第四章 研究結果與討論
第四節 從奇偶數辨識看 2k 思維發展
問卷第五大題不限制學生使用的策略，請學生辨識給定物件的奇 偶性，其中有3 題是奇數，3 題是偶數，1 題是分數，因此它既不是 奇數也不是偶數，而這些欲辨識的物件又分成純數字和包含文字符號 之代數式兩大類。以下依照奇數、偶數、分數的順序分析，每一個欲
辨識的物件都會先整理一個表格，統計每個2k 思維發展階段的學生
1. 判別錯誤的學生：
[表 4-5-2]
一般化 思維
物化 2k 表徵
可逆 思維
不可逆 思維
具體
思維 合計
偶數 窮舉策略 0 0 1 0 1 2
都不 是
整除策略 0 0 0 0 1 1
其他 0 0 0 0 1 1
總人數 0/20 0/25 1/58 0/14 3/54 4/171 (單位：人)
由[表 4-5-1]看出，發展出奇偶數抽象表徵的 117 位學生，大部分 都能正確辨識789 為一奇數，只有 1 位 2k 思維為可逆思維階段的學 生S203 勾選偶數，對照[表 4-5-2]，這位學生是利用窮舉策略判別的，
不過他的理由是「個位數是2」，推測這位學生應該是未看清楚題目，
誤以為要辨識範例中的2，才會出現這樣的錯誤答案。
尚未發展出奇偶數抽象表徵的54 位學生中，1 位學生 J217 認為 此數是偶數，2 位學生 J210 和 J107 認為它既非偶數也非奇數，其他 51 位學生則都正確判別 789 為一奇數。
J217 的理由是「因為個位數是 9」，回頭檢視第二大題的窮舉策 略，他知道以個位數是「0, 2, 4, 6, 8」或「1, 3, 5, 7, 9」去判別偶數和 奇數，再對照第三大題，他能夠運用窮舉策略「10 的個位數是 0，所 以是偶數」以及「9 的個位數是 9，所以是奇數」辨識具體數字 10 和 9 的奇偶性，因此他在辨識 789 時，應該是一時疏忽才誤勾「偶數」。
J210 選擇「都不是」的理由是「都不能整除」，由於他沒有清楚
敘述什麼不能整除，因此無法進一步解釋他在填答此問題時的思維。
另外一位選擇「都不是」的J107，他的理由是「789 有偶、奇數」，
可見他誤解了題意，以為是要判別「7, 8, 9」是奇數還是偶數，但也 有可能是他只習慣處理小數目的數字，遇到三位數的數字會手足無 措，才會將789 視為「7, 8, 9」。
2. 判別正確的學生：
[表 4-5-3]
一般化 思維
物化 2k 表徵
可逆 思維
不可逆 思維
具體
思維 合計
奇數
窮舉策略 18 24 45 14 29 130
整除策略 1 0 5 0 17 23
因數策略 0 0 1 0 0 1
其他 0 0 1 0 0 1
未作答 1 1 5 0 5 12
總人數 20/20 25/25 57/58 14/14 51/54 167/171 (單位：人)
(1)窮舉策略：
從[表 5-4-32]可看出，共有大約 75% 的學生選擇使用窮舉策略 並且正確辨識789 為奇數，若是依照各個 2k 思維發展階段來看，每 個階段的學生也都是以窮舉策略為最主要的判別方式，而且，一般化 思維、物化2k 表徵、不可逆思維三個發展階段的學生甚至有高達 90%
以上的學生使用窮舉策略。可見，面對一個具體數字，大部分學生都 會選用窮舉策略判別其奇偶性，且能正確地判定此數為偶數或奇數。
(2)整除策略：
次多人使用的判別策略為整除策略，[表 4-5-4]整理 23 位使用整 除策略學生的答案類型：
[表 4-5-4]
答案類型 一般化思維 可逆思維 具體思維 合計 789÷ 2=394…1 － S305
J321、J306、J214 J222、J106、J111
J117
8
789÷ 2=
2
789 － － J119 1
1 394 2
789= × + － S238 － 1 只以文字表達 S304 S315、S134*
J206
J309*、J202、J204 J208、J211*、J215
J101、J110
12
其他 － － J218 1
總人數 1 5 17 23
大部分學生對整除的認知是以橫式除法表達，它的好處在於有沒 有餘數看得很清楚。J119 沒有作除法的動作，而是將分數視為除法的 另一種表徵方式，這個分數不能換為整數便代表不能整除。S238 以
「789=2×394+1」表達789 不能被 2 整除，它實際上已經是 2k 表 徵了，不過這位學生的奇數一般式和奇數的 2k 表徵策略都是以2n −1 表示，而且他在第三大題辨識具體數字時是以「17=2×8+1」表達 他的整除策略，以「17=2×9−1」表達他的2k 表徵策略，對這位學 生而言，2n +1的形式是代表一個數不能被2 整除，2n−1則是他對奇
