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線就可決定狀態軌線,因此其為運動方程式。6 故可推論,當經濟單位選定了控制軌 線後, 就已決定了狀態軌線; 因此, 在任何 t ∈ [t0, t1], 當 x(t)和 u(t) 均已確定, f [x(t), u(t), t] 之值也同時確定,再經由積分目標函數, 即可得到V [u(t)]。 而動態 最適化的問題即為如何找出最適的控制變數, 使得動態體系 ˙x = f [x(t), u(t), t]
由 [t0, x(t0)] 開始, 直到 t = t1 時, V [u(t)] 達到最大。
3.2 微分賽局概述
微分賽局本質上為一般賽局模型的延伸, 將賽局理論應用在一連續的時間內, 並加入動態最適化作為分析工具。7 賽局理論常利用一般化的數學式來定義賽局中 的各項元素,如參與者的策略空間(strategies space)與報酬矩陣(payoff matrix) 等。 在微分賽局理論中亦同, 還必須以更技術性的數學工具進行分析, 最常見的即 為最大原理(maximun priciple) 與Hamilton-Jacobi-Bellman 方程式的動態規 劃 (dynamic programming)求解法。
在非合作的微分賽局中, 假設知道其他參與者可能的策略選擇之下, 每個參與 者針對本身之動態最適化問題進行求解, 換言之, 每一位賽局參與者皆需解決自己 所面對的最適控制問題。 而同時作出的最適控制結果就形成非合作微分賽局的均 衡,相當於賽局理論中納許均衡(Nash equibrium) 的概念。 本文第一個探討之模 型假設兩國同時實施財政政策, 並追求最佳化該國福利; 在此情況下, 可將政府所 實施的政策視為一非合作賽局的型態, 本文將在 4.2 節中詳細說明。 另外,在合作 形式的微分賽局中, 藉由建立合作賽局中的聯合報酬方程式 (joint payoff func-tion) 和利用最大控制理論的數學工具, 將可以求出具有柏拉圖最適 (Pareto op-timum) 的合作均衡。
6或被稱作為狀態方程式、 狀態運動方程式、 運動方程式,原文為system dynamics, evolution equations, equations of motions
7Jørgensen and G. Zaccour (2004)[頁5]
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在微分賽局中, 令 t 表示時間變數, 且賽局之參與者會在一段時間 [0, T ] 中進 行決策。 T 可以為一有限數字或變數, 通常 T 可以隨模型需要而改變。 而在動態 的理論中,通常會利用狀態變數來描述目前體系情況或形勢。 如在本文欲探討一國 之出口商品競爭力 s(t) 會如何受到財政政策 f (t)、 f∗(t) 之影響, [s(t), t]在此模 型中, 可視為本經濟體系在 t 時的狀態, 故 s(t) 即為此模型下之狀態變數 (state variable)。
若賽局有 i 位參與者,i 必為大於零之正整數, 即i ∈ 1, ..., N。 在 t 時,參與者 所作出的決策以 ui(t) 表示, 但決策必須受到限制, ui(t) ∈ Ui[t, x(t)], 故稱集合 Ui 為參與者i之控制空間。 在本文模型中,兩國之財政政策之變數 f (t)、f∗(t) 即 為控制變數 (control variables)。 隨著時間的經過, 動態體系必須以微分方程式來 表現狀態的改變模式, 即在動態體系中會有描述狀態變數隨時間經過如何改變的 微分方程式,8 此方程式在微分賽局理論中稱為運動方程式 (state equations)。9
當一體系在 [t, x(t)] 的狀態且參與者利用狀態變數 u1(t), ...uN(t), 參與者之 目標函數以gi[t, x(t), u1(t), ...uN(t)]表示,可知目標式可為時間t,狀態變數x(t) 以及各控制變數的函數 u1(t)、 u2(t)。 而報酬函數可以是經濟體所創造之效用、 收 益、 利潤或是其所面對的成本,換言之,也就是任何想作為極大化或極小化的目標。
gi[t, x(t), u1(t), ...uN(t)]
最後, 由於動態最適化問題作決策時是必須考量到時間,參與者i需把未來所得到 的報酬折現, 才能進行比較, 故一般在假設目標函數式時, 必須考慮未來之報酬或 成本的折現率,並換算成報酬之現值。
Ji[u1(.), ..., uN(.)] = Z T
0
e−θitgi[t, x(t), u1(t)..., uN(t)]dt
8於本文模型中即為式(12)
9請參照註解5
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θi 為參與者 i 所面對之折現率 (discount rate), 通常為一常數。 若 θi = 0, 表示 參與者i 具有長期觀點,將現在與未來的報酬視為等值,不將未來的報酬作任何折 現; 但若 θi → ∞,表示參與者 i 相當重視近期報酬, 並對折現率相當敏感。
