運用數學史教學的依據

在本節我們將探討「數學史融入數學教學」的相關文獻，說明數學的教學不 應只是被視為嚴謹、形式化的學科訓練，而是在更廣泛的脈絡架構觀點下的一門 學科(Fried,2003；轉引自 陳玉芬，2006)，首先將探討運用數學史教學的必要性，

其次將說明數學史與數學教學的整合。

將數學史融入數學教學是有其必要性的。Jones(1998；轉引自 陳玉芬，2006) 在 Historical topics for the mathematics classroom 的第一章指出：「數學史可視為 一種教學的工具。」並說道「適當地使用它，將它與現代的數學知識與應用聯結 在一起，那麼數學史會是一個老師如何教出『為什麼』的重要工具之一。」同時 也將所謂的『為什麼』分成三種類別：

1. 時間演進所產生的為什麼(Chronological whys)，意指以時間為主軸發展下數 學知識的變化。

2. 邏輯上的為什麼(Logical whys)，歷史能為學生提供大量發展邏輯洞察的能力，

因為它包含了公理系統本質的了解、邏輯推理以及定理的證明，對於學生發 展數學結構性的了解是很重要的。

3. 教法上的為什麼(Pedagogical whys)，此種程序或策略，並不像前述兩種有著 完備的獨斷性定義或唯一性的邏輯觀，而是一種在問題中抽絲剝繭後的逆向 思考，並藉由歷史中的學習，幫助學生的了解或減少學生所犯的錯誤。

並且對數學史的教學給了以下詮釋：

「歷史的觀點可以幫助教師決定『現代的數學』是什麼樣子，歷史說明了當代的 數學其實是許多新舊知識的綜合體─就像畢氏定理雖然古老，但仍然很重要，而 新概念，則如：集合(sets)，公理(axiomatics)，結構(structrue)這些重要系統。因 此對於這些新舊知識概念的澄清所形成的新面向將更有意義於對原本知識內容 的敘述，就像如果在一個舊系統中利用結構的洞察，使得某部分的知識更易於綜 合與延伸，或是利用新的符號與專業術語整合一個難以理解的知識使其系統化。

那麼這些新的結構及符號的洞察將使得數學的教與學更容易。『現代化的數學』

也許只不過是一些舊觀點的新洞察。因此，既不是要揚棄舊的知識，也不是一味 的增加新內容，而是要發展並傳遞給我們學生舊想法的新觀念，並介紹適當的新 概念。所以，若能洞察一個概念的歷史發展，將能改善課程設計者的選擇性及教 師對於連結洞察即引起學習動機的能力。」

由此可知，運用數學史教學可以提升教師與學生對於新舊知識的發展、演進更加 明白，並且讓學生對數學知識的結構性有更深的了解，而適當地將數學史素材融 入數學教學或是將歷史文獻適當的包裝，更能明白數學知識發展的始末、促進學 生對數學概念的有意義學習以及提升教師更專業的知識洞察力。同樣的想法也在 其他學者的文章中出現，例如：

1. Barbin(2000；轉引自 蘇意雯，2005)提出：數學教學中融入歷史維度最常見 的兩個理由是：

(1) 對於「數學究竟為何？」的觀點，數學史提供了我們另一種思考的機會。

(2) 數學史讓我們對於概念和理解有更好的了解。

2. Furinghetti & Paola(2003；轉引自 蘇意雯，2005)則認為：在課堂上融入歷 史可能達到兩個取向：

(1) 「歷史主要的功能在於激發學生在數學上的興趣」

(2) 「整合歷史進入數學教學，就是以數學為主體，安排實行的課程，探討 教育的議題、數學的脈絡，從一個新的觀點以及布置一個新的工作環境，

以幫助達成數學的目標。」

3. 黃俊瑋(2007)也提出將數學史融入數學教學至少有以下四個優點：

(1) 引發學生學習動機與興趣：

數學對於大部分學生而言，除了升學、考試的目的外，制式化的教材往 往難以引起學生的興趣或動機，若能適時的引入數學發展史上的相關故 事、軼聞趣事、數學家的不同觀點及想法，抑或是知名的數學問題等等，

來做為數學課堂上的潤滑劑，位數學課注入活力，有效引發學生學習動 機。

(2) 透過對於數學史料的探討，發展更有意義的數學教材：

許多數學問題與數學概念，皆具有社會文化脈絡上的深層意義，透過探 討、學習相關數學問題的出現與發展，能引領學生對當時社會文化背景，

以及實用目的上的瞭解與認識。當我們從教材內容的精進以及有效教學 的角度來看，許多數學教材或數學式子，皆可透過數學史相關文本、史 料的認識與探討，賦予直觀上、連結上、或者不同表徵上的意義，不再 讓學生感到如此生冷，故數學史的融入，不僅有助於引領學生從學習過 程中發現知識的脈絡，並且可以達到有意義的學習效果。

