從HPM觀點看99課綱高中數學行列式教材

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(1)國立臺灣師範大學數學系碩士班碩士論文指導教授：洪萬生博士左台益博士. 從 HPM 觀點看 99 課綱高中數學行列式教材. 研究生：呂坤明撰中華民國一百零四年六月.

(2) 摘要運用數學史教授數學已是一種國際數學教學的趨勢，然而，對於國內高中數學教育來說，相關的研究依然有限。本研究希望從線性代數及行列式發展的歷史資料與現今高中行列式的教材內容做比較研究，以作為高中行列式教材的另一種教學進路。研究方法採用內容分析法，針對《普通高級中學必修科目「數學」課程綱要》中的高中行列式教材內容，挑選三個版本探討 HPM ( The Relations between the History and Pedagogy of Mathematics ) 如何介入高中數學的行列式課程之中。研究結果如下： 1.. 《普通高級中學必修科目「數學」課程綱要》的課程架構下，各家版本較難完整呈現行列式的發展脈絡，故 HPM 的精神與其功能無法發揮出來。. 2.. 教科書使用相關數學史的情形並不多，且著重於數學家的故事或是專有名詞的解釋，其定位較像是課後的「資料補充」，沒有更進一步的運用在啟發學生思考。根據研究結果，研究者建議：在行列式教材的設計上，可循歷史發展. 的脈絡，完整呈現二階與三階行列式之間的關聯性；教材內容也應鋪陳歷史發展上所遭遇的問題，進而引起學生學習的動機。另外，提供教師的數學史進修課程以及發行「HPM」的相關刊物以落實數學史的教學，使 HPM 的精神、理念被更多的人了解。. 關鍵字：行列式、HPM. i.

(3) 目錄第一章、緒論……………………………………………………………………….1 第一節、. 研究背景與動機…………………………………………………………1. 第二節、. 研究目的…………………………………………………………………….4. 第三節、. 研究方法…………………………………………………………………….4. 第四節、. 研究限制…………………………………………………………………….5. 第五節、. 名詞解釋…………………………………………………………………….6. 第二章、文獻探討……………………………………………………………….8 第一節、. 行列式的歷史發展…………………………………………………….8. 第二節、. 運用數學史教學的依據…………………………………………..28. 第三章、從 HPM 觀點看 99 課綱高中行列式課程…………..35 第一節、. 從 HPM 觀點看高中行列式課程設計……………….35. 第二節、. 現今高中教科書中與行列式相關內容之探討……...42. 第四章、結論與建議………………………………………………………….58 第一節、. 結論……………………………………………………………………….…58. 第二節、. 建議………………………………………………………………………….60. ii.

(4) 參考文獻………………………………………………………………………………63. 附錄附錄 I 教育部 84 年公布《高級中學數學課程標準》……….…………………………………….……66 附錄 II. 教育部 93 年公布《普通高級中學必修科目「數學」課綱》………….……….….…..73. 附錄 III. 教育部 93 年公布. 《普通高級中學選修科目「數學（I）」課程綱要》…………….78 附錄 IV. 教育部 97 年公布. 《普通高級中學必修科目「數學」課程綱要》………………...….81 附錄 V. 二階及三階行列式教材試編……………………………….…….…….….87. iii.

(5) 第一章. 緒論. 本章共分五節，針對研究背景與動機、研究目的、研究方法以及研究限制做說明，同時對重要名詞給予解釋。. 第一節研究背景與動機國內近年來的教育改革主張中，有著濃厚的人文主義色彩。舉例來說，以「學習權」取代「教育權」，認定學習權為基本人權，學習應以學生為主體。而知識社會論的研究指出知識的分類、分配和傳遞與社會中的權力結構和分配有關。民主開放的社會中：知識的分配有走向世俗化和多元化的可能，而知識的結構則有了「統整」的傾向，學科疆域的界定就不再那樣固定。而建構主義則是一種理論性的見解，它主張「知識是由個人與文化的建構」，個人的經驗受到基模組的調和，而基模組是由個人的心理及背景特徵，以及文化的常規與價值觀構成。「後現代主義」的解構圖像，更是大力主張「教育鬆綁」、「教師自主」。以致於從「中央集權模式」的課程發展模式，以及以「國立編譯館」主導的「統編本」，改為「學校本位課程發展模式」，以及尊重自由市場機制的「審定本」。換言之，教育部對課程僅設定「基礎性、綱要性、引導性」的規範；基於「授權賦能」的原則，兼顧專業自主的時代趨勢，提供學校、教師與家長共同進行課程發展與操作的空間，以實現開放性、豐富性、多元性的課程理想。(教育部，2003，轉引自陳玉芬，2006) 「運用數學史教授數學儼然已成為國際數學教學的趨勢之一」(Fasanelli，2000，轉引自陳玉芬，2006)，而從上述可見，國內整體教育的趨勢，是邁向「能力的開拓、知識的統整與文化的培養」，故不論是學生為主體的學習，知識的統整或文化的建構都顯示了其與運用數學史教學的目的是可以呼應的。(陳玉芬，2006) 另外在教育改革的風潮過後，課程編輯變為「一綱多本」，各家版本均有其特色，給了我們學習各家優點的機會，但柯朗在為克萊因的《西方文化中的數學》寫的 1.

(6) 序提到：「科學家們與世隔絕的研究，教師們少的可憐的熱情，還有大量枯躁乏味，商業氣十足的教科書和無視智力訓練的教學風氣，已經在教育界掀起了一股反數學的浪潮。然而，我們深信，公眾依然對數學有濃厚的興趣」(Kline，2004) 所以，他認為：「要扭轉這種狀況，克服數學教科書和數學教育中的諸多弊端，數學史可以提供整個課程的概況。使課程內容互相聯繫，並能與數學思想的主幹聯繫，數學史可以讓學生們看到數學家們真實創造歷史；用歷史的角度來講解數學，是使人們理解數學內容和鑑賞數學魅力的最好方法之一」(Kline，2004)，因此，筆者認為是將數學史介入數學教育的好時機。行列式為現階段高中數學裡基本且重要的概念，其主要原因是連結了解方程組、平面向量、空間向量、矩陣等概念，並且在大學線性代數課程中扮演重要角色，根據教育部 99 課程綱要，高中數學課程「行列式」的應用包括面積的計算及兩直線平行的判定，由此可知行列式同時擁有代數運算規則及幾何意義的雙重屬性。因此，如何提升學生在「行列式」的學習成效，將是高中教師一個重要的課題。數學概念的鋪陳，往往與其歷史發展恰恰相反，例如數系的基礎中，自然數的概念最晚建立（馮進，2010）。當前版本的高中數學教科書在第三冊第三章平面向量單元中，第四節「平面向量的應用」裡首次出現二階行列式，並將二階行列式的運算定義為. a11. a12. a21 a22. 等於 a11a22  a12 a21 ，接著利用三角函數及向量運算的. 性質說明行列式值具備的幾何意義(面積)。在第四冊第一章第四節中定義了三階行列式及其運算法則，也透過三角函數及向量運算的性質說明其幾何意義(體積)。筆者在過去的教學經驗中，常被學生問道，「行列式為什麼要這樣定義？」，這個問題並不盡然無法給學生答覆，但也不禁讓筆者思考，行列式的由來究竟是什麼？行列式的發展脈絡又是如何的呢？當時的數學家是先定義了行列式再用來解決問題，還是為解決某個問題發現了行列式？能不能提供其他方式讓學生能夠更深 2.

(7) 刻地體會這個定義呢？這些想法促使筆者想要做更深入的研究，故本論文希望藉由對數學歷史發展的認識，了解如今我們所見豐富的數學意念是如何產生，又或是如何演變為今日的形式，並藉此了解古今知識是如何影響社會及文化，最重要的是，走在歷史發展的崎嶇道路上，明白學生學習的困難，以此為借鏡、指引。. 3.

(8) 第二節研究目的承上節所述，本研究主要以「數學史」的角度，來觀照高中課程各版本中的行列式單元。藉由了解數學發展的過程，對行列式有更深層的認識，並由歷史發展與多元社會文化觀點的滲透，為現今數學教科書提供具體建議。因此本研究的目的為：從 HPM 觀點檢視 99 課綱高中數學行列式單元的教材設計，以提供教學上的不同進路。. 第三節研究方法本研究採用內容分析法，首先探討行列式的歷史發展，試著了解數學概念發展時所遭遇到的各種情況，作為分析的依據，並且探討「運用數學史教學」的相關文獻，作為本研究的另一個依據。本研究將綜合以上資料，針對教育部九十七年發布之《普通高級中學必修科目「數學」課程綱要》中的行列式教材內容，以 HPM 的觀點重新檢視課綱設計、各版本編輯理念、各版本教材內容，以獲得高中數學課程行列式部分教學上的啟發及提供具體建議。. 4.

