
7. 根據泰勒形式定義切線,並說明關於切線的數學語言,特別是「f 在 a 的
切線斜率記作
f a ( )
」 8. 應用泰勒形式完成學習單 I9. 發放作業一,扼要說明,並宣布第二節課要收作業
3 (30)
2 (32)
5 (37)
10 (47)
3 (50)
關於切線的
溝通,必須包
括以下要
素:哪個函數
在哪裡的切
線,其斜率為
何?是正還
是負還是
零?
單元
名稱
多項式的微分
適用對
象
高一學習多項式的除法原理,綜合
除法,泰勒形式之後
時間/
節數
200 分鐘/4 節
第二節
項目 教學活動 時間 附註
起點
行為
一、 給定多項式函數 f x( )與實數 a,能算出切線 二、 知道
f a ( )
的意思,並能用綜合除法計算三、 知道
f x ( ) ( x a ) q x ( ) f a ( )
的意思就是f x ( ) f a ( )
可以被 xa整除,而且( ( ) f x f a ( )) ( x a ) q x ( )
教學
目標
I. 了解
f a ( )
就是q a ( )
,亦即在( ( ) f x f a ( )) ( x a )
的商式函數中,代入xa
不要推廣極限
運算至一般情
72 II. 認識數學不能在分式
f x ( ) f a ( )
x a
中代入xa,所以用新符號( ) ( )
lim
x af x f a x a
代替的理由III. 知道多項式微分基本公式,知道微分的線性性質,並能用以求得任意多項
式函數的導函數;能從導函數求導數
IV. 知道微分、導數、導函數等數學語言,並能用來溝通
況,僅限 f 為
多項式
多項式函數均
不必超過 4 次
課前 a. 複印文本(講義)、學習單 II 和作業二
課程
導入
1. 起點行為驗收:教師利用作業一的三題,寫出題目 f x( )及 a 值,寫答案
(不必過程,同時請同學收作業):切線方程式,
f a ( )
,以及( ( ) f x f a ( )) ( x a )
的商,其中 a 是實際的數字2. 承上,確認
f a ( )
就是在( ( ) f x f a ( )) ( x a )
的商式代入xa的 值,順便正式介紹「導數」名詞3. 宣告目標:本節學習一套計算方法,更快求得
f a ( )
(然後就能寫出切線 方程式),該方法稱為「微分」5
3 (8)
1 (9)
教師交替讀
( ) f a
作「f prime of a」和「f 在 a 的導
數」
教學
內容
4. 認識一個窘況:
f a ( )
就是( ( ) f x f a ( )) ( x a )
的商式在xa的 值,但是寫成分式之後不能代入5. 承上,宣布「極限」的符號及操作法(兩遍綜合除法)
6. 綜合以上所知,陳述導數的極限定義
7. 黑板分隔三份,挑選三位同學,運極限的操作法,同時與全班計算
( ) 2
f x x
、x
3、x
4的f a ( )
,其中故意令 a 為符號8. 承上,必要時教師介入,請全班一起猜:當
f x
( ) x
n且 n 為大於 1 的整 數時,f a ( )
的公式為何?9. 教師證明上述猜想
10. 認識
f a ( )
的 a 可以代入任何數,其實它是一個「變數」;以「數學習慣 用哪個符號表示變數」引導全班認識f x ( )
其實是一個新的函數;此函數 從原來的 f x( )「推導」而得,故稱導函數2 (11)
1 (12)
2 (14)
8 (22)
2 (24)
4 (28)
2 (30)
不提「極限」
的一般性數學
定義,也不提
其物理意涵
(瞬間速度)
強調「微分」
是動作,一套
計算的程序
不必刻意強調
「線性性質」