數的抽象化結果。
有9 位學生單純用「789 不能被 2 整除」說明它是一個奇數，這 樣的說明無法從中得知學生心中思考的「整除」是什麼意思。此外還 有3 位學生只以文字表達他們如何利用整除策略辨識 789 的奇偶性，
但他們的敘述是錯誤的。S134 和 J309 的理由是「可整除」，但是他 們在第二大題敘述整除策略時，都認為可整除的是偶數，不可整除的 才是奇數；J211 的理由是「789 可以除以 3」，這位學生的認知中，偶 數就是和2 有關，奇數就是和 3 有關，至於關係是什麼他並不特別在 乎，這點可以從他在前幾大題的表現可看出，他分別以2 和 3 表示偶 數和奇數的一般式，在窮舉策略也只說明「個位數字是2 的就是偶 數，個位數字是3 的就是奇數」（但是他可以區辨 1~20 之間所有的偶 數和奇數），在第三大題和第四大題中也都是以 2 和 3 為偶數和奇數 的例子。
還有1 位學生 J218 以「為2n+1」當作理由，但是他並未抽象化 奇偶數，因此無法得知他的想法為何。
(3)其他：
使用因數策略的S319 以「沒有因數 2」為理由，但是他並沒有 用任何方法證實789 真的沒有因數 2。
使用的方法被歸類為「其他」的J317，利用「7 +8+9=29，29 是質數」說明789 為一奇數，從他的敘述只能確定這位學生知道 29
是一個奇質數。
未作答的12 位學生中，一般化思維的 S104 和可逆思維的 S222 只有說他們是利用方法A 判別，卻沒有以文字書寫原因，不過在其 他小題他們都有填寫判別的理由，所以他們應該是認為789 是奇數很 直觀，才會沒有回答原因。可逆思維的S201、具體思維的 J304、J310 只有在部分小題有書寫原因。物化 2k 表徵的 S113，可逆思維的 S316、
S114、J209，以及具體思維的 S119、J102、J104，這 7 位學生在整個 第五大題皆只有勾選答案，未以文字書寫原因。
1. 判別錯誤的學生：
是偶數也有可能是奇數：S314 以整除策略「可以被 2 整除也不可以 被2 整除」為理由；S102 以具體情境和整除策略「代入數後不一定 能被2 整除」為理由；J303 以具體情境「代入數字」為理由。
無法辨識4n −7的 28 位具體思維學生都是國中生，[表 4-5-7]為 這些學生的年級與此題表現之對照：
[表 4-5-7]
樣本四 樣本五 樣本六 合計
偶數 未作答 0 1 0 1
都有 可能
運算策略 0 2 1 3
其他 0 1 2 3
未作答 2 2 6 10
都不
是 未作答 0 2 0 2
我不
知道 未作答 2 1 6 9
總人數 4 9 15 28
(單位：人)
九年級有4 人無法辨識、八年級有 9 人無法辨識、七年級則多達 15 人無法辨識，可見，年級愈低的學生，在此題的表現就愈差，他 們還在具體與抽象之間掙扎，尚不習慣處理文字符號。
判別錯誤的具體思維學生中，只有 6 位認為4n−7有可能為偶數 也有可能為奇數有回答原因，他們的理由如下：
J205：n 有可能為偶數或奇數。（運算策略）
J215：若 n 是奇數，加起來就是偶數；
若 n 是偶數，加起來就是奇數。（運算策略）
J118：負的－正的可能是偶數或奇數。（運算策略）
J210：任意負整數，都有可能。（其他）
J107：n 為負整數，所以都有可能。（其他）
J114：n 為任意數。（其他）
這些學生共同的特徵是，他們只考慮到部分，而未將4n−7視為 一個物件去考慮它的奇偶性，例如：J205、J210、J107、J114 皆只考 慮了 n 的奇偶性，忽略 n 的奇偶性與4n −7的奇偶性並無絕對關係；
J118 則只考慮正負數的運算，但忽略正負數與奇偶性是數字的兩個不 同性質；J215 雖是判別4n−7的奇偶性，但忽略任何負數 n 乘以 4 都 會是偶數，而不會保持 n 的奇偶性。
2. 判別正確的學生：
[表 4-5-8]
一般化 思維
物化 2k 表徵
可逆 思維
不可逆 思維
具體
思維 合計
奇數
窮舉策略 0 0 0 0 2 2
整除策略 4 7 4 1 0 16
圖形表徵
策略 0 0 3 0 1 4
2k 表徵
策略 6 4 9 0 1 20
因數策略 0 1 0 0 0 1
運算策略 5 11 20 5 5 46
具體情境 2 0 7 0 3 12
