CHAPTER 3 水平運動與形態之關聯
3.4 形態 2 的研究
形態 2 跟形態 0 同樣是隨機運動，不過兩者之間還是有不大相同的行為表 現。形態 0 的珠鍊在一個振動週期尾段會釋放完所有動能而與底板完全貼合；
形態 2 卻不會有完全貼合底板的時刻。所以，與形態 0 相異的是顆粒鍊的行進 方向似是由兩端”拔河”所決定。
3.4.1 顆粒鍊軌跡
先從軌跡圖開始，Figure 3-10 是形態 2 三個足夠長區段的軌跡圖，右下角 嵌入圖同樣是 3 個不同形態區段比較圖，用以作形態 2 軌跡的對照。形態 2 同 樣是隨機運動，移動的速率比形態 0 快上一些，但同時也較形態 1 來的慢。
Figure 3-10 形態 2 軌跡圖
N=5，Γ=1.70，3 個區段的軌跡分別以不同符號表示。所選的區段皆長 過 75 個週期。嵌入圖則是 Figure 3-1（b）、（c）、（d）三個不同形態區 段 0 到 100 週期的部分軌跡圖，用以作形態 2 軌跡的對照。
[http://www.phys.sinica.edu.tw/jctsai/Jia2016/Chap3/fig3.10_state2_traject
ory.pdf]
3.4.2 位移分佈
Figure 3-11（a）－（d）是形態 2 位移分佈隨 Δt 的變化，（e）則是 3 個不 同形態在取相同Δt 的位移分佈。如同形態 0，形態 2 位移分佈的高峰值同樣位 在Δx 為 0 的地方，且其位移分佈的峰寬大於形態 0，如同在軌跡圖所觀察到 的。
從肉眼來看，形態 2 的位移分佈並不隨著 Δt 不同而有所變化，同時為了確 認形態 2 是否同形態 0 一樣，也是一種布朗運動。我需要進一步研究形態 2 的 方均位移。
Figure 3-11 形態 2 的位移分佈圖
N=5，Γ=1.70，（a）－（d）為形態 2 的位移分佈圖隨時間的變化。Δt 分別為 1 個震動週期、5 個震動週期、10 個震動週期、20 個震動週 期，分別對應到 0.04s、0.2s、0.4s、0.8s 及 2s，且分別有 10891、
7565、5660、3756 個資料點。（e）則為𝛥𝑡 = 5個週期，3 個形態位移
直方分佈圖。這些直方圖 bin 的大小皆為 1mm。每一個形態位移分佈 以該筆資料的資料數加以標準化。
[http://www.phys.sinica.edu.tw/jctsai/Jia2016/Chap3/fig3.11_State2_histogr am_vary_dt.pdf]
3.4.3 方均位移
如前一節所述，我藉由觀察形態 2 區段的方均位移來研究其是否為布朗運 動。Figure 3-12（a）為形態 2 足夠長區段的方均位移。方均位移的斜率 α 介於 1 跟 2 之間，其值大約為 1.85。所以形態 2 明顯不屬於布朗運動，而是一種超 擴散運動（superdiffusion），同時，從其斜率大致保持為定值可看出形態 2 的運 動特性也不隨時間尺度而有所改變。
Figure 3-12（b）則為構成（a）區段各自的方均位移。由圖可以發現這些 區段方均位移的斜率並不一致，但都落在 1.5－2 的區段內。與形態 0 與形態 1 相較，形態 2 區段與區段的差異是比較大的。也就是當顆粒鍊處於形態 2 時，
雖然顆粒鍊同樣都是超擴散運動，但其水平運動的不一致性是比形態 0 跟形態 1 高的。
Figure 3-12 形態 2 方均位移圖
（a）是 N=5，Γ=1.70 顆粒鍊形態 2 水平運動的方均位移。是由 11 個 形態 2 的區段計算而得，其中最短的區段長度持續 2.8s。（b）則是構
成（a）區段各自的方均位移。圖上用以近似的直線斜率大小是用肉眼 加以選擇。雙對數作標上的直線表示其值∝ ∆tα，α 為該直線的斜率。
圖上直線斜率α 值的選擇是以肉眼判斷選擇。斜線部分表示軌跡精確 度以下區域。
[http://www.phys.sinica.edu.tw/jctsai/Jia2016/Chap3/fig3.12_N=5_G=1.70 _State_MSD_total_&_intervals.pdf]