2k 表徵到 4k 表徵

+ n × ^時出現 2k表 徵行為，大部分是因為他們在使用2k表徵策略或因數策略。

另外，還可以發現，當沒有強迫學生使用何種判別策略時，仍然 可以主動地使用2k表徵策略作為判別物件奇偶性的工具的學生，他 們的2k思維發展階段一定是可逆思維、物化2k表徵、一般化思維中 的其中一個，而且對照這些主動使用2k表徵策略的學生在判別具體 數字時的表現可發現，他們全部都能正確地運用2k表徵策略來判別 具體數字。

第五節 2k 表徵到 4k 表徵

問卷第六大題的第(1)小題在檢驗學生能否以4k表徵表達以4分 類整數的各個一般式，題目中以「x除以4餘1」、「y除以 4餘 3」、「z 除以4餘0」，希望學生能藉此寫出 x, y, z的一般式。

本研究欲觀察奇偶數抽象表徵發展情形和4k表徵發展情形之間 的異同，因此將學生以2k思維發展過程中的「具體到抽象」為分界，

分成具體思維和抽象思維兩大類；再者，高中學生已學習過抽象數論 的知識，而國中生則尚未學習，因此高中學生和國中學生在4k表徵 抽象化的結果應會不相同，所以具體思維和抽象思維的學生再各分成

高中和國中兩部分。由[表4-1-2]可知，未發展出奇偶數的抽象表徵的 學生共有54 位，其中有4位是高中學生，50 位是國中學生，已發展 出奇偶數的抽象表徵的學生共有117位，其中13 位是國中學生，104 位是高中學生，以下依照這四類學生分別分析其4k表徵的發展，並 與2k表徵的發展作比較。

(一) 具體思維的高中學生：

[表4-6-1]為3位具體思維的高中學生在回答「奇偶數一般式」和

「以4分類整數」時的答題表現，另外還有1位學生S119 由於皆未 作答，未列入表中。

[表 4-6-1]

偶數 奇數 除以4 餘 1 除以 4 餘 3 除以 4 餘 0 學生編號

2n n 4q1+1 4q2+3 4q3 S126 n n+1 4a+1 4b+3 4c S226 整除2 不能整除 2 ...1

4

x ...3 4

y ...0 4

z S327

S126 和S226這 2位學生能回答正確的4k表徵，卻在奇偶數表 徵的抽象化上出現錯誤。S327和S119 這2位學生則無法以文字符號 表達數字的乘法結構，屬於典型的具體思維階段學生。

(二) 具體思維的國中學生：

共有3位學生J312、J216、J218回答( 4n+1, 4n+3, 4n )，他

們在回答奇偶數一般式時，J312回答2n和 n，J216回答2的倍數和 不是2的倍數，J218回答等差數列和n+2；共有3位學生J205、J217、 J112回答( 4x+1, 4y+3, 4z )，他們在回答奇偶數一般式時，J205 回答雙號和單號，J217回答被2整除和不被2整除，J112未作答。

共有3位學生以錯誤的代數式回答：J314回答( x+4, 7x+4, 0 )，J212回答( 1

4x +

, 3 4y +

, 4z )，J115回答( a, b, c )。

共有11 位學生以正確的單一數字表示x, y, z的一般式，分別是 J306、J208、J211、J214、J215、J221、J106、J108、J111、J114、J119， 這些學生之中，J211、J111、J119也以單一數字表示奇偶數的一般式。

共有7位學生以錯誤的單一數字表示x, y, z的一般式，分別是 J321、J304、J305、J308、J310、J220、J104，這些學生之中，J321 以2r和 r表示偶數和奇數的一般式。

共有13 位學生以文字回答，例如：「奇數、奇數、偶數」或「4 的倍數+ 、1 4的倍數+3、4的倍數」，這些學生分別是J318、J202、 J219、J113、J315、J316、J203、J210、J222、J103、J120、J105、J109。 還有有10 位學生空白未填答。

(三) 抽象思維的國中學生：

[表4-6-2]為13位抽象思維的國中學生在回答「奇偶數一般式」

和「以4分類整數」時的答題表現：

[表 4-6-2]

偶數 奇數 除以4 餘1

除以4 餘3

除以4 餘0

可逆 思維

不可逆

思維 合計

2n 2n+1

4n+1 4n+3 4n J213、J302 J307、J320 4 4n+1 4n+7 4n J317 － 1 9 7 12 J313 － 1*

未作答 未作答 未作答 － J311、J303 2*

2x 2x+1 4a+1 4a+3 4a J206 － 1 4x+1 4y+3 4z J209 － 1 2x 2x-1 4Q+1 4Q+3 4 商 J319 － 1

4x+1 4y+3 4z － J201 1 2n 1+2n 1+4n 3+4n 4+4n － J207 1

總人數 7 6 13

(四) 抽象思維的高中學生：

抽象思維學生的奇數抽象化結果，可分為2k +1、2k +1、2k ±1

三種（見[表4-1-4]），以下分別分析這三類學生在抽象化4的倍數之

表現。

奇數一般式以2k +1表達的54 位學生，其抽象化4的倍數之結果 如[表4-6-3]所示，奇數一般式以2k −1表達的44 位學生，其抽象化4 的倍數之結果如[表4-6-4]所示，奇數一般式以2k ±1表達的6位學 生，其抽象化4的倍數之結果如[表4-6-5]所示。在這三個表格中，

( 4a+1, 4b+3, 4c )代表學生使用非x, y, z的相異文字符號表達x, y, z的一般式，(4x+1, 4y +3, 4z )代表學生使用文字符號x, y, z表達x, y, z的一般式，(4n+1, 4n+3, 4n )代表學生使用相同文字符號表達

x, y, z的一般式；標記「*」的位置代表未發展出抽象的4k表徵。

[表4-6-3]

4n+1 4n+3 4n 0 0 3 1 4