CHAPTER 2 實驗架設與影像分析
2.2 顆粒鍊定位
在使用兩台攝影機同時拍攝顆粒鍊後，我可以透過比對兩台攝影機的影像 來得到顆粒鍊在軌道上的位置。顆粒鍊位置的時間單位為振動週期。
2.2.1 顆粒鍊的位置及位移
Figure 2-4（a）為顆粒鍊的定位示意圖，一號及二號攝影機及其所能拍攝 到的軌道範圍分別以紅色、藍色標示。我以軌道上的一個定點作為座標θ 的參 考點，所以顆粒鍊的位置為𝑥 = 𝑟‧θ，顆粒鍊的位移則為∆𝑥 = 𝑟‧Δθ，其中 r 為軌道半徑，112.3mm。同時，θ 有記錄顆粒鍊的環繞數（winding number）。
如 Figure 2-4（a）所示意，每台攝影機可同時記錄到軌道離攝影機最近的 一側與離攝影機最遠的一側，所以我可以據此將軌道分成四個部分。而透過比 較顆粒鍊在兩台攝影機上的位置，我可以確認顆粒鍊位於軌道四個部分中的哪 一個部分，以 Figure 2-4（b）、（c）為例：（b）、（c）分別為一號及二號攝影機 在某一個時間點所拍攝到的影像，所以影像的左側對應到面像軌道的左方。而 顆粒鍊位於一號攝影機視野的左方與二號攝影機視野的右方表示顆粒鍊位於軌 道遠離二號攝影機的一側，位置大致如（a）所示。
Figure 2-4 顆粒鍊定位示意圖
（a）為顆粒鍊定位方法的示意圖，一、二號攝影機及其所能拍攝到的 軌道部分標為紅、藍色。（b）、（c）為一、二號攝影機在某個時間點所 拍攝到的顆粒鍊影像。
2.2.2 影像尺度量測
在確認顆粒鍊位於軌道的哪一部分後，我可以透過量測影像的尺度來精確 定位顆粒鍊的θ 值，並得出顆粒鍊位置對時間的函數𝑥(𝑡)。Figure 2-5 為影像尺
度測量的說明圖：Figure 2-5（a）我先將環形軌道標上 4 個等分環的標的，再 將黑色透明方格紙貼在環形軌道內，方格紙的間格為 5.25mm，如 Figure 2-5
（b）所示，並據此量出影像上每一點與標的的距離，進一步推算出這些點與作 標參考點之間的弧度差。將此步驟對 4 個標的重複四次，再依據標的物彼此相 距90°的關係，便能得到環形軌道上所有位置與其所對應到的影像像素的映射關 係。
顆粒鍊質心的定義方式為攝影機影像上珠鍊的左極限像素與右極限像素的 平均，如 Figure 2-5（a）與 2-5（c）所示，虛線 L 及虛線 R 分別代表攝影機所 看到顆粒鍊的左極限與右極限。所以我先將左極限與右極限的像素作標取平均 後，在映射回與參考點的弧度差，如此便能得到顆粒鍊的位置。
但因為顆粒鍊 所在位置與方格紙黏貼處仍有一小段距離，為此，我對得到的位置作了幾盒光學上 的修正，詳見 Online Appendix。
Figure 2-5 影像尺度測量示意圖
（a）－（c）為影像尺度量測的示意圖。（a）及（b）上的標的圖案代 表我作在環形軌道上的標示，這四個標的四等分整個環形軌道。（a）
及（c）的虛線 L 及 R 表示攝影機看到珠鍊的左極限及右極限。（b）
則是黑色方格紙插在環形軌道內的攝影圖，格線間距為 5.25mm。
2.2.3 攝影重疊區域的銜接
在將軌道分成四個部分並分別得到顆粒鍊質心對時間的函數後，我便將這 些片段依時間順序加以銜接。而在顆粒鍊從一台攝影機的視野換到另一台的過 程中，兩台攝影機有同時記錄到顆粒鍊位置的重疊部分。但兩台攝影機所看到 的顆粒鍊在映射回軌道位置時，會產生誤差，這會讓顆粒鍊的軌跡多出一個原 本不存在的跳躍，如 Figure 2-6 所示。Figure 2-6 為顆粒鍊銜接的示意圖，為了 減少位置上的一個突然的跳躍對位移的影響，我將重疊部分顆粒鍊的位置𝑥(𝑡) 以兩攝影機所記錄位置作線性內差：