(9) 第四節研究限制本研究旨在探討 99 課綱高中數學二年級上、下學期行列式教材，分析範圍為依據教育部九十七年公布的《普通高級中學必修科目「數學」課程綱要》所編輯而成的高中教科書。其研究限制如下：. 1. 依據教育部九十七年公布之《普通高級中學必修科目「數學」課程綱要》，審定共有六個版本，本研究挑選其中甲、乙、丙三個版本深入研究 2. 僅將教科書中高二上、下的向量單元行列式教材作為 HPM 觀點下評析的主體，其餘如：多項式、排列組合、指對數、數據分析等主題，皆不在本研究範圍內。 3. 99 課綱已實行三年，在 103 年會進行微調，本研究僅以 101 學年度入學所用高二上、下的行列式教材作為研究主題 4. 此研究目的為提供教師教學另一面向的觀點，施行成效與否，可做為未來研究方向. 5.

(10) 第五節名詞解釋 HPM 觀點早在 1890 年代，人們便對該如何借助數學史來改善教師的教學與學生的學習，產生了很大的興趣。但是，直到 1970 年代，相關的活動與組織才開始逐漸成形。現今我們所謂的 HPM(The Relation between History and Padagogy of Mathematics)簡稱為數學史與數學教學之關聯，源自 1972 年在英國愛塞特(Exeter， UK)所舉辦的第二屆國際數學教育會議(ICME-2)。經過這四十多年來的努力與推展，HPM 漸漸地成為國際間發展數學課程的一大主流之一，主要目標則是希望能藉由結合數學家、數學史家、數學教師、社會科學家，以及數學的使用者們，刺激各學科間的研究與交流以及提供教師可使用的各種資源，並促進各種數學教學的研討(歐士福，2005；Fasanelli & Fauvel，2000；轉引自陳玉芬，2006)。而在本研究中所指的 HPM 觀點，則是從運用數學史教學的面向檢視高中數學行列式教材，由認知、歷史與數學邏輯層面所獲得的啟發與感想。 99 課綱高中數學全名為《普通高級中學必修科目「數學」課程綱要》(教育部，2008)(本文簡稱 99 課綱)，99 課綱將高中數學必修學分分為兩部分：高一數學定位為學習與生活關聯或其他學科需要用到的數學，以建立學生在各學科進行量化分析時所需的基礎。高一上處理有關連續量的課題，包括由度量連續量所產生的實數，以及描述量與量關係的基本函數，如多項式函數及指、對數函數。高一下處理有關離散量的課題，包括數列與級數、排列組合、生活中常見的古典機率，以及其他學科常用到的數據分析等。高二數學定位為社會組與自然組學生在學習上所應具備的數學知識，其主題為坐標、向量幾何與線性代數。(教育部，2008). 6.

(11) 高中數學教科書在此指的是各家出版社根據教育部九十七年公布之《普通高級中學必修科目「數學」課程綱要》編輯而成的數學教科書。本研究中，僅針對甲、乙、丙三個版本做行列式教材上的分析與研究。. 7.

(12) 第二章. 文獻探討. 本研究主要目標在於從 HPM 觀點檢視 99 課綱高中數學行列式單元的教材設計，以提供教學上的不同進路。因此在第一節探討行列式歷史發展相關的文獻；而在第二節將探討「運用數學史融入教學」的相關文獻，作為檢視高中數學行列式單元教材的依據。. 第一節行列式的歷史發展在 99 課綱高中數學課程裡，我們僅介紹二階及三階行列式，分別是將四個數及九個數對應至一個數的映射，其運算規則如下；. a11. a12. a21 a22.  a11a22  a12 a21. a11 a12 a21 a22. a13 a23  a11a22 a33  a12 a23a31  a13a21a32  a11a23a32  a12 a21a33  a13a22 a31. a31. a33. a32. 而從其概念發展開始到接近完備則花了約 150 年，在本節我們將深入探討其歷史發展的脈絡。. 1693 年 Leibniz 寫給 L'Hôpital 的信中寫道：「我一定沒有解釋得很清楚，所以你才會說你難以相信可以使用數字取代字母，像字母一般且便利的使用。如果允許將 2、3 等當作 a 或 b 來使用，而不是當作真的數字，那它的一般性就是無庸置疑的。以此方式，就不是 6，而是 ab。至於便利性，正是因為便利，所以我本身經常使用它們，特別是易於犯錯的冗長且困難的計算中。因為除了具備用數字來檢驗的便利性外，甚至是用「去 9 法」來檢驗，我還發現使用上有一個很大的好處，就是分析。雖然這是十分巨大的發現，但我還沒有告訴任何人，以下就是這個發現。」(Leibniz,1693)從信中可以看出文 8.

(13) 字符號的使用是很平常的事情，而萊布尼茲卻以數字代替文字符號，並用以推導以下性質。. 圖 2-1(Muir,1906). 9.

(14) 在圖 2-1 中，萊布尼茲以數字取代文字符號並寫出這樣的方程組：. 10  11x  12 y  0  20  21x  22 y  0 30  31x  32 y  0 . . a10  a11 x  a12 y  0  a20  a21 x  a22 y  0 a  a x  a y  0 32  30 31. 其表示的方程組以現今符號能以上頁右下方方式呈現，接著分別利用 1、2 式與 1、3 式消去 y 得： 10.22  11.22 x 12.20  12.21x 10.32  11.32 x 12.30  12.31x. 0. . (a11a22  a12 a21 ) x  (a10 a22  a12 a20 )  0. 0. . (a11a32  a12 a31 ) x  (a10 a32  a12 a30 )  0. 接著再消去 x 得：. 10.21.32 10.22.31 11.22.30  11.20.32. . a10 a21a32  a11a22 a30  a12 a20 a31  a10 a22 a31  a11a20 a32  a12 a21a30. 12.20.31 12.21.30 最後萊布尼茲說明了三個二元一次方程式有共同解的條件即係數要滿足上述關. a10 係式，相當於現今 a20 a30 字母 a, b, c,. a11 a12 a21 a22  0 展開後的結果。萊布尼茲在信中強調，若以 a31. a32. 表示，將很難看出上述規則，並在最後向羅畢達表示可以將此結果. 推廣至一般性定理，只要方程式的數目比未知數多出 1 個就好。利用係數來討論方程式的解，萊布尼茲並非第一人。事實上，無論是韋達還是笛卡兒，都有這方面的成果。不過，萊布尼茲獨特之處在於利用兩個足標來表示係數，這對以後無論是行列式或是矩陣理論的一般化提供了有利的工具。雖然他與羅必達的通信在 1850 年才公開，但他在 1700-1710 年間出版的兩份文件中，就已展現這種符號的使用。萊布尼茲之所以創立新的符號，除了是他個人的志趣外，更在於他想要利用符號來展現係數間隱含的關係，而這其實就是行列式理論的粗胚。除了雙足標外，萊布尼茲在 1684 年研究聯立方程組的手稿中，還創立 10.

(15) 了新符號 1 2  3  4 用以表示今日行列式. a10 a20. a11 a21. a12 a22. a13 a23. a30 a40. a31 a41. a32 a42. a33 a43. 的展開式。事實上，萊. 布尼茲已寫出相當於今日的「克拉瑪公式 (Cramer’s Rule)」，只是生前一直未公諸於世，直至 19 世紀才為後人所知。簡言之，雖然萊布尼茲創立了新的符號並朝向行列式理論邁了重要的一步，但這些成果只有極少數人才知道，也就是說，他對後來的行列式理論發展，並沒有直接的影響力(林倉億，2014). 克拉瑪在 1750 年出版的《代數曲線的分析導論》一書中探討平面上上通過若干點的曲線，並在附錄給出解聯立方程組的規律性方法。. 圖 2-2(Muir,1906). 11.

