從 HPM 觀點看高中行列式課程設計

本節將探討：教育部 84 年公布的首份高中課綱(88 學年度開始實施，稱 88 課綱)、93 年公布的《普通高級中學暫行課程綱要》(95 學年度開始實施，稱 95 暫 綱)以及本研究之主體─99 課綱，三種課綱在數學科的教學目標以及三版本教科 書的編輯理念，並且比較有關行列式課程編排順序。

88 課綱中的數學課程(教育部，1995)教學目標：

1. 引導學生了解數學的內容、方法與精神，培養學生用數學方法思考問題的素 養與能力。

2. 增進學生的基本數學能力，奠定學習相關學科的基礎。

3. 提供學生在實際生活與未來生涯所需的數學知能。

4. 培養學生欣賞數學內涵簡明有效及結構嚴謹優美的特質。

95 暫綱中的數學課程(教育部，2004)教學目標：

1. 引導學生瞭解數學的內容，意義及方法。

2. 培養學生以數學思考問題，分析問題，解決問題的能力。

3. 提供學生在實際生活和學習相關學科方面所需的數學知能。

4. 培養學生欣賞數學內涵中以簡馭繁的精神和結構嚴謹完美的特質。

99 課綱中的數學課程目標(教育部，2008)：

1. 培養學生具備以數學思考問題、分析問題和解決問題的能力。

2. 培養學生具備實際生活應用和學習相關學科所需的數學知能。

3. 培養學生欣賞數學內涵中以簡馭繁的精神和結構嚴謹完美的特質。

而99課綱其設計理念(教育部，2008)：

1. 掌握主要脈絡，建構清晰的數學概念。

2. 展現化繁為簡、以簡馭繁的數學思考方法。

3. 在演繹之外，加強歸納思維的訓練，並認識數學模型的意義。

4. 以圖形與實例，循序漸進，建構抽象思維的內涵。

5. 強調數學的應用，凸顯數學的普遍性與本質性。

由上述內容可以看出，88 課綱、95 暫綱以及 99 課綱的教學目標大致相同，

其中「培養學生以數學思考問題，分析問題，解決問題的能力」及「培養學生欣 賞數學內涵中以簡馭繁的精神和結構嚴謹完美的特質」是與 HPM 的精神相吻合 的，而 99 課綱的設計理念中也提到「強調數學的應用，凸顯數學的普遍性與本 質性」，對此研究者認為，將數學歷史發展的脈絡整合入數學教學中，將可以了 解到數學概念萌芽的原因，以及可以帶領我們解決什麼問題，與此一設計理念是 相吻合的。

接著我們將探討各版本教科書的編輯理念。

甲版本編輯大意(許志農等，2013)，節錄第三、四點：

參、本書特色：

(1) 每章分成數節，每節又細分數個前後呼應的主題，利於學生的自修及便 於老師教學與教學進度的安排。

(2) 每節附有相關的例題、隨堂練習與習題，且盡量安排一道簡易且凸顯該 節內容的應用問題。

(3) 例題以點出數學內容重點及由淺入深的學習為主，在數據的取捨上盡量

(4) 習題分為基礎題與進階題，基礎題的第一題或最後一題為概念題，用以 測試學生對本節的整體了解。當然也安排一些加深的進階題，但在難度 上作適當的控制與取捨。大部分習題以呼應例題為原則，避免造成學生 及老師的困擾，是本書習題的一大特色。

肆、本書每章章首有一整體性的介紹及凸顯本章內容的圖片，盡可能讓老師及學 生了解本章的大致內容。章末附有十道總習題，分為概念題、程序題與數學 解題三部分，以利學生複習需要。

乙版本編輯大意(游森棚等，2013)，節錄其中第三、四點：

參、數學的學習著重於思考與推理，而這方面的訓練有賴於不斷的練習。為使學 生有充分練習的機會，我們把習題依題目的深淺分為三類：基本題、進階題 與挑戰題。基本題與進階題是例題的相似或延伸，而挑戰題是新題型的介 紹。

