研究工具

一、設計理念

欲區別學生是否發展出 2k 思維，光會說出「偶數一般式為 2k」

或者「表示成 2k 的數都是偶數」是不夠的，必須要有依照這個概念 的共通相似性去將資料分類的行為能力(Skemp, 1995)。2k 思維主要可 以應用在兩類活動中，一類是奇偶數辨識，另一類是數型命題的論 證，然而，利用偶數的其他定義而不運用 2k 思維仍然可以完成這些 活動，因此研究工具必須有強迫受試者使用 2k 思維的設計。若在奇 偶數辨識上提示學生使用 2k 表徵策略，那麼學生並非自發地表現出 2k 思維，受試者可能不具備 2k 思維，但是根據提示去作答，一樣能 將一個代表偶數的數或代數式轉換成 2k 表徵，這樣將無法有效地檢 驗出受試者是否確實擁有 2k 思維。如果在數型命題的論證上強迫受 試者使用 2k 表徵策略證明，這樣的提示較不明顯，如同研究動機裡 案例一所述的學生們，他們也被告知使用 x 來論證偶數的平方是偶 數，但是他們最後仍然沒有表現出 2k 思維。

然而，在使用證明情境看學生 2k 思維發展時，仍要避免學生選 用敘述說明的方式在論證，因為它也是一種有效的證明，卻無法從中 看出 2k 思維的發展，也無法得知學生是否瞭解文字符號所代表的一 般化意義，另外，還要避免過於明確地提示學生使用 2k 表徵策略證 明數型命題。基於以上考量，問卷設計上，要求學生使用五種偶數的

判別策略，分別對同一個數型命題給予證明，藉由學生利用五種判別 策略建構出的證明內容來區別學生 2k 思維的發展情形。這樣的設計 可以同時瞭解學生是否知悉偶數的五種判別策略，確認學生理解判別 策略中蘊涵的邏輯思維，還可以瞭解學生能否在證明情境中運用各個 判別策略。

不過，這個設計建立在一項臆測上：具有 2k 思維的學生一定能 主動建構形式演繹證明。這項臆測必需是正確的，才能只由形式演繹 的證明過程就界定學生 2k 思維發展情形。給出這項臆測是合理的，

學生在 2k 思維發展的歷程中必定得經過物化 2k 表徵的一個階段，不 可能 2k 表徵尚未物化，卻說這位學生已經具有 2k 思維，這樣的想法 不合理，再者，2k 表徵要物化的判準，是學生能否操弄偶數一般式 2k，而這正是形式演繹證明的表現。但是，本研究並沒有試圖要從填 寫問卷的過程教導學生培養 2k 思維，而是要看學生的 2k 思維已經發 展到哪一個階段，因此將 2k 表徵物化的判準設定為學生能否主動地 操弄 2k 表徵，問卷中不提醒學生以形式演繹的方式進行證明。

梁蕙茹(2003)的研究指出，部分使用經驗論證的國中學生無法瞭 解代數式演繹的有效性，會提出「列式子不是也會有例外嗎？」的質 疑。由此可見，有這類疑問的學生並不瞭解代數式所代表的一般化意 義，他們自然不具有 2k 思維，也不會使用 2k 表徵給予形式演繹的證 明，如此符合本研究架構中提到的──思維要達到一般化的前提，是 必須物化代數表徵。

除了用證明情境來判定學生 2k 思維發展之外，本研究將進一步 探討學生是否主動地將 2k 表徵判別策略使用於奇偶數辨識，包含具 體數字和代數式，並討論這樣的行為與他們的 2k 思維發展情形之間 的關係。

除了 2k 思維之外，本研究欲更深入探討學生在整數中，對任意 大於 2 的正整數 n，其 nk 思維的發展情形，這部分並非本研究重點，

因此僅以 4k 為例，比較 4k 思維與 2k 思維之間是如何互相影響彼此 的發展，利用學生在辨識 4 的倍數的代數式時所使用的方法，探討使 用 4k 表徵策略的學生是否都已具有 2k 思維？4k 思維與 2k 思維的差 異又有哪些？

二、問卷架構

本問卷主要的目的在鑑定學生思維的抽象化、可逆性、一般化的 情形，以及是否主動操弄代數表徵，並檢驗學生的 4k 思維與 2k 思維 的發展差異。問卷編製後，經過一次預試，確認問卷內容可以達到問 卷所設定的目標，稍作修正題目敘述後定稿。問卷包括六個大題，各 大題的目的條列如下[表 3-3-1]，並進一步詳細說明如何以這些目的設 計問卷內容。

[表 3-3-1]

題號 目的

一 1. 確認學生知道「偶數」和「奇數」。

2. 檢測學生能否表達偶數和奇數的一般式。

二 1. 瞭解學生是否具有正確判別奇偶數的策略。

三 1. 確認學生能夠將各種奇偶數判別策略一一運用於具體奇偶數 的判別上。

四 1. 檢測學生運用各種奇偶數判別策略證明命題的能力。

五 1. 瞭解學生能否自發地使用 2k 表徵策略判斷奇偶數。

2. 探究其他奇偶數判別策略如何影響 2k 思維發展。

六 1. 檢測學生能否以 4k 表徵表達以 4 分類的四類整數。

2. 探討學生判別 4 的倍數時所使用的判別策略。

(一)第一大題

此題的目的在確認學生知道「偶數」與「奇數」兩個數學名詞，

並檢測學生能否表達偶數與奇數的一般式。

因此，開門見山地請學生列舉出他所知道的偶數與奇數，從中得 知學生在看到「偶數」與「奇數」一詞時，心中會連結到哪些具體數 字，這些數字即是學生對於奇偶數的概念心象；接著，請學生寫出奇 偶數的一般式，但預測時發現學生對「一般式」一詞感到困惑，所以 定稿之問卷改以「偶數都可以用 來表示」請學生填寫，如此可以 得知學生除了具體的奇偶數概念心象之外，是否也擁有抽象的奇偶數 概念心象。