(16) 圖 2-3(Muir,1906). 圖 2-2、2-3 中，克拉瑪給了幾個規則用以求出未知數的值，這裡以三元一次聯立方程組為例：.  A1  Z1 z  Y1 y  X 1 x   A2  Z 2 z  Y2 y  X 2 x A  Z z Y y  X x 3 3 3  3 1.. 分母的每一項都形如 Z aYb X c ，其中 a, b, c 為數字 1, 2,3 的所有排列情形，故有. 123,132, 213, 231,312,321 六項。 2.. 每一項中 a, b, c 「錯置」次數若為偶數，其運算符號為「  」，反之為「  」。所謂「錯置」即未符合 a  b  c 的規則。例如 Z 2Y3 X 1 出現兩次「錯置」：2 在 1 之前與 3 在 1 之前，故此項應是加起來。而 Z 3Y2 X 1 出現三次「錯置」：3 在 2、1 之前與 2 在 1 之前，故此項應減去。. 3.. 將分母中的 Z1 , Z 2 , Z 3 依序改為 A1 , A2 , A3 則得分子，分子分母相除即為 z 的值；同理，分母中的 Y1 , Y2 , Y3 依序改為 A1 , A2 , A3 則可得 y 值，依此類推。. 依此方法可得此三元一次方程組的解為：. 12.

(17) z. AY 1 2 X 3  AY 1 3 X 2  A2Y3 X 1  A2Y1 X 3  A3Y1 X 2  A3Y2 X 1 Z1Y2 X 3  Z1Y3 X 2  Z 2Y3 X 1  Z 2Y1 X 3  Z 3Y1 X 2  Z 3Y2 X 1. y. Z1 A2 X 3  Z1 A3 X 2  Z 2 A3 X 1  Z 2 A1 X 3  Z 3 A1 X 2  Z 3 A2 X 1 Z1Y2 X 3  Z1Y3 X 2  Z 2Y3 X 1  Z 2Y1 X 3  Z 3Y1 X 2  Z 3Y2 X 1. x. Z1Y2 A3  Z1Y3 A2  Z 2Y3 A1  Z 2Y1 A3  Z 3Y1 A2  Z 3Y2 A1 Z1Y2 X 3  Z1Y3 X 2  Z 2Y3 X 1  Z 2Y1 X 3  Z 3Y1 X 2  Z 3Y2 X 1. 此方法就是大家所熟知的克拉瑪公式，雖然此結果與利用三階行列式展開所得的結果相同，但在此時，克拉瑪並沒有使用行列式，而僅僅是利用排列的概念而已。而另一位數學家馬克勞林其實也有類似的發現，如圖 2-4、2-5，在其過世後兩年出版的《Treatise of Algebra》中，馬克勞林利用了加減消去法解二元及三元一次聯立方程組，但他並沒有使用類似足標的符號。(林倉億，2011). 貝祖在 1764 發表的論文中，探討常數項為 0 的二元、三元與四元齊次方程組有無線多組解的條件，是方程組的係數必須滿足關係式： a1b2  b1a2  0 a1b2c3  a1c2b3  c1a2b3  b1a2c3  b1c2 a3  c1b2 a3  0. (其實就是今日由係數組成的行列式展開式為 0)，並給了找出這個關係式的規則。. 13.

(18) 圖 2-4(林倉億，2012). 14.

(19) 圖 2-5(林倉億，2012). 15.

(20) 圖 2-6(Muir,1906). 16.

(21) 圖 2-7(Muir,1906). a1 x  b1 y  0 在圖 2-6、2-7 中可以看出二元齊次方程組  有無限多組解的充要條件 a2 x  b2 y  0 為 a1b2  b1a2  0 。以三元齊次方程組為例，用今日符號表達貝祖找出此關係式的 17.

(22) 規則有四個步驟，如下： a1 x  b1 y  c1 z  0  a2 x  b2 y  c2 z  0  a3 x  b3 y  c3 z  0. 1.. a. 2.. ab  ba. 3.. abc  acb  cab  bac  bca  cba. 4.. a1b2 c3  a1c2b3  c1a2b3  b1a2c3  b1c2 a3  c1b2 a3. 第二步是將第一步中的 a 右方加上 b ，然後下一項是將 b 往前移動一位並且改變運算符號。而第三步是將第二步中的第一項右方加上 c ，再將 c 往前移動一位並且改變運算符號，連做兩次可得共三項，再對第二步中的第二項重複剛剛的動作亦可得三項，就會得到第三步的全部六項。最後第四步將每一項依序加上足標. 1, 2,3 即可得到展開式。萊布尼茲、克拉瑪、馬克勞林與貝祖都在缺乏現代行列式符號之前，對方程組的係數作了研究，但切入點卻是不同的。萊布尼茲從判斷三個二元一次方程式是否有共同的解出發；克拉瑪與馬克勞林希望有規則性的求聯立方程組的解；而貝祖則是針對齊次方程組做討論。換言之，他們是在不同的研究主題中探討係數的關係，從今日的眼光來看，這些都可與行列式有關係，但對他們來說，卻是截然不同的事。綜觀上述，以現在的角度回頭去看這些數學家的研究，確實都與行列式有關，但由於他們的研究都無法脫離聯立方程組，也就是沒有將行列式獨立成為一個數學研究對象，所以皆不是現在普遍認為的行列式創立者。(林倉億，2014). 18.

(23) 范德蒙在 1772 年的論文中首度將行列式運算當做主題研究，並定義了一個新的符號，如圖 2-8。. 圖 2-8(Muir,1906). 19.

(24) 我們可以以現在的行列式符號與范德蒙所定義的做比較：. . . a. b. .  . a. b. .    .    a b b a. c. . . a11. a12. a21. a22.  a11a22  a12 a21.           a b. c. a11. a12. a13. a21. a22. a23  a11 . a31. a32. a33.   b c. a. a22. a23. a32. a33.   c a.  a12 . . b. a23. a21. a33. a31.  a13 . a21. a22. a31. a32. 范德蒙的符號與今日行列式符號有幾項差異，第一是足標部分，范德蒙將足標分.  上下方寫，故以現在的理解應為第  列第 a 行元；第二是在范德蒙的符號裡只 a. 寫出行列式主對角線上的元，以.    a. b. c. a11 來看，相當於現在的. ，由. a22 a33. 於主對角線上的元已確定，其餘的元也隨之確定了。而范德蒙的降階展開方法其實也很簡單，只有兩個簡單的步驟，下面以三階為例： 1..   . 先寫出 . ，然後依序填入 abc, bca, cab，每次皆將字母往前挪動一位，. 最左方的字母則移動到最右方。 2.. 決定每項運算符號，若為奇數階展開則每項皆為「  」，反之則以「  」「」順序。. 在確立了符號意義後，范德蒙在論文中繼續推導此符號的運算性質，並且用來簡化聯立方程組解的表示。. 20.

(25) 圖 2-9(Muir,1906). 21.

(26) 圖 2-10(Muir,1906). 22.

(27) 在圖 2-9 及圖 2-10 上半部，范德蒙說明行列式中兩行(兩列)互換其值差負號，以及兩行或兩列相同其值為 0。. 1 2 1 2. . 1 2 2 1. a11. . a12. a21 a22. . 1 1 2 11 2 1 1 2 11 2       0 1 2 3 1 2 3 2 3 1 31 2 a11. a12. a13. a11. a12. a13  a11 . a21. a22. a23. a12. a13. a22. a23.  a12 . a13. a11. a23. a21. 2 1 2 2 1 2 21 2       0 1 2 3 1 2 3 2 3 1 31 2 a22. a23. a11. a12. a13  a21. a21. a22. a23. a12. a13. a22. a23.   a22 . a11. a22. a21. . 2 1 2 a21. a12.  a13 . a11. a12. a21. a22. a11. a12. a21. a22. 0. . a13. a11. a23. a21.  a23 . 0. 圖 2-10 下半部中，范德蒙則以這個符號來表示二元一次聯立方程組的解。 1 1 1 1 1  1  2   2  3  0 2   1   1 2    2    2  0 1 2 1 1 2 3. a11 x  a12 y  a13  0   a21 x  a22 y  a23  0. 2. 1 2. 3 3 1 2  2 1 2 2 1 2. a12 a x  22 a11. a13 a23 a12. a13 a y  23 a11. a11 a21 a12. a21. a22. a21. a22. 范德蒙所給出的公式與行列式性質與今日我們所用只有符號上的差異，其一般性與抽象化程度幾乎與今日相同，雖然在他的研究中只給出二階及三階的公式，但此方法可以推廣，更重要的是，這讓克拉瑪所提出的聯立方程組規則性的找解方法在更高階時有更簡潔的表示方法。(林倉億，2014). 23.