一旦建立目標函數或成本函數 Ji, 就可利用 3.1 節所述之動態最適化理論來 求得滿足 Ji 極大值或極小值成立的條件。 而在微分賽局理論中, Ji 的值會受到 數個參與者的控制變數所影響, 如 ui−1、 ui+1。 參與者 i 想在 [0, T ] 時將其他賽 局參與者的控制變數uj(t) 納入考量, 並藉由選擇最佳控制路徑 ui(t) 將 Ji 最佳 化。 由於每個賽局參與者在作決定時都已經將其他的參與者的控制變數納入考量, 微分賽局理論並不是像 3.1 節所述之只針對單一個體的動態最適化問題, 而是在 不同情況下考量各賽局參與者的動態最適化問題。 Ji 在微分賽局理論中被稱作參 與者 i 的報酬函數 (payoff function)。
當設定好一微分賽局之基本形式, 還需確定賽局參與者在做決定時是基於何時 的資訊, 也就是各參與者在作決策時對於已知資訊的假設。 若將 ηi(t) 定義為參與 者i在時間t ∈ [t0, tf]可獲得資訊,整個賽局的資訊結構(information structure) 可以定義為所有參與者所獲得資訊的集合, 即η = (η1, η2, ..., ηN); 而在求解微分 賽局的均衡解時, 若使用不同的資訊結構的假設, 將會求出不同的結果。
依據 B¸asar and G.J. Olsder (1982)[第五章], 在微分賽局理論中, 最普遍的 資訊結構的假設方法約有四種, 分別為開放循環(open-loop)、 封閉循環 (closed-loop)、 無記憶性封閉循環 (closed-loop memoryless) 及回饋形式 (feedback) 四 種, 於下將這四種資訊結構之數學表達方式分別陳述。
(a) 開放循環 (open-loop), 如果
ηi(t) = {x0}, t ∈ [t0, tf]
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(b) 封閉循環 (closed-loop),10如果
ηi(t) = {x(s), t0 ≤ s ≤ t}, t ∈ [to, tf]
(c) 無記憶性封閉循環 (closed-loop memoryless),11如果 ηi(t) = {x0, x(t)}, t ∈ [t0, t1]
(d) 回饋形式 (feedback), 如果
ηi = {x(t)}, t ∈ [t0, tf]
開放循環形式的資訊結構假設賽局參與者 i在時點t時只知道起初狀態 x0(t), 相 反地, 封閉循環形式的資訊結構則是數參與者 i 能夠在時點 t 回想整個時間經過 時的路徑, 這樣的資訊結構即考量賽局參與者的記憶性(memory)。 若不加入記憶 性,參與者i只考量到時點t的狀態x(t)和起初狀態x0(t),就成為第三種無記憶 性的封閉循環資訊結構。 最後, 若當參與者 i 完全不考慮之前發生的所有狀態, 只 在乎在時點 t 時的狀態 x(t) 成為反饋法。
一般而言, 開放循環 (open-loop) 的策略與無記憶性的封閉循環 (closed-loop memoryless)、 反饋形式(feedback)策略差異在於,經濟體決定採行開放循環
(open-loop)策略時,只依據最初的時間決定策略,並不考量國內產出的變化,以及兩國政
策執行期間匯率、 兩國產出或兩國物價的變動資訊。 在開放循環的形式進行決策, 一國政府在初期即決定以後各期的均衡產量,而且會永遠依循此生產計畫。 就如同 一國政府於政策制訂前,設計一個最適化政府支出的電腦程式, 只要在以後各期輸 入所處的時點,程式就會自動解出最適的政府支出與一國之產出。 由於政府只考慮 時間上的差異,如果後期該國的實際所得不同於一開始政府預期的路徑,如兩國經
10又稱perfect state
11又稱perfect state memoryless
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濟政策開始合作,就會導致整個經濟合作體系發生變化,但若以開放循環之形式求 解, 就必須假設該國政府仍會採取期初決定的均衡策略。
由於本文的微分賽局模型中使用開放循環的假設, 亦即各國政府在參與政策搭 配的賽局時, 只考慮該國的起初狀態。 以現今世界主要的民主國家而言, 行政部門 提出政策構想直到該政策被實施往往需經過複雜的行政流程, 且實行時也必須依 循既定的規範。 即便因時間經過而改變某些客觀條件,政府仍不容易在政策實施時 有所變動與調整,因此,本文假設各國財政政策之實施與搭配只取決於政策制訂時 的起初情況, 並利用開放循環法作為微分賽局資訊結構的假設。
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4 非貨幣同盟國之兩國模型假設
4.1 非貨幣同盟的兩國模型
本章主要以Dockner and R. Neck (1995)及Dockner and R. Neck (2008)兩 篇文獻中之數學方法作為分析工具。 假設兩國政府(或政策制訂者) 皆面對之目標 函數為跨期的損失函數 (intertemporal loss functions), 又兩國皆以擴張性財政 政策作為政策工具, 同時想要穩定國內產出 y(t) , 國內通貨膨脹 p(t)˙ 以及實質 匯率 s(t)。 本文些微修改Dockner and R. Neck (1995)的模型, 使兩國政府在模 型中可利用財政政策作為其政策工具。 假設參與者的資訊結構為開放循環
