樣本分析

本研究擬出的發展階段期望能解釋中學生發展2k 思維的歷程，

每位已具有偶數概念的中學生應當都位於此一發展階段的某個階段 中，本節將利用每位學生在問卷中的作答情形，分別去判別他們是否 發展出抽象思維、可逆思維，是否已經物化2k 表徵，以及是否發展

出一般化思維，藉此將每位學生的2k 思維發展階段定位，以利後續 分析。

一、具體與抽象

問卷第一大題的目的即是在檢驗學生是否已發展出偶數的抽象 表徵，此題先要求學生至少列出10 個偶數，再請他將偶數的一般式 寫出來，奇數亦同。

所有樣本學生皆能正確地給出具體偶數與奇數的例子，而且大部 分的學生是回答「2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20」和「1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19」，少部分的學生以任意的奇偶數來回答，還有零星的幾 個學生在數數時有漏數的情形。然而，學生不一定察覺到奇偶數是2 的整數分類之結果，或者只能以口語說明奇偶數是 2 的整數分類，卻 無法將它們轉為靜態的物件2k 和 2k + ，因此，學生可能知道奇偶數1 的數字例卻還沒有發展出奇偶數的抽象表徵，他們必須在具體情境中 才能運思奇偶數的意義，這樣的學生的2k 思維發展只到達最初始的

「具體思維」階段；反之，若已具有奇偶數抽象表徵的學生，其2k 思維發展已到達「抽象思維」階段。各樣本族群學生發展出奇偶數抽 象表徵的情形如[表 4-1-1]所示，整體中學生發展奇偶數抽象表徵的情 形如[表 4-1-2]所示：

[表 4-1-1]

這些學生在回答奇偶數的一般式之答案類型有以下幾種：

[表 4-1-3]

答案類型解讀 高中樣本 樣本四 樣本五 樣本六 合計 偶2n，奇 n S126 J312、J321 － － 3 偶 n，奇 n+1 S226 － － － 1 偶 x，奇 y － J306 J208 － 2 奇+1，偶+1 － － J204、J215 － 2 窮舉 － J304、J316 －

J101、J103 J113、J114 J115、J120

8 整除 S327 － J217 － 2

圖形表徵 － J318 － － 1

倍數 － － J216、J219 J106 3 單一數字

(如：2、3) － － J211、J222 J109、J111

J119 5 雙數，單數 － J305、J308 J203、J205

J210、J221 J110 7

數字 － J315 J202 J104 3

等差數列 － － J214、J218 － 2 其他 － J309、J310 － － 2

未作答 S119 J301、J314 J212、J220

J102、J105 J107、J108 J112、J116 J117、J118

13

合計 4 13 17 20 54

有3 位學生 S126、J312、J321 已抽象化偶數一般式，但他們皆 以單一未知數 k 表示奇數的一般式，而非2k +1，根據我們的定義，

這些學生仍未抽象化奇偶數，他們的困難在於未知符號的意義尚未完 全掌握，因此無法正確使用未知符號表達奇偶數是2 的整數分類。

有1 位學生 S226 亦嘗試以未知符號表達奇偶數的一般式，但他

只以 n 表示偶數，n+ 表示奇數，這樣只說明了奇數與偶數之間的關1 係，卻無法表現出偶數特有的乘法結構，所以，仍不能稱此學生已將 奇偶數抽象化。

其他學生則以各種奇偶數的定義、性質填答，並未表現出有意圖 要抽象化奇偶數的數字結構。

(二) 抽象思維──發展出奇偶數的抽象表徵

108 位高中樣本學生中，有 31 位高三學生、41 位高二學生、32 位高一學生發展出奇偶數的抽象表徵；63 位國中樣本學生中，有 8 位九年級學生、5 位八年級學生、0 位七年級學生發展出奇偶數的抽 象表徵。

這些學生抽象化的結果並不完全一致，大部分學生的偶數抽象化 表徵是2k，僅有 1 位學生 S313 以2k +2表示偶數一般式；主要的不 一致是發生在奇數的抽象化表徵，學生可能以2k +1, 2k−1或2k ±1 來表達奇數一般式，[表 4-1-4]整理樣本一到樣本五的學生表達奇數一 般式的情形。由表中數字可知，這些樣本學生中，大部分已發展出抽 象思維的國中學生都以2k+1表示奇數一般式，只有 J319 和 J201 以