(28) 今日「行列式」一詞是翻譯自「determinantem」(即英文中的 determinant)，而這個字首次出現在高斯於 1801 發表的《算術研究》，但高斯在這裏是取其字面意思，意即「決定性因素」，用以表示多元高次式的「判別式」，與今日所指的「行列式」意義並不相同。柯西在 1812 年發表的論文中，使用「déterminan」來表示今日我們所說的「行列式」，所以，柯西才是第一個使用「行列式」一詞的人。(林倉億，2014) 十九世紀數學研究的熱門主題為函數，柯西亦是熱衷於函數研究的數學家之一，並且從他 1812 年發表的論文中可以看出，柯西是非常熟悉范德蒙在行列式的研究(范德蒙並沒有使用「行列式」一詞)。然而，范德蒙對於行列式的研究呈現了一種新的符號及其操作，並無函數的內涵，而柯西在這份論文中則是以函數的觀點定義行列式。在圖 2-11 中，柯西寫出了如何定義行列式： Define S (a11a22 a33 )  a1a2 a3 (a3  a1 )(a3  a2 )(a2  a1 ). 或者我們可以將等號右方乘開得到 S (a11a22 a33 )  a1a22a33  a2 a32a13  a3a12a23  a1a32a23  a3a22a13  a2a12a33. 但接下來是最奇妙的一步，將所有指數改第二個下標，可以得到 S (a1,1a2,2 a3,3 )  a1,1a2,2a3,3  a2,1a3,2a1,3  a3,1a1,2a2,3  a1,1a3,2a2,3  a3,1a2,2a1,3  a2,1a1,2a3,3. 柯西在此就將 S (a1,1a2,2 a3,3 ) 定義為「déterminan」，並補充 a1,1 , a1,2 , a1,1. a1,2. 字可以排成 a2,1 a2,2 a3,1. a3,2. , a3,3 這九個數. a1,3 a2,3 的形式，事實上這與現在的行列式符號已經十分相像， a3,3. 直到 1841 年凱萊將此形式左右方加上直線段，便形成今日行列式的符號了。柯西將行列式視為由一組數對所組成的函數。柯西的做法，在意義上與前人有很大的不同。以范德蒙作為例，雖然范德蒙首先將行列式從方程組的係數中脫離出來，成為單獨研究的對象，但范德蒙最終的目的還是在於表示方程組的解， 24.

(29) 而柯西則是將行列式獨立置於函數的領域之中，徹底切斷它和方程組連結，奠定了行列式理論研究的基礎。. 圖 2-11(林倉億，2014) 柯西所給出的行列式定義有幾個值得注意的地方： 1.. 當行列式被定義為一個函數時，便可以考慮函數的運算性質柯西在其論文中也繼續著這個工作. 25.

(30) 2.. 柯西雖然將行列式脫離方程組的係數，但他也不忘用這個新函數回頭去看方程組的解. 3.. 柯西所使用的符號是將雙足碼並列寫於右下方，並且將 n 2 個數排成 n  n 的正方形呈現行列式，這兩者也都被後人所沿用。. 行列式理論在 1860 年代由 Weierstrass 及 Kronecker 提出公理化的定義後趨於完備，也因為矩陣代數的興起，使得純粹的行列式研究漸漸失去光芒，不過，在矩陣理論中，行列式依然有著非常重要的地位。總體來說，行列式概念的發展是始於萊布尼茲在尋找二元一次聯立方程有共同解的條件，以及馬克勞林、克拉瑪解聯立方程組，另外還有貝祖在尋找齊次方程組無限多組解的條件，讓行列式的概念萌芽，而范德蒙定義新的符號及運算，並研究其性質，至此行列式的概念屬性較偏向於程序性知識，力求簡化一系列的運算；到了柯西則將行列式以函數的形式定義，物化了行列式，所以此時的行列式概念屬性偏向於概念性知識，可以被視為一個物件來研究，直至十九世紀中葉接近完成，圖 2-12 為行列式概念演化簡圖。而在今日，教科書中將二階行列式為定義為. a b  ad  bc ，而歷史上的發展是先出現等號右邊的展開式，經過了 c d. 將近 150 年的發展，才出現了等號左邊的符號及完備的理論，當學生看到教科書給出的式子，難以感同身受了解數學家們為何努力的希望簡化這些式子，並且從中找出規律，當然也就無法對此有著求知欲，所以接下來，我們將討論為何要將「數學史融入教學」，而又該如何達到這個目標。. 26.

(31) 圖 2-12 行列式概念演化. 27.

(32) 第二節運用數學史教學的依據在本節我們將探討「數學史融入數學教學」的相關文獻，說明數學的教學不應只是被視為嚴謹、形式化的學科訓練，而是在更廣泛的脈絡架構觀點下的一門學科(Fried,2003；轉引自陳玉芬，2006)，首先將探討運用數學史教學的必要性，其次將說明數學史與數學教學的整合。將數學史融入數學教學是有其必要性的。Jones(1998；轉引自陳玉芬，2006) 在 Historical topics for the mathematics classroom 的第一章指出：「數學史可視為一種教學的工具。」並說道「適當地使用它，將它與現代的數學知識與應用聯結在一起，那麼數學史會是一個老師如何教出『為什麼』的重要工具之一。」同時也將所謂的『為什麼』分成三種類別： 1.. 時間演進所產生的為什麼(Chronological whys)，意指以時間為主軸發展下數學知識的變化。. 2.. 邏輯上的為什麼(Logical whys)，歷史能為學生提供大量發展邏輯洞察的能力，因為它包含了公理系統本質的了解、邏輯推理以及定理的證明，對於學生發展數學結構性的了解是很重要的。. 3.. 教法上的為什麼(Pedagogical whys)，此種程序或策略，並不像前述兩種有著完備的獨斷性定義或唯一性的邏輯觀，而是一種在問題中抽絲剝繭後的逆向思考，並藉由歷史中的學習，幫助學生的了解或減少學生所犯的錯誤。. 並且對數學史的教學給了以下詮釋：「歷史的觀點可以幫助教師決定『現代的數學』是什麼樣子，歷史說明了當代的數學其實是許多新舊知識的綜合體─就像畢氏定理雖然古老，但仍然很重要，而新概念，則如：集合(sets)，公理(axiomatics)，結構(structrue)這些重要系統。因此對於這些新舊知識概念的澄清所形成的新面向將更有意義於對原本知識內容的敘述，就像如果在一個舊系統中利用結構的洞察，使得某部分的知識更易於綜合與延伸，或是利用新的符號與專業術語整合一個難以理解的知識使其系統化。 28.

(33) 那麼這些新的結構及符號的洞察將使得數學的教與學更容易。『現代化的數學』也許只不過是一些舊觀點的新洞察。因此，既不是要揚棄舊的知識，也不是一味的增加新內容，而是要發展並傳遞給我們學生舊想法的新觀念，並介紹適當的新概念。所以，若能洞察一個概念的歷史發展，將能改善課程設計者的選擇性及教師對於連結洞察即引起學習動機的能力。」由此可知，運用數學史教學可以提升教師與學生對於新舊知識的發展、演進更加明白，並且讓學生對數學知識的結構性有更深的了解，而適當地將數學史素材融入數學教學或是將歷史文獻適當的包裝，更能明白數學知識發展的始末、促進學生對數學概念的有意義學習以及提升教師更專業的知識洞察力。同樣的想法也在其他學者的文章中出現，例如： 1.. Barbin(2000；轉引自蘇意雯，2005)提出：數學教學中融入歷史維度最常見的兩個理由是： (1) 對於「數學究竟為何？」的觀點，數學史提供了我們另一種思考的機會。 (2) 數學史讓我們對於概念和理解有更好的了解。. 2.. Furinghetti & Paola(2003；轉引自蘇意雯，2005)則認為：在課堂上融入歷史可能達到兩個取向： (1) 「歷史主要的功能在於激發學生在數學上的興趣」 (2) 「整合歷史進入數學教學，就是以數學為主體，安排實行的課程，探討教育的議題、數學的脈絡，從一個新的觀點以及布置一個新的工作環境，以幫助達成數學的目標。」. 3.. 黃俊瑋(2007)也提出將數學史融入數學教學至少有以下四個優點： (1) 引發學生學習動機與興趣：數學對於大部分學生而言，除了升學、考試的目的外，制式化的教材往往難以引起學生的興趣或動機，若能適時的引入數學發展史上的相關故事、軼聞趣事、數學家的不同觀點及想法，抑或是知名的數學問題等等， 29.