(3) 瞭解數學與數學史本身的價值：

數學課程培養我們解決問題、抽象思考的能力。我們過去所經驗的數學 課堂，或數學教科書的內容，大多數都是數學概念的引介，及例題習題 的反覆練習。課程設計者及數學教師，總是以讓學生在短時間內學會很 多「有結構的」、「重要的」、幾千年來人類文明逐漸累積發展而形成 的數學知識與數學概念為主要目標，並且能綜合融會貫通地應用這些概 念與算則，來解決各種數學問題。他們似乎把所有學生都當作未來的科 學家、數學家來培養。然而，對於「數學學科」而言，什麼才是最有價 值的知識？除了理性的數學知識之外，數學在文化層面的上意義呢？身 為數學教師，大可不必要求學生編年或記傳地為數學家與數學大發現歌 功頌德，但至少藉由學生對數學發展的認識中，瞭解數學之於科學、數 學之於人類文明發展的意義與價值，例如：人們從生活經驗中抽象出數 的概念，對於人類文明的意義與重要性，人們利用數學方法來尋求瞭解 大自然運行的規則，數學之於日常生活以及社會文化上的實用意義，以 至近代西方數學的蓬勃發展，對於科技上的突破與發展發帶來的種種影

響，以及數學演繹論證方法上的客觀性與絕對性等。數學史本身即是有 意義的知識，數學發展之於人類的重要性，絕不亞於科學發展、文學發 展或者朝代版圖的變遷或典章制度的演進。

(4) 數學史的認識，可帶給教師在教學上許多不同的啟發：

在許多調查研究中顯示，數學是學生最感到挫折的學科。數學概念的抽 象艱深，從數的發展過程中不難發現，即使是過去偉大的數學家們，都 曾經對於無理數、負數、零、複數的出現與使用感到困擾與無法理解，

此外，函數概念的發展與演變、數學家對於無窮小數的處理與無窮概念 的發展過程等，也曾令數學家們頭疼不已。無怪乎許多學生在學習數學 的過程中充滿疑惑，又總是無從問起，面對抽象的數學概念手足無措，

而教師們卻又總以達朗貝(d’Alembert)式的口吻告誡學生：「努力不懈，

自然會生出信心」。於是，學生只能機械式地反覆練習與記憶，為了考 試而「背多分」，失去了真正理解數學概念的機會。透過對數學概念發 展的認識，數學教師們更能瞭解數學教材與諸多概念中，難以理解、容 易產生困惑之處，適時地放慢教學步調、加強說明，以助益於學生的學 習，同時也從中學會同理地體諒並包容學生們在數學上失敗的學習經驗。

此外，在數學的發展上，往往自由創造必需先於形式化和邏輯基礎，過 於制式而嚴格地規定，容易壓抑了創造性的思維與先知卓見，數學史家 M. Kline 曾提及：「幸好當時(17 世紀)數學家如此輕信乃至天真，而不 是在邏輯上認真窮究，數學於是進入創造成最輝煌時期。」「推動數學 最大進步的，是有傑出直覺能力的人，而非具有構造嚴格證明的人。」

數學課堂中，學生的創意想法、天馬行空的想像力，以及對於知識的好 奇與熱情，不應該受到壓抑。因此，透過對數學史的研討與融入教學的 過程，相信亦能帶給教師們在教學上以及看待學生的學習上，有更多不

同面向的啟發與想法。並引領學生有開擴的數學觀與更深刻的數學價值 觀。

4. Tzanakis & Arcavi(2000，轉引自 陳玉芬，2006)針對數學史融入教學的必要 性則有下列描述：

(1) 藉由數學史整合，能揭開「我們所一直探討的數學概念、結構、想法」

究竟是什麼？

(2) 數學史可作為相關主題探討的資源 (3) 數學史可作為與其他主題連結的橋樑 (4) 藉由歷史提升更一般化的價值

綜觀上述，數學史融入數學的確有其必要性，但該如何確實達到這個目的？

Siu & Tzankis(2004)指出將數學史融入教學至少有三個不同面向：數學邏輯知識 面向(mathematics)、歷史面向(history)、教法的運用(didactics)(即學生的認知面向)。

同時給出若要豐富如此的數學教學，可以從以下觀點出發：

1. 透過適當地使用與數學某主題相關的歷史資料剖析，對數學知識重新認識；

或是回顧數學地發展中，發現其實個體的成長其實與歷史是平行的。

如同 Kline(2004；轉引自 陳玉芬，2006)所說「學生學習數學的過程與數學 發展的歷程有一定的類似性，即遵從生物發生學的一個基本規律：個體的成 長要經歷種族成長的所有階段順序相同，只是所經歷的時間縮短。」

2. 豐富各階段教師的專業發展，教師可以藉由歷史層面的思考，改善教學技巧。

Schubring(2000，轉引自 蘇意雯，2005)也提出透過教師的數學史培訓，能 有以下功能：

(1) 讓教師知道過去的數學，也就是數學史的直接傳授。

(2) 促進教師對於他們即將教授之數學的了解，這是方法論以及認識論的功 能。

(3) 授與教師融入歷史素材於教學的方法和技能，意即在課堂中運用數學 史。

(4) 促進教師對於他們的專業以及課程發展的了解，這涵蓋了數學教學史的 部分。

3. 透過數學史建構並發展適當的教學工具，用以改善教師的教學方法以及明白

3. 透過數學史建構並發展適當的教學工具，用以改善教師的教學方法以及明白