第三章、 從 HPM 觀點看 99 課綱高中行列式課程
第二節、 現今高中教科書中與行列式相關內容之探討
本節將探討甲、乙、丙三個版本中的行列式課程教材，從其概念切入方式、
呈現方式作深入研究。
圖 3-1 為各版本行列式教材順序圖，由於三版本皆是根據課綱編寫，整體差 異不大，接下來我們將以此圖為主軸，探討各版本行列式編排的異同。
二階行列式定義：
甲版本切入方式是以一般化二元一次聯立方程式的解，再以行列式符號表達，
順帶提出此為克拉瑪公式，如圖 3-2、3-3 所示。此編排方式與數學概念的歷史 發展頗有關聯，不僅是以符號簡化的角度出發，而且也同樣是用以表示二元(多 元)一次方程式的解，但可惜的是，因為課綱上的編排，二階行列式與三階行列 式並不是一起介紹的(甚至可能不會介紹三階行列式)，如此一來行列式符號的簡 潔有力並無法被看出，學生難免對學習此符號的必要性提出質疑，因為比起行列 式，也許國中所學加減消去法還比較容易。
再者，甲版本中的編排對於克拉瑪公式沒有更多的描述，或許會讓學生認為克拉 瑪當初就是將此公式以如此樣貌呈現，若是能在其歷史發展多所著墨，或許更能 讓學生掌握這一段歷史發展的脈絡。
圖 3-3(許志農等，2013)
乙版本行列式課程的切入點則以三角函數計算座標平面上已知兩點與原點 所圍成三角形面積，進而將此面積的一般性公式定為二階行列式，如圖 3-4、3-5、
3-6、3-7 所示。此一切入方式乃是以計算一三角形面積為由，再以行列式符號表 達，與我們先前所探討的行列式發展起因不相同，但行列式與幾何上的確有所連 結，研究者猜測，編輯者應是考慮後續概念鋪陳，或是以不同表徵做教學為目的，
故以此方式切入，但不免與甲版本有一樣的疑慮，無法讓學生體會到以此符號表 達的好處在哪裡。
圖 3-4(游森棚等，2013)
圖 3-5(游森棚等，2013)
圖 3-7(游森棚等，2013)
從圖 3-8、3-9、3-10 可以看出，丙版本的切入方式與乙版本相同，而且對此 方式定義的行列式運算規則給了如此的描述：「由於這個面積公式非常有用，並 且還有其他用途，所以我們將它定義為一個二階行列式‧‧‧」可以看出編輯者 也了解行列式其重要性以及與其他概念的連結，但由於僅僅是二階行列式，依然 無法呈現行列式整體的脈絡與符號背後的意涵。此外，綜觀上述三版本中的行列 式內容編排可以發現，不論是從解二元一次方程組還是計算面積後符號的化簡，
各版本在做一般性推導時所使用的符號以 ,
a b 區分並且有足標，如 a a b b
1, 2, ,1 2， 說明編輯者了解足標的重要性，用以區分該係數屬於哪個方程式或向量，並且區 分是哪個變數的係數或者分量，但在最後給出行列式的定義時，所使用的是單純, , ,
a b c d 四個字母表達四個數字，這恰與萊布尼茲所說的「若以字母 , , , a b c
表 示，將很難看出這些規則」做法相反，若是推廣到三階甚至更高階的行列式運算，恐怕就不是那麼容易了解其規律性了。
圖 3-10(單維彰等，2012)
二階行列式性質：
在二階行列式性質的推導部分，甲版本採取直接將性質列出，然後說明可以 將行列式乘開得到等號成立，如圖 3-11、3-12。
圖 3-13 中，乙版本亦將二階行列式性質列出，但因為是以平行四邊形面積
引入二階行列式定義，所以再舉其中 11 12 11 12
21 22 21 22
ka ka a a
a a k a a
的性質以幾何的表徵(面積)作更直觀的說明。
圖 3-13(游森棚等，2013)
丙版本因為行列式定義的引入是由平行四邊形面積開始，所以在行列式性質 的推導並不是一次性的給出所有性質，而是利用討論各種情況下兩向量所張的平 行四邊形面積，並輔以幾何表徵來輔助證明，用的篇幅也是三版本最多，如圖 3-14、3-15。
圖 3-14(單維彰等，2012)
圖 3-15(單維彰等，2012)
平面上兩直線幾何關係代數判定：
