第三章 研究方法與實施步驟
第三節 測驗結果與討論
三所高中皆考一樣的測驗，本節先探討評分標準，再對各校的測驗進行分析，
並討論結果。
（一） 評分標準
研究者在甲高中進行完實驗教學及測驗後，共計回收 50 份測驗，本測驗有 標準答案，但出題方式為計算題、問答題題型，目的就在於希望能從學生的答題 過程給予分段給分，先瀏覽一遍，分類出學生普遍容易發生的錯誤，和指導教授 共同討論出給分標準；爾後乙高中與丙高中測驗完，皆以一樣的給分標準進行評 分。以下分別說明討論出的評分標準：
圖
4.3.1 測驗第 2 題(c)小題
(c)小題切線斜率答案是 0，此多數學生有答出，但切線方程式，正確答案 應為
y 1
，但有不少學生將答案寫成f x ( ) 1
，此為函數的概念，並非切線方 程式，因此討論結果為酌量扣一分，如圖 4.3.2 所示；也有學生直接將答案寫成：切線方程式
1
或是(c)小題整題只寫 1
，這類情況都不給分。如圖 4.3.3 與圖 4.3.4 所示。53
圖
4.3.2 切線方程式寫成 f x ( ) 1
圖
4.3.3 切線方程式寫成：切線方程式=-1 的情況
圖
4.3.4 切線方程式只寫-1 的情況
54
圖
4.3.5 測驗第 4 題
(b)小題，極大值發生的點在
(2, 6)
，極小值發生的點在(0, 2)
，多數學生只 寫極大值：6，極小值：2，因題目的設計是要求寫出極值的點，因此上述答案皆 扣 1 分，若只寫出x 0, 2
，則分別扣兩分。(d)小題若未標出對稱點或極大、極 小值則分別扣一分，若函數圖形的圖形樣貌對，但極大值、極小值位置錯誤，則 得兩分，連對稱點也錯或未標出，則得一分。如圖 4.3.6 與圖 4.3.7 所示。圖
4.3.6 圖形樣貌對，但對稱點位置標錯
55
圖
4.3.7 圖形樣貌對，但對稱點及極大值與極小值位置錯且均未標示
圖
4.3.8 測驗第 5 題
此題為無極值的題目，也無遞減範圍，但遞增範圍為 x
；學生在(d)小題 若對稱點標錯或未標則扣一分，部分學生將圖形「扭錯」則扣一分，「扭錯」的 例子如圖 4.3.9 所示，若圖形錯兩個部份以上則該小題得零分。若皆未寫計算過 程，只寫答案，就算答案對也是得零分；有少部分學生第 4 題與第 5 題的(b)、(c)都直接寫無，但第 5 題的確是無極值也無遞減範圍，此情況視為只寫答案，
未寫過程，因此也是算得零分，如圖 4.3.10 所示。
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圖
4.3.9 三次函數圖形「扭錯」，且對稱點位置錯誤，錯兩個部份，故該題得零
分圖
4.3.10 第 4 題與第 5 題皆猜無，不予給分
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圖
4.3.11 測驗第 6 題
此題分段給分的標準，如圖 4.3.12 所示。
圖
4.3.12 測驗第 6 題分段給分的標準
另外，部份學生將第 2 題答案寫錯題號位置，於可辨別範圍內皆不扣分；少 數學生在第 1 題及第 2 題，答案應為
f (1) 5
，筆誤寫成f (1) 5
，酌量扣 1 分。令正方形邊長為 x
高為 108 4x (2 分) 體積 ( ) f x x x (108 4 ) x
4 x
3 108 x
2(3 分) ( ) 12
2216
f x x x (4 分)
12 ( x x 18) (5 分)
極大值時邊長： x 18 (英吋) (8 分)
容積： 18 18 36 11664 (立方英吋) (10 分)
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(二) 各校結果
甲高中、乙高中、丙高中的每位學生各題得分狀況與平均極標準差詳細記錄 見【附錄四】，此列出各題的平均得分與總分及其標準差如表 4.3.1、表 4.3.2、
表 4.3.3 所示。
表 4.3.1 甲高中的測驗結果 題號 一
(15)
二 (20)
三 (15)
四 (20)
五 (20)
六 (10)
總分 (100) 平均 12.1 11.6 11.6 6.9 7.0 1.9 51.1 標準差 4.8 5.3 4.4 8.1 6.3 3.4 22.1
由表 4.3.1 可知，第 1 題總分為 15 分的平均得分為 12.1 分，且經過統計共 有 30 位學生得到滿分 15 分，有 42 位學生拿到 10 分以上，可見甲高中大部分學 生對於各種不同表示導數的數學語言能確實掌握。