(34) 來做為數學課堂上的潤滑劑，位數學課注入活力，有效引發學生學習動機。 (2) 透過對於數學史料的探討，發展更有意義的數學教材：許多數學問題與數學概念，皆具有社會文化脈絡上的深層意義，透過探討、學習相關數學問題的出現與發展，能引領學生對當時社會文化背景，以及實用目的上的瞭解與認識。當我們從教材內容的精進以及有效教學的角度來看，許多數學教材或數學式子，皆可透過數學史相關文本、史料的認識與探討，賦予直觀上、連結上、或者不同表徵上的意義，不再讓學生感到如此生冷，故數學史的融入，不僅有助於引領學生從學習過程中發現知識的脈絡，並且可以達到有意義的學習效果。 (3) 瞭解數學與數學史本身的價值：數學課程培養我們解決問題、抽象思考的能力。我們過去所經驗的數學課堂，或數學教科書的內容，大多數都是數學概念的引介，及例題習題的反覆練習。課程設計者及數學教師，總是以讓學生在短時間內學會很多「有結構的」、「重要的」、幾千年來人類文明逐漸累積發展而形成的數學知識與數學概念為主要目標，並且能綜合融會貫通地應用這些概念與算則，來解決各種數學問題。他們似乎把所有學生都當作未來的科學家、數學家來培養。然而，對於「數學學科」而言，什麼才是最有價值的知識？除了理性的數學知識之外，數學在文化層面的上意義呢？身為數學教師，大可不必要求學生編年或記傳地為數學家與數學大發現歌功頌德，但至少藉由學生對數學發展的認識中，瞭解數學之於科學、數學之於人類文明發展的意義與價值，例如：人們從生活經驗中抽象出數的概念，對於人類文明的意義與重要性，人們利用數學方法來尋求瞭解大自然運行的規則，數學之於日常生活以及社會文化上的實用意義，以至近代西方數學的蓬勃發展，對於科技上的突破與發展發帶來的種種影 30.

(35) 響，以及數學演繹論證方法上的客觀性與絕對性等。數學史本身即是有意義的知識，數學發展之於人類的重要性，絕不亞於科學發展、文學發展或者朝代版圖的變遷或典章制度的演進。 (4) 數學史的認識，可帶給教師在教學上許多不同的啟發：在許多調查研究中顯示，數學是學生最感到挫折的學科。數學概念的抽象艱深，從數的發展過程中不難發現，即使是過去偉大的數學家們，都曾經對於無理數、負數、零、複數的出現與使用感到困擾與無法理解，此外，函數概念的發展與演變、數學家對於無窮小數的處理與無窮概念的發展過程等，也曾令數學家們頭疼不已。無怪乎許多學生在學習數學的過程中充滿疑惑，又總是無從問起，面對抽象的數學概念手足無措，而教師們卻又總以達朗貝(d’Alembert)式的口吻告誡學生：「努力不懈，自然會生出信心」。於是，學生只能機械式地反覆練習與記憶，為了考試而「背多分」，失去了真正理解數學概念的機會。透過對數學概念發展的認識，數學教師們更能瞭解數學教材與諸多概念中，難以理解、容易產生困惑之處，適時地放慢教學步調、加強說明，以助益於學生的學習，同時也從中學會同理地體諒並包容學生們在數學上失敗的學習經驗。此外，在數學的發展上，往往自由創造必需先於形式化和邏輯基礎，過於制式而嚴格地規定，容易壓抑了創造性的思維與先知卓見，數學史家 M. Kline 曾提及：「幸好當時(17 世紀)數學家如此輕信乃至天真，而不是在邏輯上認真窮究，數學於是進入創造成最輝煌時期。」「推動數學最大進步的，是有傑出直覺能力的人，而非具有構造嚴格證明的人。」數學課堂中，學生的創意想法、天馬行空的想像力，以及對於知識的好奇與熱情，不應該受到壓抑。因此，透過對數學史的研討與融入教學的過程，相信亦能帶給教師們在教學上以及看待學生的學習上，有更多不. 31.

(36) 同面向的啟發與想法。並引領學生有開擴的數學觀與更深刻的數學價值觀。 4.. Tzanakis & Arcavi(2000，轉引自陳玉芬，2006)針對數學史融入教學的必要性則有下列描述： (1) 藉由數學史整合，能揭開「我們所一直探討的數學概念、結構、想法」究竟是什麼？ (2) 數學史可作為相關主題探討的資源 (3) 數學史可作為與其他主題連結的橋樑 (4) 藉由歷史提升更一般化的價值. 綜觀上述，數學史融入數學的確有其必要性，但該如何確實達到這個目的？ Siu & Tzankis(2004)指出將數學史融入教學至少有三個不同面向：數學邏輯知識面向(mathematics)、歷史面向(history)、教法的運用(didactics)(即學生的認知面向)。同時給出若要豐富如此的數學教學，可以從以下觀點出發： 1.. 透過適當地使用與數學某主題相關的歷史資料剖析，對數學知識重新認識；或是回顧數學地發展中，發現其實個體的成長其實與歷史是平行的。如同 Kline(2004；轉引自陳玉芬，2006)所說「學生學習數學的過程與數學發展的歷程有一定的類似性，即遵從生物發生學的一個基本規律：個體的成長要經歷種族成長的所有階段順序相同，只是所經歷的時間縮短。」. 2.. 豐富各階段教師的專業發展，教師可以藉由歷史層面的思考，改善教學技巧。 Schubring(2000，轉引自蘇意雯，2005)也提出透過教師的數學史培訓，能有以下功能： (1) 讓教師知道過去的數學，也就是數學史的直接傳授。 (2) 促進教師對於他們即將教授之數學的了解，這是方法論以及認識論的功能。 32.

(37) (3) 授與教師融入歷史素材於教學的方法和技能，意即在課堂中運用數學史。 (4) 促進教師對於他們的專業以及課程發展的了解，這涵蓋了數學教學史的部分。 3.. 透過數學史建構並發展適當的教學工具，用以改善教師的教學方法以及明白學生學習的困難之處。. 4.. 提供一些特別的例子，引起學生學習的動機、或豐富他們的數學觀點並深化對數學知識的了解。而洪萬生(2006)所著的《此零非彼 0 : 數學、文化、歷史與教育文集》一書. 中，對數學史可以如何融入數學教育也有非常豐富的說明，並給出具體的方法，如圖 2-12。. 圖 2-13 運用數學史教學的架構(洪萬生，2006) 33.

(38) 從圖示中可以了解到，課室中的教與學是由(a)、(b)的數學史與(c)教學材料共同支援，而在數學史的浸潤下，讓教學內容更加豐富。藉由上述方法，簡要的數學史全貌、說明概念的起源或發展過程，能讓學生更明白今日的數學架構建立在某些重大事件的發生，甚至引發學生的好奇心想更深入了解其他細節。數學教育的結果不應讓學生眼中的數學原貌如此絕對， (Kline,2004)當我們以數學史的觀點回顧教學時，應了解到數學知識的多元性，避免以傳遞這些知識與方法為重心，忽略了數學的本質是在創造性思考的活動與經驗，故在我們以培養學生創造力及解決問題的能力為首要教學目標的前提下，應憑藉數學史的洞察，讓數學知識的學習不僅僅建立在數學本質的結構上，更要奠基在其歷史脈絡上。. 34.

(39) 第三章. 從 HPM 觀點看 99 課綱高中行列式課程. 本論文研究的主體為高中行列式課程內容，故本章將分為兩節探討相關內容，第一節從 HPM 觀點探討高中行列式課程設計，提供未來課程設計的另一種想法。第二節針對現今高中數學教科書行列式相關之內容作探討。. 第一節從 HPM 觀點看高中行列式課程設計本節將探討：教育部 84 年公布的首份高中課綱(88 學年度開始實施，稱 88 課綱)、93 年公布的《普通高級中學暫行課程綱要》(95 學年度開始實施，稱 95 暫綱)以及本研究之主體─99 課綱，三種課綱在數學科的教學目標以及三版本教科書的編輯理念，並且比較有關行列式課程編排順序。 88 課綱中的數學課程(教育部，1995)教學目標： 1.. 引導學生了解數學的內容、方法與精神，培養學生用數學方法思考問題的素養與能力。. 2.. 增進學生的基本數學能力，奠定學習相關學科的基礎。. 3.. 提供學生在實際生活與未來生涯所需的數學知能。. 4.. 培養學生欣賞數學內涵簡明有效及結構嚴謹優美的特質。. 95 暫綱中的數學課程(教育部，2004)教學目標： 1.. 引導學生瞭解數學的內容，意義及方法。. 2.. 培養學生以數學思考問題，分析問題，解決問題的能力。. 3.. 提供學生在實際生活和學習相關學科方面所需的數學知能。. 4.. 培養學生欣賞數學內涵中以簡馭繁的精神和結構嚴謹完美的特質。. 35.