𝜔1 = 𝑥𝑥1(𝑡𝑓)−𝑥1(𝑡)
1(𝑡𝑓)−𝑥1(𝑡𝑖), 𝜔2 = 𝑥𝑥2(𝑡)−𝑥1(𝑡𝑖)
2(𝑡𝑓)−𝑥2(𝑡𝑖), 𝑡 ∈ [𝑡𝑖, 𝑡𝑓] 𝑥(𝑡) =𝜔1𝑥1𝜔(𝑡)+𝜔2𝑥2(𝑡)
1+𝜔2
其中𝑡𝑖、𝑡𝑓為重疊部分開始與結束的時間，而記錄顆粒鍊的攝影機由 C1 換至 C2，所以𝑥1、𝑥2為 C1、C2 攝影機所記錄的顆粒鍊位置，𝜔1、𝜔2為𝑥1、𝑥2在線 性內差中所佔有的權重。所以𝑥1在線性內差中所佔的比例會逐漸減少，直到完 全由𝑥2取代為止。兩攝影機的軌跡差落在±2mm 內。
Figure 2-6 顆粒鍊銜接示意圖
顆粒數 N=5，𝛤 = 1.60，攝影機拍射頻率為 25fps。顆粒鍊位置大約在 軌道上π/8 處。顆粒鍊由 C1 攝影機視野內換至 C2 攝影機，分別以紅 色及藍色色標表示。顆粒鍊的位置函數由 C1 及 C2 所紀錄的位置做線 性內差而得，以灰色色標表示。
2.2.4 空間精確度討論
顆粒鍊質心的精確度由兩個因素影響：攝影機影像的解析度及計算質心方 法所造成的不確定性，其中，後者所造成的不確定性大於前者。
攝影機在水平方向有 800 個像素，但計算顆粒鍊位置的過程中，只有大概 中央大約 600 個像素是會被利用到的。計算像素與實際位移映射關係的方法 是：先將黑色格線所在的像素標記出來，再將格線寬 5.25mm 除上格線間的總 像素數目，意即我將格線之間的像素所對應的位移大小視為定值。
Figure 2-7 為攝影機影像水平方向的解析度，黑色方格紙的一格間距通常 約涵蓋數十個像素，所以我們可以看到，一個像素的空間解析度為 0.3－
0.6mm，不過實際上會被使用到的像素其解析度最大不會超過 0.6mm。所以顆 粒鍊位置及位移的空間解析度不會大於 0.6mm。
Figure 2-7 像素與實際移動位移映射圖
攝影機的水平像素數為 800，但在追蹤顆粒鍊的軌跡的過程中，實際 會運用到的像素只有中央大概 600 個像素左右。用以測量像素尺度的 方格紙間格大小為 5.25mm。映射關係的計算方法則如章節內文所述。
受限於攝影機影像的精度，我們選擇用影像中顆粒鍊的左極限與右極限平 均來代表顆粒鍊的質心位置。但在實驗中，我們所關心的主要參數為顆粒鍊的 位移，所以，即使透過影像頭尾相減取平均的做法沒有辦法告訴我們真正的質 心位置，只要這個我們自行定義的質心相對於顆粒鍊的位移是足夠小的即可。
所以為了估算此質心位置與顆粒鍊的相對位移，我們需要研究顆粒鍊長度隨時 間的變動。
Figure 2-8（a）為顆粒鍊長度隨時間的變化，紅、藍色分別代表一號及二 號攝影機所看到的顆粒鍊長度。從圖中可以發現，顆粒鍊的長度除了短時間的 波動之外，也同時有著長時間的變化趨勢。我們所關心的為短時間的波動，這 是由於長時間的波動相對於顆粒鍊的位移可以忽略不計。而此短時間波動的振 幅寬度約在 1mm 上下。Figure 2-8（b）為每幀影像顆粒鍊長度差的長度分佈 圖。我們可以由該分部圖清楚的看到顆粒鍊長度每幀的長度差幾乎都在 1mm 之 間 ，由此，我們得以知道此質心定義方式對位移的精確度≈1mm。
Figure 2-8 顆粒鍊長度變化圖