第 2 題總分 20 分的平均得分為 11.6 分，明顯比第 1 題低不少，甚至只有一 位學生得到 20 分滿分，根據研究者觀察學生測驗試題結果，發現大部分學生在 (a)小題及(c)小題的錯誤率偏高，推論學生對於極限
lim ( ) ( )
x a
f x f a x a
亦表示在 a 點的導數，此觀念部分學生仍然無法理解；(c)小題部分學生能算出切線斜率的 正確答案，但切線方程式卻無法正確寫出，但此觀念應為學生已知概念，所以此 研究在實驗教學時並未特別強調。第 3 題的狀況與第 1 題類似，共有 22 位學生拿到滿分 15 分，有 45 位學生 拿到 10 分以上，因題型與第 1 題幾乎一模一樣，故不再贅述。
第 4 題與第 5 題的平均得分分別為 6.9 與 7.0，並沒有學生兩題都得到滿分 20 分，標準差為 8.1 與 6.3，且第 4 題拿滿分的有 8 位學生，第 5 題只有 1 位學 生拿滿分；可知學生對於有極值的正常情況較容易作答，但有少部分學生利用代
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點的方式知道圖形是全部遞增而得到了部份分數，因此平均分數會與第 4 題差不 多。
第 6 題是應用問題的題型，平均得分為 1.9 分，拿到滿分 10 分的學生只有 4 位，有高達 33 位學生得到零分，可見學生普遍對於應用問題有不知如何應付 的狀況。
表 4.3.2 乙高中的測驗結果 題號 一
(15)
二 (20)
三 (15)
四 (20)
五 (20)
六 (10)
總分 (100) 平均 14.1 18.0 13.9 17.5 17.1 7.8 88.5 標準差 2.2 2.7 2.0 2.7 2.8 2.7 10.0 乙高中由於是 PR 值較高的學校中的數理資優班，故整體表現都非常良好，
總分 90 分以上的學生高達 20 位(57.1%)，且有多數位學生因細心度不夠，未能 得到 100 分；但仍有少數學生對於切線方程式及切線斜率的概念不甚清楚，也有 少數幾位對於極限的概念較無法接受，但大部分學生對於這套教材及測驗都能表 現良好。
表 4.3.3 丙高中的測驗結果 題號
座號
一(15) 二(20) 三(15) 四(20) 五(20) 六(10) 總分 (100) 平均 13.0 9.5 10.0 10.2 6.3 4.0 53.0 標準差 3.9 5.9 5.1 8.0 7.0 4.4 25.0
由表 4.3.3 可知，第 1 題丙高中的平均得分為 13 分，且經過統計滿分的人 有 30 人，有 38 人拿到 10 分以上，大部分學生對於對於各種不同表示導數的數 學語言亦能確實掌握。
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但第 2 題丙高中的平均得分卻只有 9.5 分，只有 3 位學生拿到 20 分滿分，
結果亦顯示丙高中學生多數無法瞭解極限的表示方式，且也有多數學生(c)小題 切線方程式寫錯。
第 3 題的題型與第 1 題一樣，但丙高中的平均得分卻少了 3 分，只有 10 分，
研究者再次翻閱丙高中的測驗試卷，發覺第 3 題的(b)小題
正確答案應為-27，但竟高達 10 位學生都寫 13 的錯誤答案，研究者再次翻 閱試卷思索後發現學生都寫 13 的由來是因為題目問
f x ( )
在x
1的切線斜率，正確應為
x
1代入導函數f ( ) x
而學生直接將x
1代入方程式f x ( )
中，所得 的值就為 13；但在第 1 題(b)小題中，以x
1代入f x ( )
和f ( ) x
的值剛好會一樣 都等於 5，因此推測學生對於「切線斜率」的概念不是完全清楚。第 4 題與第 5 題丙高中學生的得分結果顯示第 4 題的得分高於第 5 題不少，
研究者推測因丙高中的學生學習狀況不甚好，故多加了第 5 堂實驗教學，對於後 半部份的課程有更多的學習機會，而教學者在實驗教學時有完整的示範一遍有極 值的圖形極值範為求法與遞增、遞減範圍的求法；但由於時間的因素，對於無極 值的例題仍無法完整的示範給學生看，僅能口頭說明何時為無極值的情況，故學 生第 4 題的表現情況較第 5 題來的好。
也因為多一堂課時間，對於應用問題的講解也更加深入，第 6 題是與學習單 IV 完全一樣的題目(甚至連數字都沒有改)，教學者在實驗教學時完整的講解過 該題，使得該題得到滿分的學生高達 13 位(31.0%)，但也因多數學生上課狀況不 好，導致只得到 0 分或 1 分的學生高達 21 位(50.0%)，使得該題平均只有 4.0 分。
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