(40) 99 課綱中的數學課程目標(教育部，2008)： 1.. 培養學生具備以數學思考問題、分析問題和解決問題的能力。. 2.. 培養學生具備實際生活應用和學習相關學科所需的數學知能。. 3.. 培養學生欣賞數學內涵中以簡馭繁的精神和結構嚴謹完美的特質。. 而99課綱其設計理念(教育部，2008)： 1.. 掌握主要脈絡，建構清晰的數學概念。. 2.. 展現化繁為簡、以簡馭繁的數學思考方法。. 3.. 在演繹之外，加強歸納思維的訓練，並認識數學模型的意義。. 4.. 以圖形與實例，循序漸進，建構抽象思維的內涵。. 5.. 強調數學的應用，凸顯數學的普遍性與本質性。由上述內容可以看出，88 課綱、95 暫綱以及 99 課綱的教學目標大致相同，. 其中「培養學生以數學思考問題，分析問題，解決問題的能力」及「培養學生欣賞數學內涵中以簡馭繁的精神和結構嚴謹完美的特質」是與 HPM 的精神相吻合的，而 99 課綱的設計理念中也提到「強調數學的應用，凸顯數學的普遍性與本質性」，對此研究者認為，將數學歷史發展的脈絡整合入數學教學中，將可以了解到數學概念萌芽的原因，以及可以帶領我們解決什麼問題，與此一設計理念是相吻合的。. 接著我們將探討各版本教科書的編輯理念。甲版本編輯大意(許志農等，2013)，節錄第三、四點：參、本書特色： (1) 每章分成數節，每節又細分數個前後呼應的主題，利於學生的自修及便於老師教學與教學進度的安排。 (2) 每節附有相關的例題、隨堂練習與習題，且盡量安排一道簡易且凸顯該節內容的應用問題。 (3) 例題以點出數學內容重點及由淺入深的學習為主，在數據的取捨上盡量力求精簡、易算好教、不模糊數學的主題為原則。 36.

(41) (4) 習題分為基礎題與進階題，基礎題的第一題或最後一題為概念題，用以測試學生對本節的整體了解。當然也安排一些加深的進階題，但在難度上作適當的控制與取捨。大部分習題以呼應例題為原則，避免造成學生及老師的困擾，是本書習題的一大特色。肆、本書每章章首有一整體性的介紹及凸顯本章內容的圖片，盡可能讓老師及學生了解本章的大致內容。章末附有十道總習題，分為概念題、程序題與數學解題三部分，以利學生複習需要。. 乙版本編輯大意(游森棚等，2013)，節錄其中第三、四點：參、數學的學習著重於思考與推理，而這方面的訓練有賴於不斷的練習。為使學生有充分練習的機會，我們把習題依題目的深淺分為三類：基本題、進階題與挑戰題。基本題與進階題是例題的相似或延伸，而挑戰題是新題型的介紹。肆、鑑於每節的內容頗多，我們將每節內容又細分為數個主題，使教師便於掌控教學的進度。. 丙版本編輯大意(單維彰等，2012)，節錄其中第三、四、八點：參、本書旨在提供學生基本的數學知識，養成以科學態度處理事務的能力。肆、本書力求銜接九年一貫與高中一年級數學課程，編寫由淺入深、循序漸進，以實例出發，由具體到抽象，再作理論的推演，互為印證，行文並求親切細膩，期望達到自習亦可讀的目標。捌、本書各章扉頁皆供圖文，藉以引發學生的學習動機。. 從以上各版本的編輯理念看來，對於課綱教學目標中「培養學生欣賞數學內涵中以簡馭繁的精神和結構嚴謹完美的特質」的具體實踐，大都沒有多做描述。 37.

(42) NCTM(1970；轉引自黃毅英和黃家鳴，1997)指出：「無論各地如何將數學課程闡述，其目標亦大致可歸入：實用知識、學科知識及文化素養。」其中，實用知識包括：(1) 以數學方式解決日常生活遇到的問題 (2) 提供將來大部分職業所需的數學訓練 (3) 為將來升讀理科及有關學科所需中的數學奠下基礎學科知識包括：(1) 數字、符號及其他數學對象運算能力 (2) 數字感、符號感、空間感、度量感及結構與規律的意識 (3) 推理與邏輯思維 (4) 以數學構作及解決問題的能力 (5) 以數學方式表達及傳遞意念文化素養包括：(1) 欣賞數學之美 (2) 認識古今數學在各地文化中的角色及與其他學理間的關係. 由 2.2 節的探討中可以知道，數學史融入數學教學可以有效輔助實用知識與學科知識的教學目標，並且文化素養中的兩點更是需要藉由數學史的融入來達成，而三版本的編輯理念整體來說呼應了此三大分類原則，但實用知識與學科知識沒有借重數學史的輔助，且未強調文化素養中的欣賞數學之美與認識古今數學在各地文化中的角色及與其他學理間的關係，可見目前的高中數學教科書尚有將數學史融入的努力空間。 Fasanelli(2000；轉引自陳玉芬，2006)指出數學史教育未能普及的原因： 1.. 缺少數學史家的教學. 2.. 邏輯思考才是數學教學的核心. 3.. 數學史只是一種趣聞軼事. 4.. 數學史的內容是孤立的，而且無法解決現實生活中的問題. 5.. 以入學考試為導向的教育. 38.

(43) 站在不同的面向設計數學課程時，將呈現不同的風貌，而先前也提到「學生學習數學的過程與數學發展的歷程有一定的類似性，即遵從生物發生學的一個基本規律：個體的成長要經歷種族成長的所有階段順序相同，只是所經歷的時間縮短。」數學與人類的生活息息相關，若課程的設計只是讓學生將數學知識的發展作濃縮後的學習，學生不免有理解上的困難。(陳玉芬，2006)故在課程的設計上必須考量數學對人類發展的影響、數學與自然的關係以及數學與人類文化的相互作用 (李善良、單墫，2002；轉引自陳玉芬，2006)，而為了達到認識數學之美，甚至是認識古今數學在各地文化中的角色及與其他學理間的關係，正視數學史融入數學教育，將是一個重要的課題。表 3-1 為三個課綱中，行列式教材編排順序的對照。從表中我們可以看到， 95 暫綱雖然在第二學年有提到二階行列式及二階克拉瑪公式，但在選修(I)的「矩陣」單元有完整的兩小節介紹二階、三階的行列式及克拉瑪公式，故研究者猜測，編輯者認為二階與三階的行列式、克拉瑪公式關係緊密。. 值得注意的是，99 課綱中的三階行列式只有自然組的學生會學到，社會組的學生是不用教授的，而從本研究第二章第一節探討的行列式發展可以看出，行列式概念的起源目的在於簡化並有規律的符號表示，若是將二階與三階行列式分開教授，甚至只教二階行列式，研究者認為應當無法展現出此符號的好處，並且與課綱教學目標的「培養學生欣賞數學內涵中以簡馭繁的精神和結構嚴謹完美的特質」背道而馳了。. 39.

(44) 表 3-1. 40.

(45) 圖 3-1 各版本行列式教材順序圖. 41.

