第三章 研究方法與實施步驟
第三節 研究工具
本研究的研究工具是指導教授和研究者共同設計製作的高一多項式微分教 學方法。為探討高一學生是否能接受此教學方法，我們設計多項式函數微分的實 驗教學活動、多項式函數微分的測驗，進行試教與評量，並依據一份教學目標來 查核教學的內容，其內容分述如下。
(1) 實驗教學施行者
因顧慮到各校各班的學習環境不同，將會造成學生學習表現上的落差，所以 此三個不同的實驗教學活動，都是由指導教授單維彰教授來進行實驗教學；研究 者本身在旁觀察及協助處裡上課狀況，並批改及整理作業及測驗所遇到的問題。
(2) 高一學生學習多項式微分的實驗教學活動
指導教授和研究者設計了一份完整的「多項式的微分」教案，本節稍述教案 內容，完整課程教案參見【附錄一】。
本教案共有四堂課，每堂課的主要教學目標及教學內容如下。
第一堂實驗教學
本節課的主要教學目標為能將多項式函數整理成泰勒形式，且根據泰勒形式 能算出在特定點的切線斜率與切線方程式，並能以數學語言做出關於切線的溝通。
為了符合這些教學目標，教師利用電腦輔助畫圖，解釋多項式函數局部圖行像是 一條直線的理由，並且示範整理成泰勒形式的方法，然後說明如何由泰勒形式觀 察出在特定點的切線斜率；並在課堂上以不同的數學語言來敘述切線，包含：
( )
f a 就代表函數 f x( )在 x a
時的切線斜率、 f x( )在 x a
時的切線方程式就是 ( )( ) ( )y f a x a f a 。
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第二堂實驗教學
本節課的主要教學目標為學生能瞭解多項式微分的基本公式，並瞭解多項式 微分的線性性質，且能用該性質求得任意多項式函數的導函數，並能從求出的導 函數算出各點的導數；最後能以導數、導函數、來做數學的溝通。為了符合這些 教學目標，教學時教師先推導出二次、三次的單項多項式在特定點的導數，並由 該單項式推論出線性組合時在特定點的導數，最後推導出多項式函數的微分公式，
並解釋導數、導函數的名詞由來；並於課堂上反覆提及在某點的導數就是該點的 切線斜率，以和第一堂實驗教學做聯結，期望學生能以不同的數學語言做溝通。
第三堂實驗教學
本節課的主要教學目標為能大致上畫出三次函數的函數圖形，瞭解遞增區間、
遞減區間、極大值、極小值、對稱點等重要概念，並且能判斷出是否有發生極值；
教學時先推導「配三方」的效果是消除二次項，在
k a
2/ (3 )a
3 做泰勒型式，說明一般的三次函數 f x( )必為奇函數
g x
( ) px
3 qx
之平移，故其圖形必對稱於 ( , ( ))k f k ，藉此導出對稱點的概念；接著說明 f( )x 決定 f x( )的遞增、遞減區間，並指出由遞增變化為遞減的那點就是極大值，由遞減變化為遞增的那點就是極小 值，但也有可能無極值；最後將圖形畫於黑版上，並標出遞增、遞減區間、極值、
對稱點。
第四堂實驗教學
本節課的主要教學目標為能利用微分的方法，來處理真實情境中的極值問題；
教學時提醒處理應用問題時該注意的要點，並且再次複習這四堂課所教的微分觀 念。
將四堂課的主要教學目標與教學內容整理如表 3.3.1 所示。
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表 3.3.1 教學目標與教學內容比照表
教學目標 教學內容
第 一 堂 課
1. 能將多項式函數整理成泰勒形 式。
2. 根據泰勒形式，能算出在特定點 的切線斜率與切線方程式。
3. 能以數學語言做出關於切線的 溝通。
1. 教師示範整理成泰勒形式的方 法。
2. 說明如何由泰勒形式觀察出在特 定點的切線斜率。
3. 在課堂上以不同的數學語言來敘 述切線。
第 二 堂 課
1. 學生能瞭解多項式微分的基本 公式，並瞭解多項式微分的線 性性質。
2. 能求得任意多項式函數的導函 數。
3. 能從求出的導函數算出各點的 導數。
4. 能以導數、導函數、來做數學 的溝通。
1. 教師先推導出二次、三次的單項 多項式在特定點的導數。
2. 由單項多項式推論出線性組合時 在特定點的導數。