這個部分三版本皆是以解二元一次方程組為出發點，介紹克拉瑪公式後，探 討兩個二元一次方程式解的情形與幾何關係的關聯。甲版本從解方程組定義行列 式，而乙、丙則從平行四邊形面積出發，差異只在於編排的前後順序而已。
三階行列式：
甲、乙版本皆以空間座標中兩向量所張平行四邊形面積切入，定義外機以及 其長度即為此平行四邊形面積，接著介紹以組合積的絕對值表示平行六面體體積，
附上甲版本的內容如圖 3-16、3-17、3-18、3-19，最後定義三階行列式的展開式 以及介紹其性質(這裡有別於先前介紹二階行列式性質時，甲、乙版本皆說明左 右乘開等號會成立)
圖 3-16(許志農等，2013)
圖 3-17、3-18(許志農等，2013)
圖 3-19(許志農等，2013)
丙版本與另外兩版本的內容其實大同小異，但其中的「小異」就是三階行列 式的定義，是以降階展開為二階的方式呈現，如圖 3-20。
圖 3-20(單維彰等，2012)
三階行列式事實上應該為二階行列式的延伸，以甲、乙版本的方式定義三階 行列式，雖然在其性質的部分有說明可以以降階法展開，但還是較難感受到二階 與三階行列式之間緊密的關聯性，而丙版本的引入方式雖然與甲、乙兩版本大致 相同，但在定義三階行列式時直接給出降階的展開式，較能體會到要有三階行列 式之前必須先有二階行列式的味道。
三階克拉瑪公式、三平面幾何關係代數判定：
在此部分，三版本皆採取先介紹以三階克拉瑪公式解三元一次聯立方程組，
最後利用
, , ,
x y z的討論來判定三平面相交狀況。二階反矩陣：
三版本在二階反矩陣的部分皆是以解兩組二元一次聯立方程組，利用克拉瑪 公式求出反矩陣的四個元，在此以甲版本為例，如圖 3-21、圖 3-22。
綜上所述，或許各版本在每個概念引入時還可以有更完善的做法，但三個版 本整體來說均有考量到學生學習的困難及疑惑處，從二階行列式的定義到行列式 與矩陣的結合，都以謹慎的方式解說。而事實上，行列式與矩陣之間的連結是非 常緊密的，單純行列式的研究在十九世紀後半葉就已經沒落了，但在矩陣理論崛 起後，行列式被賦予了更多的意義，而在目前的課綱架構下，行列式與矩陣的連 結僅用在解兩組二元一次方程組求二階反矩陣(第四冊第三章第四節線性變換為 特殊內容，社會組學生不教)，也就是說，若是沒有二階行列式，也能用解方程 組的方法找出反矩陣，「矩陣的行列式值」的存在似乎沒有太大的意義了。也許 受限於課程內容量或者有其他的考量，所以高中的行列式概念無法在矩陣課程裡 完整發揮作用，譬如特徵值、特徵多項式等等，即便如此，站在 HPM 的角度思
圖 3-21(許志農等，2013)
圖 3-22(許志農等，2013)
由於 99 課綱中行列式課程的設計，各版本在鋪陳行列式相關內容皆遵照此 架構，也許這樣的編排順序有其他的考量，但在歷史上行列式的發展，其原先的 精是在於簡化式子，而後獨立出來成為一門理論，並且因為矩陣理論而更趨重要。
反觀現今的高中行列式課程設計及教材，在簡化方面，因為二階與三階行列式分 開(再次強調，甚至社會組是無法接觸到三階行列式)，並無法了解到其符號的便 利性，自然也無法引起學習動機；而在其重要性上，與矩陣的連結僅有計算二階 反矩陣，更是可以用別的方法(直接解聯立方程組、高斯消去法等)取代，若是沒 有與三階的行列式、反矩陣相對照，其便利性無法顯現。所以，犧牲歷史發展脈 絡所付出的代價，值得與否，可能就得重新思考了。
而各家版本所使用相關數學史知識的情形，亦整理如表 3-2，從表中可見，
三版本使用數學史的次數均不算多，並且都著重於數學家的故事(其中會提到專 有名詞的由來)，而沒有放太多力量於運用數學史啟發學生在行列式相關的課程 學習。
使用次數 備註
甲版本 2 克拉瑪及吉布斯小圖示及生平簡述
乙版本 1 一頁面的柯西生平故事
丙版本 2 克拉瑪及范德蒙小圖示及生平簡述 表 3-2 甲、乙、丙三版本數學史料出現次數統計