CHAPTER 3 水平運動與形態之關聯
3.2 形態 0 的研究
3.2.1 顆粒鍊軌跡
首先，我研究形態 0 的軌跡。Figure 3-4 是 3 段形態 0 的軌跡圖。我從形態 0 的區段中選擇了 3 個較長的區段來觀察。Figure 3-4 的右下嵌入圖是將
Figure 3-1（b）、（c）、（d）三個區段畫在一張圖上，用以作形態 0 軌跡的對 照。從嵌入圖 3 個形態的比較可以得知形態 0 的移動相較於形態 1 及形態 2 都 是相對緩慢的。同時透過觀察 3 個形態 0 的區段我可以推測形態 0 是一種移動 緩慢的隨機運動，並在接下來的分析進一步驗證。
Figure 3-4 形態 0 軌跡圖
N=5，Γ=1.70，3 個區段的軌跡分別以不同符號表示。所選的區段皆長 過 4s。嵌入圖則是 Figure 3-1（b）、（c）、（d）三個不同形態區段 0 到 100 週期的部分軌跡圖，用以作形態 0 軌跡的對照。
[http://www.phys.sinica.edu.tw/jctsai/Jia2016/Chap3/fig3.4_state0_trajector y.pdf]
3.2.2 位移分佈
在對形態 0 的特性有了初步的概念後，我透過位移分佈直方圖來研究形態 0 的統計性質。Figure 3-5（a）－（e）為取不同 Δt 的形態 0 位移分佈直方圖，
（f）則是𝛥𝑡 = 0.2 s三個形態的位移分佈直方圖。我所選用 bin 的大小統一為 1mm。由（f），我確實觀察到了形態 0 的位移小於形態 1 及形態 2，與從軌跡 圖所觀察到的結果一致。同時由直方圖隨𝛥𝑡的變化中，我可以得知隨著 Δt 的增 加，位移分佈由大致對稱的結構演變到明顯的不對稱。這不對稱性是由於顆粒 鍊本身結構上的不對稱性所造成，並且會由長時間的行為表現出來。關於對稱 性對顆粒鍊運動的影響，我會在之後的章節中在進行討論。
Figure 3-5 形態 0 的位移分佈圖
N=5，Γ=1.70，（a）－（e）為形態 0 的位移分佈圖隨時間的變化。Δt 分別為 1 個震動週期、5 個震動週期、10 個震動週期、20 個震動週期 及 50 個震動週期，分別對應到 0.04s、0.2s、0.4s、0.8s 及 2s，且分別 有 3385、2834、2458、1983、1394 個資料點。（f）為 Figure 3-2 三形 態位移分佈畫在同一張圖上，𝛥𝑡 = 5 週期。這些直方圖 bin 的大小皆 為 1mm。每一個形態位移分佈以該筆資料的資料數加以標準化。
[http://www.phys.sinica.edu.tw/jctsai/Jia2016/Chap3/fig3.5_State0_histogra m_vary_dt.pdf]
3.2.3 方均位移
我進一步使用方均位移來研究顆粒鍊的型態 0 的水平運動，如 Figure 3-6 所示。
Figure 3-6 形態 0 方均位移圖
（a）是 N=5，Γ=1.70 顆粒鍊形態 0 水平運動的方均位移。是由 10 個 形態 0 的區段計算而得，其中最短的區段長度持續 62 個週期。（b）則 是構成（a）區段各自的方均位移。斜線部分表示軌跡精確度以下區 域。雙對數作標上的直線表示其值∝ ∆tα，α 為該直線的斜率。圖上直 線斜率α 值的選擇是以肉眼判斷選擇。（c）則為（a）圖曲線以二次多 項式擬合結果，藍線為擬合區線，紅圈為資料點。擬合所得參數如圖 所標示。所用以擬合的資料僅有前 31 個資料點。斜線部分面積代表顆 粒鍊軌跡精度的範圍外。
[http://www.phys.sinica.edu.tw/jctsai/Jia2016/Chap3/fig3.6_N=5_G=1.70_
State0_MSD_total_&_intervals.pdf]
Figure 3-6（a）是形態 0 足夠長區段的方均位移，如果方均位移∝ ∆tα，則 在雙對數作標圖上會是一條斜率為α 的直線。從（a）中可以發現，形態 0 在時
間尺度小的情況下，其斜率大致為 1。而隨著時間尺度的加大，形態 0 的方均