3. 推導出多項式函數的微分公式。
4. 解釋導數、導函數的名詞由來，
並於課堂上反覆提及在某點的導 數就是該點的切線斜率。
第 三 堂 課
1. 學生能瞭解並自行推導出對稱 點。
2. 學生能瞭解遞增區間、遞減區 間、極大值、極小值、對稱點 等重要概念。
3. 能大致上畫出三次函數的函數 圖形，並且能判斷出是否有發 生極值。
1. 先推導「配三方」，並說明此效果 為消除二次項，並推出對稱點的 公式。
2. 說明 f( )x 決定 f x( )的遞增、遞 減區間，並指出由遞增變化為遞 減的那點就是極大值，由遞減變 化為遞增的那點就是極小值。
3. 將圖形畫於黑版上，並標出遞 增、遞減區間、極值、對稱點。
第 四 堂 課
1. 能利用微分的方法處理應用問 題。
1. 將應用問題寫成方程式在黑板 上，並說明應注意事項，最後利 用微分來解決問題。
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(3) 學習單及作業
本研究所設計的學習單的主要目的為為了符合上述的教學目標，並能使學生 在學習時能更瞭解重點所在；作業的主要目的為能讓學生自行練習該堂課所講述 的重點，並讓研究者能從作業中觀察出學生的學習狀況。而作業及學習單內容詳 見【附錄二】。在此僅說明學習單及作業的編製方式。
(一) 學習單的編製方式
學習單的編製方式為循序漸進式，學生須按部就班將學習單前面優先列出的 重點及觀念完成，才能藉此處理後半部的學習單，且學習單上會出現代表同樣觀 念但卻用不同的數學名詞來表示。如下圖所示：
圖
3.3.1 學習單 I 的隨堂練習(1)及例題(1)，需先瞭解
泰勒形式，才能藉此完成例題(1)。44
圖
3.3.2 學習單 II，需先求出商，才能求出極限值；並用不同的標記法，讓學生
瞭解都代表同一件事情。圖
3.3.3 學習單 III，按部就班讓學生慢慢完成二次的
函數圖形所對應的導數正負值及極值。45
(二) 作業的編製方式
作業的編製方式為修改學習單上的題目，盡量達到各種不同情況的題型都能 讓學生自行練習。如下圖所示：
圖
3.3.4 作業一，不同係數的方程式及不同敘述的問法。
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圖
3.3.5 作業二，各種不同題型及同樣事情不同問法。
圖
3.3.6 作業三，相較於學習單，有更多的練習及不同的情況。
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圖
3.3.7 作業四的第 1 題及第 4 題，第一題列出的是二次方程式，作業四則是
三次方程式。(4) 「多項式的微分」測驗
本研究之「多項式的微分」測驗的主要目的，是用來觀察學生在實驗教學後，
對於多項式的微分，是否具有一定的瞭解。測驗內容詳見【附錄二】，在此僅說 明測驗的編製方式。
(一) 「多項式的微分」測驗的編製方式
本測驗題目的編製主要以多項式微分的基本概念為主，根據教案中所設計的 教學目標及教學內容為基準，並從學習單及作業中修改數字，實驗教學中所提及 的各種關於微分的語言都盡量以不同方式出出來，第一面共有三題，測驗的目的 就是各種不同微分的敘述及計算；第二面共有三題，三次多項式的函數圖形在第
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二面也分別以兩種不同的類型測驗學生，一種為有極值與遞增、遞減區間，另一 種為無極值，且只有遞增區間，並無遞減區間，最後一題為自行假設未知數，並 列出方程式的應用問題。各種題目的比較如圖 3.3.8 及圖 3.3.9 所示。
圖
3.3.8 測驗第 1 題與第 2 題，分別以不同的方式問關於微分的問題
圖
3.3.9 測驗第 4 題及第 5 題，第 4 題為有極值、遞增、遞減區間；第 5 題則
為只有遞增區間，無極值與遞減區間49
第四章 研究結果與討論
本研究的目的在於探討此多項式的微分教案對於不同程度高中生的學習狀 況為何；本章分別從上課狀況、作業狀況、測驗結果、綜合分析來進行討論。