肆、鑑於每節的內容頗多，我們將每節內容又細分為數個主題，使教師便於掌控 教學的進度。

丙版本編輯大意(單維彰等，2012)，節錄其中第三、四、八點：

參、本書旨在提供學生基本的數學知識，養成以科學態度處理事務的能力。

肆、本書力求銜接九年一貫與高中一年級數學課程，編寫由淺入深、循序漸進，

以實例出發，由具體到抽象，再作理論的推演，互為印證，行文並求親切細 膩，期望達到自習亦可讀的目標。

捌、本書各章扉頁皆供圖文，藉以引發學生的學習動機。

從以上各版本的編輯理念看來，對於課綱教學目標中「培養學生欣賞數學內 涵中以簡馭繁的精神和結構嚴謹完美的特質」的具體實踐，大都沒有多做描述。

NCTM(1970；轉引自 黃毅英和黃家鳴，1997)指出：「無論各地如何將數學 課程闡述，其目標亦大致可歸入：實用知識、學科知識及文化素養。」其中，

實用知識包括：(1) 以數學方式解決日常生活遇到的問題 (2) 提供將來大部分職業所需的數學訓練

(3) 為將來升讀理科及有關學科所需中的數學奠下基礎 學科知識包括：(1) 數字、符號及其他數學對象運算能力

(2) 數字感、符號感、空間感、度量感及結構與規律的意識 (3) 推理與邏輯思維

(4) 以數學構作及解決問題的能力 (5) 以數學方式表達及傳遞意念 文化素養包括：(1) 欣賞數學之美

(2) 認識古今數學在各地文化中的角色及與其他學理間的關係

由 2.2 節的探討中可以知道，數學史融入數學教學可以有效輔助實用知識與 學科知識的教學目標，並且文化素養中的兩點更是需要藉由數學史的融入來達成，

而三版本的編輯理念整體來說呼應了此三大分類原則，但實用知識與學科知識沒 有借重數學史的輔助，且未強調文化素養中的欣賞數學之美與認識古今數學在各 地文化中的角色及與其他學理間的關係，可見目前的高中數學教科書尚有將數學 史融入的努力空間。

Fasanelli(2000；轉引自 陳玉芬，2006)指出數學史教育未能普及的原因：

1. 缺少數學史家的教學

2. 邏輯思考才是數學教學的核心 3. 數學史只是一種趣聞軼事

4. 數學史的內容是孤立的，而且無法解決現實生活中的問題 5. 以入學考試為導向的教育

站在不同的面向設計數學課程時，將呈現不同的風貌，而先前也提到「學生學習 數學的過程與數學發展的歷程有一定的類似性，即遵從生物發生學的一個基本規 律：個體的成長要經歷種族成長的所有階段順序相同，只是所經歷的時間縮短。」

數學與人類的生活息息相關，若課程的設計只是讓學生將數學知識的發展作濃縮 後的學習，學生不免有理解上的困難。(陳玉芬，2006)故在課程的設計上必須考 量數學對人類發展的影響、數學與自然的關係以及數學與人類文化的相互作用 (李善良、單墫，2002；轉引自 陳玉芬，2006)，而為了達到認識數學之美，甚 至是認識古今數學在各地文化中的角色及與其他學理間的關係，正視數學史融入 數學教育，將是一個重要的課題。

表 3-1 為三個課綱中，行列式教材編排順序的對照。從表中我們可以看到，

95 暫綱雖然在第二學年有提到二階行列式及二階克拉瑪公式，但在選修(I)的「矩 陣」單元有完整的兩小節介紹二階、三階的行列式及克拉瑪公式，故研究者猜測，

編輯者認為二階與三階的行列式、克拉瑪公式關係緊密。

值得注意的是，99 課綱中的三階行列式只有自然組的學生會學到，社會組 的學生是不用教授的，而從本研究第二章第一節探討的行列式發展可以看出，行 列式概念的起源目的在於簡化並有規律的符號表示，若是將二階與三階行列式分 開教授，甚至只教二階行列式，研究者認為應當無法展現出此符號的好處，並且 與課綱教學目標的「培養學生欣賞數學內涵中以簡馭繁的精神和結構嚴謹完美的 特質」背道而馳了。

表 3-1

圖 3-1 各版本行列式教材順序圖