第四章 研究結果與討論
第三節 應用奇偶數判別策略於具體數字
以下詳細討論各個2k 思維發展階段的學生在判別具體數字奇偶 數的表現。
一、一般化思維
具有一般化思維的20 位學生中，只有 1 位 S210 沒有利用窮舉策 略判別具體數字的奇偶性，他未填答該方法，但他有正確地運用其他 四項奇偶數判別策略判別具體數字的奇偶性，其他19 位學生都能正 確地使用五項奇偶數判別策略於具體數字的辨識。
共有7 位學生 S311、S202、S208、S212、S218、S104、S130 在 運用因數策略時將他們欲辨識的偶數寫成2×(...)，不過他們的目的都 在說明該數字有因數2，所以在使用因數策略於欲辨識的奇數上並未 出現2k+1表徵。在使用整除策略時，有1 位學生 S104 以「10=2×5⇒ 偶，11=2×5+1⇒奇」說明。
二、物化2k 表徵
已物化2k 表徵但是只具有特殊化思維的 25 位學生中，只有 1 位 學生S224 沒有利用窮舉策略判別具體數字的奇偶性，其他 24 位學生 都能正確地使用五項奇偶數判別策略於具體數字的辨識。S224 在窮 舉策略中填寫的是以2k 表徵策略判別 12 和 11 的奇偶性，而非判別 2 和1 的奇偶性，因此這位學生並沒有掌握到窮舉策略的意義。
共有9 位學生 S302、S332、S213、S229、S231、S235、S109、
S112、S124 在運用因數策略時將他們欲辨識的偶數寫成2×(...)，另 外有幾位學生也以數字的乘法結構表示他們欲辨識的偶數有因數2，
但以因數分解的形式（例：12=22×3）或非 2k 表徵（例：8=4×2） 回答，本研究未將這些學生的行為視為在運用因數策略時出現2k 表 徵。
三、可逆思維
[表 4-3-2]整理可逆思維的 58 位學生運用五項奇偶數判別策略的 情形，其中「O」代表正確運用於偶數和奇數的判別，「Δ」代表正確 運用於偶數和奇數其中一項的判別，「×」代表皆未運用於偶數和奇數 的判別：
[表 4-3-2]
方法 高中樣本 國中
樣本 合計 A B C D E
O O O O O
S301、S306、S307 S308、S310、S315 S317、S318、S322 S324、S328、S329 S203、S214、S216 S219、S221、S222 S227、S228、S232 S237、S238、S240 S241、S242、S101 S107、S115、S117 S121、S125、S127 S128、S129、S132
J302 J206 J209 J213
40
Δ Δ Δ Δ Δ S303、S320、S204 － 3 O O O Δ O S201、S114 － 2
O O O × O S331、S234 J319 5
S239、S123
Δ Δ Δ × Δ S323 － 1
× O O O O S305 － 1 O O × O O S111 J313 2
× O O × O S319 － 1
× × Δ O O S316 － 1
O O × × × － J317 1
× O × × × S134 － 1
合計 51 7 58
這些學生之中，共有19 位學生在運用因數策略時將欲辨識的偶 數以2k 表徵呈現，分別是正確運用 5 個判別方法的 S301、S317、
S203、S214、S216、S219、S221、S240、S241、S242、S115、S117、
S121、S125，以及未完全正確運用 5 項判別策略的 S305、S323、S239、
S111、S123。此外，有 1 位學生 S125 在運用整除策略辨識偶數時雖 然以除法的算式呈現，但在辨識奇數時回答：「2×6+1=13」，不過這 位學生的奇數一般式和奇數的2k 表徵策略都是2k −1，他在運用 2k 表徵策略時亦是將13 轉變為2×7−1。
四、不可逆思維
不具有可逆思維但已發展出抽象的奇偶數表徵的14 位學生中，
有1 位學生 J307 完全空白，其餘 13 位學生均有正確地運用窮舉策略、
整除策略和因數策略，其中有2 位學生在使用這些判別策略時出現 2k 表徵：S102 在運用整除策略時回答「10=2×5+0，∴是偶數；