1

2k− 表示奇數一般式；已發展出抽象思維的高中學生中，三年級學 生多以2k+1表示奇數一般式，而一、二年級學生以2k +1和2k −1表 達奇數一般式的差不多各占一半。

[表 4-1-4]

奇數一般式 樣本一 樣本二 樣本三 樣本四 樣本五 合計 1

2k+ 22 19 13 7 4 65 1

2k− 9 21 14 1 1 46 1

2k± 0 1 5 0 0 6

合計 31 41 32 8 5 117

(單位：人)

二、思維方向的可逆與不可逆

問卷第二大題方法D 的目的即是在檢驗學生是否已發展出可逆 的奇偶數抽象思維，此題先提示學生可以利用觀察 x 的長相來分辨偶 數和奇數，再請學生填寫 x 分別要滿足什麼長相才會是偶數或奇數。

思維中已具有奇偶數一般式的學生，不一定知道這個一般式可以 作為判別奇偶數的依據，「偶數都可以表示為2k」蘊含另一層意義是

「表示為2k 的數即為偶數」，若有學生無法察覺此意涵，代表他們奇 偶數的抽象思維只是單向的而不是雙向的，那麼其2k 思維發展只到 達「不可逆思維」階段；反之，若學生能回答「若 x 表示為 2k，則 x 為偶數；若 x 表示為2k+1，則 x 為奇數」，其2k 思維發展便到達「可 逆思維」階段。各樣本族群學生發展出可逆的奇偶數抽象思維之情形 如[表 4-1-5]所示，整體中學生發展出可逆的奇偶數抽象思維之情形如 [表 4-1-6]所示：

[表 4-1-5]

(一) 不可逆思維──未發展出可逆的奇偶數抽象思維

未作答 S119 J301、J304

由[表 4-1-7]、[表 4-1-8]可知，共有 6 位學生 S126、J315、J321、

J201、J202、J203 正確回答 2k 表徵策略中偶數的部分，但在奇數的 部分回答錯誤，其中只有1 位 J201 已發展出奇偶數的抽象表徵，其 他5 位學生的 2k 思維都還是屬於具體思維階段。對照他們在奇偶數 一般式與2k 表徵策略的答題情形，如[表 4-1-9]：

[表 4-1-9]

J201 S126 J315 J321 J202 J203 偶數都可以用

來表示 2x 2n 數字 2r 數字 雙數 奇數都可以用

來表示 2x−1 n 數字 1r 數字 單數 若 x 為 ，

則 x 為偶數 2x 2n 2x 2r 2x 2x 若 x 為 ，

則 x 為奇數 x+2 n x 3r 3x

2x

具體思維的學生有3 位已抽象化偶數但還未抽象化奇數，分別是 S126、J321、J312，其中 S126 和 J321 同時也已經發展出可逆的偶數 抽象思維（如[表 4-1-9]），但是 J312 則完全不具有可逆思維，他在 2k 表徵策略中回答「偶數長相」和「奇數長相」（如[表 4-1-7]）。

在具體思維的學生中，還有一位S226 也是以文字符號回答奇偶 數一般式，而且他的2k 表徵策略和奇偶數一般式的答案是一致的，

都是 n 和n+ 。 1

其他未發展出可逆思維的學生，有些是不知如何回答2k 表徵策 略，有些則是使用不具意義的文字填入，或者以奇偶數的性質作答。

(二) 可逆思維──發展出可逆的奇偶數抽象思維

108 位高中樣本學生中，有 28 位高三學生、40 位高二學生、28 位高一學生已發展出可逆的奇偶數抽象思維；63 位國中樣本學生中，

有4 位九年級學生、3 位八年級學生、0 位七年級學生已發展出可逆 的奇偶數抽象思維。

這些學生敘述2k 表徵策略時，大致上和奇偶數的一般式一致，

但是兩個題目的敘述略有不同，如果學生清楚以符號代表數的意思，

在回答2k 表徵策略時便能注意到不要使用「x」作為未知數，12 位以 文字符號 x 回答奇偶數一般式的學生中，有 5 位學生留意到此小小差 異，原本表示奇偶數一般式時使用符號 x，在回答 2k 表徵策略時更換 了一個文字符號，以和題目中的 x 作區別，然而，有 7 位學生 S231、