具體+窮舉 0 1 0 1 4 6
具體+整除 0 0 0 1 0 1
具體+
圖形表徵 0 0 1 0 0 1
具體+運算 0 0 2 0 0 2
其他 0 0 0 0 1 1
未作答 1 1 6 3 9 20
總人數 18/20 25/25 52/58 11/14 26/54 132/171 (單位：人)
由[表 4-5-8]可看出，正確判別4n−7為奇數的學生，最主要使用 的三個判別策略依次為運算策略(46)、2k 表徵策略(20)、整除策略 (16)，另外有 20 位學生未填寫理由。一般化思維學生的優勢策略為 2k 表徵策略，物化 2k 表徵、可逆思維、不可逆思維學生的優勢策略 皆為運算策略，而具體思維學生的優勢策略則為具體情境搭配窮舉策 略。以下分別討論運用各個判別策略的學生之思維。
(1) 運算策略：
運用運算策略的學生是利用「偶數－奇數=奇數」的運算性質決 定4n −7為一奇數，有一些學生會先說明 4n 為偶數或 7 為奇數，有 一些學生則只說明4n 為偶數，還有一些學生完全沒有說明誰是偶數 誰是奇數便直接運用上述運算性質。
有說明4n 為偶數的 22 位學生中，有 4 位學生將 4n 轉換為 2k 表 徵，分別為一般化思維的S304 和 S223、物化 2k 表徵的 S207、以及 可逆思維的S242。而有說明 7 或 7− 為奇數的 13 位學生中，只有 1 位一般化思維的學生S304 以 2k 表徵呈現，不過他是以2k −1的形式 回答：「−7=2×(−3)−1」，與他提到的奇數一般式、奇數之2k 表徵
策略中的2k +1形式並不一致。
(2) 2k 表徵策略：
使用2k 表徵策略的 20 位學生中，有 7 位學生正確地將4n−7轉 換為2k +1或2k −1的形式，且符合他們敘述的奇數2k 表徵策略，其 中6 位學生將4n−7改寫為2(2n−3)−1，分別為一般化思維的S210、
S218、S118 以及可逆思維的 S216、S101、S128；另外有 1 位物化 2k 表徵的學生S332 將4n−7改寫為2(2n−4)+1，屬於2k +1的形式。
一般化思維的S321 希望將4n−7改寫為2k +1的形式，便能運用 2k 表徵策略來判別奇偶性，不過他在運算上出錯，把2(2n −4)+1誤 寫成2(2n−8)+1。另外有 1 位一般化思維的學生 S202 也犯了類似錯 誤，忘記自己已經從數字8 裡提出一個因數 2，原本的 8 應該要變成 4，只寫下2(2n)−2×8+1，雖然他不像 S332 明顯表現出2k +1的形 式，他在後面補上n= n2 −8，他認為4n−7能表示為2k +1的樣子，
其中的 k 是2n−8，他能用文字符號表達自己的想法，卻忽略文字符 號也是一個溝通的工具，使用相同的文字符號表達不同意思容易造成 他人閱讀困難。
其他運用2k 表徵策略判別的學生，僅表現出要改寫4n−7長相 的意圖，卻無法完整以2k +1的形式呈現。物化2k 表徵的 S206、S109 回答4(n−2)+1，屬於4k +1的形式，表示成4k +1的數一定是奇數，
但這樣便不能稱呼這些學生是在運用2k 表徵策略；一般化思維的
S103 和可逆思維的 S111 回答(4n−6)−1，屬於k −1的形式，只是此 時的 k 專指偶數，學生如果真的了解 2k 表徵策略的意涵，應該要能 夠把偶數4n−6以2(2n−3)表示，而不是僅以4n−6呈現，是否提出 因數2 成了是否掌握 2k 表徵很關鍵的一項行為；有 3 位可逆思維的 學生沒有以完整的2k +1表徵呈現，S123 回答2n×2−7，S213 回答
1 4 2
4n− × + ，S129 回答4n−2×3−1，他們皆只改寫4n 或 7− 為 2k 表徵，而非將4n−7視為一個物件，希望將它表示為2k 表徵；具體 思維的S126 回答「7 不可表為 2n」，物化2k 表徵的 S122 回答「原式 可=2n, − 」，他們也都嘗試以 2k 表徵策略解釋7 4n −7為一奇數，卻 無法清楚地敘述4n −7的奇數結構。
4n− × + ，S129 回答4n−2×3−1，他們皆只改寫4n 或 7− 為 2k 表徵，而非將4n−7視為一個物件，希望將它表示為2k 表徵；具體 思維的S126 回答「7 不可表為 2n」，物化2k 表徵的 S122 回答「原式 可=2n, − 」，他們也都嘗試以 2k 表徵策略解釋7 4n −7為一奇數，卻 無法清楚地敘述4n −7的奇數結構。