(open-loop), 以微分賽局分析兩國在財政政策非合作、 財政政策合作及財政政策有領導
者與跟隨者時的均衡。
表 2: 非使用共同貨幣的兩國模型(Independent Two-country Model)
y(t) = ρy∗(t) − γr(t) + δ[e(t) + p∗(t) − p(t)] + ηf (t) (T1) y∗(t) = ρy(t) − γr∗(t) − δ[e(t) + p∗(t) − p(t)] + ηf∗(t) (T2)
r(t) = i(t) − ˙p(t) (T3)
r∗(t) = i∗(t) − ˙p∗(t) (T4)
˜
m(t) − p(t) = κq(t) − λi(t) (T5)
˜
m∗(t) − p∗(t) = κq∗(t) − λi∗(t) (T6)
i(t) = i∗(t) + ˙e(t) (T7)
˙
p(t) = ξy(t) (T8)
p˙∗(t) = ξy∗(t) (T9)
m(t) = ˜m(t) − p(t) (T10)
m(t) = ˜m∗(t) − p∗(t) (T11)
s(t) = e(t) + p∗(t) − p(t) (T12)
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模型延伸自Dornbusch (1976), 為一段連續時間內的兩國傳統總體經濟模型, 將非使用共同貨幣的兩國模型整理成表 2,並於後依序解釋各式之經濟意義。
假設兩國為相同規模的經濟體, 商品、 資產皆可藉由貿易自由移動於兩經濟體 之間。 家計部門對於未來具有完全正確之預期,但其作決策時並不考慮政府部門為 穩定經濟的政策。 除了名目利率 i(t) 及實質利率 r(t), 模型中其餘變數皆表示成 對數形式;另一國之變數意義相同, 以加上∗ 符號表示。 各項變數經濟意義詳述於 後, 而短期商品市場均衡表示如下。
y(t) = ρy∗(t) − γr(t) + δ[e(t) + p∗(t) − p(t)] + ηf (t) (T1) y∗(t) = ρy(t) − γr∗(t) − δ[e(t) + p∗(t) − p(t)] + ηf∗(t) (T2)
y 代表偏離充分就業產出的實質產出,換言之, 將該國之充分就業的產出標準化為 0。r為實質利率, e為名目匯率,用以衡量一單位本國貨幣可以換得多少外國貨幣。
而p為國內的物價水準。 由於本文以財政政策的競爭與合作為主題,故將Dockner and R. Neck (1995)的模型略微修改,在商品市場均衡式(T1)、(T2)中加入兩國 政府支出的變數, 並假設完全由政府支出增加來實行擴張性的財政政策, 以 f (t)、 f∗(t) 表示本國及外國的政府支出。 在家計部門擁有完全預期(perfect foresight) 的假設下,實質利率為可以 (T3)、 (T4) 兩式表示。
r(t) = i(t) − ˙p(t) (T3)
r∗(t) = i∗(t) − ˙p∗(t) (T4) 而 i 表示名目利率, ˜m 為名目貨幣供給, 資產市場的均衡條件為以下。
˜
m(t) − p(t) = κq(t) − λi(t) (T5)
˜
m∗(t) − p∗(t) = κq∗(t) − λi∗(t) (T6)
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(T5)、 (T6) 兩式隱含兩國之人民只持有該國之貨幣。 在資本完全自由移動的假設 和完全預期之下, 利率平價假說表示為 (T7)。12
i(t) = i∗(t) + ˙e(t) (T7)
(T8)、 (T9) 則表示兩國物價水準的調整來自於國內商品市場的超額需求。
˙
p(t) = ξy(t) (T8)
p˙∗(t) = ξy∗(t) (T9)
模型中所設的參數 γ, δ, κ, λ, ξ, η > 0以及 0 < ρ < 1。
假設兩國政府非貨幣同盟國時,皆可利用貨幣政策作為干預貨幣市場的政策工 具。 在資訊完全透明的情況下, 實質貨幣供給可被視為政府控制的變數, 即貨幣政 策, 並以 (T10)、 (T11) 表示。 但在本章模型中, 由於主要要探討財政政策的動態 賽局。 因此, 假設各國之貨幣政策為外生變數, 且在財政政策賽局開始前就已經確 定, 不隨時間改變, 也不受到該國政府支出增加的影響。
m(t) = ˜m(t) − p(t) (T10)
m(t) = ˜m∗(t) − p∗(t) (T11) 兩國間的實質匯率 s, 為對數化後名目匯率與兩國相對物價之差, 也可被視為兩國 出口貨品之相對價格或相對出口競爭力, 被定義為 (T12)。
s(t) = e(t) + p∗(t) − p(t) (T12)
整理以上 (T1) 至(T12), 可得出實質利率的一階線性微分方程式, 也就是本模型
中所要採取之狀態變數動態方程式。13
˙s(t) = φ1m∗(t) − φ1m(t) + φ2s(t) + φ3f (t) − φ3f∗(t) (T13)
12利率評價假說,interest rate parity,簡稱IRP。
13又稱狀態變數運動方程式, state equation