S112、S101、S107、J319、J206、J209 則未留意此差異，仍然使用 x 作為未知符號，這些學生還在壓縮未知數的概念。

三、物化2k 表徵

問卷第四大題的目的即是在檢驗學生是否已物化2k 表徵，能否 將2k 表徵視為一個物件在操弄，此題以臆測、檢驗、證明的順序請 學生解釋一個奇偶數的性質：「偶數的平方是偶數，奇數的平方是奇 數」。

已發展出可逆的奇偶數抽象思維的學生，知道2k 表徵策略也是 檢驗奇偶數的一種方法，不過這樣還不代表瞭解2k 這個代數式，若

用Sfard 的語言，如此只能稱為壓縮了 2k 表徵，至於有沒有到更高一

[表 4-1-11]

有操弄奇偶數抽象表徵的行為，其他學生均只以經驗論述或敘述說明 的方式在證明。但是S226 在問卷的一開始便一直勿用文字符號的意 義，因此他在證明情境中操弄的奇偶數表徵仍是他一開始所回答的奇 偶數一般式 n 和n+1，在證明「奇數平方是奇數」時，便計算(n+1)² 得到n² + n2 +1，再說明n²是偶數、2n 是偶數、1 是奇數，而得到原 式為一奇數，由此可知他使用的「n」是偶數的意思，雖然他操弄的 是他認知中的奇偶數抽象表徵，但與本研究中定義的物化2k 表徵不 符合，因為物化 2k 表徵的學生必須是操弄正確的奇偶數一般式 2k 和

1

2k + 。另外一位學生S126 也出現形式演繹的證明，且他是操弄 2n 和2n+1這兩個一般式，而非他在第一大題中回答的一般式2n 和 n，

不過他是在方法B 的證明中操弄奇數一般式2n+1，真正要使用 2k 表徵策略的方法D 中，他又改成操弄他心目中的奇數一般式 n，沒有 穩定地操弄2n+1，如此的行為仍不能算是物化2k 表徵。

不可逆思維的8 位高中學生和 6 位國中學生中，只有 S313 和 S108 有操弄奇偶數抽象表徵的行為，其他學生只以經驗論述或敘述說明的 方式給予證明。S313 在第一大題回答的奇偶數一般式為2n+2和

1

2n+ ，在第四大題中則只有操弄奇數一般式2n+1，而且是在使用方 法A 的證明時出現此行為，這樣的行為不符合本研究對物化 2k 表徵 的定義，因為物化2k 表徵必須同時能操弄奇偶數的抽象表徵。另外 一位學生S108 在第一大題回答的奇偶數一般式為 2x 和2x±1，在第 四大題則是操弄2n 和2n±1，不過他也是在方法 A 中操弄奇偶數的抽

象表徵，還將奇數一般式2n±1的平方誤算成_2n² _±1，因此這位學生 亦不能算是已物化2k 表徵。

已發展出可逆思維但尚未物化2k 表徵的學生，稱他們的 2k 思維 發展階段為「可逆思維」，這51 位高中學生和 7 位國中學生中，只有 2 位學生 S329、S303 有操弄奇偶數抽象表徵的行為，但是他們只有 操弄偶數一般式2n，而未操弄奇數一般式2n+1，因此他們的思維還 不能算是已物化2k 表徵。

(二) 物化 2k 表徵

108 位高中樣本學生中，有 9 位高三學生、22 位高二學生、14 位高一學生已物化2k 表徵；63 位國中樣本學生中，沒有人已物化 2k 表徵。

這些學生在證明時，形式演繹必是他們選用的方法之一，且偶數 和奇數必須同時都有正確的代數操弄，當然，他們仍然可以搭配其他 的證明方法，亦不會影響他們已物化2k 表徵的事實。

四、特例與一般

問卷第四大題方法D 的目的即是在檢驗學生是否已發展出一般 化思維，還是屬於仍依賴奇偶數的其他判別方式在檢驗奇偶數的特殊 化思維，此題請學生以2k 表徵策略證明奇偶數的運算性質：「偶數的 平方是偶數，奇數的平方是奇數」。