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5.3 財政政策合作的情況(Cooperative Case)
延續第5.1 節貨幣同盟國之模型中兩國對於目標函數的假設。 兩國各自實施財 政政策時將會因為各自的產出 y、 y∗ 及 出口貨品價格 s 之波動而產生成本, 兩 國決策者在理性的的假設下, 將會追求跨期成本函數折現值的最小。 再藉由 (U8), (U9) 兩式可知, 在符合凱因斯學派的假設之下, 各國的短期物價變動 p˙ 為偏離充 分就業水準產出 y 的函數, 故可將目標式簡化為以下兩式 (U15)、 (U16), 而不影 響最適化之結果。
min J1 = 1 2
Z ∞ 0
e−θt[y2(t) + ns2(t)]dt (U15) min J2 = 1
2 Z ∞
0
e−θt[y∗2(t) + ns2(t)]dt (U16) 其中
n = σ
α + βξ2 (U17)
在財政政策合作的情況下,兩國的目標函數將會變成 (UC1)。
Jc= J1+ ωJ2 (UC1)
ω 是一常數, 實施政策合作時, 用以衡量兩國個別之政策目標占合作協議的相 對比重。 如 4.3 節所述, ω 為兩國在在政策合作時, 兩國各自產生的成本占合作時 的成本之比例。 因此, ω 可視為實施政策搭配前之協議。 即假設為兩國在進行政策 合作前以進行協商,決定兩國之跨期成本在政策合作時需占多少的比重。 其他變數 設定都如同5.2節。 則在兩國財政政策搭配時,我們可將合作之 Hamilton-Jacobi-Bellman 等式寫成 (UC2)。
HC = 1
2{y2(t) + ωy∗2(t) + (1 + ω)ns2(t)} + λc{φ1f∗(t) − φ1f (t) + φ2s(t)}
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共變異數的伴隨方程式 (adjoint equation) 為以下:˙λC(t) = θλC(t) − ∂HC
∂s(t) = −2(1 + ω)ns − (θ + 2bφ1 + φ2)λC (UC12)
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將Hamiltonian體系之典型方程式(canonical equations)寫成向量形式。 令y = [s, λc]T , 且 ˙y = AU C．y。AU C =
b
a∆φ1[2ω + 2ω(ρκ) − 2ω2(ρκ)2] − φ2 −aφ221∆[1 + ω + 2κρ+ 2ωκρ+ ω(κρ)2+ ρκ]
−2(1 + ω)n −(θ + 2bφ1+ φ2)
令 |AU C − νI| = 0, 可求得兩個特徵值 (eigenvalues) ν1、 ν2, 與其分別對應 之特徵向量 (eigenvectors) 為 w1 = [w11 w21]T、 w2 = [w12 w22]T。 若體系為穩 定, 則兩特徵值應為一正一負, 假設 ν2 ≤ 0 ≤ ν1,即可求出
sN(t) = s0 eν2t (UC13) 就可解出 sU C(t)、 λC(t) 之路徑,留至第六章比較各不同情況時再詳述。
5.4 財政政策有領導者的情況 (Stackelberg Case)
前述 5.2 , 5.3 兩小節為考慮兩國之政策為同時實施的情形。 但若以現實世界
所發生之情況論之,國與國之間的政策實施時往往會有先後順序。 國家政策制訂常 需經過行政機關制訂, 民意代表審核的談判過程, 使政策之制訂往往曠日廢時。
如台灣於2012年積極推動 「台美貿易暨投資架構協議」(Trade and Investment Framework Agreement,TIFA), 即因擔心韓國美國自由貿易協定 (U.S.-Korea Free Trade Agreement,KORUS FTA) 生效後會對我國出口產品造成影響。 同 樣的, 一國若以擴張政府支出以刺激該國經濟, 也會對其鄰近之國家造成影響。 事 故,其貿易對手國或鄰國接會以其相關的決策來因應, 本文則是假設鄰國也會以擴 張性的財政政策回應。 因此, 藉由假設兩不同國家有依序地實施擴張性的財政政 策,同4.4節之假設。 將F 國設定為先實施財政政策的國家,即外國先實施財政政 策, 本國 (H 國) 於後跟進的情況, 以 Stackelberg 形式之微分賽局進行分析。 故 參照5.1節, 追隨者(H 國)所面對的 Hamilton-Jacobi-Bellman等式為
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最佳化的條件也和 5.1 節相同。
fU S = arg min
f H1U S (US2)
跟隨者 (H 國) 所面對的反應函數為 fU S = −ρ
κf∗U S − b
as + φ1
a2λS1 (US3)
其共變異數一階微分方程式 (adjoint equation, 伴隨等式) 為 λ˙S1 = θλS1 − ∂H1S
∂s = −ns + (θ − b
aφ1− φ2)λS1 (US4) 如同 4.3 節, 對於領導者 (F 國) 而言, 其必須修正所面對之最適控制問題。
由於在 Stackelberg 模型中,F 國必須將 H 國的動態最適化考量進去, 也就是必 須加入 (US4) 式。 求Stackelberg 微分賽局最適化問題的必要條件之方法最先是 由Simaan and Cruz, J.B. (1973)所提出, 以下為領導廠商追求目標式最適化所 必須滿足之條件。
f2U S = arg min H2S[λS2, λS1, s, λS3, f, f∗] (US5) 由於追隨者已經宣佈其欲實行的政府支出 f (t), 而領導國家所面對的 Hamilton-Jacobi-Bellman 等式為
H2S = 1
2(y∗2+ ns2) + λS2(φ1f∗−φ1f + φ2s) + λS3[(θ −b
aφ1−φ2)λS1−ns] (US6) 由 (US4) 可知, λS1 為跟隨者的共變異數。 λS2 為領導者對於狀態運動方程式 (限 制式) 的共狀態變數, 而領導者所面對之共狀態變數 λS2 之伴隨方程式 (adjoint equation) 為
λ˙S2 = θλS2 − ∂
∂sH2S[λS2, λS1, s, λS3, f, f∗] (US7)
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策不合作的典型方程式(canonical system) 矩陣如下。AT N =
0.0332 −0.3639 −0.3639
−1 0.0125 0
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此三階方陣的特徵值為 0.876, −0.8303, 0.0125。 欲求體系的穩定解,故取最小特 徵值 (第四章使用符號為 ν3) −0.830325。 故狀態變數, 即匯率 sT N(t) 的走勢為 圖 1。
sT N(t) = 2e−0.8303t (TN)