(46) 第二節現今高中教科書中與行列式相關內容之探討本節將探討甲、乙、丙三個版本中的行列式課程教材，從其概念切入方式、呈現方式作深入研究。圖 3-1 為各版本行列式教材順序圖，由於三版本皆是根據課綱編寫，整體差異不大，接下來我們將以此圖為主軸，探討各版本行列式編排的異同。. 二階行列式定義：甲版本切入方式是以一般化二元一次聯立方程式的解，再以行列式符號表達，順帶提出此為克拉瑪公式，如圖 3-2、3-3 所示。此編排方式與數學概念的歷史發展頗有關聯，不僅是以符號簡化的角度出發，而且也同樣是用以表示二元(多元)一次方程式的解，但可惜的是，因為課綱上的編排，二階行列式與三階行列式並不是一起介紹的(甚至可能不會介紹三階行列式)，如此一來行列式符號的簡潔有力並無法被看出，學生難免對學習此符號的必要性提出質疑，因為比起行列式，也許國中所學加減消去法還比較容易。再者，甲版本中的編排對於克拉瑪公式沒有更多的描述，或許會讓學生認為克拉瑪當初就是將此公式以如此樣貌呈現，若是能在其歷史發展多所著墨，或許更能讓學生掌握這一段歷史發展的脈絡。. 圖 3-2(許志農等，2013) 42.

(47) 圖 3-3(許志農等，2013) 乙版本行列式課程的切入點則以三角函數計算座標平面上已知兩點與原點所圍成三角形面積，進而將此面積的一般性公式定為二階行列式，如圖 3-4、3-5、 3-6、3-7 所示。此一切入方式乃是以計算一三角形面積為由，再以行列式符號表達，與我們先前所探討的行列式發展起因不相同，但行列式與幾何上的確有所連結，研究者猜測，編輯者應是考慮後續概念鋪陳，或是以不同表徵做教學為目的，故以此方式切入，但不免與甲版本有一樣的疑慮，無法讓學生體會到以此符號表達的好處在哪裡。 43.

(48) 圖 3-4(游森棚等，2013). 44.

(49) 圖 3-5(游森棚等，2013). 圖 3-6(游森棚等，2013) 45.

(50) 圖 3-7(游森棚等，2013). 從圖 3-8、3-9、3-10 可以看出，丙版本的切入方式與乙版本相同，而且對此方式定義的行列式運算規則給了如此的描述：「由於這個面積公式非常有用，並且還有其他用途，所以我們將它定義為一個二階行列式‧‧‧」可以看出編輯者也了解行列式其重要性以及與其他概念的連結，但由於僅僅是二階行列式，依然無法呈現行列式整體的脈絡與符號背後的意涵。此外，綜觀上述三版本中的行列式內容編排可以發現，不論是從解二元一次方程組還是計算面積後符號的化簡，各版本在做一般性推導時所使用的符號以 a, b 區分並且有足標，如 a1 , a2 , b1 , b2 ，說明編輯者了解足標的重要性，用以區分該係數屬於哪個方程式或向量，並且區分是哪個變數的係數或者分量，但在最後給出行列式的定義時，所使用的是單純. a, b, c, d 四個字母表達四個數字，這恰與萊布尼茲所說的「若以字母 a, b, c,. 表. 示，將很難看出這些規則」做法相反，若是推廣到三階甚至更高階的行列式運算，恐怕就不是那麼容易了解其規律性了。. 46.

(51) 圖 3-8、3-9(單維彰等，2012) 47.

(52) 圖 3-10(單維彰等，2012). 二階行列式性質：在二階行列式性質的推導部分，甲版本採取直接將性質列出，然後說明可以將行列式乘開得到等號成立，如圖 3-11、3-12。. 圖 3-11、3-12(許志農等，2013) 48.

(53) 圖 3-13 中，乙版本亦將二階行列式性質列出，但因為是以平行四邊形面積引入二階行列式定義，所以再舉其中. ka11. ka12. a21. a22. k. a11. a12. a21. a22. (面積)作更直觀的說明。. 圖 3-13(游森棚等，2013). 49. 的性質以幾何的表徵.

(54) 丙版本因為行列式定義的引入是由平行四邊形面積開始，所以在行列式性質的推導並不是一次性的給出所有性質，而是利用討論各種情況下兩向量所張的平行四邊形面積，並輔以幾何表徵來輔助證明，用的篇幅也是三版本最多，如圖 3-14、3-15。. 圖 3-14(單維彰等，2012). 50.

(55) 圖 3-15(單維彰等，2012). 平面上兩直線幾何關係代數判定：這個部分三版本皆是以解二元一次方程組為出發點，介紹克拉瑪公式後，探討兩個二元一次方程式解的情形與幾何關係的關聯。甲版本從解方程組定義行列式，而乙、丙則從平行四邊形面積出發，差異只在於編排的前後順序而已。. 51.

(56) 三階行列式：甲、乙版本皆以空間座標中兩向量所張平行四邊形面積切入，定義外機以及其長度即為此平行四邊形面積，接著介紹以組合積的絕對值表示平行六面體體積，附上甲版本的內容如圖 3-16、3-17、3-18、3-19，最後定義三階行列式的展開式以及介紹其性質(這裡有別於先前介紹二階行列式性質時，甲、乙版本皆說明左右乘開等號會成立). 圖 3-16(許志農等，2013). 52.

(57) 53.

(58) 圖 3-17、3-18(許志農等，2013). 圖 3-19(許志農等，2013). 丙版本與另外兩版本的內容其實大同小異，但其中的「小異」就是三階行列式的定義，是以降階展開為二階的方式呈現，如圖 3-20。. 54.

(59) 圖 3-20(單維彰等，2012) 三階行列式事實上應該為二階行列式的延伸，以甲、乙版本的方式定義三階行列式，雖然在其性質的部分有說明可以以降階法展開，但還是較難感受到二階與三階行列式之間緊密的關聯性，而丙版本的引入方式雖然與甲、乙兩版本大致相同，但在定義三階行列式時直接給出降階的展開式，較能體會到要有三階行列式之前必須先有二階行列式的味道。. 三階克拉瑪公式、三平面幾何關係代數判定：在此部分，三版本皆採取先介紹以三階克拉瑪公式解三元一次聯立方程組，最後利用 , x , y , z 的討論來判定三平面相交狀況。. 二階反矩陣：三版本在二階反矩陣的部分皆是以解兩組二元一次聯立方程組，利用克拉瑪公式求出反矩陣的四個元，在此以甲版本為例，如圖 3-21、圖 3-22。. 綜上所述，或許各版本在每個概念引入時還可以有更完善的做法，但三個版本整體來說均有考量到學生學習的困難及疑惑處，從二階行列式的定義到行列式與矩陣的結合，都以謹慎的方式解說。而事實上，行列式與矩陣之間的連結是非常緊密的，單純行列式的研究在十九世紀後半葉就已經沒落了，但在矩陣理論崛起後，行列式被賦予了更多的意義，而在目前的課綱架構下，行列式與矩陣的連結僅用在解兩組二元一次方程組求二階反矩陣(第四冊第三章第四節線性變換為特殊內容，社會組學生不教)，也就是說，若是沒有二階行列式，也能用解方程組的方法找出反矩陣，「矩陣的行列式值」的存在似乎沒有太大的意義了。也許受限於課程內容量或者有其他的考量，所以高中的行列式概念無法在矩陣課程裡完整發揮作用，譬如特徵值、特徵多項式等等，即便如此，站在 HPM 的角度思考，讓學生了解行列式與矩陣之間的淵源亦是一項重要的課題。 55.

(60) 圖 3-21(許志農等，2013). 圖 3-22(許志農等，2013) 56.

(61) 由於 99 課綱中行列式課程的設計，各版本在鋪陳行列式相關內容皆遵照此架構，也許這樣的編排順序有其他的考量，但在歷史上行列式的發展，其原先的精是在於簡化式子，而後獨立出來成為一門理論，並且因為矩陣理論而更趨重要。反觀現今的高中行列式課程設計及教材，在簡化方面，因為二階與三階行列式分開(再次強調，甚至社會組是無法接觸到三階行列式)，並無法了解到其符號的便利性，自然也無法引起學習動機；而在其重要性上，與矩陣的連結僅有計算二階反矩陣，更是可以用別的方法(直接解聯立方程組、高斯消去法等)取代，若是沒有與三階的行列式、反矩陣相對照，其便利性無法顯現。所以，犧牲歷史發展脈絡所付出的代價，值得與否，可能就得重新思考了。而各家版本所使用相關數學史知識的情形，亦整理如表 3-2，從表中可見，三版本使用數學史的次數均不算多，並且都著重於數學家的故事(其中會提到專有名詞的由來)，而沒有放太多力量於運用數學史啟發學生在行列式相關的課程學習。. 使用次數. 備註. 甲版本. 2. 克拉瑪及吉布斯小圖示及生平簡述. 乙版本. 1. 一頁面的柯西生平故事. 丙版本. 2. 克拉瑪及范德蒙小圖示及生平簡述. 表 3-2 甲、乙、丙三版本數學史料出現次數統計. 57.