(二)第二大題

此題的目的在瞭解學生是否知道各種奇偶數的概念定義，或者 說，要瞭解學生是否具有正確判別奇偶數的策略。

奇偶數判別策略共分成窮舉、整除、圖形表徵、2k 表徵、因數 策略五種，在問卷中分別稱為方法 A 至方法 E，以方便學生回答問卷 後半部時能直接使用 A~E 的代號稱呼各個方法。每個方法皆以填充 方式請學生回答各項策略區別奇偶數的關鍵要素，以整除策略為例，

問卷中先敘述這個方法是「把 x 除以 2，看看是否整除」，再請學生 填答偶數是「可以／不可以」被 2 整除，而奇數是「可以／不可以」

被 2 整除。五種策略中，2k 表徵策略的敘述將作為研究分析時判斷 學生是否擁有 2k 思維的一項重要指標，學生在第一大題若能給出偶 數一般式 2k 和奇數一般式2k +1，不一定就能在第二大題中也給出正 確的 2k 表徵判別策略。

不過，許多學生判別奇偶數時並非依據奇偶數的概念定義，而是 根據運算策略決定特殊數字、代數式的奇偶性，但運算策略並不能作 為奇偶數的概念定義，因此若學生感覺到方法 A 至方法 E 等策略皆 無法作為判別奇偶數的理由時，則可以自行於方法 E 後繼續列舉運算 策略。

(三)第三大題

此題的目的在確認學生明瞭第二大題各項判別策略的意義，且能 夠將它們一一運用於具體奇偶數的判別上。

題目設計上先請學生分別找一個欲判別的偶數與奇數，再一一利 用第二大題的五個方法分別說明它們為偶數或奇數的原因。以整除策

略為例，若學生欲判別 2 和 3 分別為偶數和奇數，便能以「2÷2=1...0」 和「3÷2 =1...1」呈現，如此就可以得知學生理解「被 2 整除」的意 義。五種策略中，會不會運用 2k 表徵策略於具體奇偶數的判別上是 界定學生是否有 2k 思維的一項重要指標，若學生在第二大題 2k 表徵 策略中正確填答 2k 與2k +1，但第三大題卻無法將 2 轉換成2× ，將1 3 轉換成2×1+1來說明 2 和 3 的奇偶性，便推測此學生並未理解 2k 表徵策略的意義。

(四)第四大題

此題的目的在檢測學生運用各種判別策略證明命題的能力。

試題中，給定命題「若 a 為任意偶數，則a 為偶數或奇數？若 b² 為任意奇數，則b 為偶數或奇數？」² ，學生先臆測答案、檢驗，最後 才是運用各個奇偶數判別策略證明臆測的正確性，如此設計的用意在 確定學生若具有 2k 思維，一定能在被要求運用 2k 表徵策略時將代數 式轉換為 2k 表徵，以判別其奇偶性，若學生不具有 2k 思維，在該項 目的證明必定會出現瑕疵，如此就能很容易確認學生 2k 思維的發展 情形。

(五)第五大題

此題的目的在瞭解學生能否自發地使用 2k 表徵策略判斷奇偶 數，並探究其他奇偶數判別策略如何影響 2k 思維發展。為了達到此

目的，試題採用開放式設計，不限制學生使用何種策略判別奇偶性，

學生便會表現出最佔優勢的概念定義或概念心像。

這一大題又分成七小題，每一小題皆為一個數字或代數式，學生 需要判斷該數字或代數式之奇偶性，並敘述判別的方法。下表整理出 各小題的差異性：

[表 3-3-2]

題號 題目 奇偶性 數字/代數式 運算

(1) 789 奇數 純數字 無

(2) 3⁵×6²×9⁴ 偶數 數字 乘、指數 (3) ⁴ⁿ⁻⁷(其中 n 是任意負整數) 奇數 代數式 減、乘 (4) ₂¹⁷ ₊₁ 奇數 數字 加、指數 (5) ^{14 8}

2 3b +

a (其中 a, b 是任意整 數)

偶數 代數式 加、乘、

指數 (6) 2

n2

(其中 n 是任意奇數) 都不是 代數式 指數、除

(7) 26 2 ¹³⁹

2 × + n

(其中 n 是任意偶 數)

偶數 代數式 加、乘、

除、指數

(六)第六大題

此題分成四個小題，第一小題的目的在檢測學生能否以一般式 4k、4k +1、4k+2、4k+3稱呼以 4 作為分類基準時所分出的四類數 字，後面三個小題的目的在探討學生判別 4 的倍數時所使用的判別策 略有哪些，並藉此比較 4k 思維與 2k 思維發展之異同。