1 5 2
11= × + ，∴是奇數」，並且在運用因數策略時亦以數字的乘法結
構表達因數概念：「10=1×10, 2×5，因數有2，∴是偶數；11=1×11， 因數沒有2，∴是奇數」；而 S116 則是在運用因數策略時以18=2×32 表示18 有因數 2。
有2 位學生 S102 和 S313 沒有運用圖形表徵策略於具體數字的奇 偶性判別，他們在該策略的空格是空白的；剩下11 位學生皆有正確 地使用圖形表徵策略。
這些學生不具可逆思維，代表他們在第二大題中並沒有正確地回 答2k 表徵策略，因此他們皆沒有辦法運用 2k 表徵策略。但是有 1 位 學生J201 正確地使用偶數部分的 2k 表徵策略說明 4 是一個偶數，而 他正是這個階段中唯一一位發展出可逆的偶數抽象思維之學生。
五、具體思維
具體思維的54 位學生中，只有 1 位學生 S126 有運用 2k 表徵策 略去辨識偶數，他將28 改寫成2× 而說它是一個偶數，但是他認為14 39 是奇數的理由是因為它不能寫成 2n，這樣的行為並不符合運用 2k 表徵策略的要求。前面討論過，這位學生的2k 思維雖然被界定為只 發展到具體思維階段，但是他已具有偶數的抽象表徵、可逆的偶數抽 象思維，此處又證實他能夠將這個可逆的偶數抽象思維應用於具體偶 數的辨識上。
除了S126 之外，具體思維的學生皆沒有人在判別奇偶數時使用 2k 表徵策略，因此，之後將只討論具體思維的學生在其他四項奇偶
數判別策略上的應用表現。[表 4-3-3]整理具體思維的 54 位學生運用
J106、J114、J119 7 O O × O － J208、J216 2
54 位學生中，有 16 位學生能正確地使用窮舉策略、整除策略、
圖形表徵策略和因數策略辨別具體數字的奇偶性，其中包含1 位高中 生、1 位九年級學生、5 位八年級學生和 8 位七年級學生。有 12 位學 生則完全不會運用任何一項判別策略來說明具體數字的奇偶性，其中 包含1 位高中生、4 位九年級學生、2 位八年級學生和 5 位七年級學 生。
這些具體思維的學生，有時在運用各項判別策略時會出現2k 表 徵：S126 在運用圖形表徵策略時回答：「28 (OO) 14= × ，∴偶數；
=
39 (ΔΔ)×19 Δ，∴奇數」+ ；J214 在運用整除策略時回答：「2×4=8， 7
1 3
2× + = 」；另外有5 位學生 J304、J205、J216、J106、J113 皆在運 用因數策略時將他們判別的偶數表示成2k 表徵，藉此說明它有因數 2。
六、小結
整體而言，不論是何種判別策略，學生將它們應用於偶數的表現 都優於應用在奇數的表現，可見，小學階段雖然是同步地學習偶數和 奇數，但是偶數的2k 表徵會比奇數的2k +1表徵容易被察覺，因此偶 數2k 思維的發展會較奇數2k+1思維的發展快。
有使用2k 表徵策略判別具體數字的學生一定有 2k 表徵的行為，
但沒有使用2k 表徵策略判別具體數字的學生也有一些人出現 2k 表徵 的行為。理論上來說，可逆思維、物化2k 表徵、一般化思維這三個
階段的學生已經察覺2k 表徵策略，應該能使用這個策略來判別物件 的奇偶性，但[表 4-3-2]顯示，有少數可逆思維階段的學生仍未使用 2k 表徵策略判別具體數字的奇偶性，不過，物化 2k 表徵和一般化思 維階段的學生都沒有這樣的情形發生。而不可逆思維和具體思維階段 的學生尚未察覺2k 表徵策略，應該不會出現 2k 表徵的行為，但上述 討論發現，這兩個階段的學生可能在使用整除策略和圖形表徵策略時 出現2k 表徵的行為，特別地，在因數策略時即使沒有奇數2k +1表徵 出現，也有可能出現偶數2k 表徵。
另外，已發展出奇偶數抽象表徵的學生，不論其2k 思維發展到 哪一個階段，都有85%以上的學生能夠在具體情境中使用窮舉策略、
整除策略、圖形表徵策略和因數策略，已物化2k 表徵的學生甚至有 將近100%的答對率，相較之下，很多具體思維的學生在這四項判別 策略中仍會出現錯誤。由此可知，若要發展出奇偶數的抽象表徵，學 生一定要先熟悉這幾項較基礎的奇偶數定義，有了穩固的奇偶數概念 後，才有可能讓具體的奇偶數概念抽象化。