(62) 第四章. 結論與建議. 本章分為兩小節，第一節總結第三章之研究內容並回答本論文之研究問題，第二節則根據研究結果給出具體建議。. 第一節結論在本節以第三章所探討的內容及「各版本行列式教材順序圖」對本研究的結果作總結，共分兩個部分：(一)99 課綱高中數學的課程目標與行列式課程設計； (二)各版本教科書數學史使用情形。. (一)、. 99 課綱高中數學的課程目標與行列式課程設計在《普通高級中學必修科目「數學」課程綱要》的課程目標與設計理念. 中，對於「數學史融入教學」的著墨並不算多，而其中提到的「培養學生欣賞數學內涵中以簡馭繁的精神和結構嚴謹完美的特質。」，與「數學史的教學」的功能雖然相呼應，但在行列式課程的編排上，將二階與三階行列式分開教授，實無法使學生體會到以簡馭繁的精神，而對於更高階的行列式沒有給予學生猜測、思考的機會，反觀歷史上數學家起初意在使用便利的符號簡化運算，並且盡力推廣到更高階的運用及探討其性質，顯然如此的課程設計與歷史上的發展有差異，雖然教材的設計並不一定要完全與歷史發展相同，但依然可以作為一個參考。而三版本的編輯理念中沒有明顯地對「數學史的教學」的功能作討論，教材內容在行列式部分，根據圖 3-1 可以看出有幾處差異，但大致上是依照著「二階行列式及性質、應用>外積與體積>三階行列式及性質、應用>二階反矩陣」的順序編排。甲版本在克拉瑪公式與兩向量所張平行四邊形的編排與其他兩版本不同，而丙版本中三階行列式的定義與另外兩版本不同，其餘的就是在性質、定理推導的呈現方式有些微差異。 58.

(63) 整體來說，在 99 課綱的架構下，各家版本較難完整呈現行列式的發展脈絡，所以 HPM 的精神與其功能無法發揮出來。. (二)、. 各版本教科書數學史使用情形數學知識應該要有反映社會脈絡的功能，而 HPM 可以幫助我們達到這. 個目的。從表 3-2 可以看到三版本使用相關數學史的情形並不算多，並且均著重於數學家的故事或是專有名詞的解釋，其定位較像是課後的「資料補充」，讓學生當成趣聞軼事來讀，沒有更進一步的運用在啟發學生思考。另外，對於行列式發展當時的時空背景及社會文化也沒有多作著墨，站在 HPM 的觀點來看，現今的教科書能以此為切入點，使教材內容顯得更豐富多元，並且功能更加齊全。. 59.

(64) 第二節建議本節綜合研究者的發現、心得與上述結論，對幾個面向提出建議，希望蔚成設計與教師的教學注入不同的觀點與多元的思考。. 高中數學的教學目標「掌握數學主要脈絡、體會數學以簡馭繁及結構嚴謹的特質」是「運用數學史教學」可以提供的一項功能，而課程設計若要借重數學史達到此目標，應具體付諸文字敘述，使各版本在編寫教材時能夠加以配合。. 行列式課程的設計在前述的結論研究者已提到，目前的課程編排中，二階行列式與三階行列式分別落在二年級上學期與下學期，並且不是所有學生均能接觸到三階行列式，如此一來二階行列式與三階行列之間間隔過久，兩者的關係也就不明顯了，而從歷史文獻的探討可以了解到，行列式概念的起始是用以簡化複雜的運算，其概念偏向於操作，而在柯西將行列式定義為一個函數後，將行列式視為一個「對象」並深入研究。所以在我們思考高中行列式課程如何設計時，首先要思考的是要讓它在高中階段的數學課程裡扮演什麼角色，若是僅當作一個簡化運算的符號，也許其存在的必要性並不高，舉例來說，高中階段在學完克拉瑪公式以後有多少學生會將它作為主要工具呢？大多還是喜愛以高斯消去法來解線性方程組，二階行列式的方便性無法呈現，更遑論三階或者更高階的行列式了。而若是要將其視為一個新的物件做深入介紹，則其整體脈絡必須完整呈現，需要將行列式其運算的規律性展現出來，故二階與三階甚至更高階的行列式都應該寫入，並且強化其與矩陣的連結，因為有了矩陣行列式才更富有意義。綜上所述，高中行列式課程的設計，目標是要介紹一個新的物件(像矩陣一樣的新物件)，還是單純只是一個新的 60.

(65) 符號，若只是一個符號，如何讓學生理解它的便利以及學習它的理由就是一個重要的課題了。在相關數學史的使用上，雖然線性代數是一門近代的學問，行列式理論完備至今不到 200 年，但還是有不少歷史發展相關的文獻能用以輔助教學，教材編寫可以將數學家當時發展這門理論所使用的文字、符號呈現出來，譬如范德蒙如何地想將某種運算規則設計成一個方便的符號，或者柯西如何定義行列式這個「函數」，如此一來不僅能讓學生比較古今符號上的差異，更能夠體現當時的數學文化。. 落實「數學史融入教學」雖然將「數學史融入教學」能夠輔助學生學習，但是「為了用而用」並不是一個好的做法，完善的課程設計必須搭配良好的詮釋才能發揮其作用，教師們應該了解如何以及何時使用數學史，所以若能提供好的機制訓練教師這方面的能力、提升教師的數學史素養，將使得數學的「教」與「學」同時提升。而另一方面，如同其他領域，我們也能藉由發行刊物傳播 HPM 的知識，目前國內與 HPM 有關的刊物為《HPM 通訊》，是由台灣師範大學洪萬生教授帶領的團隊負責編輯，在網路上能輕鬆的找到此期刊，所以課程設計者、第一線的教師、學生以及所有關心這個議題的人皆可多多運用，並加以推廣，使 HPM 的精神、理念及其好處被更多的人了解、運用。. 本研究希望能從 HPM 的觀點重新檢視高中數學課程設計並反思教師的教學歷程，進而拓展數學學習的廣度與深度。研究者本身亦在此研究獲得許多新的知識與看法，將這些新知融會貫通運用到教學現場上，也由於隨著本研究的腳步回顧行列式歷史發展，得到了一些啟發，試著在 99 課綱的架構下，學習各版本的優點，編寫一套行列式教材附於本論文之後，讓有心研究行列式相關課程的其他 61.

(66) 學者一起討論。最後，也許有人對於「數學史融入教學」是否有效存在著疑問，在釐清這個問題之前，我認為應該先界定什麼是「有效的數學教學」，若其標準是學生考試的成績高低，那麼我可能無法多作評論，但若「有效的數學教學」是增進學生獨立思考的能力以及提高學生對數學的興趣，那麼我相信「數學史融入教學」是有效的，因此，無論執行上會遇到什麼樣的困難，我認為這都是數學教育值得努力的一個方向。. 62.

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(70) 附錄Ｉ教育部 84 年公布高級中學數學課程標準第一目標壹、引導學生了解數學的內容、方法與精神，培養學生用數學方法思考問題的素養與能力。貳、增進學生的基本數學能力，奠定學習相關學科的基礎。參、肆、. 提供學生在實際生活與未來生涯所需的數學知能。培養學生欣賞數學內涵簡明有效及結構嚴謹優美的特質。. 第二時間分配第一學年每週授課五節第二學年每週授課五節第三學年數學甲每週授課六節數學乙每週授課四節到六節第三. 教材綱要. 壹、教材分配學. 年. 教. 材. 第一學年. 數. 學. 五. 節. 第二學年. 數. 學. 五. 節. 數學甲. 六. 節. 第三學年. 每週授課節數. 數學乙. 四—六節. 備. 註. 必須擇一選修. 第二學年或第三學年另有「幾何學」供學生自由選修。教材內容一、數學（第一學年）教. 材. 大. 綱. 一、基礎概念 1. 簡單的邏輯概念. 2. 集合的基本概念. 3. 函數的基本概念. 備. 註. 1.利用國中平面幾何知識來介紹簡單的邏輯概念—包含充分條件、必要條件、充要條件及反證法的例子（約二至三節課） 2.集合的表示法、屬於、交集、聯集、子集、補集，以將來要用到的實例為主，不涉及抽象的集合（約二節課） 3.以變量的對應關係說明函數的意義（約二節課） 66.